Kursinformation, läsanvisningar.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys 5 hp (allmän kurs), för STS 2010-03-19 Kursinformation, läsanvisningar. Kurslitteratur: Robert A. Adams & Christopher Essex, Calculus, A complete course, 7th Edition (betecknas A nedan). Den sjätte upplagan av kursboken går också utmärkt att använda. Läsanvisningar till kursboken finns på kurshemsidan. Kurshemsida: http://www.math.uu.se/~styf/favt10/ Här finns aktuell information om kursen. Besök sidan varje dag så att du inte missar något. Mål och innehåll: Vi läser följande kapitel och avsnitt i A (både sjätte och sjunde upplagan): 10.1 10.5, 11.1 11.3, 12.1 12.9, 13.1 13.3, 14.1 14.5, 15.3, 15.4, 16.3. Undervisning: Undervisningen sker i form av 17 föreläsningar och 8 lektioner (räkneövningar) om vardera 2 45 minuter. På föreläsningarna behandlas den grundläggande teorin och illustrativa problem löses. Lektionerna ägnas helt åt problemlösning. Läsanvisningarna innehåller förslag på problem som bör förberedas till varje lektion. Varje lektion inleds med lösandet av ett par i i förväg utdelade uppgifter (kallade redovisningsuppgifter eller kryssproblem, se nedan för ytterligare beskrivning). Detta bör normalt ta högst 45 minuter. Redovisningsuppgifter: Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas för redovisningsuppgifter eller kryssproblem. I början av varje lektion cirkulerar en lista på vilken varje student kan kryssa för de problem som hon/han är beredd att lösa framme vid tavlan. Därefter tar läraren, med slumpens hjälp, ut en student som får presentera sin lösning framme vid tavlan. Under lösningsprocessen skall hela klassen, framför allt de som kryssat problemet, vara aktiva (ställa frågor och komma med förslag till ändringar/tillägg). Efter en stund avbryter läraren och proceduren upprepas för nästa problem. Observera att alla som har satt ett kryss vid en uppgift får tillgodoräkna sig uppgiften. Av dig som löser ett problem vid tavlan krävs inte att lösningen är fullständig eller korrekt. Det enda som krävs är att det måste vara uppenbart att du har förberett sig väl. Om så inte är fallet har du nog chansat på att slippa bli utvald att lösa uppgiften. Konsekvensen blir att du inte får tillgodoräkna dig något av de problem som du kryssat under den aktuella lektionen eller tidigare lektioner. Du blir alltså helt nollställd! 1

Man kan givetvis förbereda sig individuellt för dessa presentationer, men bäst är kanske att arbeta i en grupp med c:a tre medlemmar. Dels blir då arbetsbelastningen för var och en mindre, vad gäller problemlösningen. Dels kan man hjälpa till med att förbättra varandras presentationer. För redovisningsuppgifterna belönas du med maximalt 2 bonuspoäng: Om du kryssat minst en uppgift på varje lektion får du en bonuspoäng. Om du kryssat minst 75% av redovisningsuppgifterna (till exempel 12 av 16 om det är två uppgifter per lektion) får du en bonuspoäng. Om du är frånvarande från en lektion på grund av sjukdom kommer du, efter uppvisande av sjukintyg från läkare, att få tillfälle att senare redovisa uppgifterna. Om du är frånvarande från en lektion av annat skäl kan du be en kurskamrat (ej läraren!) att kryssa de problem du förberett, så att du deltar i lottningen. Om du råkar bli utlottad så får du redovisa senare. Observera att du då inte kan göra om detta, d.v.s du får inte en gång till låta någon kryssa i ditt ställe. Bonuspoängen adderas till skrivningspoängen vid ordinarie tentamen i maj 2010 men detta sker ej vid andra tentamenstillfällen. En preliminär plan för föreläsningarna ser ut som följer: Föreläsning Innehåll Kapitel i A 1 Inledning, R 2, R 3. 10.1 10.5 2 Vektorvärda funktioner, kurvor, båglängd 11.1 11.3 3 f(x, y), f(x, y, z), gränsvärden, kontinuitet, partiella derivator. 12.1 12.3 4 Högre derivator, linjära approx., df. 12.4, 12.6 5 Kedjeregeln. 12.5 6 Gradient, riktningsderivata. 12.7 7 Implicita funktioner, funktionaldeterminanter. 12.8 8 Taylorutveckling, lokala extremvärden 12.9, 13.1 9 Extremvärden på kompakta mängder. 13.2 10 Bivillkor, Lagranges multiplikatorer. 13.3 11 Dubbelintegraler. Itererad integration. 14.1, 14.2 12 Generaliserade integraler, polära koordinater. 14.3 14.4 13 Trippelintegraler. 14.5 14 Kurvintegraler. 15.3 15.4 15 Greens formel 16.3 16-17 Reserv, repetition, problemlösning 2

