5. Värmeöverföring Heat transfer

Transkript

1 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven 5. Värmeöverföring Heat was defined in chapter 3 as transfer of energy as a result of a temperature difference or a temperature gradient. The two physical mechanisms behind it are conduction, which involves the microscale motion of matter, and radiation, which involves electromagnetic waves. A third mechanism is convection, which is a combination of conduction heat transfer to or from a moving medium and the transfer of the heat energy to another location by this medium. See also cartoon Fig. 5.. While often one of these mechanisms is the most important and rate-determining one, in many situations all three must be considered. Värme definierades i kapitel 3 som energiöverföring p.g.a. en temperaturskillnad eller en temperaturgradient. De två fysikaliska mekanismerna bakom det är konduktion, som involverar materias rörelse på mikroskala, och strålning som involverar elektromagnetiska vågor. En tredje mekanism är konvektion, som är en kombination av konduktiv värmeöverföring till eller från ett medium i rörelse och transporten av värmeenergi med detta medium. Se också serieteckningen i Fig. 5.. Trots att en av dessa tre mekanismer ofta är av större betydelse än de andra, och således hastighetsbestämmande, måste ofta alla tre tas i beaktande. Fig. 5. Mekanismer för värmeöverföring Mechanisms for heat transfer (REF!) o Konduktion / Conduction o Konvektion / Convection o Strålning / Radiation (BÖ88) 5. Heat conduction 5.. Fourier s law In a non-moving medium (i.e. a solid or stagnant fluid), in the presence of a temperature gradient heat is transferred from high to low temperature as a result of molecular movement; this is referred to as heat conduction. Molecules or atoms with a higher temperature will transfer more thermal (i.e. kinetic) energy to molecules or atoms with a lower temperature than vice versa, which gives a net transfer of heat energy to lower temperatures. (Refer also to the Second Law of Thermodynamics, section 3.6). For a one-dimensional temperature gradient T/ x or, on a smaller scale, dt/dx, Fourier s Law gives the conductive heat transfer rate Q (W) through a cross-sectional area A (m ), giving heat flux Q " (W/m ). If the so-called heat 5. Värmekonduktion 5.. Fouriers lag I ett stillastående medium (dvs. ett fast ämne eller en stagnant vätska), gör en temperaturgradient att värme överförs som en följd av molekylernas rörelse. Detta kallas värmekonduktion. Molekyler eller atomer med en högre temperatur överför mera termisk (dvs. kinetisk) energi till molekyler eller atomer med lägre temperatur än vice versa, vilket resulterar i att värmeenergi strömmar till lägre temperaturer. (Se också Termodynamikens andra grundlag, avsnitt 3.6). För en endimensionell temperaturgradient T/ x eller, på en mindre skala, dt/dx ger Fouriers lag att den konduktiva värmeöverföringshastigheten Q (W) genom en tvärsnittsarea A (m ), resulterar i ett värmeflöde Q " (W/m ). Om den så kallade värmekonduktiviteten eller 5-

2 5. Värmeöverföring v. 0/3 conductivity, or thermal conductivity, λ, (unit: W/m K) is a constant (i.e. can be assumed independent of temperature and location in the medium), Fourier s Law for in one dimension, x, is: termiska konduktiviteten, λ, 3 (enhet W/ m K) är konstant (dvs. kan antas vara oberoende av temperatur och position i mediet), är Fouriers lag för en dimension, x: as further illustrated by Fig. 5.. dt Q Q A (W) Q " dx A dt dx (W/m ) vilket vidare illustreras av Fig 5.. (5-) Fig. 5. Fourier s Lag i en dimension Fourier s Law in one dimension (T06) For a general case with a 3- dimensional temperature gradient T = ( T/ x, T/ y, T/ z) Fourier s Law gives, for constant λ, the heat fluxes as a vector Q " λt. The temperature field inside the medium can then be written as T = T(t, x) with time t and 3-dimensional location vector x. For stationary heat transfer, the time derivative T/ t = 0 at each position. För det allmänna fallet med en 3- dimensionell temperaturgradient T= 4 ( T/ x, T/ y, T/ z) ger Fouriers lag värmeflödena, med konstant λ, som en vektor Q " λt.temperaturfältet i mediet kan då beskrivas som T = T(t, x), med tiden t och den 3-dimensionella positionsvektorn x. För stationär värmeöverföring är tidsderivatan T/ t = 0 Fig. 5.3 Värmeledning i två dimensioner (T > T ) Heat conduction in two dimensions (T > T ) (KJ05) Quite often symbol k is used for this see for example KJ05, T06 The vector operator gives the gradient ( / x, / y, / z) in three Cartesian (x,y,z) dimensions. 3 Ofta används k som symbol för detta - se t.ex. KJ05, T06 4 Vektoroperatorn ger gradienten ( / x, / y, / z) i tre kartesiska (x,y,z) dimensioner. 5-

3 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven As shown in Fig. 5.3 the heat transfer vector is perpendicular to the isothermal surfaces, (i.e., Q is a vector with direction T ). The material property λ is in fact a function of temperature: more accurately Q " ( T) T. Often the temperaturedependence λ(t) can be simplified by an averaged, constant value. For materials ranging from gases to metallic solids, typical values for thermal conductivity λ, ranging from 0.0 to 500 W/(m K) are given in Fig överallt. Enligt Fig. 5.3 är värmeöverföringen vinkelrät mot de isotermiska ytorna (dvs. Q är en vektor med riktningen T ). Materialegenskapen λ är de facto en funktion av temperaturen, närmare bestämt Q " ( T) T. Temperaturberoendet λ(t) kan ofta förenklas med ett konstant medelvärde. Den termiska konduktiviteten, för material från gaser till metaller, sträcker sig från 0,0 till 500 W/(m K), vilket demonstreras av Fig 5.4. Fig. 5.4 Typiska värden för termisk konduktivitet för olika material. Typical values for thermal conductivity for various materials (T06) Note that there is no such thing as a temperature balance and it should always be remembered that energy transfer is being described. More correct notation would involve the use of heat concentration ρ c p T (unit: J/m 3 ), with density ρ and specific heat c p. Q " c p d( cp T ) dx with thermal diffusivity/ med termisk Observera att något koncept som temperaturbalans inte existerar och att man alltid bör minnas att det är fråga om energiöverföring. En mera korrekt benämning kunde vara värmekoncentration ρ c p T (enhet: J/m 3 ), med densitet ρ och specifik värmekapacitet c p. d( c a dx p T ) (W/m diffusivitet a c p ) (m /s) (5-) This defines the thermal diffusivity, a (unit: m /s), typical values for a (which, like ρ, λ and c p is temperature dependent!) are 0-5 m /s for gases,0-7 m /s for liquids,0-6 m /s for non-metallic solids and 5 ~ m /s for metals. Fourier s Law can be interpreted as one example of a general transport equation of the type: flow or current = driving force /resistance. A heat resistance can be formulated as R heat = T / Q (unit: Detta definierar den termiska diffusiviteten, a (enhet: m /s). Typiska värden för a (som i likhet med ρ, λ och c p är temperaturberoende!) är 0-5 m /s för gaser, 0-7 m /s för vätskor, 0-6 m /s för fasta icke-metaller och 5 ~ m /s för metaller. Fouriers lag kan tolkas som ett exempel på en allmän transportekvation av typen: flöde eller ström = drivande kraft/resistans. Värmeresistans kan 5-3

