Transportfenomen i människokroppen

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Transportfenomen i människokroppen"

Ellen Bengtsson
för 5 år sedan
Visningar:

Teknik/ 211-11-16 217-2-13 Porösa medier, kapitel 8 Nanomaterial Grus granulat) Svampliknande

1 Transportfenomen i människokroppen Kapitel 8-9. Porösa medier och Transvaskulär transport Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ Porösa medier, kapitel 8 Nanomaterial Grus granulat) Svampliknande Fibermatris i polymergel Glatt muskelvävnad Schematisk bild av biologisk vävnad Obs! Vitt representerar hålrum eller fluid medan svart är fast material! 1

Definitioner Specifik area: s = total gränsarea total volym

delat med den röda) Darcys lag v = K p Man vill betrakta det porösa

Det är möjligt om man kan finna en representativ elementarvolym

2 Definitioner Specifik area: s = total gränsarea total volym Porositet: ε = fluid volym total volym Tortusitet tortuosity, slingrighet): T = L 2! $ min # & " L % den blå sträckan, som är den kortaste förbindelsen, delat med den röda) Darcys lag v = K p Man vill betrakta det porösa mediet som ett kontinuum. Det är möjligt om man kan finna en representativ elementarvolym REV): δ << l << L Då kan fluidhastigheten betraktas som ett medelvärde över en REV med storleken l 3 Henry Darcy

3 Darcys lag Kontinuitetsekvationen: v = φ B φ L Termer pga massutbyte med blod och lymfkärl källterm resp. sänka) För ett homogent och isotropt material gäller Darcys lag: v = K p K hydraulisk konduktivitet K p) = φ B φ L Om φ L = φ B = så 2 p = Darcys lag, hydraulisk konduktivitet, K Kan beräknas för enkla geometrier. Exempel cirkulära cylindriska porer. Utgå ifrån q = πd 4 dp 128 dx Poiseulles lag Kap.2. s ) K = n Aπd och k = n Aπd 4 k specifik hydraulisk permeabilitet k = K 3

Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För icke-cirkulära cylindriska porer: K = cε 3 s 2 där ε är porositeten, s är specifika ytan och c, Kozenys konstant, ges ur tabellen eller ε 2 K = Gs 2 1 ε) 2

4 Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För icke-cirkulära cylindriska porer: K = cε 3 s 2 där ε är porositeten, s är specifika ytan och c, Kozenys konstant, ges ur tabellen eller ε 2 K = Gs 2 1 ε) 2 Kozeny-Carmans ekvation, s Carmans specifika area G Kozeny konstant, G = 1 Tc, där T är tortusiteten Darcys lag, hydraulisk konduktivitet För en fibermatris med fiberradien r f : r K = f2 ε 3 4G1 ε) 2 ε Notera att G här är en funktion av Obs! Darcys lag kan ej utnyttjas då: Fluiden är icke-newtonsk Höga hastigheter även om fluiden kan betraktas som newtonsk) Gaser vid väldigt låg eller väldigt hög hastighet. 4

5 Brinkmans ekvation I Darcys lag försummas det viskösa motståndet i fluiden. Giltigt då permeabiliteten är låg. Om permeabiliteten är hög användes istället Brinkmans ekvation: 2 v 1 K v p = Kan härledas från ekv Stokes ekvation, kommer ur impulsekvationen) Transport av löst substans Skillnad i hastighet kan uppstå beroende på att den lösta substansen hindras mer av det porösa mediet än vad lösningsmedlet gör! Retardationskoefficienten f = hastighet för löst substans hastighet för lösningsmedlet = v s v f Konvektiv flux N s = v s C = fv f C Reflektionskoefficienten σ =1 f 5

Transport av löst substans i poröst medium C Transportekvationen: t + fv C f C Randvillkor: N 1 = N 2 och 1 = C 2 K AA1 K AA2 ) = D eff 2 C +φ B φ L +Q Notera att koncentrationen kan vara

6 Transport av löst substans i poröst medium C Transportekvationen: t + fv C f C Randvillkor: N 1 = N 2 och 1 = C 2 K AA1 K AA2 ) = D eff 2 C +φ B φ L +Q Notera att koncentrationen kan vara diskontinuerlig på gränsytan mellan en lösning och ett poröst medium och mellan två porösa medier. Därför modifieras randvillkoren. K AA är andelen av gränsytans area som är tillgänglig för transport. Transvaskulär transport, kapitel 9 Transport från kapillärer till omgivning Strukturen hos ett litet blodkärl, kapillär Tre typer av cellförbindningar 6

Transvaskulär transport, tre typer av kapillärer Kontinuerliga Finns bl.a. i muskler och huden. Fenestrerade Finns bl.a. i lever och njurar Diskontinuerliga Diskontinue Nybildade kärl, t.