Examination: Förutom de ovan nämnda redovisningsuppgifterna består examinationen av en (frivillig) dugga i slutet av april samt sluttentamen i slutet av maj. Om du har minst 50% av totalpoängen på duggan så belönas du med full poäng på första uppgiften. Observera att duggaresultatet bara får användas vid den ordinarie tentamen i maj 2010. Du ska anmäla dig till duggan och tentan senast 15 dagar innan. Gör det på institutionens hemsida www.math.uu.se/, där du även kan kontrollera tid och plats. Lärare: Bo Styf: styf@math.uu.se, 0707-253107 (föreläsningar och lektioner). Övrigt: Måndagar - torsdagar, klockan 17-19 i sal P2144, finns möjlighet att få hjälp på den så kallade Mattesupporten. Utnyttja den!! Uppsala som ovan Bo Styf 3

Läsanvisningar Kapitel 10 11 Undervisningsmoment: Föreläsning 1-2. Aktuella avsnitt: 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, (10.6), 11.1, 11.3. Huvuddelen av det som står i kapitel 10 bör du känna igen från algebrakursen. Bläddra igenom dem för att konstatera att/om så är fallet och för att bekanta dig med bokens skrivsätt och terminologi, i vissa avseenden skiljer den sig från de du tidigare använt. Bekanta ting hittar du särskilt i avsnitten En stor del av denna kurs kommer att tillbringas i det tredimensionella euklidiska rummet, ofta betecknat E 3 och på ett intimt och intrikat sätt relaterat till det mer bekanta R 3, dvs. mängden av alla reella taltripplar (x, y, z) försedd med sedvanlig strukturer. Det är därför viktigt att du snabbt känner dig hemma där och lär känna de viktigaste invånarna: linjer och plan; sfärer, ellipsoider, paraboloider, cylindrar, koner och hyperboloider; delmängder av dessa, t.ex. kurvor, uppkomna via skärningar av olika slag. Avsnitten 10.1 och 10.5 (samt senare 12.1) är särskilt viktiga i detta avseende. Varför inte göra upp en tabell av de viktigaste på ett pappersark med en skiss av ytan eller kurvan åtföljda av lämplig ekvation? Jag har försökt välja ut problem som dels tar upp sådant som är nyttigt inför det följande, dels är så varierade som möjligt. Det är naturligtvis inte nödvändigt att räkna igenom allihop utan det viktiga är att Du försöker lösa de problem som gör det spännande att titta i facit; samt att du verkligen har gjort allvarliga försök på så många problem innan lektionen att du kommer dit laddad med frågor. 10.1 Att kunna: Höger- och vänstersystem. Ekvationer för plan, räta linjer, sfärer, elliptiskaoch paraboliska cylindrar (Ex. 2, 3). Olikheter (Ex. 4). Skärningar (Ex. 5). Rekommenderade problem. 1, 5, 12-23, 24-29 (här är det bra att först tänka kvalitativt : hmm.., det rör sig om skärningen mellan ett plan och en cylinder, hur kan nu det se ut?, innan man ev. bestämmer en mer exakt analytisk form), 33, 34, 37, 40. 10.2. Här handlar det om att kunna handskas med vektorer och särskilt att känna sig hemma med skalärprodukten ( the dot product ). Lös som övning på detta problem 6 och 7 i avsnitt 10.1 med vektormetoder. Rekommenderade problem. 2, 4, 10, 18. 10.3. Vektorprodukten kommer vi att uteslutande använda för att konstruera en vektor i rummet som är vinkelrät mot två givna vektorer. Rekommenderade problem. 1, 5. 10.4. Vi kommer att arbeta mycket i tre dimensioner och det är viktigt att kunna handskas med linjer och plan, de i många avseenden enklaste objekten där. Läs noga Example 1 (sid. 4

