Är 15 kulor fler än 15 legobitar?

Transkript

1 School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Är 15 kulor fler än 15 legobitar? En studie om vilka strategier barn använder när de räknar och om variation av antal, material och gruppering har betydelse när barn ska bestämma antal. Monia Elgenkrona Lisbeth Larsson Ann-Charlotte Ohlsson Oct 2008 MSI Report Växjö University ISSN SE VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/ /--SE

2 Examensarbete 15 hp Lärarutbildningen Sommarterminen 2008 ABSTRAKT Monia Elgenkrona, Lisbeth Larsson & Ann-Charlotte Ohlsson Är 15 kulor mer än 15 legobitar? En studie om vilka strategier barn använder när de räknar och ska bestämma antal. Are 15 marbles more than 15 pieces of lego? A study in which strategies children use when counting and determining numbers. Antal sidor: 31 Syftet med examensarbetet var att undersöka vilka strategier barn använde sig av när de räknade samt om variation av antal, föremål och gruppering påverkade deras val av strategier. Undersökningen gjordes genom strukturerade observationer då femton barn, födda 2002, på tre olika förskolor räknade föremål där antal, gruppering och material varierades. I vårt teoriavsnitt bearbetades Gelman och Gallistels fem räkneprinciper och Martons variationsteori. Resultatet visade att barn använde sig av samtliga fem räkneprinciper på olika sätt och i olika ordning när de räknade samt att både antal, material och gruppering hade betydelse för barns val av strategier vid antalsbestämning. Barnen hade lättare att räkna legobitar än kulor och behärskade de olika principerna bättre då antalet var färre eller materialet grupperat i rader. Sökord: Antalsuppfattning, räkneprinciper, strategier, variation. Postadress Växjö universitet Växjö Gatuadress Universitetsplats en Telefon

3 FÖRORD Vi vill tacka våra respektive förskolor för att vi dagligen kan medverka i den pedagogiska verksamheten och få ta del av hur barn lär och tänker kring matematik. Framförallt vill vi tacka de inspirerande barn som vi har fått observera och som på så sätt har gjort det möjligt för oss att få svar på våra frågor. Vi vill även tacka Hanna Palmér och Berit Roos Johansson för all hjälp, stöttning och handledning av vårt examensarbete.

4 Innehållsförteckning 1 INLEDNING SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR TEORI Variationsteori Variation och antal Räkning och antalsuppfattning Abstraktionsprincipen Ett till ett principen Principen om godtycklig ordning Principen om bestämda räkneord Antalsprincipen Hur tolkas Gelman och Gallistels fem räkneprinciper? METOD Datainsamlingsmetod Urval Procedur Etik RESULTAT OCH ANALYS Vilka strategier använder sig barn av när de räknar? Ett till ett - principen Principen om bestämda räkneord Antalsprincipen Abstraktionsprincipen Principen om godtycklig ordning Vilken betydelse har variationen när barnen ska bestämma antal? Variation av föremål Variation av antal Variation av gruppering Använder samma barn samma strategi trots variation av antal, material och gruppering? Strategi i förhållande till antal Strategi i förhållande till material Strategi i förhållande till gruppering DISKUSSION Vilka strategier använder sig barn av när de räknar? Vilken betydelse har variationen av föremål när barn ska Använder samma barn samma strategi trots variation av antal, material Metoddiskussion Hur kan vi vidareutveckla våra kunskaper i förskolan? KÄLLFÖRTECKNING Bilaga 1-2

5 1 INLEDNING Enligt läroplanen för förskolan (Lpfö 98) skall förskolan sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang samt sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal (Skolverket, 2006). Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) menar att det är viktigt att barn utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i talbegreppet. När det gäller antal bör barn kunna ramsräkna, kunna kombinera tal och antal men även förstå att antalet är lika oavsett om föremålen ligger glest eller tätt. Barn bör även ha en insikt om att antalet är oberoende av föremålens utseende och storlek för att slutligen ha en förståelse för kopplingen mellan tal i räkneramsan och antal i olika sammanhang. Med andra ord blir räkning ett redskap för att lösa problem. Doverborg och Pramling (1995) anser att om matematik skall bli meningsfullt måste barn ha möjlighet att erfara och uppleva matematik i många olika sammanhang eftersom det är variationen av erfarenheter som ger förutsättningarna för djupare förståelse. Marton och Booth (2000) menar att för att lärande skall ske bör det finnas en rik variationsgrund vilket innebär att den lärande får möjlighet att samtidigt erfara flera infallsvinklar av samma fenomen. När vi läste kursen Förskolebarns lärande i matematik i vår utbildning väckte det ett intresse för matematik i förskolan. Genom kursens uppgifter blev vi medvetna om de olika strategier barn använder sig av vid räkning och vi vill därför fördjupa oss i detta och få ytterligare kunskap om hur femåringar utvecklar sin antalsuppfattning och vilka olika strategier de använder sig av för att räkna och bestämma antal. I vårt arbete vill vi undersöka Gelman och Gallistels (1978) fem grundläggande räkneprinciper men även granska vilken betydelse variation av föremål har när barn ska bestämma antal och om barn använder samma strategier oavsett variation av föremål, antal och gruppering. Genom variation av både antal, material och gruppering synliggör vi olika aspekter av samma fenomen och försöker även påvisa variationens betydelse för barnens val av strategier. I examensarbetet använder vi begreppet pedagog när vi menar lärare och barnskötare i förskolan. 4

