Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 5

Transkript

1 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Föläsga Mkak (FME) Dl: Sak och pakldyamk Läscka 5 Föläsg : akls kmak (Dyamcs /). V baka pakl som ö sg umm. E pakl ä pukfomg kopp som kaaksas a s massa m. akls läg d d, föhållad ll g fsam, gs a lägsko () T, gs a fuko. Röls ud dsall [ ] [ ] = ( ), T, akua k j Fgu. akl öls. akls föskjug (föflyg) ud dsall [, ] + gs a ko = ( + ) (). bsa a da ugö d ffka föflyg ud dsall. akls klga öls sk lägs d dl a bakua som bd samma umspuka md lägskoa () och ( + ), spk. S fgu da! akls mdlhasgh, + gs a ud dsall [ ],[, + ] m,[, + ] m () ( + ) () = = akls hasgh (), d dpuk, dfas a ( ) = lm m +,[, ]

2 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa () () ( + ) k j Fgu. akls föskjug. V aäd bckgaa d () () () = =. akls acclao dfas a d ( + ) () a ( ) lm = () () V aäd bckgaa () () d () d a = = = =. Hasghsko ä d d agll ll bakua. cclaoskos kg bo blad aa på bakuas kökg. a k j Fgu. akls hasgh och acclao. akls fa gs a () = (). V ha följad

3 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Sas a = (.) s: D gäll a p = = = + = = a Följdsas = a =, d s om fa ä kosa så ä acclao klä mo hasgh. a Fgu.4 akls hasgh och acclao d kosa fa. m fö HN-bas, j, k fx fsam så ka ska. och dämd, fsom = j = k =, [ ] = () = x () + jy () + k z (), T, z () = x () + jy () + kz (), a () = x () + j y () + k z () Räljg öls: E äljg öls gs a [ ] = () = + s (), T, (.) dä ä fx puk fsam och kosa kgsko, d s =, =. Fuko s= s () g d a pakl llyggalagda säcka. m älj s ( ) = så gäll a ( ) =. Hasgh och acclao gs a S dasåd fgu! = s, a = s

4 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa k j m älj = och = Fgu.5 Räljg öls. få öls lägs x-axl = () = x (), [ T, ] md hasgh och acclao = x, a = x. m öls, x= x (), ä g så bsäms hasgh och acclao gom a da fuko x= x () md asd på d. x Fgu.6 Räljg öls. a Exmpl. Md öls g a x () = x + + dä x, och a ä kosa, hålls, a = = a = x = + a α Exmpl. Md öls g a x ( ) = x cos β dä x, α och β ä kosa, hålls α α α = x = x ( α cos β+ β( s β)) = x ( αcos β+ βs β) a a a= = ax ( a cos β+ β s β) x ( βa( s β) + β cos β) = α x (( α β )cos β+ αβ s β) 4

5 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa ag u a acclao, x= x (), ä g. Hu bsämm då öls x= x ()? V baka åga olka alg fökommad fall. Fall I: ag a acclao ä kosa, d s x () = a, dä a ä kosa. Da mdfö a a x () = c+ a x () = d+ c+ (.) dä c och d ä godycklga gaoskosa. dssa kosa ka bsämmas om fö så kallad bgylsllko, x om fösk läg och hasgh d dpuk =, x ( ) = x, x ( ) = (.4) dä x och ä ga kosa. (.) och (.4) följ a x ( ) = d= x, x ( ) = c= och dämd ka öls skas a x () = x + + (.5) m säll älj bgylsdaa lg x ( ) = x, x ( ) = dä ä g dpuk så hålls öls a( ) x () = x + ( ) + (.) följ a = x () = + a och dämd dssa uyck hålls = a, + x x =. m mulplca + = a ( x x ) = a s (.6) dä s = x x. Uyck (.6) ä ofa aädba d paksk äkg m obsa a d föusä kosa acclao! Fall II: ag a acclao ä g som fuko a d, d s x () = f(), dä f ä g fuko och a bgylsdaa gs a x ( ) = x, x ( ) =. Da mdfö a x () = f ( q) dq +, x() = ( f ( q) dq) dp + + x (.7) Exmpl. ag a f( ) = a sω dä a och ω ä kosa. Då gäll a p a x( ) = ( as ωqdq) dp + + x = ( cos ωp) dp + + x = ω 5 p

6 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa a a s ω ( ) x ω + + ω + Fall III: ag a acclao ä g som fuko a hasgh, d s x () = g ( ()), dä g= g () ä g fuko och a bgylsdaa gs a x ( ) = x, x ( ) =. D gäll a d x= = g () d Da ä så kallad spaabl dffalkao, s kus Edmsoll aalys! Dffalkao ka lösas gom följad pocdu: Samla all som ha a göa md aabl på d a sda a lkhsck och all som ha a göa md dsaabl på d ada sda, d s d g () = pplca galck och sä u gaosgäs md hjälp a bgylsdaa Exmpl.4 ag a f () d d d g () = = (.8) = c, dä c> ä kosa. Isäg (.8) g d = d = [ l ] = l = ( ) = c c c dx c c och dämd = x () = + a, dä a ä gaoskosa som bsäms a d c bgylsllko x ( ) = x, d s x( ) = a x a x c + = = + c och dämd c c x () = + x + = x + ( ) c c c så gäll a ka ska = x ( ) och Sas m ( ), [ T, ] c d d x= = ( ) (.9) dx dx s: Efsom ( ), [ T, ] så gäll a fuko x x ( ), [ T, ] äxad (ll aagad). = ä mooo 6

