Ledningar med förluster. Förlustfria ledningar. Rum-tid-diagram. Bergerondiagram. Appendix: Härledning av Bergerondiagrammet

Transkript

1 FÖRELÄSNING 10 Ledningar med förluster Förlustfria ledningar Rum-tid-diagram Bergerondiagram Appendix: Härledning av Bergerondiagrammet Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 1(45)

2 Ledningar med förluster Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 2(45)

3 RC-MODELLEN FÖR TRANSISTOR På Föreläsning 6 studerade vi uppladdningen av en inverterares utgång. Bland annat studerade vi bilden nedan... R I dp R I dp V V V ut ut () t = V DD 1 e ut C L V DD - C L V ut t RC L t I Fö 6 använder vi en resistans som modell för PMOS-transistorn; vi använder modellen som approximation av den komplierade transistorn. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 3(45)

4 EN LITE LÄNGRE, MEN SMAL LEDNING När vi har att göra med en lite längre ledning med liten tvärsnittsyta, är det ofta rimligt att modellera denna med en resistans i serie med en avslutande kapaitiv belastning från en grind. Om vi anbringar en ideal spänningskälla direkt på denna ledning så har vi en situation som liknar inverterarens uppladdning: V DD - R ledning V ut C grind V ut t V ut () t = V DD 1 e t RC Skillnaden mellan fallen: I en ledning är R verkligen linjär. Men för en transistor är R en approximation. Alltså: För en ledning kan vi lita på siffrorna vi får från RC-tidskonstanten. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 4(45)

5 FÖRDRÖJNING I EN LEDNING MED PUNKTFORMIGT RC V in - V in R En RC-länk V ut C V ut - 1. Vi antar att V in är ett steg, 0 till V DD. 2. Fördröjningen mäts vid 50% av V DD. V DD RC Vi får alltså = V, 2 DD 1 e vilket leder till 1 t d = ln -. 2 RC = 0,69 RC t d t = 0 t d tid Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 5(45)

6 PUNKTFORMIG VS DISTRIBUERAD MODELL Vi ska nu jämföra två modeller: den punktformiga modellen mot den distribuerade RC-modellen (i form av en 100-länkars approximation). V in R C V ut r = R/100 = C/100 r r r r r r r r V in V ut Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 6(45)

7 DEN PUNKTFORMIGA RC-MODELLEN - RC-LÄNKEN V in R C V ut V ut () t = V DD 1 e t RC 3,40 en enda r-lank med r=1k oh =1nf 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 Current X=6,96e-007 Current Y=1,65e000 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0, ,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 7(45)

8 EN 100-LÄNKARS DISTRIBUERAD RC-MODELL V in r 1 1 r r V ut 3, r-lankar var oh en med r=1k/100 oh =1nf/100 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0, ,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 8(45)

9 JÄMFÖRELSE AV RC-FÖRDRÖJNINGARNA Den punktformiga modellens V ut är röd, den distribuerades V ut turkos 3,40 en r-lank 100 r-lankar: rtot=1k oh tot=1nf 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00 0, ,000000u 2,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 9(45)

10 DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN 1(2) Vi har telegrafekvationerna från förra föreläsningen: v( x, t) R L = i( x, t) oh i( x, t) = G C v( x, t). x t x t För en ledning med RC-egenskaper har vi L = 0 oh G = 0: 2 v( x, t) = R i( x, t) = R C v( x, t) = RC v( x, t). x 2 x t t Om man antar en oändligt lång ledning blir lösningen på ekvationen: v( x, t) Erf x, 2 - RC = t där Erf kallas den komplementära errorfunktionen kolla formelsamling! Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 10(45)

11 DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN 2(2) Notera att distribuerade ledningar med förluster i allmänhet är knepigare att analysera än de förlustfria ledningarna. RC-modellen är emellertid myket viktig, eftersom den representerar de flesta IC-ledningarna med begränsad tvärsnittsyta, alltifrån - korta ledningar (då genom den punktformiga modellen), till - långa ledningar (då genom den distribuerade modellen). Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 11(45)