6 2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR Syftet: Syftet med examensarbetet är att undersöka vilka strategier barn använder när de räknar, bestämmer antal och om barn använder samma strategier när antal, föremål och gruppering varieras. Frågeställningar: Vilka strategier använder sig barn av när de räknar? Vilken betydelse har variationen av föremålen när barn ska bestämma antal? Använder barn samma strategi trots variation av antal, material och gruppering? 3 TEORI I det här avsnittet presenteras olika teorier samt litteratur som är relevant för studien. Teoriavsnittet inleds med variationsteorin och behandlar därefter de fem räkneprinciperna. Avslutningsvis redogör vi för hur andra forskare ser på Gelman och Gallistels fem räkneprinciper och hur vi har valt att tolka dem utifrån våra observationer. 3.1 Variationsteori En av teorierna som ligger till grund för detta examensarbete är variationsteorin (Marton & Booth, 2000 och Marton, 2005). Denna teori utgår från att det i allt lärande krävs variation och medvetenhet samt att variationen är beroende av det utmärkande innehåll som barnen ska utveckla en förståelse för. I variationsteorin är begreppen urskiljning, variation och samtidighet betydande vilket innebär en förmåga att urskilja företeelsens aspekter som tidigare inte kunnat urskiljas och samtidigt ha en medvetenhet om de redan kända aspekterna. Med variationen framkommer också det som är invariant hos aspekten vilket innebär att betydelsen och aspekten kan förstås även i andra sammanhang. Utifrån variationsteorin sker barns lärande när de uppfattar variationen och tillfälle ges att möta det okända i exempelvis nya utmaningar och uppgifter. Med variation i lärandet urskiljs hur samma aspekt utformar sig i olika situationer vilket innebär att delar av innehållet samtidigt är konstant. Barnets tidigare erfarenheter påverkar hur situationen uppfattas och hur skillnader och likheter i objekten urskiljs och de aspekter som skiljer objekten åt benämns kritiska aspekter. För att t.ex. förstå vad träd är krävs det att barnet får se olika arter av träd vilket ger en möjlighet att urskilja likheter och skillnader. Om en jämförelse görs mellan t.ex. björk och ek så är likheterna bl.a. att de har stam och trädkrona och det som bl.a. skiljer dem åt är stammarnas färg vilket i detta sammanhang blir en av de kritiska aspekterna. Genom att urskilja olika kritiska aspekter i ett lärandeobjekt skapas en förståelse för en innebörd på annat sätt. Barn kan till exempel få det besvärligare med att lära sig vad begreppet lång är om de inte får 5

7 möta begreppet kort och då uppfatta det som kan urskiljas men också samtidigt uppfatta det som varierar såsom till exempel längre. Detta betyder att det är svårt att kunna urskilja en kritisk aspekt ur ett objekt om inte en jämförelse görs med andra aspekter utan det krävs att aspekten varierar för att det specifika ska kunna urskiljas. När barnet uppfattar och urskiljer en variation hos ett objekt samtidigt som objektets variationer aktivt lyfts fram ökar barnets medvetenhet kring objektet. Genom att arbeta med motsatser och kontraster kan variation skapas med till exempel olika sorters föremål för att skapa möjligheter för barn att förstå att antalet tio kan se olika ut. I en lärandesituation innebär det att efter att den kritiska aspekten urskiljts beslutas vidare vilka aspekter som ska varieras och vilka som ska förbli invarianta. Förutom urskiljning och variation är det även betydelsefullt vilka aspekter som presenteras samtidigt eftersom de olika objekten ska relateras till varandra i en kontext och möjlig kunskap ska kunna uppstå. Att stödja barnen så att de kan urskilja kritiska aspekter ökar deras förståelse kring objektet som ska erfaras och detta kan åstadkommas genom variation. Det som ska varieras är dock inte metoderna utan istället vad i objektet som synliggörs. Är det till exempel träd som är lärandedeobjektet kan dels blad urskiljas och samtidigt varieras och dels stam urskiljas och varieras som en viktig aspekt samtidigt som det invarianta framhålls. Variationen är alltid styrd av vilket objekt som det ska skapas uppfattning för. Viktigt att vara medveten om är att trots att lärandesituationen innehåller urskiljning, variation och samtidighet av aspekter vet vi aldrig vad barn lär sig i denna situation utan endast att de får möjlighet att lära sig (Marton & Booth, 2000 och Marton, 2005) Variation och antal Genom att skapa möjligheter för barn att samtidigt uppmärksamma ett varierande antal föremål, synliggörs begreppet antal. När barn ska erfara att antal kan se ut på olika sätt, krävs det att de kan urskilja, vilket innebär att lärandet sker genom att de ur mångfalden samtidigt kan urskilja det som är invariant och det som är variant (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2000). Doverborg och Pramling Samuelsson (2006) menar att om ett barn alltid skulle möta t.ex. fyra objekt av allting, skulle barnet aldrig få en förståelse för vad antal är. Skulle det alltid räknas samma antal objekt, kan risken uppstå att lärandet begränsas till det bestämda antalet. Det är i förståelsen av de primära aspekterna vad som varierar och vad som är konstant som lärandet skapas. Ahlberg (2000) menar att genom en variation av föremålens storlek, utbredning och gruppering synliggörs antalsbegreppet vilket även möjliggör ett lärande. Marton (2005), Doverborg och Pramling (1995), anser att erbjudandet av mångfald och variation ger barnen en kompetens att upptäcka nyanser och dimensioner i matematiska begrepp Enligt Pramling Samuelsson och Asplund Carlsson (2003) måste barn uppleva variation och urskilja de kritiska dragen som framträder, inte bara hos olika föremål som kan bilda mängder, utan även hur mängder skiljer sig från varandra i fråga om kvantitet för att förstå och skapa olika matematiska begrepp. 3.2 Räkning och antalsuppfattning Enligt Gelman och Gallistel (1978) bygger uppräknandets idé på fem räkneprinciper; abstraktionsprincipen, ett till ett principen, principen om godtycklig ordning, principen om bestämda räkneord och antalsprincipen. För att man ska kunna säga att barnen har förståelse för uppräknandets idé måste de ha förstått samtliga fem principer och vidare anser författarna att dessa principer utvecklas med stigande ålder och att de i det närmaste är genetiskt medfödda. Ahlberg och Hamberger (1995) menar att av de fem skrivna principerna kan barn 6