7 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa x x T x T Fgu.7 Mooo äxad fuko x= x (). Då xsa d sa fuko x ( ), x [ x, x] = dä x = xt ( ), och dss daa gs a T d dx = ( ) = dx d T och ka ska = () = x (( )) = x ˆ( ). Md uyjad a kdjgl hålls dˆ d d d d dˆ = = = dx d dx d d dx och dämd d dˆ d a= = = d dx dx dä fö klhs skull sk säll fö ˆ. V oa aslugss a lk slufö bs. d d ˆ ˆ dˆ dˆ ( ) = ( ) = = ˆ dx dx dx dx Exmpl.5 E flygpla, som jus ag mak, gö bomsg få fa = kmh ll fa = kmh. Mosaad bomssäcka ä L = 6m. säm flygplas mdlacclao a ud bomsg, d s L a L L = adx L dä a bcka flygplas acclao. 7

8 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Fgu.8 Ibomsad flygpla. Lösg: Md ugågspuk få (.9) hålls L a = adx d ( ) L L = L = = L L Md säg a = kmh, = kmh och L = 6m hålls a.. 5ms. E ala dfo a mdlacclao gs a T a = ad ( ) T T = T dä T ä bomsd. Sambad mlla d å dfoa gs a a = ( ) = = T = a L T L L T L T dä mdlhasgh gs a T T L L = d ( x( T ) x( )) T T T = = = T T T + Sålds gäll a a a () = + m om () = +. T T = om och das om L T T 8 = lk x ä fall om Exmpl.6 E kula md massa m fall få la ygdkaffäl och ä då usa fö lufmosåd, dä mosådskaf gs a Fd = c och ä mokad öls. Hä bcka kulas fa och mosådskoffc c ä pos kosa. säm kulas fa som fuko a fallsäcka.

9 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa g x m x F d m mg Fgu.9 Fallad kula. Lösg: Flägg kula. Ifö ygdkaf mg och lufmosådskaf fgu. Nwo s ada lag g: Fd = lg oaasåd c ( ): Fd + mg = am dä uyja (.8). Gom spaao a aabla hålls d c a= = g dx m x d m c c c = dx= x l( ) x l( ) x c g c mg = = mg m m c mg x m = x ( ) = ( ) (.) c mg D gäll a lm x ( ) = = lk bäms gäshasgh. Md m =. kg, x c c =. 65Nm s och g = 9. 8ms gs gaf fö (.) a.5 =(x) 7.5 (m/s) ( x) x (m) Fgu. Fallad kula = x ( ). 9

10 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Gäshasgh da fall ä =. 85ms. Fall IV ag a acclao ä g som fuko a läg, d s x () = hx ( ), dä h ä g fuko. Md bgylsdaa x ( ) = x, x ( ) = följ a (.8) a x x d d ( ) = h( x) ( ) dx = h( x) dx = H ( x) H ( x ) dx dx (.) x x dx dä H ä pm fuko ll h. Däa = =± H ( ( x) H( x)) + och da kao d g, f spaao a aabla, = d = ± x au öls x= x () ka bsämmas. dx ( H( x) H( x )) + x oblm /4 Th co, fallg wh a spd, sks ad pas h block of packg maal. Th acclao of h co af mpac s a= g cy, wh c s a pos cosa ad y s h pao dsac. If h maxmum pao dph s obsd o b y m, dm h cosa c. Fgu. oblm /4. Lösg: D gäll a a= y() = g cy = h( y) md bgyls daa y ( ) = y =, y ( ) =. y E pm fuko ll h ä H ( y) = gy c och (.) g då (md x= y) y y = H ( y) = gy c = ( y) = + ( gy c ) ym + 6 gym y ( m) = + ( gym c ) = c =. y m

11 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Vlk ä acclao fö ko då y = y? V ha m + 6 gy g y 6 gy + 4gy a = g cy = g y = = < m m m m m m m ym ym ym d s ko ha acclao uppå! Da ayd a modll da poblm ha sa bgäsga. Kokljg öls, Casska kooda (.) Md Casska kooda ( x, y, z ) ha = x+ jy+ k z Hasgh och acclao, fö pakl som gomfö öls x= x (), y= y (), z= z () gs då a = = x + jy + kz, a = = x+ j y+ k z akua k j Fgu. Casska kooda. m ha pla öls och öls fösggå xy -pla gäll a z () = och dämd = = x + jy, a = = x+ j y akls fa gs då a = = x + y och acclaos solk a dasåd fgu gäll a pakl bckas md och x = x, y = j y. a= = x + y a. I

12 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Fgu. la öls. Exmpl.7: Kaspaabl. aka pakl ö sg f ygdkaffäl. Röls fösggå då kalpla, d s pla paallll md ygdacclao g. Md g = j ( g) ka älja xy -pla som ölspla. akls acclao gs a x= a = g = j( g) y = g (.) g a = g j Fgu.4 Kasöls. md bgylsdaa x ( ) = x, x ( ) = x,, y ( ) = y, y ( ) = y, hålls, lg (.5), x () x x, x() x () = + = = x, y() y() g = = y g y () = y+ y, (.) x x (.) följ a = och da sa (.) g, om x,, x, x x g( ) x x g y = y + = y + x x x x (.4) x, y, y, ( ) ( ) x, x, x, d s kaspaabl. m uyja (.6) hålls sambad

13 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa y y, = g( y y) (.5) Kaspaabls högsa puk, sghöjd y h, gs a llko y = d s, lg (.5), y = y + g h y, Kasdd x gs a llko y = y. Da sa (.4) g kao g x x x x = y, ( ) ( ) x, x, lk, föuom lösg x= x, ha lösg x= x + g x, y, m fö laoskl, så a, = cos och, = s, d s x, y, x = + ä pakls ugågsfa, gäll a y y, a = och x, y = y + s, x = x + s (.6) g g h y h x Fgu.5 Kaspaabl.