4 5. Värmeöverföring v. 0/3 K/W or ºC/W), whilst a heat conductance can be defined as G heat = /R heat = Q / T (unit: W/K or W/ºC). For a plane material with thickness L, surface A and conductivity λ, G heat = /R heat = λ A/L. 5.. One-dimensional, steady-state heat conduction For stationary -dimensional heat conduction through a plane wall with thickness L depending on whether λ=constant or λ=λ(t), Fourier s Law gives formuleras som R värme = T / Q (enhet: K/W eller C/W), medan värmekonduktans kan definieras som G värme = /R värme = Q / T (enhet: W/K or W/ C). För ett plant material med tjockleken L, ytarea A och konduktivitet λ, G värme = /R värme = λ A/L. 5.. Endimensionell steady-state värmekonduktion För stationär värmekonduktion i en dimension genom en plan vägg med tjockleken L, beroende på om λ = konstant eller λ=λ(t), Fouriers lag ger Q" Q" L 0 L 0 dx dx T(L) T( 0) T(L) T( 0) With, for example, a simple linear temperature dependence λ(t)=λ 0 (+αt) the second expression gives Q" L dx 0 T ( L T (0) T(L) T( ) dt Q" 0 L or / eller (T)dT Q" ) 0 ( T ) dt Q" 0 T(L) T( 0) (T)dT L Med t.ex. ett linjärt temperaturberoende λ(t)=λ 0 (+αt) ger det andra uttrycket T ( L) T (0) ½ T ( L) T (0) d d L (5-3a) (5-3b) (5-4) T in λ λ T out T 0 =T in T x. Q T =T out Fig. 5.5 Värmeledning genom ett skiktmaterial Heat conduction through a plane layered material The heat flux Q " through a layered planar wall composed of material layers with thickness d i and conductivity λ i is found by considering the material as a series of heat resistances d i /λ i, as illustrated by Fig Note that for a steady-state situation Q " is the same for every location, so that for a two-layer material: Värmeöverföringen Q " genom en plan vägg med flera skikt, av tjockleken d i och konduktiviteten λ i, fås genom att betrakta materialet som en serie värmeresistanser d i /λ i, i likhet med Fig Observera att i fortfarighetstillstånd är Q " samma oberoende av läget, så att för ett material i två skikt: T x constant; T Q " x T x (5-5) 5-4

5 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Thus, for each layer: For two layers and, the (maybe unknown) temperature T can be eliminated: d Q " T di Q " Ti T 0 d Q " T d d Q " T i T i d Q " T T d Q " T T T d d d dn d Q 3 "... 3 N 0 0 i d Q " total average Således, (5-6) T total where λ + gives an average value for thickness d +d. Similarly, for N planeparallel layers, defining an average conductivity λ average : För två skikt och, kan (den eventuellt obekanta) temperaturen T elimineras: (5-7) (5-8) där λ + ger ett medelvärde för tjockleken d + d. På samma sätt definieras den genomsnittliga konduktiviteten λ average för N parallella plana, skikt: (5-9) Fig. 5.6 Geometri för cylindriska och sfäriska system Geometry for cylindrical and spherical systems (T06) For one-dimensional stationary conduction in the radial direction in cylindrical or spherical geometries, as shown in Fig. 5.6, the heat transfer area A becomes a function of distance, r, from the centre, A(r). Fourier s Law becomes: dt Q(r) A(r) dr A(r) rl (m A(r) 4r (m (W) ) ) För endimensionell, stationär konduktion i den radiella riktningen för cylindriska eller sfäriska system, se Fig. 5.6, blir värmeöverföringsarean A en funktion av avståndet, r, från centrum, A(r). Fouriers lag antar formen: (5-0) with/med ( - D cylindrical/cylindrisk) ( - D spherical/sphärisk) (5-) (5-) Here, the heat resistance R heat = T / Q of a cylindrical or spherical section [d in, d out ] with thickness d in -d out equals Här är värmemotståndet R värme = T / Q för ett cylindriskt eller sfäriskt avsnitt [d in, d out ] med tjockleken d in -d out lika med R R cylindrical spherical dout-d λπld d out in geom λπd in -d ln dout ln din λπl dout-d λπd d in with/med d in out ln with/med d dout-d dout ln d geom in in (logarithmic mean/logaritmiskt medelvärde) d out d in (5-3, 5-4) (geometric mean/geometriskt medelvärde) 5-5