12 SKILLNADEN I FÖRDRÖJNINGEN HOS RC-MODELLER längden X R r V in V ut V in C r r r V ut För en punktformig modell gäller att fördröjningen är t d = 0,69 RC. För en distribuerad modell gäller t d = 0,69 r --- X2, 2 d.v.s. fördröjningen är hälften mot vad den är i den punktformiga modellen. Varför? Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 12(45)

13 DEN DISTRIBUERADE RC-LEDNINGEN X V in X r r r r V ut X = X -- N Varför är t d = 0,69 r X2? Använd en aritmetisk summa för att räkna samma alla individuella länkar: 2 2 N( N 1) t d = 0,69 ( X) ( r ( 2r) ( Nr)) = ( X) r X t d 0,69 -- för stora N. N 2 N( N 1) r X 2 r N( N 1) r = = X N 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 13(45)

14 DET STORA PROBLEMET MED RC-LEDNINGAR CHIP För långsam ledning t d = 0,69 r --- längd2, d.v.s. fördröjningen beror av ledningslängden i kvadrat! 2 Repeater-insertion (Fö 9 oh SPICE-övning 9) bryter det kvadratiska beroendet, men kostar i form av fördröjning i repeatern. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 14(45)

15 Förlustfria ledningar Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 15(45)

16 DEN DISTRIBUERADE LC-LEDNINGEN V in l l l l V ut I modellen för LC-ledningen dominerar induktansen stort över resistansen: Från den generella ledningsmodellen har vi alltså behållit L oh C, men satt R = 0 oh G = 0 (d.v.s. resistansen mellan signal oh jord ), vilket är normala antaganden för t.ex. kretskortsledningar, men okså för ledningar i de övre metallagren av ett hips. Vi kommer enbart studera distribuerade LC-ledningsmodeller. Punktformiga LC-modeller förekommer nästan aldrig. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 16(45)

17 TELEGRAFEKVATIONERNA FÖR LC-LEDNINGEN Vi har telegrafekvationerna: v( x, t) = R L i( x, t) x t oh i( x, t) = G C v( x, t). x t Det var ju på 1800-talet som man använde telegrafekvationen för första gången. Nu, som då, har vi för vår LC-ledning R = 0 oh G = 0. 2 v( x, t) x 2 L i( x, t) = = L i( x, t) = L x t t x C v( x, t) t t 2 2 v( x, t) = LC v( x, t). x 2 t 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 17(45)

18 HASTIGHETEN I EN LC-LEDNING 1(2) Lösningen till föregående ekvation är en funktion som innehåller variabeln t x v p, 1 där v p = är fashastigheten på signalen l där den åker genom ledningen. - Här motsvarar l oh det totala L oh C delat med ledningslängden. Exempelvis A os ω x t ---- är en lösning: v p en våg som rusar fram mot ökande x. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 18(45)

19 HASTIGHETEN I EN LC-LEDNING 2(2) Vi är sedan länge bekanta med S = V T (sträkan vi reser ges av hastighet oh tid). X v p = betyder att propageringstiden LC från den ena sidan av ledningen till den andra kan skrivas = LC! t d Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 19(45)

20 VI DUBBELKOLLAR HASTIGHETEN I LC-LEDNINGEN Under Föreläsning 9 såg vi att maxhastigheten skrivs 1 som v = Genom att använda v = kan vi l ε r kolla om detta stämmer! µ r µ 0 lnb a 2πε r ε 0 Formelsamling (koax): l = , = ! 2π lnb a 1 1 v p = = = µ r µ 0 lnb a 2πε r ε 0 µ 0 ε r ε π lnb a , ty µ r 1 för metaller. Ja, maxhastigheten verkar nås. Men förutsättningen är att R = 0. ε r 2a 2b Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 20(45)