586) som handlar om plan och se till att du förstår det som står där. När det gäller räta linjer så spelar Example 5 (sid. 589) samma roll. Rekommenderade problem. 2, 4, 5, 15, 17. 10.6. Materialet här kommmer vi att använda i begränsad omfattning senare, så du kan gärna vänta med detta avsnitt. 11.1 Att kunna: Begreppen läge, hastighet och acceleration. Rekommenderade problem. 1, 3, 5, 7, 17. 11.3 Att kunna: Parametrisera enkla kurvor, alltså beskriva kurvan som det i tiden varierande läget för en partikel (punkt). Beräkna båglängden av kurva. Rekommenderade problem. 5, 7, 9, 13, 16, 19. Kompletterande problem: 1. Låt Γ vara skärningskurvan mellan ytorna 3x 2 + 4y 2 4x z = 0 och x 2 + 3y 2 + 2y z = 1 och låt Γ p vara projektionen av Γ på xy-planet. Parametrisera Γ och Γ p. Är Γ en plan kurva? 2. Låt A vara en mängd i R n. a) Visa att mängden av inre punkter till A, betecknad A o, är öppen, och att det i själva verket är den största öppna mängd som innehålls i A. b) Visa att randen till A, betecknad A (eller som i boken, bdrya) är en sluten mängd. c) Visa att det slutna höljet A till A, dvs. föreningsmängden av A och A, är en sluten mängd, och att det är den minsta slutna mängd som innehåller A. 3. Visa att kurvorna x = cos t x = e s y = sin t och y = s 2 z = t/2π z = 1 s skär varandra i punkten (1, 0, 1) samt bestäm vinkeln mellan dem där. 4. (The ultimate challenge!) Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel som uppstår när planet x + 2y + z = 1 skär sfären x 2 + y 2 + z 2 = 1. 5

Kapitel 12 Undervisningsmoment: Föreläsning 3-8. Aktuella avsnitt: 12.1 12.9. Det handlar här om att utvidga de grundläggande begreppen: speciellt derivata från en till flera dimensioner. gränsvärde, kontinuitet och 12.1 Här definieras ett antal begrepp: Funktioner av flera variabler och deras definitions- och värdemängder. Mängden G f = {(x, y, f(x, y)) (x, y) D f } är grafen till funktionen f(x, y). Detta är ekvivalent med att säga att G f är grafen till ekvationen z = f(x, y). Grafen är normalt en yta i R 3, men ibland är grafen en kurva, en punkt eller kanske tomma mängden. Det är extremt viktigt att du lär känna graferna till ett antal enkla och grundläggande funktioner. Se exempel 1 2 (och många fler!). Mängden L c = {(x, y) D f f(x, y)) = c}, där c R är en nivåkurva till funktionen f(x, y). Normalt är L c en kurva i R 2, men det kan hända att nivåkurvan är en punkt (t.ex. L 0 då f(x, y) = x 2 + y 2 ) eller tomma mängden (vilket inträffar då c ej tillhör värdemängden). Se exempel 3 7. Rekommenderade problem. 1, 3, 5, 8, 11, 14, 15, 19, 20, 25, 37,39. 12.2 Här definieras gränsvärdesbegreppet, som väsentligen fungerar som tidigare: definitionen är densamma fast med ett till R 2 (eller R 3 ) justerat närhetsbegrepp, samma regler som vanligt gäller (dvs. gränsvärdet av en summa är summan av gränsvärdena etc) och med hjälp av dessa samt enkla standardgränsvärden fås att även nu är alla elementära funktioner kontinuerliga. På det sättet klaras de flesta gränsvärden av; de som återstår kräver specialbehandling, till exempel: Med hjälp av polära koordinater. Exempel 5 sid. 679 löses enklast så. Undersökning av beteendet längs olika kurvor (ex. 3,4 sid. 678). Observera att detta endast ger icke-existens av gränsvärde. Algebraiska manipulationer. Rekommenderade problem. 1, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13. 12.3 Här gäller det partiella derivator. Du bör lära dig Definition 4 (ibland är det nödvändigt att gå tillbaks till den för att bestämma en funktions derivata) samt göra klart för dig att den partiella derivatan endast ger en-dimensionell information - jfr. bilderna på sid 682. I praktiken beräknas sedan de partiella derivatorna på precis samma sätt som i det rena en-variabelfallet; alla de gamla vanliga reglerna och formlerna gäller. Om en funktion av en variabel är deriverbar i en punkt, vet man att dess graf kan approximeras väl av tangenten nära punkten. I boken (sid.684 f.) definieras tangentplanet i en punkt, och detta existerar så fort funktionens två partiella derivator existerar i punkten. Detta medför (naturligtvis?) inte att funktionens graf approximeras väl av tangentplanet i alla 6