6 5. Värmeöverföring v. 0/3 Transient or time-dependent heat conduction, and heat conduction in two or three dimensions are briefly addressed in section 5.6 and in more detail in ÅA course Transport processes Convective heat transfer In convection or convective heat transfer, heat is entrained with a moving (conducting) medium. The medium flow may be the result of external forces, referred to as forced convection see Fig. 5.7 or the result of density differences caused by temperature (or species concentration) differences, which is referred to as free, or natural convection. Forced convection is usually much more important than natural convection. Transient, eller tidsberoende, värmekonduktion, och värmekonduktion i två eller tre dimensioner beaktas flyktigt i avsnitt 5.6 och mera detaljerat i ÅA kursen Transportprocesser Konvektiv värmeöverföring Vid konvektion, eller konvektiv värmeöverföring, fångas värme upp (konduktivt) av ett medium i rörelse. Mediets strömning kan vara resultatet av externa krafter, s.k. påtvingad konvektion se Fig. 5.7 eller av densitetsskillnader orsakade av skillnader i temperatur eller koncentration, vilket kallas naturlig konvektion. Påtvingad konvektion är vanligtvis av större betydelse än naturlig konvektion. Fig. 5.7 Convective heat transfer Konvektiv värmeöverföring (T06) The general rate expression for heat transfer by convection is Q h A T Det allmänna hastighetsuttrycket för konvektiv värmeöverföring är (W) (5-5) for a heat exchange surface A (m ), temperature difference T (K, C) between the media or materials, and heat transfer coefficient h, unit: W/(m K). 5 In fact, the heat is conducted away from the heat transfer surface (or towards this surface) to (or from) the flowing medium by heat conduction, as described by Fourier s Law (see section 5.). As will be discussed below, the convective heat transfer resistance is confined to a thin (0.0 ~ mm) layer of the flowing medium at the heat transfer surface, which is referred to as the (heat transfer) boundary layer - see also chapter 6. 5 Do not confuse the symbol h with its common use for enthalpy! In some literature the symbol α is used for a heat transfer coefficient in order to avoid confusion, for example ÖS96. för en värmeöverföringsyta A (m ), temperaturskillnad T (K, C) mellan medierna eller materialen, samt värmeöverföringskoefficienten h, med enhet: W/(m K). 6 I själva verket leds värme bort från värmeöverföringsytan (eller till ytan) genom konduktion till (eller från) det strömmande mediet, i enlighet med Fouriers lag (se avsnitt 5.). Enligt vad som diskuteras nedan, är den konvektiva värmeresistansen begränsad till ett tunt skikt (0,0 ~ mm) i det strömmande mediet, kallat (värmeöverföringens) gränsskikt se också kapitel 6. 6 Blanda inte ihop symbolen h med entalpi, som den också används för! I en del litteratur används symbolen α för värmeöverföringskoefficienten för att undvika missförstånd, se t.ex. ÖS

7 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven With heat transfer Q at the surface (say, y=0), and conductivity λ BL for the boundary layer medium, and h is then defined as Q h It can be stated that the heat transfer coefficient h, which is based on empirical understanding, contains all we do not know about the convective heat transfer process. The heat transfer coefficient depends on the geometry flow velocity (or velocities, if both media are fluids) type of flowing media (gas, liquid) temperatures of the two media. Thus, for a certain situation the system geometry, flow velocities and physical properties of the media (grouped in a few dimensionless groups, as will be shown below) determine the value for h. As mentioned, heat convection that results from a forced fluid flow must be distinguished from natural (or free) heat convection that is caused by fluid flow that results from density differences that, in turn, can be the result of temperature differences see Fig BL dt A dy BL Med värmeöverföringen Q på ytan (t.ex. y=0) och konduktiviteten λ BL för gränsskiktets medium är y 0 (5-6) och h definieras som dt dy y 0 (5-7) T Det kan påpekas att värmeöverföringskoefficienten h, som är baserad på empiri, innehåller allt det vi inte vet om den konvektiva värmeöverföringsprocessen. Värmeöverföringskoefficienten beror på bägge mediers geometri flödeshastighet (eller hastigheter, om båda är fluider) typ av fluid (gas, vätska) temperaturer. Värdet på h bestäms således, för en given situation, av systemets geometri, flödeshastigheter och mediernas fysikaliska egenskaper (grupperade i några dimensionslösa grupper, enligt vad som visas nedan). Som redan nämndes, måste man skilja på värmekonvektion som resultat av påtvingat flöde och på naturlig värmekonvektion, härstammande från flöden orsakade av densitetsskillnader, som i sin tur kan vara orsakade av temperaturskillnader se Fig Fig. 5.8 Forced (a) and natural (b) convection heat transfer Påtvingad (a) och naturlig (b) konvektiv värmeöverföring (KJ05) As shown in Table 5., values for the heat transfer coefficient for forced convection are significantly higher than those for natural convection. Värden för värmeöverföringskoefficienten för påtvingad konvektion är betydligt högre än motsvarande för naturlig konvektion, vilket framgår av tabell 5.. Tab. 5. Typical values for forced and natural convection heat transfer Typiska värden för påtvingad och naturlig konvektiv värmeöverföring (KJ05) 5-7

8 5. Värmeöverföring v. 0/3 5.. Boundary layers, fluid flow, viscosity, Prandtl number Because forced convective heat transfer is largely determined by the fluid dynamics of the flow that carries the heat to/from a surface, some concepts of fluid dynamics must be introduced here see Chapter 6 for more detail on this subject. An important feature of fluid flow is that depending on the structure or object it flows around, or the tube it flows in, it shows a profile of differing velocities. This velocity profile is the result of zero velocity ( no slip ) with an object or other material at a contact surface, and interactions (momentum transfer) between fluid segments with different velocities. This is illustrated by the boundary layer flow in Fig Gränsskikt, flöden, viskositet, Prandtls tal Eftersom påtvingad konvektiv värmeöverföring långt bestäms av flödesdynamiken hos den ström som för värme från/till en yta måste vissa flödesdynamiska koncept introduceras här se kapitel 6 för en mera ingående beskrivning av ämnet. En viktig egenskap hos fluida flöden är att, beroende på strukturen på det föremål fluiden strömmar runt, eller det rör den strömmar igenom, uppvisar den en icke-uniform hastighetsprofil. Denna hastighetsprofil är ett resultat av att flödeshastigheten är noll (sk. no slip ) vid en kontaktyta, och att flödessegment med olika hastigheter interagerar (överföring av rörelsemängd) sinsemellan. Detta illustreras av gränsskiktströmningen i Fig Fig. 5.9 Bounday layer flow with velocity profile. Gränsskiktströmning med hastighetsprofil (KJ05) At low velocities a fluid flow can be visualised as layers ( lamina ), each with a certain velocity, that interact via so-called shear stresses that (besides compressive forces) deform them. Viscous forces between such layers imply maintaining this layered structure while dampening oscillations. With increasing velocities the shear forces cannot prevent that oscillations result in rotations and swirl occurs see Fig. 5.0: so-called turbulent eddies are produced. Vid låga hastigheter kan ett fluidflöde visualiseras som skikt ( lamina ) med olika hastigheter som interagerar via så kallade skjuvspänningar, vilka (utöver komprimerande krafter) deformerar dem. Viskösa krafter mellan dylika skikt håller ihop den skiktade (laminära) strukturen, medan de dämpar oscillationer. När hastigheterna ökar kan inte skjuvkrafterna längre hindra att oscillationerna resulterar i rotationer och virvlar uppstår - se Fig. 5.0, turbulenta virvlar bildas. Fig. 5.0 Fluid elements deformation and rotation Fluidumelementets deformering och rotation Fluid viscosity to be discussed in more detail in section 6. is the fluid material property that determines the transition Viskositet diskuteras mera detaljerat i avsnitt 6. är den materialegenskap hos en fluid som avgör övergången från 5-8