8 tillägna sig de tre förstnämnda utan att de har någon uppfattning om tal och uppräkning medan princip fyra och fem är direkt kopplade till talraden. De menar också att erfarenheter i vardagen av att räkna och bestämma antal tillsammans med förmågan till subitizing bidrar till att barn i allmänhet behärskar principerna innan de börjar skolan. Doverborg och Pramling Samuelsson (2000) menar att innan barn kan räkna kan de med en blick skilja mellan grupper av två eller tre föremål vilket då kallas subitizing. Heiberg Solhem, Lie Reikerås (2004) och Ahlberg (1995b) påpekar att genom olika talbilder kan barn stimuleras till att se antal utan att behöva räkna och framhåller att barns förmåga att uppfatta mindre antal utan att behöva räkna har stor betydelse för barns förståelse av talens innebörd. Björklund (2007) menar att uppskatta mängder och omedelbart bedöma antal är en framväxande färdighet som blir mer noggrann i takt med att barnet får fler erfarenheter Abstraktionsprincipen Denna princip innebär att alla föremål som ingår i en väl avgränsad mängd kan räknas oavsett slag av föremål (Gelman & Gallistel, 1978). Enligt Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) så krävs det en avancerad insikt hos barnet för att de ska kunna förstå att antal är en abstrakt egenskap som säger något allmänt och då kan behandlas allmänt. Detta innebär att till exempel fyra är en abstrakt egenskap och att t.ex. fyra klossar som de ser framför sig är något helt annat än fyra träd Ett till ett principen Ett till ett principen går ut på att barnen måste kunna jämföra föremål i två mängder genom att para samman föremålen två och två. Ett föremål från ena mängden bildar par med ett föremål från andra mängden. Det behövs ingen kunskap om siffror och räkneord för att göra denna parbildning eftersom den ena av de två mängder som ska jämföras kan användas som referensmängd (Gelman & Gallistel, 1978). Med tiden förstår barnet att räkneramsan används vid uppräkning föremålen kopplas då ett och ett till de olika räkneorden och då ofta med hjälp av nickningar eller pekande (Heiberg Solhem & Lie Reikerås, 2004). Vidare menar de att när barn börjar pekräkna är fingrarna ett bra och nära hjälpmedel då barnet rör vid föremålen för att komma fram till antalet. I nästa fas behöver barnet endast peka på föremålet samtidigt som det räknar högt för sig själv vilket gör att fokuseringen på konkreta föremål, uppräknandet av räkneord och pekande sker samtidigt och bildar en koppling i såväl tid som rum. Vidare anser de också att barn i samma ålder ofta befinner sig på olika stadier i denna utveckling. Ett annat sätt att räkna är förflyttelseräkning då barnet flyttar det som ska räknas för att behålla överblicken över det som ska räknas samtidigt som talorden sägs högt. Sterner och Johansson (2006) påpekar att även om barnet har kunskap om att bara ett räkneord får kopplas till varje föremål som ska räknas kan de ibland misslyckas med denna koordinering. Barnen kan t.ex. säga fler räkneord än antal föremål som ska räknas vilket kan bero på svårigheter att genomföra själva parbildningen mellan räkneord och föremål. Nunes och Bryant (1996) menar att det inte är självklart att barn förstår innebörden i att räkna trots att de följer ett till ett - principen och att räkna föremål i en jämn rad visar sig vara lättare för barn än att räkna föremål som spritts ut ojämnt. Rytmen i räknandet eller rörelserna tycks leda barn i räknandet vilket blir svårare när föremål skall räknas mer utspritt. 7

9 3.2.3 Principen om godtycklig ordning Denna princip innebär att antalet föremål i en mängd inte är beroende av i vilken ordning uppräkningen sker eller hur föremålen är grupperade. Man kan starta var man vill då man ska räkna föremålen i en mängd samtidigt som inget föremål får räknas mer än en gång (Gelman & Gallistel, 1978) Principen om bestämda räkneord När det gäller principen om bestämda räkneord menar Gelman och Gallistel (1978) att det går ut på att räkneorden har en bestämd ordning och ska paras ihop med ett enda föremål när man ska räkna antal i mängd. Varje räkneord följs av ett bestämt annat räkneord och räkneorden måste alltså räknas upp i den ordningen som definieras av talraden. Ahlberg (1995a) anser att den vuxna människan varje dag använder sig av räkneord med varierande innebörd och användningsområden och redan i tidiga åldrar börjar barn använda räkneord. Dessa har till en början ingen matematisk innebörd för små barn utan är mer som en språklig ordlek. Räkneorden används som namn på föremålen som räknas upp och har till en början ingen koppling till mängden det vill säga att de räknar upp räkneorden på samma sätt som de gör i ramsor och rim. Fuson och Hall (1983) menar att när barn använder räkneorden i räkneramsan så är det när de ger varje föremål ett räkneord, ett, två, osv. Barn utvecklar räkneramsan stegvis genom att först använda sig av räkneramsan som varken stabil eller rätt t.ex. säger barnet ett, tre, sju och vid ett annat tillfälle två, åtta, tjugo. Därefter blir räkneramsan stabil men inte rätt barnet använder sig vid upprepade tillfällen en felaktig del av räkneramsan; ett, två, tre, sex, åtta, för att sedan räkna räkneramsan upp till ett givet räkneord både rätt och stabilt (Sterner & Johansson, 2006). Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) menar att när barnen kan säga talens ordningsföljd korrekt är det ett bevis på att de behärskar talserien. Hur stor del av räkneramsan barn klarar varierar mellan olika barn i olika åldrar och att det har stor betydelse vilka erfarenheter barnen har haft av att möta, pröva och använda räkneorden och räkneramsan i olika situationer Antalsprincipen Antalsprincipen (kardinalprincipen) innebär att barnen förstår att det sist uppräknade räkneordet också anger antalet föremål i den uppräknande mängden (Gelman & Gallistel, 1978). Björklund (2007) påpekar att förmågan att enbart läsa upp en ramsa av ord i en speciell ordning inte säger något om barns förståelse av det numerära i talbegreppen. Detta skiljer sig också avsevärt från att använda talbegrepp för att räkna som innebär att man också måste ta hänsyn till den kardinala innebörden. Räkneorden relateras då till speciella föremål som ska räknas och räkneorden omfattar samtidigt alla föremål som blivit uppräknade dessförinnan. När barn har förståelse för antalsprincipen (kardinalprincipen) vet de att det sist uppräknande ordet i räkneramsan motsvarar den totala mängden objekt som ska räknas. När barnen t.ex. ska räkna fyra kulor då vet de att när de kommer till räkneordet fyra så motsvarar det hela mängden kulor. För att kunna säga att barnet behärskar kardinaltalbegreppet menar Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) att det krävs att barnet kan räkna, svara på hur många genom att ange det sista ordet som de kom till i räkningen och att barnet har förenat antalskonstans, vilket menas att barnen måste upptäcka att bilarna som var fem stycken på rad i garaget, fortfarande är fem även om de placeras ut i rummet. 8