14 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Fgu.6 Kaspaabl. E soboskopfoo a sudsad bodsboll. Föläsg : Kokljg öls, aulga kooda (/5): I d fall dä bakua ä g ka d aa lämplg a aäda så kallad aulga kooda. akls bakua ka då bskas a fuko dä s ag d så kallad båglägdskooda. [ ] = ˆ( s), s s, s (.) T s s = s akua Fgu. Kokljg öls md båglägdskooda s. llmä gäll fö kua på paamfom (s kus Edmsoll aalys!) [ ] = ( u), u u, u (.) a kuas lägd (båglägd) s mlla paamäda u och u gs a 4

15 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa u d s = s( u) = du (.) du u Då följ a ds d = > om d du du du, lk aa gäll. bsa a ko d ä du agko ll kua. s ä sålds äxad fuko a u och ä dämd ba, d s u = s () s och ka då ska = ( u) = ( s ( s)) = ˆ ( s), s s, s [ ] dä s = su ( ) och s = su ( ). m pakls öls lägs bakua ss a fuko s= s ( ), T, ka fö pakls öls umm ska [ ] akls hasgh och acclao [ ] = ( ) = ˆ( s ( )), T, d dˆ ds dˆ = = = s, d ds d ds d d ˆ dˆ a = = s + s (.4) d ds ds dä, d dao, uyja kdjgl. V ska u bäka daoa bakua ä g på fom (.) gäll lg (.) a dˆ och ds d ˆ. m ds s dˆ s = du = ds s dˆ( s) Vko = () s ä hsko som ä agll ll bakua puk ˆ( s). S ds Mamakua 5 Läscka! d ˆ () s d () s = = κ() s () s (.5) ds ds dä () s ä bakuas huudomal puk ˆ( s ), () s () s =. bsa a fsom () s () s = så följ f dg a d s () s () s = och a dˆ ds d () s () s = ds d () s κ = κ() s = (.6) ds 5

16 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa ä bakuas kökg puk ˆ( s). Kuas så kallad bomalko b gs a [ ] () s = () s (), s s s, s b T Da bä a ( b) ä HN-bas, kallad d aulga bas höad ll bakua. uk C, md lägsko ρ = ρ () s = ρˆ () s + () s ρ() s C C kallas bakuas kökgscum höad ll puk på kua md lägsko ˆ( s) och ρ() s = κ() s dss kökgsad. Ckl md cum C () s och md ad ρ () s kallas bakuas kökgsckl. Da aga bakua puk ˆ( s), s fgu da! s s = s b C ρ Kökgsckl k j Fgu. D aulga bas och kökgsckl. Exmpl.: Räljg bakua lg (.), d s 6 [ ] = ˆ( s) = + s, s s, s T dˆ( s) Då gäll a () s = =, d s agko ä kosa lka md. Sålds ds d () s = κ( s) =, s [ s, st] lk bä a huudomal och bomal b j ä ds ydg dfad da fall! Exmpl.: la bakua. I da fall ka ska [ ] = ˆ( s) = + xs () + j ys (), s s, s T

17 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa md hsagko dˆ( s) dx() s dy() s () s = = + j, ds ds ds d () s d xs () d ys () = + j ds ds ds d () s d xs () d ys () Kuas kökg och huudomalko gs a κ () s = = ( ) + ( ) ds ds ds och d () s d xs () d ys () () s = = ( + j ) κ() s ds d xs () d ys () ds ds ( ) + ( ) ds ds Kuas bomalko gs a dx() s dy() s dx () s dy () s b() s = () s () s = ( + j ) ( + j ) = ds ds dx () s dy () s ds ds ( ) + ( ) ds ds Sålds dx() s dy () s dy() s dx () s k( ds ds ds ds ) = ± k dx () s dy () s ( ) + ( ) ds ds dx() s dy () s dy() s dx () s dx () s dy () s =± ( ) + ( ) ds ds ds ds ds ds Da lao ka sas gom a uyja dx() s dy() s dx () s dy () s () s () s = ( + j ) ( + j ) = ds ds dx () s dy () s ds ds ( ) + ( ) ds ds Vlk ä kal md dx() s d x() s dy() s d y() s + = ds ds ds ds j k Fgu. la kua. 7