9 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven from laminar flow to turbulent flow, together with the velocity v (note: a vector) of the flow, a length dimension L of the flow (for example, tube diameter) and the density ρ of the flow. It was observed by O. Reynolds in 883 in a well-known dyestreak experiment (see Chapter 6) that the flow of fluid in a circular tube changes from laminar to turbulent at Reynolds number Re ~ 300 (being fully turbulent at Re = 4000), where the dimensionless Reynolds number is defined as laminärt till turbulent flöde, tillsammans med flödeshastigheten v (obs: en vektor), en längddimension för flödet (t.ex. rördiameter) och flödets densitet. O. Reynolds observerade 883, utgående från ett välkänt bläckstråleexperiment (se kapitel 6), att ett fluidflöde i ett rör ändrar från laminärt flöde till turbulent vid Reynolds tal Re ~ 300 (och fullständigt turbulent vid Re = 4000). Det dimensionslösa Reynolds tal definieras som v L Re v L ~ inertial force (tröghetskraft) viscous force (viskös kraft) (5-8) where η is the dynamic viscosity (unit: Pa s). For a volume flow V (m 3 /s) through a cross section A (m ), the velocity v can be taken to be the cross-sectional average velocity <v> = V /A (m/s) in the direction of the flow. Viscosity, a material property for a fluid, is a measure for a fluid s resistance to flow. It determines the internal friction of a moving fluid (which eventually results in lower velocities or pressure drop). Also widely used besides dynamic viscosity η is the kinematic viscosity ν = η/ρ (unit: m /s). Likewise, for flow along a plane surface such as shown in Fig. 5.9 the boundary layer becomes turbulent for Re x = ρ V x/η = 5 0 5, with distance x (m) along the surface, and velocity of the undisturbed flow V (m/s). This is illustrated by Fig. 5.. där η är den dynamiska viskositeten (enhet: Pa s). För ett volymflöde V (m 3 /s) genom en tvärsnittyta A (m ), kan hastigheten v antas vara tvärsnittets medelhastighet <v> = V /A (m/s) i flödets riktning. Viskositet, en materialegenskap, är ett mått på fluidens flödesmotstånd. Den avgör den interna friktionen hos en strömmande fluid (vilket leder till lägre hastighet eller tryckfall). Vid sidan om dynamisk viskositet η används också ofta kinematisk viskositet ν = η/ρ (enhet: m /s). På samma sätt blir för ett flöde längs en plan yta, illustrerat i Fig. 5.9, gränsskiktet turbulent då Re x = ρ V x/η = 5 0 5, för avståndet x (m) längs ytan och det ostörda flödets hastighet längs ytan V (m/s). Detta illustreras av Fig. 5.. Fig. 5. A laminar + turbulent boundary layer Ett läminärt + turbulent gränsskikt (KJ05) Indicated in Figs. 5.9 and 5. is also that the thickness, δ (m) of the (here: hydrodynamic) boundary layer is typically taken as the position where the flow Figurerna 5.9 och 5. indikerar också att tjockleken, δ (m), på (här: hydrodynamiska) gränsskiktet räknas vanligen från det läge där flödeshastigheten är 99% 5-9

10 5. Värmeöverföring v. 0/3 velocity is 99% of that of the undisturbed flow: v(x) / V = Forced convective heat transfer is strongly controlled by the thickness of the boundary layer, which varies with the position at the heat transfer surface and is therefore often determined as an average value for the surface. The heat transfer resistance can be considered to be confined to a thermal boundary layer, as shown in Fig. 5.. av det ostörda flödets hastighet: v(x) / V = Påtvingad konvektiv värmeöverföring är starkt kontrollerad av gränsskiktets tjocklek, som varierar med läget på värmeöverföringsytan och är därför ofta representerat av ett medelvärde för ytan. Värmeöverföringsmotståndet kan antas vara begränsat till ett termiskt gränsskikt, enligt Fig. 5.. Fig. 5. Thermal bounday layer with temperature profile. Termiskt gränsskikt med temperaturprofil (KJ05) There is, however, a detail that must be taken into account: the thicknesses the of the hydrodynamic (δ) and thermal boundary (δ T ) layer are not the same. The simple reason for this that the physical mechanisms for the diffusion of heat given by a = λ/ρ c p (m /s) and momentum as determined by ν = η/ρ (m /s) are different. This is quantified for by the dimensionless group named after L. Prandtl: Det bör noteras att det hydrodynamiska (δ) och det termiska (δ T ) gränskikten tjocklekar inte är de samma. Den enkla orsaken för detta är att de fysikaliska mekanismerna för värmediffusion, som bestäms av a = λ/ρ c p (m /s), och rörelsemängd, som bestäms av ν = η/ρ (m /s), är olika. Detta kvantifieras av den dimensionslösa storhet som namngetts efter L. Prandtl: Pr a c p Typical values for Prandtl numbers are given in Fig For a simple di-atomic gas Pr ~ 0.7 and Pr /3 ~ 0.9. T viscous diffusion rate thermal diffusion rate 3 c p ( / ) 3 a 3 Pr 3 (5-9a) (5-9b) Typiska värden för Prandtls tal ges i Fig För en enkel diatomisk gas är Pr ~ 0.7 och Pr /3 ~ 0.9. Fig. 5.3 Prandtl numbers for typical liquids and gases. Prandtl-tal för typiska vätskor or gaser (KJ05) 5-0