riktningar utan bara i riktningar parallella med axlarna. Vi återkommer därför till detta i mer detalj senare (avsnitt 12.6 och 12.7). Rekommenderade problem. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 25, 28, 31, 39. 12.4 Högre derivator är det inga problem att förstå, eftersom man alltid deriverar med avseende på en variabel i taget. Rekommenderade problem. 1, 3, 9, 15. 12.5 Kedjeregeln (eller snarare kedjereglerna) i detta avsnitt kräver litet eftertanke, det finns en mängd olika varianter beroende på vilken typ av sammansättning det är frågan om. När det gäller förstaderivator inser man dock snart att det helt enkelt gäller att summera över de mellanliggande variablerna, medan formler involverande högre derivator (Sid. 699 ff.) blir litet mer komplicerade. Här kan säkert en noggrann genomläsning av Example 9 (sid. 700) vara av värde. Jag hoppas också att den operatormetodik jag tänker ta upp på föreläsningen kan vara till hjälp vid den här typen av problem. En bra typ av övning på kedjereglerna, som tyvärr ej finns representerade i boken, exemplifieras av de kompletterande problemen nedan samt utdelad problemlapp (problemen 3-8). Rekommenderade problem. 1, 3, 7, 9, 13, 15. 12.6 I den matematiska analysen approximerar man ofta krökta objekt som kurvor och ytor med sina linjära motsvarigheter - linjer och plan. En kurva växer t.ex. nära en punkt precis när dess tangent i punkten har positiv lutning, tangentens lutning smittar av sig på kurvan. På samma sätt studeras (funktions-)ytor med hjälp av tangentplan, men för att dessa skall smita an till ytan i alla riktningar hjälper det inte att de partiella derivatorna existerar; dessa beskriver ju bara ytans beteende i två riktningar. Det rätt tekniska villkor på en funktion som kallas differentierbarhet (Def.5, sid. 704) är vad som krävs för att approximationen skall fungera bra i alla riktningar. Att detta är uppfyllt för snälla funktioner framgår av det mycket bekväma resultat (Theorem 4, sid. 705) som säger att det räcker att de partiella derivatorna är kontinuerliga, något som ofta helt enkelt syns. I vissa fall - som i Kompletterande Problem xx och yy nedan - får man göra en specialundersökning av vissa enstaka punkter på det sätt som gicks igenom på föreläsningen. Rekommenderade problem. 1, 3. 12.7 Här införs den mycket användbara gradienten med vars hjälp man bl.a. kan undersöka hur en funktion ändras när man rör sig i vilken riktning som helst (Def. 6 och Theorem 7), alltså inte bara parallellt med axlarna. Dess viktiga geometriska egenskaper sammanfattas överst på sid. 718 - läs och reflektera! Rekommenderade problem. 1, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 26, 27. 12.8 I detta avsnitt behandlas en frågeställning som analytiskt kan uttryckas sålunda: När kan vi ur en (eller flera) ekvationer lösa ut en (eller flera) variabler?. F (i) (x, y, z,... ) = 0, i = 1, 2,... Geometriskt är det frågan om att avgöra om en kurva (yta, hyperyta ), kan beskrivas som en funktionskurva (funktionsyta, el.dyl.). 7