18 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa I fgu oa gäll fö bomalko a puka och så ä = b gäll a = k. b k m puk C Exmpl.. Ckulä bakua. Da ä myck kg spcalfall! Lå ( j k) aa HN-bas umm och lå aa fx puk. E ckulä bakua x-y-pla, md ad R>, gs då a ˆ( ) cos s s = s = R Rs, s s, T R + j R [ ] d s = R. åglägdskooda s ä laad ll kl gom sambad s = R, s fgu da. Fö cklbaa gäll a hsagko gs a och dˆ( s) s s s s ( s) = = ( R s ) + j( R cos ) = ( s ) + j cos ds R R R R R R d () s s s s s () s = ( cos ) + j( s ) = ( cos + js ) = = ( s) ds R R R R R R R R R = = j s R Fgu.4 Cklöls. () s () s dä () s = = ä hsko adll kg. S fgu oa! da följ, som () s R d () s föäa, a ρ = ρ() s = = = R, d s bakuas kökgsad ä kosa lka κ() s ds md ckls ad R. Kökgsckl fö bakua sammafall md ckl själ, alla puk. Huudomalko gs a d () s () s = = R( ()) s = () s κ() s ds R 8

19 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa och bomalko a b = = k Sas G öls fö pakl = ( ) = ˆ( s ( )), [ T, ] dä = ˆ( s), s [ s, st] dfa bakua och s= s ( ), [ T, ] g båglägdskooda som fuko a d. Då gäll fö pakls hasgh och acclao a = s buka kallas agalacclao och s: V ha, lg (.5)-(.6), = s, s a = s + (.7) ρ s a = omalacclao. ρ dˆ = s = s, ds d ˆ ˆ d s = ρ ρ a s + s = κ s + s = s+ ds ds ρ Exmpl.4: Räljg öls. fsom κ = ρ =. = s = s, s a = s+ = s (.8) ρ Exmpl.5: Cklöls. dä = och =. = s R = s, a = s+ = R + ( R ) (.9) Exmpl.6: Rymdsao ISS (Iaoal Spac Sao) ö sg u jod ckulä baa på höjd a ca 46km. säm ymdsaos omloppsd. Fgu.5 ISS. 9

20 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Lösg: Gaaoskaf få jod på ymdsao gs a F = Mm G dä M ä jods massa, m ä ymdsaos massa, ä asåd få jods cum ll ymdsao, d s = = R+ h och G ä uslla gaaoskosa, d s ISS gr G = (.) M dä g ä ygdacclao d jodya och R ä jodad. ISS R F h Fgu.6 ISS baa u jod. Nwo s ada lag, F = a m, llämpad på ISS g ölskao Mm s G = ( s+ ) m Da g d skaläa kaoa = sm s = M M gr g Mm s R GM = = = G = m = + gr R h dä uyja (.). Md R 67km, h = 46km och g = 9. 8ms hålls och omloppsd τ bl då 76ms π ( R+ h) τ = 94 m

21 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Exmpl.7: E kaspaabl kaasas a ugågsfa och laoskl. S Exmpl 6.7! säm kökgsad a) ugågsläg, b) baas högsa puk. Lösg: Fö acclao gäll da fall a = g. Md ugågspuk få (.7) hålls s s s s s a = s+ = s s+ s = b ρ = = ρ ρ ρ a g a) I ugågsläg gäll s = och = ( cos + j s ). Md a = j ( g) hålls g = k ( gcos ) och dämd s ρa = = = g gcos gcos b) I baas högsa puk gäll a s = cos och g = k ( gcos ) och dämd s ( cos ) cos ρ = b g = gcos = g C b ρ b Kaspaabl C a ρ a Fgu.7 Kökgsad fö kaspaabl.

22 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Exmpl.8: E pakl gld lägs kua som ugö högskulj md kal axl. Kua gs paamfom a = ( u) = a cosu + jas u + kbu, u, [ [ dä a > g skuljs ad och π b> dss sgg. säm d aulga bas ( b) och kökg fö bakua. k s j Fgu.8 Högskulj. Lösg: åglägd gs, lg (.), a u d s = s( u) = du du u dä och dämd d du d = ( acosu+ jas u+ kbu) = ( as u) + jacosu+ kb du d ( as u) ( acos u) b a b c du = + + = + = ( ) s s = s u = cdu = cu u = c Kua gs då a Tagko gs då a s s s = ˆ( s) = acos + jas + k b, s, c c c u [ ]

23 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa och dˆ( s) d s s s a s a s b ( s) = = ( acos + jas + kb ) = ( s ) + j cos + k ds ds c c c c c c c c d () s d a s a s b a s a s = ( ( s ) + j cos + k ) = ( cos ) + j ( s ) ds ds c c c c c c c c c Kökg gs då a d () s a s a s a κ ( s) = = ( cos ) + ( s ) = ds c c c c c c d s kökg ä kosa och kökgsad gs a ρ = ρ() s = =. Huudomalko gs a κ() s a d () s s s = ( s) = = ( cos ) + j ( s ) κ() s ds c c och bomalko a a s a s b s s b = = ( ( s ) + j cos + k ) ( ( cos ) + j ( s )) = c c c c c c c b s b s a s + j( cos ) + k c c c c c akl acclao gs då, lg (.7), a s a a = s+ = s+ s ρ c Uppgf.: Vsa a agko, oasåd xmpl, blda kosa kl a = accos b md z-axl och a bomalko b blda kosa kl c z-axl. β = accos a md c

24 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Sammafag akls kmak Röls = (). Hasgh = (). cclao a = () Vd äljg öls a = Naulga kooda d d x= = ( ), dx dx = s, s a = s + ρ Cklöls = R, ( a = R + R ) Cyldkooda (.6-.7). Fö ssa poblm md cyldsymmsk gom ka d aa födlakg a, säll fö Casska kooda aäda så kallad cyldkooda. Ifö d adlla kgsko paallll md x-y-pla och dfad a x y dä cos = och s = dä = cos + j s (.) = x + y, s fgu da. Då gäll = x+ jy+ kz = cos + js + kz = + k z (.) bsa a = x + y + z = + z. Röls ka u bskas md cyldkoodaa (,, z) gom fukoa = (), = (), z= z () (.) bsa a ( k ) ä HN-bas dä baskoa och Vko gs a (.) och fö gäll bo a kooda. = ( s ) + j cos (.4) 4