11 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Note that the parameters in Pr all vary with temperature (and pressure); it is common practice use average values for ρ, η, λ, c p for boundary layer ( film ) temperature T film = ½ (T s + T ) for Fig In many cases the heat conductivity of the (flowing) fluid medium is (much) lower than that of the surface material. The very thin fluid layer is then the largest heat transfer resistance and heat transfer limitations on the side of the object or other medium can be neglected (see also section 5.3). For the thermal boundary layer, two heat balances hold, which gives some insight into the heat transfer coefficient Q Q " h ( T A surface T fluid with/med y h T showing that thin boundary layers promote heat transfer. ) h T T Observera att alla parametrar i Pr beror på temperatur (och tryck). Det är praxis att använda medelvärden för ρ, η, λ, c p vid gränsskikt ( film ) temperaturen T film = ½ (T s + T ) för Fig I många fall är det strömmande mediets värmekonduktivitet (mycket) lägre än ytmaterialets. Det mycket tunna fluidskiktet bidrar då med det största värmeöverföringsmotståndet och värmeöverföringsbegränsningar från föremålets eller det andra mediums sida är negligerbara (se också avsnitt 5.3). För det termiska gränsskiktet gäller två värmebalanser, vilka ger en insikt i värmeöverföringskoefficientens natur fluid dt dy T fluid T surface h fluid fluid T T y surface (5-0) som visar att ett tunt gränsskikt gynnar värmeöverföringen. 5.. Nusselt number In the previous section it was shown that the convective heat transfer coefficient can be related to the thickness δ T of the thermal boundary layer. Unfortunately, it is complicated and often impossible to determine (local) values for δ T, and therefore another procedure is followed, based on a dimensionless group named after W. Nusselt. The Nusselt number Nu, follows from comparing the convective heat transfer to the heat transfer through a thermal boundary layer 5.. Nusselts tal I föregående avsnitt visades det att den konvektiva värmeöverföringskoefficienten kan relateras till det termiska gränsskiktets tjocklek δ T. Tyvärr är det svårt, ofta omöjligt, att bestämma (lokala) värden för δ T och därför följs ofta en annan metod, baserad på en dimensionslös grupp uppkallad efter W. Nusselt. Nusselts tal, Nu, fås genom att jämföra den konvektiva värmeöverföringen med värmeöverföringen genom ett termiskt gränsskikt. Q conv h A T fluid T A T Q Q conv cond Q cond h T fluid fluid Nu dt A dy fluid T A T (5-, 5-, 5-3) This shows that for an idealised laminar boundary (as in Fig. 5.9), Nu =. In more general geometries (which may be quite complicated, with fluid flow velocities depending on position, around or in complex structures or channels) the boundary layer thickness varies strongly with position. For those cases a Nusselt number is produced likewise, base on a Enligt detta, för ett idealt laminärt gränsskikt (som i Fig. 5.9), är Nu =. I mera allmänna geometrier (som kan bli ganska komplicerade, med flödeshastigheter beroende på läge, omkring eller i komplicerade strukturer eller kanaler), gränsskiktstjockleket varierar kraftigt med läget. I sådana fall bildas Nusselts tal på liknande sätt, baserat på 5-

12 5. Värmeöverföring v. 0/3 length scale, say, L (m) of the geometry, the value for the heat transfer coefficient is determined using h L Nu fluid This relates Nu to the fluid flow via Re and to the properties of the boundary layer via Pr. In some cases other parameters enter the expressions for Nu, via other dimensionless groups see below. The relation between Nu, Re and Pr can also be produced using a procedure known as dimensional analysis for more detail see ÅA course Mass transfer and separation technology 4430, Z3, or textbook Z06. In short, this procedure aims at producing a general expression for the heat transfer coefficient, using a list of relevant process parameters with flow velocity v, length scale L, and conductivity, viscosity, density and heat capacity of the fluid medium. According to the so-called PI theorem by Buckingham (B4), this problem of 7 variables, with 4 base units (m, s, kg, K) see section. results in 3 dimensionless groups, i.e. Nu, Re and Pr. A set of experiments can then generate the coefficients a,b,c of an empirical expression of the type Nu = a Re b Pr c. (Since the expression is dimensionless the necessary experiments can be done at another scale (size) than what would be a final design objective, saving time, money and resources. A pre-requirement for this is that the values for the dimensionless groups are similar for the experimenting and the final design. As said more detail is given elsewhere and cannot be included in the material for this course.) heat convection (värmekonvektion) heat conduction (värmeledning) h f(v,l,,,,c en längdskala, t.ex. L (m), för geometrin, och värmeöverföringskoefficientens värde bestäms med hjälp av f( Re, Pr ) Detta relaterar nu till fluidflödet genom Re och till gränsskiktets egenskaper genom Pr. I vissa fall fås uttryck för Nu som är beroende också av andra parametrar, genom andra dimensionslösa grupper se nedan. Förhållandet mellan Nu, Re och Pr kan också fås genom en metod som kallas dimensionsanalys för en djupare insikt, se ÅA kursen Massöverföring och separationsteknik 4430, Z3, eller i textboken Z06. I korthet strävar denna metod efter att producera ett allmänt uttryck för värmeöverföringskoefficienten utgående från en mängd relevanta processparametrar (5-5) p ) (5-4) med flödeshastigheten, v, längdskala, L, samt det fluida mediets konduktivitet, viskositet, densitet och värmekapacitet. Enligt Buckinghams pi-teorem (B4), resulterar detta problem, med 7 variabler och 4 basenheter (m, s, kg, K), se avsnitt. i 3 dimensionslösa grupper, Nu, Re och Pr. En uppsättning experiment kan generera koefficienterna a, b, c för ett empiriskt uttryck av typen Nu = a Re b Pr c. (Eftersom uttrycket är dimensionslöst, kan de nödvändiga experimenten utföras på en annan skala än den slutliga designen och på så sätt spara tid, pengar och resurser. Ett krav för detta är att värdena på de dimensionslösa grupperna är av samma storleksordning för både experiment och slutlig design. Som sagt, en detaljrikare förklaring ges annanstans och kan inte inkluderas i materialet för denna kurs.) 5..3 Expressions for heat transfer coefficient and Nusselt number Several geometries are of great importance in technical applications and for these convective heat transfer and Nu numbers are well defined. One example is an flow over an 5.. Uttryck för värmeöverföringskoefficienten och Nusselts tal Flertalet geometrier är av stor betydelse i tekniska sammanhang och för dessa är konvektiv värmeöverföring och Nusselts tal väldefinerade. 5-

13 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven isothermal flat plate, as in Fig Three cases can be considered, depending on whether the boundary layer shows a transition from laminar to turbulent. This occurs at the position x where Re x = v x ρ/η a. The boundary layer is laminar over the entire plate. b. The boundary layer is for a large part turbulent. c. The turbulent boundary layer extends over almost the entire plate. Ett exempel är flöde över en isotermisk plan yta som i Fig Tre fall kan beaktas, beroende på om gränsskiktet visar en övergång från laminärt till turbulent flöde. Detta sker vid det läge x där Re x = v x ρ/η a. Gränsskiktet är laminärt över hela ytan. b. Gränsskiktet är till stor del turbulent. c. Det turbulenta gränsskiktet sträcker sig över nästan hela ytan. Fig. 5.4 to/from an isothermal flat plate Värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05) Indicated in the Figs. is also the average value Re L for length x = [0,L], defined as ReL L Nusselt numbers for this geometry are given in Table 5., for an isothermal plate. L 0 Re x I figurerna indikeras också medelvärdet Re L för längden x = [0,L], definierat som dx Nusselts tal för en isotermisk plan yta ges i tabell 5.. Tab. 5. Nusselt numbers for heat transfer to/from an isothermal flat plate Nusselt-tal för värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05) (5-6) hx x Nux 0.33 Re hx x Nux Rex averaged over local Nusselt numbers / x 4 / 5 Pr Pr / 3 / 3 length L Nusselt numbers h L / / 3 NuL ReL Pr h L 4 / 5 NuL (0.037 ReL 87) Pr h L 4 / 5 / 3 NuL ReL Pr / 3 for / för Re / medelvärde Nusselt-tal för längden L : for / för / lokala Nusselt-tal : for / för Re x for / för Re 5 for / för Re L x L 5 0 Re 0 L Pr Pr 60 8 Pr Pr Pr 60 (5-7) (5-8) (5-9) (5-30) (5-3)