10 3.2.6 Hur tolkas Gelman och Gallistels fem räkneprinciper? Gelman och Gallistel har fått kritik från olika forskare för att ha varit otydliga i sin beskrivning av vad de fem räkneprinciperna verkligen står för och hur principerna används av barnen. Nunes och Bryant (1996) menar också att många forskare anser att barn förstår de grundläggande principerna som ligger bakom räknande innan de ens har lärt sig att räkna i rätt ordning. Men enligt Sophian (1998) har det varit svårt att fastställa att små barn förstår den logiska betydelsen av dessa principer och för att Gelman och Gallistels principer ska fungera som grund för räknandet måste alla principerna användas tillsammans. Dock finns det exempel som pekar på att barn försöker upprätthålla vissa principer samtidigt som de bryter mot andra. Därför verkar det troligt att barns användande av endast en del av principen i sitt tänkande återspeglar ett försök att återge räknandets karaktäristik utifrån hur de har sett andra människor göra istället för en föregående kunskap om de logiska kraven för meningsfullt räknande. Doverborg och Pramling Samuelsson (1995) är också kritiska till att dessa räkneprinciper är medfödda och utvecklas med stigande ålder eftersom de i en studie såg att barn mellan tre och fyra år erövrade de olika principerna på olika sätt och i olika ordning. De menar att det är samspelet med vuxna som hjälper barnen vidare i deras strävan att förstå aspekter av omvärlden som matematiska d.v.s. att det är viktigt att vuxna synliggör den matematik som omger barnen i deras vardag och reflekterar kring den. Som utgångspunkt för våra observationer har vi valt att tolka de fem räkneprinciperna som strategier för räkning. 4 METOD I metodavsnittet redogörs det för vilka undersökningsmetoder som har valts, urvalet, hur observationerna har genomförts och vilka etiska dilemman som det tagits hänsyn till. 4.1 Datainsamlingsmetod Eftersom syftet var att undersöka vilka strategier barn använder när de räknar och bestämmer antal ansåg vi att observation var ett bra val av metod. Observationer är användbart då man ska samla information inom områden som berör beteende och skeende i naturliga situationer i samma stund som de inträffar (Patel & Davidsson, 2003). I undersökningen gjordes strukturerade observationer för att se vilka strategier barn använde för att räkna och bestämma antal. Observationerna var noga planerade och informationen vi fick registrerades metodiskt utifrån de kriterier vi valde att observera (bilaga 2). Vi var kända observatörer eftersom vi arbetar som pedagoger på de förskolor där observationerna ägde rum. Vi var deltagande observatörer och det var vi som presenterade materialet för barnen i de olika observationerna. Dokumentationen av undersökningarna skedde dels med skriftliga anteckningar och dels med fotografering. I observationerna gavs en uppfattning om vilka strategier barnen använde när de räknade och om variation av material, antal och gruppering påverkade barnens strategier vid räkning och antalsbestämning. Patel och Davidsson (2003) anser att i en strukturerad observation är det en förutsättning att veta vad som ska undersökas samt att problemet är så väl preciserat att det är givet vilka situationer och vilka beteenden som ska ingå i observationen. Vidare menar författarna (a.a) att det vid observationer är viktigt att observatören är tränad och väl förtrogen med det som ska observeras. Nackdelarna med observationer kan vara att det är tidsödande och att det kan 9

11 inträffa oförutsedda händelser som kan påverka resultatet eller som tvingar observatören att avbryta observationerna. 4.2 Urval För att få svar på frågeställningarna gjordes observationer på totalt femton barn från tre förskolor i tre olika kommuner. Vid valet av förskolor utgick vi ifrån att vi ville vara kända observatörer för barnen i undersökningarna för att skapa en så bekväm situation som möjligt för dem och vid undersökningstillfället var vi verksamma pedagoger på de tre förskolorna. Vi tyckte att femton barn var en lagom hanterbar grupp som skulle ge ett bra underlag för vår undersökning. Vi ansåg att det var viktigt med en åldershomogen grupp av barn för att få svar på våra frågeställningar och beslutade därför att åldersspridningen mellan de deltagande barnen inte fick vara mer än fyra månader. Beslutet om att det var barn födda 2002 som skulle utföra uppgifterna grundade vi på att de troligtvis behärskade flertalet av de fem räkneprinciperna vilket gav oss goda möjligheter att få ett bra underlag. Vi gjorde en sammanställning på respektive förskola av alla barn födda 2002 vilken visade att det fanns en stor grupp av barn födda under tidsperioden juni till och med september på alla tre förskolorna. På den förskola som hade fler än fem barn födda mellan juni och september 2002 utgick vi från alfabetisk ordning. Vi fäste ingen vikt vid barnens kön eftersom vi inte undersökte skillnader eller likheter mellan pojkars och flickors resultat utan vilka räkneprinciper och strategier barn använder. 4.3 Procedur Aktiviteterna gjordes på en matta i ett rum där vi inte blev störda. Vi utgick från ett observationsunderlag med bestämda aktiviteter som barnen skulle göra (bilaga 2). Ett barn åt gången observerades och under observationen fördes anteckningar efter varje enskild uppgift. Syftet med observationerna var att se vilka räkneprinciper enligt Gelman och Gallistel (1978) barnet använde sig av. De olika principerna är abstraktionsprincipen, principen om godtycklig ordning, principen om bestämda räkneord, antalsprincipen och ett till ett principen. I samtliga aktiviteter fanns möjlighet att observera barnens förståelse för abstraktionsprincipen eftersom materialet som skulle räknas var en avskiljd mängd. I aktiviteterna bestod materialet både av homogena grupper (legobitar eller kulor) och av heterogena grupper (legobitar och kulor blandat), vilket kunde påverka barnens strategier. Observationsunderlag 1 Material: 25 lika stora glaskulor med olika färger inne i kulorna. Pedagogen la ut kulorna i en hög på mattan och frågade; Hur många kulor finns det? Använde sig barnet av principen om bestämda räkneord? Det innebar att barnet kunde räkneorden och visste att de kom i en bestämd ordning som parades ihop med ett enda föremål när man räknade antalet i en mängd. När barnet kommit fram till hur många kulor det 10