25 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa (,, z ) s s = s b k j k (, y, ) ( x,, ) Sas Md cyldkooda gäll s: Md = + k z hålls Fgu.9 Casska, aulga och cyld kooda. = z + + k, a = ( ) + ( + ) + k z (.5) = = + + k z+ kz dä k = och dä, lg (.) och (.4), Da g d = ( cos + js ) = ( s ) + j cos = (.6) d = + + kz = + + kz da följ da a dä a = ( + ) + k z (.7) 5

26 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa d = ( ( s ) + jcos ) = ( cos ) + j( s ) = ( ) d dä uyja (.). Da uyck och (.6) sa (.7) g a = + + ( ) + ( + ) + k z = ( ) + ( + ) + k z lk skull bsas. Exmpl.9: V suda u cklöls md ugågspuk få cyldkooda. V aa a cklöls fösggå x-y-pla, z =, = R. Då gäll, lg (.) = + kz = R och lg (.5) = R, ( a = R ) + R (.8) V ka ska a = a + a dä a = ( R ) kallas cpalacclao och a kallas agalacclao. m jämfö md (.9) och d aulga koodaa så s a dä = och =. Md pakls fa = s = R gäll a = R ch dämd ka (.8) skas =, a = ( ) +. R R R j a ( R ) Fgu. cclao cklöls. Exmpl.: E mya bf sg på ckulä, hosoll och oad ska. D kyp lägs bsämd ad på ska md d kosaa fa la ska som oa kg fx 6

27 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa axl md d kosaa klhasgh ω la g fsam. S fgu da! säm myas hasgh och acclao la fsam som fuko a myas adlla läg. j ω Fgu. Mya på kausll. Lösg: D gäll a =, = och = ω, = sam a z =. (.5) följ då a dä = = () = +. = + + kz = + ω a = ( ) + ( + ) + k z = ( ω ) + ω Exmpl.: Md föusäga som fögåd xmpl, aag a d saska fkosal mlla mya och ska ä µ. Hu låg adll ld ka då mya gå a d böja glda? s Lösg: Mya påkas, föuom a ygdkaf k ( mg), dä m ä myas massa, a koakkaf R få d oad ska. Då gäll lg Nwo s ada lag k( mg) + R= am = ( ( ω ) + ω) m (.9) m lå koakkaf psas a och N ä omalkaf så följ a (.9) R= F + k N dä F = F + F ä fkoskaf = ω F = ωm N = mg F m (.) Fö a mya skall kua hålla ak kus käs lg (.) sdokaf F. m mya fösök öka 7

28 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa sabl gom a öka fa bl bho a sdokaf baa sö. Ickgldgsllko gs a F µ N F + F µ N ( ω m) + ( ωm) m mg s s s ω + 4 ω µ g µ g 4 ω ω 4 s s Md = () = + hålls llko + µ g 4 ω µ g 4 ω s s ω ω Exmpl.: E mkasm bså a hylsa d som ka öa sg på fx kal såg. E spåfösdd såg oa md klhasgh och klacclao kg fx axl d. såd få axl ll d kala såg ä b. Md app följ hylsa spå såg och gas dämd ll kal öls. säm hylsas hasgh och acclao uycka, och. Fgu. Mkasm. Lösg: ag a öls fösggå x-y-pla, d s z =. Elg (.5) gäll då a = +, a = ( ) + ( + ) d ga gom följ a Da g b b bs = = ( s ) = (.) cos cos cos bs b b b = + = + ( s cos) = + = j cos cos cos cos (.) följ a 8

29 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa bcoscos bs ( cos )( s ) bs b( + s ) bs = + = + 4 cos cos cos cos Da g b( + s ) bs b a = ( ) + ( + ) = ( + ) + cos cos cos b bs bs bs bcos bs ( + ) = ( + ) + ( ) + = cos cos cos cos cos cos b bs b bs ( s + cos)( + ) = y( + ) cos cos cos cos j Fgu. Mkasm. Sammafag: Koodasysm Kassk Kooda: ( xyz,, ) as: (, jk, ) = x+ jy+ kz = = x + jy + kz a = = x+ j y+ k z Naulg Kooda: s as: (,, ) b = () s = = s a = = s + s Cyldsk Kooda: (,, z) as: k (,, ) = + kz = = + + kz a = = ( ) + ( + ) + k z 9

30 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Föläsg : Rla öls (.8): Röls bsks alld la fsam. m ma by fsam bl ölsbskg allmäh aa och bod på hu fsamaa ö sg la aada. V baka å fsama, fx F: ( j k ) och ölg R: ( j k ). Vad som ä fx och ad som ä ölg da sammahag ä aulgs upp ll baka. Lå = () bcka lägsko fö puk föhållad ll. Rfsams R hasgh föhållad ll F gs då a = = x + jy + kz aka pakl öls. I föhållad ll F bsks öls a = () och föhållad ll R a l = = l (). Gomsk gäll a () = () +, l (). m da da m a p d hålls sambad () = () + () (.), l dä = ä pakls hasgh föhållad ll F ( d absolua hasgh) och, l =, l ä pakls hasgh la R (d laa hasgh) (.) följ följad sambad mlla acclao a () = a () + a () (.), l m d ölga fsam saka acclao föhållad ll d fxa, d s om a () = då gäll a d absolua acclao a och d laa a, l ä lka, d s a () = a (), l I d oasåd dskusso ufö fsamaa la aslaosöls. I allmäh ka ma äka sg a fsamaa dssuom oa föhållad ll aada. Då bl sambad mlla hasgh och acclao d båda fsamaa ma komplca. M om da äsa kus mkak., l k F j k R j Fgu. Rla öls.