14 5. Värmeöverföring v. 0/3 The expressions in Table 5. can also be used for the somewhat different situation of a constant heat flux Q ". For the local Nu x the constants 0.33 and become and , respectively; for the averaged values Nu L there is no significant difference with the isothermal case. Flow situations can be divided into two important geometries or situation types: Flow along an (outside) surface or around an obstacle, external flow Flow inside a channel (most importantly tube flow), internal flow A generalised expression for flow around obstacles (with characteristic size or diameter D) is Uttrycken i Tabell 5. kan också användas för den aningen annorlunda situationen, då värmeflödet Q " är konstant. Konstanterna för de lokala värdena på Nu x 0,33 och 0,096 blir då 0,453 och 0,0308. För de genomsnittliga värdena Nu L är situationen i praktiken oförändrad från det isotermiska fallet. Omständigheterna för ett flöde kan delas in i två viktiga geometrier eller situationer: Flöde längs (utsidan) av en yta eller runt ett föremål, externt flöde Flöde inuti en kanal (framförallt rörströmning), internt flöde Ett allmänt uttryck för flöde runt ett föremål (med karakteristisk storlek eller diameter D) kan ges som h D Nu C Re λ m D Pr n 6 ; Re 0, 0.7 Pr 500 (5-3) with values for C and m (as function of Re D ) and n ~ ⅓ (as function of Pr) taken from tables. A correction factor for T surface << T flow or T surface >> T flow can be added, since ρ=ρ(t), η=η(t), c p =c p (T), λ=λ(t). For convection over a spherical surface (diameter D): hd NuD (0.4Re for/för 3.5 Re where the last factor is a (viscosity) correction for T surface << T flow or T surface >> T flow with η s = η(t surface ) at the surface. For convection over a cylindrical surface (diameter D), in crossflow: hd NuD C Re where again the last term is a correction for T surface << T flow or T surface >> T flow. The values for the parameters C, m and n are given in Table 5.3. D / D m D med värden för C och m (som funktion av Re D ) och n ~ ⅓ (som funktion av Pr) tagna ur tabeller. En korrektionsfaktor för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde kan tilläggas, eftersom ρ=ρ(t), η=η(t), c p =c p (T), λ=λ(t). För konvektion över en sfärisk yta (med diametern D): 0.06Re Pr n / 3 D and/och )Pr 0.4 ( ) s / Pr 380 där den sista faktorn är en (viskositets-) korrigering för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde, med η s = η(t yta ) vid ytan. För konvektion vinkelrätt över en cylindrisk yta (med diametern D): ( Pr Pr surface / 4 ) där den sista faktorn igen är en korrigering för T yta << T flöde eller T yta >> T flöde. Värdena för parametrarna C, m och n finns givna i Tabell 5.3. Tab. 5.3 Parameters for Nu for crossflow over a cylinder Parametrar för Nu för strömning vinkelrätt mot en cylinder (T06) (5-33) (5-34) 5-4

15 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven Also very important are flows in tubes. For laminar flow in a tube (Re D < ) with diameter D, for constant wall temperature: Nu D = h D/λ = 3.66; for constant heat flux: Nu D = h D/λ = For turbulent flows in pipes (with diameter D and length L) the following expression is used: for/för Re and for /och för T Nu T For turbulent pipe flows (with diameter D) where the temperature differences between wall and flow are large (T wall >> T flow, or T wall << T flow ) a better result is obtained with the following expression: for/för Re Nu D and for /och för T D D wall D 0, 03Re 0000, 0.7 Pr 60, T flow : n 0,3 ; Flöden i rör är också av särskild betydelse. För laminärt flöde i ett rör (Re D < ) med diameter D, för konstant väggtemperatur: Nu D = h D/λ = 3,66. För konstant värmeflöde: Nu D = h D/λ = 4,36. För turbulent flöde i rör (med diametern D och längden L) används följande uttryck: 0, 8 D : n 0,3 ; Pr n T wall 0000, 0.7 Pr 6700, wall 0, 8 n 0, 07 Re D Pr ( 0. 4 ) flow T L/D 0 flow : n 0,4 För turbulent flöde i ett rör (med diameter D) med stora temperaturskillnader mellan väggen och strömningen (T vägg >> T flöde eller T vägg << T flöde ) fås ett bättre resultat med följande uttryck: wall T wall T flow L/D 0 : n 0,4 (5-35) (5-36) where the last factor, correcting for the effect of a large difference in viscosity, is known as the Sieder-Tate correction. Obviously, not all tube or channel flows involve round tubes: for other geometries a so-called hydraulic diameter is used for diameter D see section 6.4. där den sista faktorn, som korrigerar för stora skillnader i viskositeten, kallas Sieder-Tates korrigering. Självklart sker all rörströmning inte i runda rör. För andra geometrier används en så kallad hydraulisk diameter istället för diametern D se avsnitt 6.4. Fig. 5.5 Velocity (a) and thermal (b) boundary layer in the entrance region of a channel. Hastighets- (a) och termiskt (b) gränsskikt i inträdesområdet för rörströmning (KJ05) An aspect that must be noted for relatively short tubes is the entrance effect as illustrated in Fig Clearly, some distance from the entrance is needed for the boundary layers to build up so-called developed flow. In the entrance region the heat transfer rate is higher as a result of thinner boundary layers present there. For laminar flow this can be accountted for by the dimensionless Graetz number, defined as Re Pr D Gz x v D a x 5-5 En aspekt som måste noteras för relativt korta rör, är inträdeseffekten illustrerad i Fig Det krävs ett visst avstånd från öppningen innan gränsskikten bildat ett så kallat utvecklat flöde. I inträdesområdet är värmeöverföringen högre p.g.a. tunnare gränsskikt där. För laminärt flöde kan detta representeras av det dimensionslösa Graetz-talet, definierat som (5-37)