21 V in SIMULERING AV 100 LC-LÄNKAR l l l l V ut Z L 6,00 Panel 1 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00-1,00-2,00-3,00-4,00 0, ,000000u 4,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 21(45)

22 REFLEKTION VID TERMINERING 1(2) V in Ledningens karakteristiska impedans är Z 0 = L C. V L - I L ZL Preis innan signalen nått fram till termineringen (belastningen L) råder tiden, medan preis efter den reflekterats råder tiden. Nu gäller följande: 1. V L () t = V L ( t - ) V L ( t ), då inkommande oh reflekterad våg adderas. V L ( t - ) V L ( t ) 2. I L () t = , eftersom strömmen i belastningen Z 0 Z 0 bytt riktning efter reflektionen oh är på väg mot vänster. t t - Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 22(45)

23 REFLEKTION VID TERMINERING 2(2) Vi har ett uppenbart randvillkor i detta fall, nämligen att strömmen genom belastningen måste relateras till belastningsimpedansen Z L. V L () t Vi kan skriva strömmen genom belastningen Z L som I L () t = Nu får vi V L ( t - ) Z 0 V L ( t ) Z 0 = V L ( t - ) V L ( t ) , vilket ger oss möjlighet att relatera inkommande spänning till reflekterad spänning. Z L V L ( t ) Z L Z 0 Γ L = (reflektionskoeffiienten) talar om hur V L t - = ( ) Z L Z 0 stor del av inkommande spänning som reflekteras: Testa Z L = Z 0 vad blir Γ L? Z L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 23(45)

24 OM Z L SÄTTS TILL KARAKTERISTISKA IMPEDANSEN in l l l l ut Z L = Z 0 1,20 Panel 1 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 0,00-200,00m 0, ,000000u 4,000000u Time (lin) (TIME) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 24(45)

25 IMPEDANSANPASSNING I BÅDA LEDNINGSÄNDARNA V in l l l V ut Z S = Z 0 Z L = Z 0 Man får problem med reflektioner vid abrupta impedansövergångar! Man ska helst inte bara matha (anpassa) den belastande impedansen, så Z L = Z 0. Man bör okså matha det drivande stegets impedans så Z S = Z 0, annars reflekteras de eventuella signaler som når tillbaka till källan (Soure). Dok: V 0 från spänningskällan spänningsdelas ut på ledningen, oh mathningen vid det drivande steget medför att bara halva spänningen V 0 skikas iväg! Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 25(45)

26 Rum-tid-diagram Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 26(45)

27 METODIK FÖR REFLEKTIONSANALYS - RUM-TID - Z S V 0 x = 0 Z 0 x = X V L - x Z L t = t d t = 3t d x t d är tiden det tar för signalen att åka sträkan X i transmissionsledningen t x = X I ett rum-tid-diagram kan man på ett åskådligt sätt visa hur spänning oh ström reflekteras (oh transmitteras) i en ledning. Metoden bygger på att de terminerande impedanserna är linjära (d.v.s. R, C eller L), vilket är ett användbart antagande i många sammanhang. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 27(45)

28 EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 1(5) - Z S V 0 Z 0 Reflektion vid belastningen (till höger): Z L Z 0 Z 0 Γ L = Z L Z 0 Z 0 Z S = Z 0 / 4 Z L Typiskt fall i CMOS-krets, där drivaren har låg impedans oh belastningen hög impedans. Det uppstår ringning. Reflektion vid återkomst till källan (till vänster): Z S Z 0 ( Z 0 4) Z 0 Γ S = = , Z S Z 0 ( Z 0 4) Z 0 alltså Γ S = 0,6. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 28(45)