31 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Kafkao (.-.4). V ha dga famhåll bho a så kallad fsam ä ma ll bska öls hos pakla och malla koppa. Rfsam ä ågo oföädlg mall suku la lk d bakad kopps öls ka bskas. aka pakl öls la bsämd fsam. ag a pakl d ss dpuk ( = ) ha läg och hasgh och a öls däf gs a = ( ) = +, (.) d s pakl ä la om = ll äljg öls md kosa hasgh om. Efah säg oss a da fall gäll a pakl påkas a ågo sulad kaf, d s, F = dä F bcka summa a d kaf som ka på. mä gäll a om F = och ( ) =, ( ) = så gs d fosaa öls a (.). Da fah uycks Nwo s cpa (687) på fom som buka kallas Nwo s fösa lag. bsa a pakls acclao da fall ä lka md ollko. Nwo s fösa lag ka då uyckas F = a = (.4) E fsam lk Nwo s fösa lag (öghslag) gäll kallas alam. I alla fsama ä alama. ag x a d fxa am F fögåd as ä alam och a fö d ölga am R gäll a a. Då följ a (.4) och (.) a F = a = a = a l Lkalds komm aj fsam som oa föhållad ll alam a aa alam. Exmpl.: E fsam R fom a lasbl accla äljg öls föhållad ll äk alam F, som hä psas a d fasa mak. ag a fsams R acclao föhållad ll F gs a a = j a. aka pdlkula som ä upphägd ak på lasbls lasuymm. dl ha kosa uslagskl β. Da bä a pdlkulas acclao la fsam R, a, l = och a pdlkulas acclao la fsam F, a = a. Flägg pdlkula. Ifö ygdkaf g m och kaf få la S. D gäll a F = gm + S m a a, l = och dämd följ a fsam R ä alam. I alam gäll Nwo s ada lag gm+ S = a m= a m lk md g= k ( g) g späkaf S = a m gm= jam k( gm ) = ( ja + k gm )

32 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa k S gm g Vkl β gs då a cos β = = = S ( a m) + ( gm) a + g. a k j R k β S g m F j Fgu. Taslaad fsam, a <. Exmpl.: aka puck som la på hosoll kausll på asåd b få kauslls cum. ag a koak mlla puck och kausll ä gla, d s µ s = och a kausll R oa md klhasgh ω > föhållad ll alam F. Lå ( j k ) aa fx alam och lå ( ) aa fx d oad am. g k R b g m j F R Fgu. Road fsam. Flägg puck. å puck ka ygdkaf gm = k( mg) = ( mg) och koakkaf mlla kausll och puck R = N. uck bf sg la föhållad ll alam. Sålds gäll a a = och dämd följ, lg (7.), a F = gm + R= ( ) mg + N = N = mg I d oad fsam ufö puck cklöls md klhasgh ω och da ä däfö alam. D gäll a

33 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa a, = ( ) l bω R Fgu.4 Road fsam. Nwo s ada lag koppla, s moda fomulg, samma kaf och acclao d bömda foml F = a m (.5) dä m ä pakls massa och F bcka kafsumma, d s om pakl påkas a kafsysm bsåd a aal pukkaf ( F, ),...,( F, ) så gäll a F = F (.6) = Ekao (.5) kallas ä kafkao. D ä glg alam. F a k Ialam j Fgu.5 E pakls öls la alam.

34 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Fs d kafkao ä fsam som ä alam? Ja, d gö d m d käs då a ma fö så kallad öghskaf. aka d acclad fsam R Exmpl. oa. aka pakl som ö sg md acclao a, l la da fsam och md acclao a la alam F. Då gäll, lg (.) a a = a + a, l Vda gäll, fsom F ä alam, a F = a m dä fall pdlkula F = gm + S. da följ då a F = a m= ( a + a ) m F a m= a m (.7), l, l m u fö öghskaf (sysmpukskaf) F = m sys a och sk F = F + F (.8) l sys så ka (.7) skas F = a (.9) l m, l lk uyck kafkao d acclad fsam. bsa dock a hä ha gas föa d fka öghskaf F sys och adda da ll d klga kafa lg (.8). V ka uycka d så a Nwo s ada lag ha åuppäas d acclad fsam m ll ps a a bhö föa öghskaf. I fall md pdl hålls gm+ S+ F = ( g a ) m+ S = a m (.) sys, l m fö gl = g a så ka (.) skas g m+ S = a l, l m a jämföa md kafkao alam gm+ S = a m d s acclao ädas få a ll a, l ä gå få alam ll d acclad am och ygdacclao ädas få g ll g l. bsa a ygdacclao g l bl dsbod om a ä kosa. Nwo s dj lag uyck lag om ka och moka mlla koppa. aka å koppa och som ä koak puk. Flägg koppaa och fö kafka få på 4