12 var, tillfrågades barnet återigen hur många kulor det var. Detta för att få reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi därefter om det fanns lika många kulor även om man började räkna på en annan kula (pedagogen valde att peka på vilken kula som helst) och i så fall varför? Observationsunderlag 2 Material: 15 lika stora glaskulor med olika färg inne i kulorna. Här varierade antalet kulor från observation ett men grupperingen var densamma. Pedagogen la ut kulorna i en hög på mattan och frågade; Hur många kulor finns det? Använde sig barnet av principen om bestämda räkneord? Det innebar att barnet kunde räkneorden och visste att de kom i en bestämd ordning som parades ihop med ett enda föremål när man räknade antalet i en mängd. Vad hände när antalet kulor var färre? När barnet kommit fram till hur många kulor det var, tillfrågades barnet återigen hur många kulor det var. Detta för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många kulor även om man började räkna på en annan kula (pedagogen valde att peka på vilka kula som helst) och i så fall varför? Var det lättare att hålla reda på vilka kulor som var räknade och vilka som återstod när antalet kulor var färre? Syftet var också att se om barnet använde samma princip som i observation ett, eller om det bara var en tillfällighet. Observationsunderlag 3 Material: 15 gula åttaprickade legobitar. Här varierade materialet men antalet och grupperingen var samma som i observation två. Pedagogen la ut legobitarna i en hög på mattan och frågade; Hur många legobitar finns det? Kunde barnet räkna upp räkneorden i den ordningen som definieras av talraden och para ihop med ett enda föremål, behärskade barnet principen om bestämda räkneord. När barnet kommit fram till hur många legobitar det var, tillfrågades barnet återigen hur många legobitar det var. Detta för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många legobitar 11

13 även om man började räkna på en annan legobit (pedagogen valde att peka på vilka legobit som helst) och i så fall varför? Syftet var dessutom att se om barnets användande av principerna förändrades då materialet varierades. Observationsunderlag 4 Material: 15 lika stora glaskulor med olika färg inne i kulorna. Här varierade både material och gruppering av materialet men antalet var densamma som i observation tre. Pedagogen la ut kulorna på en rad på mattan och frågade; Hur många kulor finns det? Kunde barnet räkna upp räkneorden i den ordningen som definieras av talraden och para ihop det med ett enda föremål (principen om bestämda räkneord)? När barnet kommit fram till hur många kulor det var, tillfrågades barnet återigen hur många kulor det var för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många kulor även om man började räkna på en annan kula (pedagogen valde att peka på vilka kula som helst) och i så fall varför? Kunde barnet hålla reda på vilka kulor som var räknade och vilka som återstod och hade grupperingen betydelse för detta? Syftet var också att se om variation i grupperingen av material påverkade barnets användande av de olika principerna. Observationsunderlag 5 Material: 25 lika stora glaskulor med olika färger inne i kulorna. Här varierade antalet kulor men grupperingen var densamma som i observation fyra. Pedagogen la ut kulorna på en rad på mattan och frågade; Hur många kulor finns det? Principen om bestämda räkneord visade om barnet behärskade att räkna upp räkneorden i den ordning som definieras av talraden och para ihop det med ett enda föremål. Påverkade grupperingen detta i förhållande till observation ett då kulorna var grupperade på ett annat sätt? När barnet kommit fram till hur många kulor det var, tillfrågades barnet återigen hur många kulor det var. Detta gjordes för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många kulor även om man började räkna på en annan kula (pedagogen valde att peka på vilka kula som helst) och i så fall varför? Kunde barnet hålla reda på vilka kulor som 12

14 var räknade och vilka som återstod? Syftet var också att se om variation i grupperingen och antal av material påverkade barnets användande av principer och om de använde samma princip som i observation fyra eller om det bara var en tillfällighet då det fanns en variation i grupperingen av kulor. Observationsunderlag 6 Material: 15 gula åttaprickade legobitar. Här varierade både antal, materialet och gruppering, då legobitarna låg på två rader. I observation fem låg kulorna bara på en rad. Pedagogen la ut legobitarna i två rader på mattan och frågade; Hur många legobitar finns det? Kunde barnet räkna upp räkneorden i den ordningen som definierades av talraden och para ihop det med ett enda föremål (principen om bestämda räkneord)? När barnet kommit fram till hur många legobitar det var, tillfrågades barnet återigen hur många legobitar det var. Detta gjordes för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många legobitar även om man började räkna på en annan legobit (pedagogen valde att peka på vilka legobit som helst) och i så fall varför? Kunde barnet hålla reda på vilka legobitar som var räknade och vilka som återstod? Syftet var dessutom att se om ytterligare variation av gruppering påverkade barnets användande av principer. Observationsunderlag 7 Material: 15 gula åttaprickade legobitar och 15 lika stora glaskulor med olika färg inne i kulorna. Här varierade material, antal och gruppering från observation sex. Materialet var blandat och låg i en hög. Pedagogen la ut legobitar och kulor i en hög på mattan och frågade; Hur många legobitar och kulor finns det tillsammans? Kunde barnet räkna upp räkneorden i den ordningen som definieras av talraden och para ihop det med ett enda föremål (principen om bestämda räkneord)? När barnet kommit fram till hur många legobitar och kulor det var tillsammans, tillfrågades barnet återigen hur många legobitar och kulor det var tillsammans. Detta gjordes för att ta reda på om barnet förstod att det sist uppräknade räkneordet också angav antalet föremål i den uppräknade mängden (antalsprincipen). För att kontrollera hur barnet förstod den godtyckliga principen frågade vi barnet därefter om det fanns lika många kulor och legobitar även om man började räkna på en annan kula/legobit (pedagogen valde att peka på det motsatta barnet börjar med) och i så fall varför? Kunde barnet hålla reda på vilka som var 13