29 EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 2(5) 1a. Spänningskällan skikar iväg ett steg med Z 0 spänningen V 1 = V Z S Z 0 1b. Nu gäller att spänningen i vänster ände av ledningen är V S1 = 0,8V 0. V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = 1,6V 0 x 2a. Studs i högra änden av ledningen ger V 2 = V 1 Γ L = V 1, som är steget som reflekteras. 2b. Nu gäller att spänningen i höger ände av ledningen är V L2 = 0,8V 0 0,8V 0 (inkommande reflekterad våg). t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 29(45)

30 EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 3(5) 3a. V 3 = V 2 Γ S = 0,8V 0 ( 0,6). 3b. V S3 = 0,8V 0 0,8V 0 V 3, då vi lägger ihop tidigare V S (V S1 ) med inkommande spänningsvåg med reflekterad spänningsvåg. 4a. V 4 = V 3 Γ L = V 3. 4b. V L4 = 1,6V 0 0,48V 0 V 4, då vi lägger ihop tidigare V L (V L2 ) med inkommande spänningsvåg med reflekterad spänningsvåg. V S1 = 0,8V 0 V S3 = 1,12V 0 t V 1 =0,8V 0 V L = 0V V 2 =0,8V 0 V L2 = V 3 =-0,48V 0 1,6V 0 V 4 =-0,48V 0 V L4 = 0,64V 0 x = X x Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 30(45)

31 EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 4(5) 5-. Etetera... Notera att stegsignalen V 0 som skapas vid källan antas ligga kvar på V 0 för evigt. V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = V S3 = 1,12V 0 V S5 = 0,928V 0 V 3 =-0,48V 0 V 4 =-0,48V 0 V 5 =0,288V 0 V 6 =0,288V 0 1,6V 0 V L4 = 0,64V 0 V L6 = x V 7 =-0,1728V 0 1,216V 0 t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 31(45)

32 EXEMPEL PÅ RUM-TID-DIAGRAM - RINGNING 5(5) Anta att man mäter spänningen vid belastningen (med en högimpediv prob): Vad ser man då? Jo,... V L 1,6 V 0 0,64 V 0 1,216 V 0 V S1 = V 1 =0,8V 0 V L = 0V 0,8V 0 V 2 =0,8V 0 V L2 = V S3 = 1,12V 0 V S5 = 0,928V 0 V 3 =-0,48V 0 V 4 =-0,48V 0 V 5 =0,288V 0 V 6 =0,288V 0 1,6V 0 V L4 = 0,64V 0 V L6 = x t V 7 =-0,1728V 0 1,216V 0 t d 2t d 3t d 4t d 5t d 6t d t x = X Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 32(45)

33 SIMULERING AV EXEMPLET MED RINGNING Panel 1 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 800,00m 600,00m 400,00m 200,00m 000 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 33(45)

34 Bergerondiagram Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 34(45)

35 METODIK FÖR REFLEKTIONSANALYS - BERGERON I S, I L Belastningslinjer utritade V 0 - Z S I S V S - Z 0 I L V L - Z L I S (V S ) linjär I L (V L ) ike-linjär V S, V L När impedanserna i ändarna av ledningen inte beter sig linjärt (m.a.p. relationen mellan V oh I), måste en annan analysmetod tas till: Bergerondiagrammet. - Bergeron var en fransk hydraulikingenjör för vattenvågor. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 35(45)

36 DEFINITION AV BERGERONDIAGRAM Z S I S I L I S, I L V 0 - V S - Z 0 I S (V S ) I L (V L ) V L - Z L V S = V 0 Z S I S, men för att passa in i V 0 V S grafen skriver vi istället I S = Z S V L = Z L I L, men för att passa grafen skriver vi istället I L = V L Z L. V S, V L Antag Z S oh Z L är linjära. Notera att skärningen motsvarar steady-state. Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 36(45)