35 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa psad a pukkaf-mom ( R, M, ) och kafka få på ; psad a ( R, M, ). S dasåd fgu! Då gäll lg Nwo s dj lag R = R, M = M Da lag ä själa k kosks a llko a Nwo s ada lag skall gälla fö alla koppa. R M M R Fgu.6 Nwo s dj lag. Exmpl.: Ndasåd fgu ä hämad u lmä fyskbok. da md sö kaf och! Fgu.7 Vm dagkamp? Fgu oa ä msssad! Vafö? V flägg d båda koaha och, och fö y kaf lg dasåd fgu. bsa a koakkaf R få på ä lka so och mosa 5

36 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa kad koakkaf få på lg Nwo s dj lag. V aa a koaha ö sg som kopp md acclao a pos å hög. Kafkao g fö : och fö : ( ): f + R = am, ( ): N mg = (.) ( ): f R = am, ( ): N mg = (.) mg mg R R N f N f Fgu.8 Flagda koah. m komba (.) och (.) hålls kao f f f f = am ( + m) a= m + m (.) Da uyck kafkao hosoll ld fö d kopp som bså a d båda koaha llsammas. (.) följ a f > f a> d s m som dagkamp bo m på bsyka ä amsyka! Huuda koaha ka aäda s fulla bsyka bo aulgs på lk fkoskoffc som åd koak mlla sko och udlag och på das masso. V ha ämlg bgäsgaa f ms, N= ms, mg och f ms, N= ms, mg dä µ s, ä lofkosal mlla koahs sko och udlag och µ s, ä mosaad fö koah. Iom scc fco och aa fkoslau sä ma blad Nwo s dj lag u spl fö a dägom uppå öaskad och damaska ffk. ao o Müchhaus, glg Homus Cal Fdch Fh o Müchhaus, födds d maj 7 på famljs samgods sad odwd yska Ndsachs, och dog dä fbua 797. Müchhaus dlog, som kaalllöja ysk jäs, fälåg mo ukaa och bfodads 75 ll ymäsa. Som passoad jäga och gladly sällskapsma, bl ha bykad fö s fömåga a d glas bäa d ms goska och faasfulla akdo få sa jak och kgsäy. aos hso (müchhausad) löp ud has am omkg blad folk och llgodogjods a Rudolf Ech Rasp, som Lodo ga u ao Muchaus's aa of hs mallous als ad campags Russa (785). (U Wkpda) 6

37 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Nwo s laga hlosophæ Nauals cpa Mahmaca 687 Isaac Nwo

38 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Kafkao fö koppa: I Läscka, föläsg föd Eul s laga som gudläggad ölslaga mkak. D ugö udgg a Nwo s ada lag ll laga som gäll fö allmäa koppa och ba pakla. aka kopp som påkas a sysm a y kaf och mom Då gäll alam y F : ( F, M, ), ( F, M, ),,( F, M, ) F = a dm M = a dm, (.4) dä F = F, M = ( F ) + M (.5) = = ä kafsysms kafsumma och momsumma. Ekao (.4) kallas kafkao och (.4) kallas momkao. a dm C F Ialam Fgu.9 Kopp öls. Vd sask jämk fö kopp gäll a =, och dämd, lg (.4), F =, M = (.6) m kopp bså a pakla, =,..., så uycks Eul s laga a F = a m, = M = a m (.7) = 8

39 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa dä m ä massa hos pakl. a Fgu. aklsysm öls. V komm da kus a all äslg äga oss å kafkao. Momkao komm a sudas äma äsa kus. V ha följad Sas Kafkao ä kal md F = a (.8) G m dä G ä kopps masscum och m ä kopps massa. s: Kafkao, lg Eul, (.4) d d F = adm = dm = dm ( Gm) Gm Gm d = d = = a dä uyja a G = dm m m = dm., Kafkao, (.4), fö kopp ä allså dsk md Nwo s ada lag fö (äk) pakl md massa m placad och mdföljad kopps masscum G och påkad a kafsumma F. Kafkao ä sålds kao fö masscums öls. S fgu da! bsa a da kao gäll oas kopps kosuo. D gäll fö alla koppa såäl fasa och flyad koppa som gas. Kopps öls (oao) kg s masscum bsäms a momkao (.4). Da skall suda äsa kusmom. V komm da kus a fokusa på kao (.8). 9

40 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Sammafag: Kafkao F = a m, G F = F = F G G a G Fgu. Masscums öls. 4

41 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Kafkao olka koodasysm (.4-.5): Fö a kua haa kafkao på ffk sä mås ma kua psa d olka koodasysm. V komm ämas a fomula kafkao Casska kooda. Lå ( j k ), ( x, y, z ) aa fx alam och lå G = xg + jyg + k zg, ag = xg + jyg + kzg, F = Fx + jfy + k Fz Kafkao F = a ä då kal md kompokaoa: G m Fx = agx, m Fy= agy, m Fz = agz, m F G G a G k Ialam j Fgu. Masscums öls Casska kooda. Exmpl.4: T sla klossa, och md massoa m, m och m, spk, lgg på hosoll bod lg dasåd fgu. Klossaa ä koak md aada ö sdoyo som aas aa glaa. Kloss påkas a hosoll kaf F. Koak mlla klossaa och bod ä sä md d saska fkosal µ s och d kmaska fkosal µ k. V aa a F > msmg, dä m= m+ m + m. säm koakkafa mlla koppaa! F Fgu. Masscums öls Casska kooda. 4