7 Transvaskulär transport, tre typer av kapillärer Kontinuerliga Finns bl.a. i muskler och huden. Fenestrerade Finns bl.a. i lever och njurar Diskontinuerliga Diskontinue Nybildade kärl, t.ex. Nybildade vid vid sårläkning Transport genom kärlvägg Fenestrerade kapillärer Kontinuerliga kapillärer Diskontinuerliga kapillärer 7

8 Transport genom kärlvägg, osmotiskt tryck Osmotiskt tryck π = p A p B = ρ f g Δh Osmotiskt tryck beror på koncentrationen och temperaturen, i.e. π = CRT Starlings filtreringslag J v = L p S Δp σ s Δπ ) J v fluidflödet genom kärlväggen, S - ytan L p kärlväggens hydrauliska konduktivitet, σ s - osmotisk reflektionskoefficient Transport genom kärlvägg, flöde av lösta molekyler Kedem-Katchalskys ekvation J s = J v 1 σ f )C S + PS ΔC J s - flöde av de lösta molekylerna J v - fluidens flöde C S - medelkoncentrationen i membranet σ f - filtreringskoefficient P - permeabilitet S - membranets yta ΔC- koncentrationsskillnad över membranet 8

9 Transport genom kärlvägg, fenomenologiska konstanter Hydraulisk konduktivitet: L P = J v / S Δp Δπ= fluid flöde = hydrostatisk tryckskillnad Δπ= Jmf. K Porösa medier) Permeabilitet: P = J / S s ΔC J v = flöde av löst substans = koncentrationsskillnad Jv= Jmf. D ij Porösa medier) Osmotisk reflektionskoefficient: σ s = Δp Δπ J v = Hydrostatisk tryckskillnad = Osmotisk tryckskillnad J v = Jmf. 1-f Porösa medier) Filtreringsreflektionskoefficient: J σ f =1 s / S J v C ) / S ΔC= flöde av löst substans över kärlväggen =1 flöde av löst substans i lösningen ΔC= Idag: Transport i porösa medier - Darcys lag - Hydraulisk konduktivitet Transvaskulär transport - Osmotiskt tryck - Starlings filtreringslag - Kedem-Katchalskys ekvation Hoppa över: 8.5, 9.5 9