15 räknade och vilka som återstod? Räknade barnet föremålen var för sig eller tillsammans och förstod de att föremålen kunde räknas oavsett om det var kulor eller legobitar (abstraktionsprincipen)? Använde barnet sig av ett- till ett principen genom att para ihop en kula med en legobit eller hur räknade barnet två olika material? Observationsunderlag 8 Material: 15 gula åttaprickade legobitar och 15 lika stora glaskulor med olika färg inne i kulorna. Här var det samma material, antal och gruppering som i observation sju, men här varierade frågan som pedagogen ställer. Pedagogen la ut legobitar och kulor i en hög på mattan och frågade; Finns det lika många kulor som legobitar? Syftet var att se om barnet använde Gelman och Gallistels (1978) ett till ett princip. Kunde barnet jämföra två mängder genom att para ihop en kula med en legobit för att se om det fanns lika många kulor som legobitar, eller använde barnet de andra principerna för att ta reda på om det fanns lika många? 4.4 Etik Enligt Vetenskapsrådet (2008) är det viktigt att ta hänsyn till informationskravet, samtyckeskravet, nyttjandekravet och konfidentialitetskravet. Utifrån dessa krav blev barnen tillfrågade om de ville vara delaktiga i undersökningen. Barnen informerades om aktiviteterna innan observationen började och att anteckningar skulle föras men även att de skulle bli fotograferade i samband med undersökningarna. Barnen blev också informerade om att de själva fick bestämma om de ville delta i de olika aktiviteterna. De fick även tydlig information att de när som helst kunde avsluta aktiviteterna. För att uppfylla de forskningsetiska kraven fick de berörda föräldrarna inledningsvis en skriftlig information (bilaga 1). 5 RESULTAT OCH ANALYS I resultatdelen redovisas vilka strategier som barnen som deltog i undersökningarna använde sig av när de räknade och bestämde antal men även hur variationen av material, antal och gruppering påverkade deras val av strategier. Dispositionen av resultatredovisningen utgår från examensarbetets frågeställningar med följande analys. 5.1 Vilka strategier använder sig barn av när de räknar? Ett till ett - principen Barnens användning av ett till ett - principen observerades i samtliga uppgifter. Barnens strategier vid räkning varierade dels i de olika uppgifterna och dels mellan de deltagande barnen. De strategier som användes var: 14

16 Förflyttelseräkning där barnen plockade föremålen till sig och samtidigt benämnde det högt med ett talord. Pekräkning, där barnen pekade och berörde varje föremål och samtidigt benämnde det högt med ett talord. Pekräkning där de pekade med ett finger på varje föremål utan att röra vid det samtidigt som de sa talorden högt eller tyst för sig själva. Pekräkning där barnen nickade mot varje enskilt föremål och benämnde varje föremål med ett talord antingen högt eller tyst för sig själva. Pekräkning där barnen räknade genom att endast flytta blicken till de olika föremålen och samtidigt räkna tyst för sig själva. Resultatet i vår undersökning visade att alla barnen använde sig av ett till ett principen som Gelman och Gallistel (1978) menar går ut på att barnen måste kunna jämföra föremål i två mängder genom att ett föremål från ena mängden bildar par med ett föremål från andra mängden. De olika strategierna som nyttjades var förflyttelseräkning där barnen plockade till sig föremålen samtidigt som de benämnde det högt med ett talord vilket Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) menar är för att behålla överblicken över det som räknas samtidigt som talorden sägs högt. Vidare använde sig barnen av pekräkning då de pekade och berörde varje föremål samtidigt som de sa talorden högt. Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) anser att när barn börjar pekräkna är fingrarna ett bra och nära hjälpmedel när barnet rör vid föremålet för att komma fram till antalet. Andra strategier som resultatet visade var pekräkning där barnen räknade genom att endast flytta blicken till de olika föremålen samtidigt som de räknade tyst för sig själv. Detta menar författarna (a.a) är nästa fas då barnet endast behöver peka på eller nicka samtidigt som det räknar högt eller tyst för sig själv vilket gör att fokuseringen på konkreta föremål, uppräknandet av räkneord och pekande sker samtidigt och bildar en koppling i såväl tid som rum Principen om bestämda räkneord Möjligheten att observera barnens förståelse för principen om bestämda räkneord, d.v.s. principen om den stabila ramsan, gavs i samtliga uppgifter eftersom barnen skulle räkna föremålen. Alla barn som deltog i undersökningen använde sig av denna princip. Barnen använde sig av räkneord och parade ihop det med ett föremål. Strategierna de använde sig av var: Talramsan användes konsekvent, men inte korrekt. Talramsan användes korrekt upptill 15. Talramsan användes korrekt upptill 15, sedan inkorrekt när föremålen var fler. Talramsan användes korrekt upptill 25, sedan inkorrekt upptill 30. Talramsan användes korrekt upptill 29, för att sedan använda tjugotio istället för 30. Talramsan användes korrekt upptill 30. Barnen använde sig av principen om bestämda räkneord som enligt Gelman och Gallistel (1978) går ut på att räkneorden har en bestämd ordning och ska paras ihop med endast ett föremål när man ska räkna antal i mängd. Varje räkneord följs av ett bestämt annat räkneord och räkneorden måste alltid räknas upp i den ordningen som definieras av talraden. Resultatet visade att några barn använde talramsan konsekvent men inte rätt och Sterner och Johansson (2006) menar att barn utvecklar räkneramsan stegvis genom att först använda sig av räkneramsan som vare sig stabil eller rätt. Därefter blir räkneramsan stabil men inte rätt för att sedan använda sig av att räkna räkneramsan upp till ett givet räkneord både rätt och stabil. 15