42 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa Lösg: Flägg klossaa. Ifö ygdkaf, koakkaf mo bod och koakkaf (omalkaf) mlla klossaa. j F G mg f N G mg mg N f N N N G f Fgu.4 Flagda klossa. Fö kloss gäll: ( ): F f N = x m, ( ): N mg= y m = (.) G G Fö kloss gäll: ( ): N f N = x m, ( ): N mg= y m = (.) G G Fö kloss gäll: ( ): N f = x m, ( ): N mg= y m = (.) G m adda kaoa (.) -(.) hålls kao G F f N + N f N + N f = x m + x m + x m G G G d s F f f f = x m+ x m+ x m= xm (.) G G G G. V aa a dä G ä masscum fö d sammasaa kopp f = µ N, f = µ N, f = µ N dä N, N, N > och µ, µ, µ µ s. Dämd följ, a (.) -(.), a F f f f F m ( N + N + N ) = F m mg > s s 4

43 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa lk, lg (.5) bä a x G >, d s klossaa accla å hög. Då gäll a x = x = x = x och f = µ kn, f = µ kn, f = µ kn och dämd, lg (.). G G G G (.) följ a (.) följ a F F mkmg = xgm xg = mkg (.4) m F m + m N = F mkmg ( mk g) m = F m m F m N = xg m ( ) + f = mk g m + mk gm = F m m bsa a omalkafa N och N das bo a d abgad kaf F och klossaas masso, m ä obod a fko. Dämo ä aulgs acclao hos klossaa, lg (.4), bod a fko. Exmpl.5: E flygpla flyg på höjd h ö makya och ha kosa hosoll hasgh. Få flygpla släpps låda md uusg. å låda s fallskäm som löss u på ko d m md dsfödöjg τ f d a låda läma flygpla. Ef d a fallskäm löss u ha låda das kosa kal hasgh. Hu låg säcka ha flygpla llyggalag då låda lada? Fgu.5 Flygpla. Lösg: Ifö fx Cassk koodasysm ( j k) lg dasåd fgu. Fö flygpla F gäll a ( ): x () =, x ( ) = x () =, ( ): y () =, y ( ) = y () = F F F F F F 4

44 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa j L F mg Flägg låda L. Ifö ygdkaf. Då gäll Fgu.6 Låda flagd. ( ): = x m, x ( ) =, x ( ) = x ( ) = L L L L g ( ): mg = ylm, yl( ) =, y L( ) = yl( ) = gτ Vd dpuk = bf sg låda läg xl( τ) = τ, yl ( τ ) =. Däf fall låda kal md fa. ag a låda lada på mak d dpuk = T. Då gäll a gτ gτ h= + ( T τ) T = τ + ( h ) gτ Flygpla ha d da dpuk llyggalag säcka: xf( T) = T = τ + ( h ). Exmpl.6: E mkask sysm bså a å koppa och, md massoa m = 4 kg och m = 8 kg, spk. Koppaa ä föbuda md lä, fullkomlg böjlg och oäjba la. La löp ö fya sso lg fgu. Dssa ä alla fkosf lagad på sa axla. Tssoas masso ka fösummas. Kopp ka öa sg fkosf (ulla ua a glda på små läa hjul) lägs luad pla md lugskl α =. Kopp häg f ygdkaffäl. Sysm släpps få la ugågsläg lg fgu. säm d båda koppaas hasgh d läg dä kopp ha ö sg säcka m. få ugågsläg. g = g = 9. 8 ms. 44

45 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa g Fgu.7 Mkask sysm. Lösg: Flägg d båda koppaa lg fgua da. Ifö späkaf S la, ygdkafa mg, mg och omalkaf N, N mlla kopp och d luad pla. bsa a späkaf la j ädas fsom ssoa ä läa och fkosf lagad. Ifö kooda x fö kopp och y fö kopp. Fö kopp gäll: dä dä m m ( ) : S m g s α = m ( x), ( ) : mgcosα N N = (.5) = 4kg och α =. Fö kopp gäll = 8kg. ( ): S + mg = m y (.6) mg x S S S S S y α N N mg Fgu.8 Fläggg a koppaa och. Ekao (.5) g N+ N = mg cosα m ä fö ög ossa sammahag. V ha sålds å kao, (.5) och (.6), m obkaa; S, x och y. D flad kao gs a llko a lägd hos la ä kosa. Las lägd L gs a L = L() = x() + y() + b 45

46 Mkak, Dl, Sak- och akldyamk 5, Ugåa dä b ä kosa. Ka a las lägd ä kosa g Ekaoa (.5), (.6) och (.7) g då L = x + y = x + y = x = y (.7) m msα y = g (.8) 4 m + m 9 Md bgylsllko y ( ) = y, y ( ) =, dä y g bgylsläg fö, hålls dä m msa m msa a y () = g y () = g + y = + y (.9) 4 4 m + m m + m 9 9 m msa a = g =. 46ms 4 m + m 9 lk byd a accla uppå. V sök u d dpuk då ha ö sg m få ugågsläg. Da g llko y ( ) = y, d s a = = a V da dpuk ha, lg (.9), hasgh y ( ) = a = a = a.. 94ms a (.7) följ då a x ( ) = y ( ) =. 65ms 46