16 5. Värmeöverföring v. 0/3 for a length section x from the entrance of a tube with diameter D. 7 For the entrance region Gz > 0, for developed flow Gz < 5. For circular tube flow with constant wall temperature the following expression can be used for laminar flow: For turbulent tube flow this can be corrected for by a factor D Nu Nu ( ) L for tube length L, diameter D. Many other system geometries are possible, like tube bundles, clouds or swarms of droplets, bubbles or solid particles, packed or fluidised beds, etc. etc. a very useful source for Nu numbers and heat transfer coefficients is the Wärmeatlas of the German VDI. A special case, important for technical applications occurs for a tube flow where the temperature of the wall is constant over the whole length see Fig Gz Nu Nu, Re 300 / Gz 0.7 för en längdsektion x från öppningen till röret, med diametern D. 8 För ett inträdesområde är Gz > 0, för utvecklat flöde är Gz < 5. För ett laminärt flöde i ett cirkulärt rör, med konstant väggtemperatur, kan följande uttryck användas: För ett turbulent flöde kan detta korrigeras med en faktor, Re 4000 (5-38a) (5-38b) med rörlängden L och diametern D. Många andra geometrier är möjliga, som t.ex. rörknippen, moln av droppar, bubblor eller fasta partiklar, packade eller fluidiserade bäddar etc. en mycket användbar källa för värden Nu och värmeöverföringskoefficienter det tyska VDIs Wärmeatlas. Ett viktigt specialfall för tekniska applikationer gäller för strömning i rör, där väggtemperaturen är konstant över hela längden se Fig Fig. 5.6 Convective heat transfer in tube flow with constant wall temperature. Konvektiv värmeöverföring för rörströmning med konstant väggtemperatur (KJ05) For this case the expression for a heat exchanger see Chapter 4. can be used Q m c ( T T ) U flow with temperature differences T i at inlet position i and T e at exit position e, heat exchange surface A (m ) and overall heat transfer coefficient U (W/(m K). The logarithmic-mean temperature T lm is defined as (see also Eq. (4-6)): p e i T lm A Ti ln I det fallet kan uttrycket för en värmeväxlare användas se kapitel 4. Ti Te T i ln T e U A T lm (5-39) med temperaturskillnaden T i vid inloppet i och T e vid utloppet e, värmeöverföringsytan A (m ) och värmegenomgångstalet U (W/(m K). Den logaritmiska medeltemperaturen T lm defineras som (se även ekv. (4-6)): Te T i (5-40) T e 7 In some literature defined as /Gz = Re Pr D/x for example BMH99, SSJ84 8 Definieras i viss litteratur som /Gz = Re Pr D/x t.ex. BMH99, SSJ84 5-6

17 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven A diagram that gives the logarithmic mean temperature T lm as function of two temperature differences T L and T 0 is added to this chapter as an Appendix Overall heat transfer coefficient Ett diagram, ur vilket den logaritmiska medeltemperaturen T lm fås som funktion av två temperaturskillnader T L och T 0, finns som bilaga till detta kapitel Värmegenomgångstal The overall heat transfer coefficient U follows from the resistances, in series, of convective heat transfer at the inside, h in, and outside, h out, and the conductive resistances for material layers with thickness d i and conductivities λ i : U h This is illustrated by Fig. 5.7 for a heat flux Q " (W/m ) from fluid (flow) through a wall (and dirt layer) to fluid (flow) equal to Q " = U (<T > <T >) with (average) temperatures <T > and <T >. in d i i i Värmegenomgångstalet U (äv. total värmeöverföringskoefficient) fås av insidans och utsidans konvektiva värmemotstånd h in respektive h out, samt de konduktiva motstånden för de olika materialskikten, med tjocklek d i och konduktivitet λ i, i serie efter varandra: h out (5-4) Detta illustreras av Fig. 5.7 för ett värmeflöde Q " (W/m ) från en fluid (- ström), till en vägg (med ett smutslager), till en fluid (-ström). Värmeflödet Q " = U (<T > <T >) med (medel-) temperaturerna <T > och <T >. A A A 3 Fig. 5.7 Overall heat transfer resistance composed of convective and conductive resistances Totala värmeöverföringsresistansen uppbyggd av konvektiva och konduktiva resistanser (BMH99) The overall resistance /U equals the sum of resistances: dw dd U h h Note that if the interface surfaces are curved, A A A 3, this must be taken into account: A dw A U h A A with/med A w A A, w d avg, w A A avg,w dd d d 5-7 Det totala motståndet /U är lika med summan av alla resistanser: A Rheat totala (5-4) G A A heat total Notera att om gränssnittsytornas areor är böjda, dvs A A A 3, måste skillnaden i area tas i beaktande: avg, d d d h d d d d d w, A A R A A avg,d heat total A d d d (5-43) (5-44)

18 5. Värmeöverföring v. 0/3 More on combining convective and conductive heat transfer will follow in section Natural (or free) convection Relatively small velocities but noticeable motion occurs in an a medium as a result of density (or concentration) differences, where material with lower density will move upwards with respect to more dense material. This can give rise to natural, or free, convective heat transfer that may be neglected for most technical applications. Nonetheless this heat transfer mechanism can become an important (side-) effect that must be controlled or can be beneficial and for that reason it must be well understood. Similar to forced convection a heat transfer coefficient can be calculated, again making use of a Nusselt number but the expressions are somewhat different. If at the same time also forced convection occurs then the value for the Re number for the forced allows for assessing whether natural convection, forced convection or both must be considered. The phenomenon of natural convection is illustrated in Fig. 5.8, showing again a heat transfer boundary layer with thickness δ h (= δ T ). Mera om att kombinera konvektiv och konduktiv värmeöverföring följer i avsnitt Naturlig konvektion, eller egenkonvektion Relativt små hastigheter men observerbar rörelse förekommer i ett medium som en konsekvens av densitetsskillnader (eller koncentrationsskillnader), där ämnet med lägre densitet förflyttas uppåt i förhållande till det tätare ämnet. Detta kan ge upphov till naturlig (ibland kallad egen- eller fri) konvektion, som kan bortses från i de flesta tekniska sammanhang. Trots det kan denna värmeöverföringsmekanism komma att vara en betydelsefull (sido-) effekt som måste kontrolleras, eller kan dras nytta av, och måste därför vara bekant. Precis som vid påtvingad konvektion kan en värmeöverföringskoefficient beräknas, även här med hjälp av Nusselts tal, men med ett litet avvikande uttryck för Nu. Då påtvingad konvektion förekommer samtidigt, kan värdet på Re för det påtvingade flödet användas för att avgöra huruvida naturlig konvektion, påtvingad konvektion eller båda måste beaktas. Fenomenet naturlig konvektion illustreras i Fig. 5.8, där ett gränsskikt för värmeöverföringen, med tjockleken δ h, (= δ T ) igen förekommer. Fig. 5.8 Natural convection as a result of temperature differences in a medium Naturlig konvektion som ett resultat av temperaturskillnader i ett medium (BMH99) A hot (or cold) surface can cause a temperature gradient in a surrounding medium, and the resulting density differences ρ induce convection. Also, the convection can be induced by En het (eller kall) yta kan orsaka en temperaturgradient i ett omgivande medium, där de resulterande densitetsskillnaderna ρ ger upphov till konvektion. Konvektion kan också orsakas av 5-8