17 Detta visade även resultatet då vissa barn använde talramsan korrekt upp till 15, några till 25 och några till 30. Resultatet visade också att en del barn behärskade talramsan korrekt upp till ett givet antal, men att talramsan därefter blev inkorrekt. Sterner och Johansson (2006) påpekar att hur stor del av räkneramsan barn klarar varierar mellan olika barn i olika åldrar och att det har stor betydelse vilka erfarenheter barnen har haft av att möta, pröva och använda räkneorden och räkneramsan i olika situationer. Resultatet visade att strategierna som barnen använde var väldigt varierande precis som hur barnen behärskade principen om bestämda räkneord trots att det var en homogen åldersgrupp. Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) menar att när barnen kan säga talens ordningsföljd korrekt är det ett bevis på att de behärskar talserien Antalsprincipen Även förståelsen för antalsprincipen observerades i samtliga uppgifter när barnen blev tillfrågade om hur många föremål det fanns vilket visade deras förståelse för antal. Resultatet blev att flertalet barn hade utvecklat antalsprincipen och förstod att det sistnämnda räkneordet angav antalet legobitar/kulor i den uppräknade mängden. Strategierna de använde sig av var: Barnen svarade direkt det antal som de nyss räknat. Barnet svarade stjärntals (många). Barnen började räkna från början igen. Resultatet visade att några barn hade utvecklat en förståelse för antalsprincipen då de svarade det antal som de nyss hade räknat. Heiberg Solhem och Lie Reikerås (2004) menar att barnet behärskar antalsprincipen när det kan räkna, svara på hur många genom att ange det sista ordet som de kom till i räkningen. En annan strategi som barnen nyttjade var att de började räkna föremålen från början när de skulle svara på frågan om hur många kulor/legobitar det fanns. Björklund (2007) menar att enbart läsa upp en ramsa av ord i en speciell ordning säger inget om barns förståelse av det numerära i talbegreppet. För att ha utvecklat förståelse för antalsprincipen innebär det att man också måste ta hänsyn till den kardinala innebörden då räkneorden relateras till speciella föremål som ska räknas och räkneorden omfattar samtidigt alla föremål som blivit uppräknade tidigare. Ett barn svarade stjärntals när han upplevde att det var så många så att han inte kunde räkna antalet Abstraktionsprincipen Barnens förståelse för abstraktionsprincipen i förhållande till det material som användes, d.v.s. kulor och legobitar, kunde observeras i alla uppgifter eftersom en avskiljd mängd skulle räknas. De strategier som barnen använde sig av var att räkna enbart kulor (homogen grupp) och enbart legobitar (homogen grupp). När legobitar och kulor (heterogen grupp) räknades tillsammans användes strategier som att räkna kulor och legobitar tillsammans men även strategin att räkna kulor och legobitar var för sig då de inte ansåg att legobitar och kulor var föremål som kunde räknas tillsammans. Gelman och Gallistel (1978) menar att abstraktionsprincipen innebär att alla föremål som ingår i en väl avgränsad mängd kan räknas oavsett av föremål. De strategier som barnen använde sig av var att räkna enbart kulor (homogen grupp) och räkna enbart legobitar (homogen grupp) vilket visade att barnen hade förståelse för abstraktionsprincipen i förhållande till det material som användes. Strategier som barnen använde när legobitar och kulor (heterogen grupp) skulle räknas tillsammans var att de räknade dessa föremål 16

18 tillsammans men använde också strategin att räkna kulor och legobitar var för sig då de inte hade förståelse för abstraktionsprincipen i förhållande till det material som användes, det vill säga att de ansåg inte att kulor och legobitar var föremål som kunde räknas tillsammans Principen om godtycklig ordning Barnens tillämpning av principen om godtycklig ordning kunde observeras i alla uppgifterna. Strategierna barnen använde sig av när materialet var grupperat i två högar eller rader med legobitar i den ena och kulor i den andra var att påbörja räknandet i den ena högen eller raden för att sedan fortsätta i den andra högen eller raden. En annan strategi som användes när legobitar och kulor var grupperat i två olika högar eller rader var att barnen växlade mellan de olika högarna respektive raderna när de räknade ett (kula) två legobit o.s.v. När materialet var grupperat i en respektive två rader användes strategin att påbörja räknandet på det föremål som fanns ytterst antingen på vänster eller höger sida. Resultatet visade att några barn räknade varje enskilt föremål en gång medan en del av barnen räknade vissa föremål två eller flera gånger. Resultatet visade också att de flesta av barnen använde sig av strategin att de inte var beroende av i vilken ordning eller hur föremålen var grupperade då de räknade kulorna eller legobitarna och de kunde starta var de ville då de skulle räkna föremålen. Förståelsen av principen om godtycklig ordning tydliggjordes ytterligare när barnen fick frågan av observatören om hur många kulor eller legobitar det fanns om de började räkna på ett speciellt föremål. De flesta barnen svarade att det är samma antal föremål som innan, de barnen ansåg att det inte hade någon betydelse var eller på vilket föremål de påbörjade räknandet eftersom det ändå blev samma antal. En del barn räknade om igen och konstaterade att det var lika många som förra gången, de blev tveksamma om antalet verkligen blev samma om de började räkna på ett annat föremål än de gjorde tidigare och valde då att räkna om föremålen. Barnen tillämpade principen om godtycklig ordning vilket enligt Gelman och Gallistel (1978) innebär att antalet föremål i en mängd inte är beroende av i vilken ordning uppräkningen sker eller hur föremålen är grupperade. Man kan starta var man vill när man skall räkna föremålen i en mängd samtidigt som inget föremål får räknas mer än en gång. Barnen använde strategier där de räknade varje enskilt föremål en gång men det förekom även barn som räknade vissa föremål två eller flera gånger. Sterner och Johansson (2006) menar att även om barnet har kunskap att bara ett räkneord får kopplas till ett föremål kan de ibland misslyckas med denna koordinering. Resultatet visade att de flesta av barnen hade förståelse för denna princip i den mening att de förstod att antalet kulor eller legobitar inte var beroende av i vilken ordning de räknade föremålen eller hur föremålen var grupperade. De förstod också att de kunde börja var de ville då de skulle räkna kulor eller legobitar och att antalet blev detsamma oavsett var de börjar räkna. Med hänsyn till Gelman och Gallistel (1978) räkneprinciper visade resultatet att några av barnen hade förståelse för principen om godtycklig ordning. 5.2 Vilken betydelse har variationen när barnen ska bestämma antal? Variation av föremål Genom variation av föremålen i de olika uppgifterna (kulor och legobitar) fanns det möjlighet att observera vilken betydelse variationen hade när barnen skulle antalsbestämma. Resultatet blev att för de flesta barnen hade föremålen betydelse när de skulle bestämma antal. Dessa barn kunde antalsbestämma legobitar men inte kulor oavsett antal. För en del av barnen hade variationen av föremål inte någon betydelse utan de klarade av att räkna dels när det endast 17