37 BERGERONDIAGRAM FÖR RUM-TID-EXEMPLET 1(2) Jag väljer Z 0 = 1 Ω, för att få en lutning (på funktionerna vi ritar) som är enkel att räkna fram. - Lutningen blir ju då antingen 1 eller -1. Pröva oh jämför spänningarna som erhålls här, med dem vi fik fram i exemplet med rum-tiddiagram. I S, I L I S (V S ) V S1 0,8V V L2 1,6V Z 0 = 1 Ω V 0 = 1 V Z S = Z 0 / 4 Z L V S, V L 1 2 I L (V L ) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 37(45)

38 BERGERONDIAGRAM FÖR RUM-TID-EXEMPLET 2(2) I S, I L 2 V L4 0,65V 1 V S3 1,1V V S, V L 1 2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 38(45)

39 BERGERONDIAGRAM MED Z L = Z 0 V 0 V S I S = (källan). Z S I S, I L I L = V L Z 0 (belastningen). I = V Z 0 (ledningen). Notera att vi direkt når fram till skärningspunkten mellan I S oh I L. Det betyder att metoden är avslutad oh att V S1 är steady-state spänningen Z 0 V steady-state = V Z S Z 0 I S (V S ) V S1 V 0 I L (V L ) V S, V L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 39(45)

40 BERGERONDIAGRAM MED Z S = Z 0 V 0 V S I S = (källan). Z 0 I S, I L I L = V L Z L (belastningen, Z L > Z 0 ). I = V Z 0 (ledningen). I S (V S ) V L2 I L (V L ) V 0 Z 0 V S1 = V = Z S Z 0 2 Eftersom Z L > Z 0 är Z L Z 0 Γ L = > 1, så V L2 > V S1. Z L Z 0 V S1 V 0 V S, V L Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 40(45)

41 Appendix: Härledning av Bergerondiagrammet Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 41(45)

42 HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 1(4) Hur påverkar spänningssteget V 0 kretsen? Ta reda på hur V 0 ger upphov till startspänningen V S1 vid tiden t = 0. Vi kan lösa ekvationssystemet kring spänningsdelningen mellan Z S oh Z 0 : I S1 I S (V S ) I L (V L ) I S = V S Z 0 [ den feta svarta linjen] I S = ( V 0 V S ) Z S [ den röda linjen] Skärningspunkten mellan ritade belastningslinjer ger samma ( I S1, V S1 ). V S1 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 42(45)

43 HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 2(4) I L = V L Z0, där I L oh V L t d reflekteras från belastningen vid. - - I L = I L I L = ( 1 Z 0 )( V L V L ), I S1 I S (V S ) I L (V L ) där I L oh V L är infallande vågor i t = t d. I L2 - - Eftersom I L = oh V L = fås I S1 V S1 I L I S1 1 = ---- ( V L V S1 ) [ fet svart linje] Z 0 I L = V L Z S [ grön linje] V S1 V L2 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 43(45)

44 HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 3(4) I S = V S Z0, där I S oh V S reflekteras från källan vid t = 2t d. Totala strömmen genom källan i t = 2t d är - I S = I S I S I S1. Detta beror på att vi fik en spännings- oh strömnivå etablerad över källan vid t = 0 som tillsammans med infallande oh reflekterande vågor ger totala spännings- oh strömnivån vid t = 2t d. (Jämför med rum-tid-diagrammet...). I S3 I L2 I S (V S ) V S3 I L (V L ) Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 44(45)

45 HÄRLEDNING AV BERGERONMETODEN 4(4) - Nu kan vi skriva I S = I S I S I S1. Men nu är faktiskt I S1 = I L2! I S - Alltså fås = vilket ger I S I L2 = I S I S I L ( V S V L2 ). Z 0 I S3 I L2 I S (V S ) I L (V L ) I S I L2 = ( V S V L2 ) [ fet svart linje] Z 0 I S = ( V 0 V S ) Z S [ röd linje] V S3 Per Larsson-Edefors, Chalmers tekniska högskola EDA351 Kretselektronik 45(45)