19 Åbo Akademi University 440 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven concentration differences that are the result of a chemical reaction taking place, for example at or near a catalyst surface (see also ÅA course Mass transfer and separation technology 4430). For natural convection (usually laminar) along a surface as a result of a temperature difference T = T wall (at the surface) T (in the undisturbed medium), the Nu number for heat transfer i a function of Gravity, g, and Coefficient of expansion of volume V of the medium β = (/V) ( V/ T) p=const taken for T=T. Note that for an ideal gas at temperature T, β = /T; T in K. The effect of T and β on density is taken as the combination β T = ρ/ρ wall, showing the density difference that occurs. Similar to forced convection, a dimensional analysis produces the relation between the relevant parameters as a set of dimensionless groups: h f( T, g,l,,,,c koncentrationsskillnader som uppstått till följd av en kemisk reaktion, t.ex. invid ytan på en katalysatorpartikel (se också ÅAkursen Massöverföring och separationsteknik 4430). Nu talet för värmeöverföring vid naturlig konvektion, (vanligtvis laminär) längs en yta, orsakats av en temperaturskillnad T = T vägg (vid ytan) T (i det ostörda mediet), är en funktion av Gravitation, g, och Mediets volymetriska expansionskoefficient β = (/V) ( V/ T) p=konst vid T=T. Notera att för en idealgas vid temperaturen T, β = /T där T ges i K. Effekten av T och β på densiteten kan antas vara β T = ρ/ρ wall och påvisar således den densitetsskillnad som förekommer. På samma sätt som vid påtvingad konvektion, ger en dimensionsanalys förhållandet mellan de relevanta parametrarna som en mängd dimensionslösa grupper: Nu f(gr,pr) (5-45) 3 with /med Gr L ( T ) g where g is the gravity acceleration and Gr där g är gravitationsaccelerationen och Gr is a dimensionless number named after F. ett dimensionslöst tal uppkallat efter F. Grashof. For a number of geometries the Grashof. Nu för ett antal geometrier ges i values for Nu are given in Table 5.4. tabell 5.4. Table. 5.4 Expressions for Nu number for natural convection Uttryck för Nu talet för naturlig konvektion p ) Vertical plates or cylinders Nu = 0.59 (Gr Pr) /4 0 3 <Gr Pr<0 8 Nu = 0.3 (Gr Pr) /3 Gr Pr>0 8 Horizontal cylinders Nu = 0.53 (Gr Pr) /4 0 3 <Gr Pr<0 8 Nu = 0.3 (Gr Pr) /3 Gr Pr>0 8 Horizontal plate Nu = 0.54 (Gr Pr) /4 0 5 <Gr Pr< 0 7 (above heated or below cooled) Nu = 0.7 (Gr Pr) /3 Gr Pr> 0 7 Horizontal plate Nu = 0.7 (Gr Pr) /4 Gr Pr>3 0 5 (below heated or above cooled) (5-46) (5-47) (5-48) (5-49) (5-50) (5-5) (5-5) In Table 5.4 the combination Gr Pr is seen in all expressions: it is also known as the dimensionless group Ra named after lord Rayleigh. Also, values of Ra = Gr Pr ~ separate laminar from turbulent natural convection, therefore two expressions for most cases. I tabell 5.4 finns kombinationen Gr Pr i samtliga uttryck: den är också känd som den dimensionslösa gruppen Ra, efter lord Rayleigh. Värden på Ra = Gr Pr ~ åtskiljer också laminär från turbulent naturlig konvektion. Därför behövs två uttryck i de flesta fall. 5-9

20 5. Värmeöverföring v. 0/3 Finally, natural convection is more important than forced convection if Re << Gr (and vice versa). If Re² ~ Gr then both natural and free convection most be considered. When Nu forced convection and Nu natural convection are known, they can be combined (as parallel resistances ~ /Nu): Nu total Nu forced conv. (tvungen k onv.) and the overall value for the heat transfer coefficient is determined from Nu total. For a range of applications, values for local (h) and total (U) heat transfer coefficients are tabelised in Table 5.5 Slutligen, naturlig konvektion är av större betydelse än påtvingad konvektion om Re << Gr (och vice versa). Om Re ~ Gr måste både naturlig och påtvingad konvektion tas i beaktande. När både Nu påtvingad konvektion och Nu naturlig konvektion är kända kan de kombineras (som parallella motstånd ~ /Nu): (5-53) Nu natural conv. (naturlig konv.) och det totala värdet på värmeöverföringskoefficienten bestäms av Nu total. Tabell 5.5 ger värden på lokala (h) och totala (U) värmeöverföringskoefficienter för en rad tillämpningar. Table. 5.5 Typical values for local and total heat transfer coefficients Typiska värden för lokala och totala värmeöverföringskoefficienter (BMH99) Fig. 5.9 Heat conduction in a layered copper / rubber material Värmeledning i ett skiktmaterial kopper/gummi (KJ05) 5.3 Combined conduction and convection heat transfer; the lumped system approximation In circumstances where one thermal resistance is much larger than another (or more others), important simplifications can be made. For example, in a two-layer structure of rubber (λ = 0.3 W/m K) and copper (λ = 400 W/m K), both with thickness cm, the thermal resistances (per m ) are 0.54 K/W and K/W, respectively see Fig As a result here is a negligible temperature gradient across one of the materials and that heat transfer resistance may be neglected. 5.3 Kombinerad konduktiv och konvektiv värmeöverföring; sk. lumped system approximering I fall där ett värmemotstånd är mycket större än ett annat (eller andra) kan viktiga förenklingar göras. T.ex. för en struktur i två skikt bestående av gummi (λ = 0,3 W/m K) och koppar (λ = 400 W/m K), båda av tjockleken cm, är värmemotstånden (per m ) 0,54 K/W, respektive 0,00005 K/W se Fig Följaktligen är temperaturgradienten negligerbar över det ena materialet och kan således bortses från. 5-0