19 var kulor och dels när det endast var legobitar d.v.s. homogena grupper. De klarade även av att räkna kulor och legobitar tillsammans d.v.s. heterogena grupper. Undersökningen visade att för de flesta barn hade variationen av föremål betydelse då de klarade att antalsbestämma legobitar men inte kulor oavsett antal. Enligt krävs det att man har en varierande erfarenhet och kunskap för att kunna se det som varierar. Vidare anser de också att det är betydelsefullt att tydliggöra likheter och skillnader i olika sammanhang genom variation av objekt eller företeelser. I uppgifterna med heterogena grupper av föremål (uppgift sju och åtta), gavs barnen tillfälle att möta nya utmaningar där de upplevde variation och detta skapar enligt Marton och Booth (2000) goda lärandetillfällen. De menar att genom att kunna urskilja och uppfatta en förändring samtidigt som variationerna hos objekten eller fenomenet aktivt framhävs ökar medvetenheten kring förståelsen av fenomenet eller objektet. I den heterogena gruppen av föremål gavs barnen möjlighet att urskilja de varierande föremålen och även framhäva variationen genom att omgruppera dem till homogena grupper vilket gav möjligheter till ökad medvetenhet kring förståelsen att antalsbestämma föremål i heterogena grupper. För en del av barnen hade det betydelse om det var en homogen eller en heterogen grupp av föremål, barnen hade svårigheter att se det som en avskiljd mängd som skulle räknas utan räknade istället kulor och legobitar var för sig Variation av antal Vid observationerna av vilken betydelse variation av antal hade för barnen när de skulle antalsbestämma varierade antalet mellan 15, 25 och 30 föremål dels i homogena grupper och dels i heterogena grupper. Resultatet visade att för flera av barnen hade antalet betydelse i deras räknande. Flertalet av barnen klarade av att räkna materialet när antalet var 15, färre antal barn klarade av att räkna materialet när det bestod av 25 och ett fåtal klarade av att räkna den heterogena gruppen med 30. De barn som inte kunde antalsbestämma rätt när antalet var 25 eller 30 använde sig istället av inkorrekt talramsa. Det varierande antalet i observationerna synliggör begreppet antal och enligt Doverborg och Pramling Samuelsson (2000) skapar det också en chans för barnen att uppmärksamma ett varierande antal föremål. För flera av barnen hade antalet föremål stor betydelse i deras räknande. De flesta kunde räkna när antalet var lågt men när kulorna ökade i antal blev det svårare. Det var bara ett fåtal barn som klarade av att räkna 30 kulor och legobitar när det var en heterogen grupp. Doverborg och Pramling Samuelsson (2006) menar att när barn ska få erfara att antal kan se ut på många olika sätt så betyder detta att ett lärande sker när man ur mångfalden samtidigt kan urskilja det som är konstant och det som varierar. Enligt Pramling Samuelsson och Asplund Carlsson (2003) är det viktigt att barn får möta variation genom att urskilja olika mängders kvantitet, vilket barnen i undersökningarna fick möjlighet att göra när de skulle urskilja och jämföra mängden kulor och legobitar (uppgift sju och åtta). Genom att barnen tillfrågades hur många kulor eller legobitar det var i de olika uppgifterna fick barnen tillfälle att möta variation av antal och samtidigt kunna urskilja fler eller färre antal föremål. När antalet inte är identiskt lika kan enligt Doverborg och Pramling Samuelsson (2006) förändringen urskiljas. 18

20 5.2.3 Variation av gruppering Genom variation av föremålens gruppering fanns det möjlighet att ta del av vilken betydelse variationen hade när barnen skulle räkna legobitar och kulor. Resultatet blev att för de flesta barnen hade grupperingen stor betydelse vid deras antalsbestämmande. När kulor eller legobitar var grupperat i en eller två rader klarade fler barn av att antalsbestämma rätt än när materialet var grupperat i en eller två högar. När föremålens gruppering varierades från att ha legobitar/kulorna i en hög till att lägga dem på rad eller rader klarade de flesta barnen av att antalsbestämma både kulor och legobitar vilket en del barn inte klarat när föremålen låg i hög. Enligt Nunes och Bryant (1996) är det lättare att räkna föremål i en jämn rad än att räkna föremål som har spritts ut ojämnt. Rytmen i räknandet eller rörelserna tycks leda barn i räknandet vilket blir svårare när föremålen som ska räknas är grupperat mer utspritt. Marton (2005) och Doverborg, Pramling Samuelsson (1995) anser att barn ska erbjudas mångfald och variation i de olika matematiska situationerna som t.ex. i observationerna där det varierades mellan att gruppera föremålen i hög eller i rad/rader. Denna variation ger barnen möjlighet och kompetens att upptäcka nyanser och dimensioner i matematiska begrepp. 5.3 Använder samma barn samma strategi trots variation av antal, material och gruppering? I de olika uppgifterna som barnen utförde varierade antal, material samt gruppering av föremål. Därigenom kunde det observeras vilka strategier barnen använde sig av och om variationen hade någon betydelse i deras val av strategi. Resultatet visade att flertalet av barnen hade förståelse för de fem räkneprinciperna men de använde sig av dem på olika sätt. Resultatet visade även att samma barn inte använde sig av samma strategi vid variation av antal, material och gruppering Strategi i förhållande till antal De barn som använde ett till ett principen genom förflyttelseräkning när antalet var 25, använde sig av pekräkning där de rörde vid föremålet när antalet var färre (15). Resultatet visade också att barn som använde sig av pekräkning där de rörde vid föremålet samtidigt som de benämnde det med ett talord när antalet var 25, räknade tyst för sig själv genom att endast flytta blicken till de olika föremålen när antalet var 15. Det vill säga att barnen använde sig av ett till ett principen men ändrade strategi för räknandet när antalet är färre. När det gäller principen om bestämda räkneord parade barnen ihop ett räkneord med ett föremål och när antalet föremål varierade använde barnen fortfarande samma princip men behärskade den bättre då antalet föremål var 15 istället för 25, det vill säga att de parade endast ihop ett räkneord med ett föremål och använde talramsan korrekt. De barn som behärskade antalsprincipen oavsett om antalet var 15 eller 25 förändrade inte strategi beroende på antalet. Däremot behärskade fler barn antalsprincipen då antalet var 15 i stället för 25. Barnens användning av abstraktionsprincipen förändrades inte vid variation av antal. 19