I princip gäller att vi kan lösa ut en variablel för varje ingående ekvation (varje ekvation lägger till ett tvångsvillkor och minskar dimensionen, dvs. antalet oberoende variabler, med ett). Villkoret för att detta garanterat skall gälla är att funktionaldeterminanten av funktionerna i vänsterleden, med avseende på de utlösta variablerna är skild från noll. Det bästa sättet att få en känsla för hur det fungerar är att skriva upp några enkla fall; Theorem 8 (sid. 731), ser onödigt tilltrasslad ut. Observera också att det rör sig om en existenssats, vi vet att funktionen finns, men inte hur den ser ut. Att vi trots det kan räkna ut dess derivata (-or) kan tyckas märkligt (se Ex.3). Rekommenderade problem. 1, 3, 11, 13. 12.9 Här behandlas Taylorutvecklingar i flera variabler. Det gäller att få en känsla för utvecklingens allmänna utseende och att vara bergsäker på termerna av grad 2 (någon gång kan man behöva dem av grad 3 och 4). Vidare bör man kunna bestämma dessa termer, dels genom derivering och instoppning (Example 1), dels genom användande av kända envariabelutvecklingar (Example 2). Vi kommer mest att tillämpa detta vid undersökning av lokala extremvärden. Rekommenderade problem. 7, 8, 9. Kompletterande problem: 1. Lös den partiella differentialekvationen x f x + y f y = 0 genom att göra variabelbytet u = x 2 /y, v = x/y. 2. Bestäm de funktioner g(x, y) = f(x 2 /y) som uppfyller 2xy 2 g x y + x2 2 g x 2 + y g y = g. 3. Visa att funktionen f(x, y) = väljs lämpligt. 2 cos x cos y x 2 + y 2 blir differentierbar i hela R 2 om f(0, 0) 4. Låt funktionen f(x, y) vara definierad som f(x, y) = x y2 + y 3 x 2, (x, y) (0, 0), + y2 f(0, 0) = 0. Undersök om funktionen är kontinuerlig, deriverbar (dvs. differentierbar i (0,0). har partiella derivator) och 8

5. Visa att relationen ln(xy) (x 1)e y 1 = 0 definierar y som funktion av x nära x = 1. Visa också att denna funktion har en stationär punkt i x = 1 samt bestäm dess karaktär. 6. Visa (ex.vis genom att visa att vi kan lösa ut två av variablerna som funktioner av den tredje) att de två nivåytorna x 2 + y z 3 = 3 och xy 2 + z = 0 skär varandra i en kurva genom punkten (1, 1, 1). Bestäm sedan, på två sätt, tangenten för kurvan i den angivna punkten. 7. Se också Kompletterande problem till kapitel 12, som du hittar på kurshemsidan. 9

Kapitel 13 Undervisningsmoment: Föreläsning 9-11. Aktuella avsnitt: (12.9), 13.1 (ej Theorem 3, sid. 746), 13.2 (ej sid. 754-755), 13.3 (ej sid. 763). Nu handlar det om att tillämpa vad vi vet om derivator vid olika typer av extremvärdesundersökningar. Tänk först igenom hur det fungerar i en variabel. Vi antar att vi har en reellvärd funktion definierad på ett slutet intervall I = [a, b]: Till att börja med har vi lokala extrempunkter, dvs. punkter P 0 sådana att det finns en omgivning till dem (ett litet pytteintervall, med andra ord) så att funktionsvärdet i P 0 är större än - eller mindre än - alla andra värden i omgivningen. Litet pittoreskt skulle man kunna säga att en alpinist befinner sig på en bergskam i tät dimma så att hon tror sig befinna sig på bergets högsta topp. Dessa punkter finns antingen bland dem där derivatan är noll - stationära eller kritiska punkter - eller där derivatan ej existerar, t.ex. en spets (som t.ex. funktionen f(x) = x nära x = 0.) När man bestämt de möjliga lokala extrempunkterna kan man undersöka deras karaktär, dvs. om det rör sig om maximum, minimum eller terrasspunkter. Detta gör man t.ex. genom att undersöka andraderivatans tecken. Vad beträffar globala extrempunkter på I, - den högsta toppen, och nu har dimman lättat! - eller den djupaste gropen på hela intervallet - så finns det två moment i sökandet efter dessa. Först ett teoretiskt, armviftande argument: om funktionen är kontinuerlig och intervallet som sagt slutet så vet vi att det verkligen finns globalt maximum och minimum (känd sats). Sedan, när det gäller att verkligen hitta dem, så räcker det att undersöka tre kategorier av punkter: inre stationära (vars karaktär ej behöver vara känd!), punkter där funktionen ej är deriverbar (oftast finns det inga sådana) eller randpunkterna. Man räknar helt enkelt ut funktionsvärdena i dessa och ser vilket som är störst respektive minst så är saken klar. 13.1 Som framgår av detta avsnitt fungerar det på motsvarande sätt i flera variabler. Nu är det slutna intervallet I ersatt med en sluten mängd i R 2 eller R 3 eller... De stationära (kritiska) punkterna känns igen på att alla partiella förstaderivator (eller helt enkelt: gradienten!) är noll i dem. Bestämningen av karaktären hos en lokal extrempunkt blir mer komplicerad eftersom vi nu inte bara har en utan flera andraderivator att ta hänsyn till. I boken behandlas detta på sidorna 744-749. Viss hjälp bör du ha av att känna till begrepp som kvadratisk form och positivt definit och dess släktingar från den linjära algebran. 13.2 Rekommenderade problem. 1, 3, 4, 5, 9, 12, 20, 21. Även bestämningen av globala extremvärden blir mer komplicerad eftersom ändpunkterna till ett intervall nu ersätt med randen av ett område i R n, n > 1, vilken är en kurva eller yta av något slag. I detta avsnitt visas hur man kan bete sig i enklare fall (där det typiska är att det går att eliminera en eller flera variabler). Rekommenderade problem. 1, 3, 4, 9. 10