10 Here -B is the pressure gradient in x direction, p2-p1) / L. The boundary conditions of Equation S8.7.4) are vx r = vx = at r = S8.7.4b) vx = r at r = vx = at r = R S8.7.4b) at r = R S8.7.4c) S8.7.4c) To solve Equation S8.7.4), we substitute v with v +/. Therefore, Equation S8.7.4) and the Here -B is the pressure gradient in x direction, p2-p1x) / L. The boundary conditions of Equation To solve S8.7.4), we substitute vx with v +/. Therefore, Equation S8.7.4) and the are Equation boundary S8.7.4) conditions become, boundary conditions v x become, at r = S8.7.4b) = Here -B is the pressure gradient in x direction, p2-p1) / L. The 1v ' conditions 1 r boundary 1v ' 1 of Equation r r v ' = v ' = S8.7.4) are vrx = r atr r = S8.7.4c) r r R k r k vx To solve Equation S8.7.4), we substitute vx with v +/. Therefore, Equation S8.7.4) and the at boundary r = conditions become, S8.7.4b) = v' v' r = at r = at r = = 1r r v' r 1 v' = S8.7.5) r r r k vx = at r = R S8.7.4c) v' v' = at r = R and the atequation r = S8.7.5a) = To solve Equation S8.7.4), we substitute vx with v +/.vtherefore, S8.7.4) ' r= at r = R boundary conditions become, v' = at r = R is S8.7.5b) The solution of Equation S8.7.5) vsolution S8.7.5) is: 1 The ' 1 of EquationLösning r The v ' solution = of Equation S8.7.5) is v' = I r / k ) IS8.7.5) R / k ) r r r k S5.2 Newtonsk vätska i ett rör med poröst medium )I I rr // k )k ) I R / k ) v' = v' =I r / k S8.7.6) S8.7.5) S8.7.5) S8.7.5a) S8.7.5a) S8.7.5b) S8.7.5b) S8.7.6) S8.7.6) v' I r / k is the zeroth order modified Bessel function of r / k. Thus, the solution of vx is at Here rhere = I r / k) is the )zeroth S8.7.5a) = order modified Bessel function of r / k. Thus, the solution of vx is r Here I r / k is the zeroth order modified Bessel function of r / k. Thus, the solution of vx is S8.7.7) vx = 1 I v rx / =k ) I 1 R / Ik)) r / k ) I R / k ) S8.7.7) in Figure v' = at b) r =The R velocity profile isvplotted S8.7.7) 1 I S r / k I R / k S8.7.5b) x = b) The velocity profile is plotted in Figure S ) ) )) ) The solution of Equation S8.7.5) b) isthe velocity profile is plotted in Figure S v' = I r / k ) I R / k ) S8.7.6) ) Here I r / k is the zeroth order modified Bessel function of r / k. Thus, the solution of vx is vx = 1 I r / k ) I R / k )) S8.7.7) b) The velocity profile is plotted in Figure S Figure S8.7.2 c) The flow rate through the cross section of the pipe can be obtained by integrating Equation d xi1 x ) ) = xi x ). The flow rate predicted by Brinkman equation is S8.7.5). Note that dx 114 Figure S8.7.2 c) The flow rate through the cross section of the pipe can be obtained by integrating Equation d xi1 x ) ) = xi Figure x ). The flow rate predicted by Brinkman equation is S8.7.5). Note that S8.7.2 dx S5.2 forts. c) The flow rate through the cross section of the pipe 114 can be obtained by integrating Equation R q = v x 2πrdr d xi1 x ) ) = xi x ). The flow rate predicted by Brinkman equation is S8.7.5). Note that dx R = / k ) I R / k )) 2πrdr Figure 1 I rs8.7.2 ) ) )) R 114 = π r 2 2k r / k I 1 r / k I R / k c) The flow rate through the cross section of the pipe can be obtained by integrating Equation S8.7.8) d xi1 x ) ) = xi = x).πthe S8.7.5). Note that equation is R 2 1flow 2 krate / R predicted I 1 R / k by I Brinkman R/ k dx ) )) 114 For the same problem, the flow rate predicted by Darcy s lawterm is difference between R 2. The dvs Extra pgaπviskositeten, Brinkman. the two predictions is the second term in the parenthesistermen in Equation S8.7.8). The difference minskar när R / k ökar. När decreases as R k increases. When R k equals to 2, the result given by Brinkman equation is R / k = 2 så är resultatet från Brinkmans Darcy only 9.7% less than that by Darcy s law. ekvation bara 9.7% mindre än det resultat som erhålles med Darcys lag a) R r x 1 Figure S8.8.1 The geometry of the tube is shown in Figure S Assume the flow is unidirectional. The

11 Besselfunktioner Obs! Ibland betecknar man Besselfunktioner med J, J 1 och ibland med I, I 1 Man menar inte samma sak! Lösningar till Bessels differentialekvation 2 u r + 1 u 2 r r + # λ υ 2 % $ r 2 & u = ' Ger ordningen. Här är ν 2 = alltså J 1 och λ = alltså k imaginärt! Då ges lösningen istället av Modifierade Besselfunktioner, I, I modified Bessel functions 2 1 K K1 K2 I I1 I2 I x 11

Bra att ha: Differentiering i cartesiska koordinater: r = ˆx @ @x + ŷ @ @y + ẑ @ @z r 2 = @2 @x 2 + @2 @y 2 + @2 @z 2

rc 2 @ 2 + @2 @z 2 Differentiering i sfäriska koordinater: r = ˆr @ @r + ˆ 1 @ r @ + ˆ 1 @ r sin @ r 2 = 1 @ r 2 r 2 @

12 Bra att ha: Differentiering i cartesiska koordinater: r r 2 Differentiering i cylindriska r = ˆr c ˆ c r r 2 = 1 c c + 2 rc 2 Differentiering i sfäriska koordinater: r + ˆ + ˆ r r 2 = r 2 r @r r 2 q 2 r 2 sin 2 = 2 r )+ 2 r r 2 sin 2 12

Relevanta dokument

Transportfenomen i människokroppen

Transportfenomen i människokroppen Kapitel 8-9. Porösa medier och Transvaskulär transport 2016-02-15 Porösa medier Glatt muskelvävnad Nanomaterial Grus (granulat) Svampliknande Fibermatris i polymergel