13.3 Här behandlas bestämningen av globala extremvärden i det det allmänna fallet. Det svåra är, i allmänhet, att hitta extrempunkterna på randen av området. Det problemet löser man antingen genom användande av Lagrangemultiplikatorer eller (ekvivalent) med användning av något determinantvillkor. Det är helt enkelt så att eventuella extrempunkter finns bland de punkter där gradienten för funktionen, vars extremvärden skall bestämmas, är vinkelrät mot randen. Detta kan även uttryckas som att gradienten för funktionen, vars extremvärden skall bestämmas, och gradienterna för de funktioner, vars nivåytor (-kurvor) definierar området, är linjärt beroende. Som du vet från den linjära algebran kan detta villkor formuleras på flera olika sätt. Rekommenderade problem. 1, 2, 3, 9, 11, 19. Kompletterande problem: 1. Bestäm, om de existerar, största och minsta värde av f(x, y) = x(x + y 2 4) på mängden 4x 2 + 2y 2 9. 2. Bestäm alla lokala extremvärden till funktionen f(x, y) = x 2 + xy 2 + y 5, samt avgör deras karaktär. 3. Mellan vilka gränser varierar x 3 + y 3 + z 3 då x + y + z = 1 och x 2 + y 2 + z 2 = 1? 4. Visa att funktionen f(x, y) = x 2 (1 + y) 3 + y 2 har en enda stationär punkt (x 0, y 0 ) som är lokalt minimum. Visa också att f(x 0, y 0 ) inte är funktionens minsta värde, genom att visa att den antar alla reella värden. Hur är detta möjligt? 5. Bestäm de kritiska punkterna till funktionen f(x, y) = xy 2 yx 2 4x samt undersök deras karaktär. 11

Kapitel 14 Undervisningsmoment: Föreläsning 12-14. Aktuella avsnitt: 14.1, 14.2, 14.3 (ej sid. 805-806), 14.4, 14.5, 14.6. Vi lämnar nu deriverandet och dess tillämpningar och kommer istället in på integration av funktioner av två eller flera variabler. Observera att precis som motiveringen för införandet att integralen i envariabelfallet är beräkning av arean under grafen till en funktion och över ett intervall så rör det sig nu om beräkning av volymen under en yta som beskrivs via grafen z = f(x, y) till en funktion f och över ett område i (x, y)-planet. Det är viktigt att du har denna bild (figuren 14.1 försöker illustrera det hela) klar för dig, inte minst vid beräkning av integralen by inspection (jfr. sid 794-795 i boken med åtföljande problem). När det gäller den teoretiska konstruktionen så sker den helt analogt med det endimensionella fallet: man bildar indelningar och Riemannsummor (se Figure 14.3) etc. och får en definition av integrabilitet för begränsade funktioner. Utgående från denna kan man sedan dels bevisa att integralen uppfyller de regler man förväntar sig (uppräknade på sid. 794), dels att kontinuerliga funktioner och funktioner vars diskontinuitetspunkter bildar en försumbar mängd är integrabla. 14.1 Användandet av symmetri-och paritets- (jämn eller udda) resonemang underlättar ofta arbetet avsevärt, studera noga Ex. 3 sid. 794-795 för detta. Rekommenderade problem. 13, 14, 16, 17, 18, 19. 14.2 Beräknandet av dubbelintegraler sker via integration av en variabel i taget, först i det enkla fallet med axelparallella rektanglar (Ex. 1, sid. 798), därefter på områden av D x ( y-simple ) eller D y ( x-simple ) typ, se ex. 2-4 på sid. 799-801. Rekommenderade problem. 1, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 15, 19, 21, 22. 14.3 Den enda del av detta avsnitt som jag kommer att ta upp är den första som handlar om generaliserade integraler av en positiv funktion och jag gör det via ett par exempel som jag rekommenderar dig att meditera över. Rekommenderade problem. 1, 3, 4. 14.4 Här kulminerar behandlingen av dubbelintegraler genom att vi tar upp variabelsubstitutioner. De absolut viktigaste fallen är byte till polära koordinater samt linjära byten. Det första fallet är behandlat i detalj i boken (sid.808-812). Det linjära fallet behandlas inte utförligt, men utgör ett enkelt fall av de allmänna variabelbyten som tas upp på sid. 814-816. I EX. 10 behandlas ett linjärt variabelbyte. Se även Problem 3 nedan. Rekommenderade problem. 1, 3, 5, 7, 11, 21, 23, 33. 14.5 Här behandlas trippelintegraler och mycket av det som sker är helt analogt med vad vi redan mött hos dubbelintegraler; även här kan man komma långt genom att bara sitta och titta på intgralen ( inspection ), jämför Example 1, sid. 818. I allmänhet blir dock den geometriska analysen av det område som integreras över litet komplicerad eftersom det ligger i tre dimensioner. För att få kläm på hur analysen av dessa områden kan se ut 12

rekommenderar jag studium av Example 2, 3 och 4 (sid. 819-821) samt de exempel som gicks igenom på föreläsningen. Den typ av komplikation som behandlas i Example 5 och 6 (sid. 785-786) kan du ta litet lättare på. Rekommenderade problem. 1, 2, 3 ( inspection ), 5, 7, 14. 14.6 Här behandlas variabelbyten i trippelintegraler. De koordinatbyten som gås igenom här är viktiga, kanske särskilt de rymdpolära ( spherical, sid. 827), de dyker ofta upp i olika tillämpningar. De cylindriska (sid. 825) kan litet mindre högtidligt ses som att man genomför en itererad integration genom att först integrera över z och sedan använder polära koordinater i planet. Rekommenderade problem. 1, 3, 5, 7, 15, 17, 25, 27. Kompletterande problem: 1. Beräkna (x + 1) dxdy, Ω där Ω är det ändliga område som begränsas av kurvorna y = x 2 + 2x och y = x + 2. 2. Beräkna y x dxdy, där Ω är triangeln med hörn i punkterna (0, 0), (0, 1) och (1, 1). 3. Beräkna där Ω = {(x, y); y + 1 x y + 3, x 2 y}. 4. Beräkna Ω D Ω dxdy (x 2 y 2 ) 2, arctan y x dxdy, där D definieras genom 1 x 2 + y 2 9, x/ 3 y 3. 5. Beräkna Ω 1 x y x 2 + y 2 2x + 3 dxdy. Här ligger Ω i första kvadranten och uppfyller olikheterna 1 (x 1) 2 + y 2 4, 1 x 2 + (y 1) 2 4. (Ledning: använd en variabeltransformation som direkt överför området i en axelparallell rektangel!) 6. Beräkna Ω 2xy x 2 dx dy, + 2y2 där Ω ges av olikheterna x 0, y 0, x 2 + 2y 2 1. 13

7. Beräkna trippelintegralen z e x2 +y 2 dx dy dz, Ω där Ω = {(x, y, z); 0 z x 2 + y 2 2}. 14