Räknare och datorer i funktion

Räknare och datorer i funktion Gunnar Gjone Datorer och grafiska räknare är användbara hjälpmedel i undervisningen. Här ges exempel på de möjligheter som enkla räknare och kalkylprogram kan erbjuda vid arbete med funktioner. Räknare och datorer spelar en allt större roll i samhället och skolan. Det börjar bli vanligt att man använder datorer på tidigare stadier. Med utvecklad pedagogisk programvara kan de användas vid matematikinlärning. Introduktionen i skolan har i stort följt samma mönster i de flesta länder. Utvecklingen har ofta gått stegvis. Först har intresset för maskinvara dominerat, senare har man insett behovet av bra program. Man kan nu också lägga till ett tredje steg användningen av Internet i undervisningen. Det har gjorts och görs stora satsningar på att införa datateknologin i skolan i många länder. Stora resurser har gått till att utreda maskinvara och att skaffa fram program. I t ex Norge är man nu i ett skede där man frågar sig varför det inte har skett mer. Dessa frågor utgör en viktig bakgrund när det gäller IT i skolsammanhang. Man har ofta diskuterat IT som ett svar utan att man samtidigt har ställt och diskuterat frågan varför. Användning av IT skall, enligt min mening, vara en hjälp för lärare. Tekniska hjälpmedel kan användas på olika sätt i matematikundervisningen. Gunnar Gjone är professor vid Institutt for lærerutdanning og skoleutvikkling, ILS, Oslo universitetet. Han är med i ledningsgruppen för KIM-projektet, ett samarbete mellan Telemarksforskning, Notodden och ILS. Översättning Bo Rosén. De kan ge oss svar på givna uppgifter. Med givna menas inte bara uttryck av formen 2 + 3 =. Det kan även vara att rita en graf till en given funktion. De kan vara redskap för att undersöka och pröva olika lösningsförslag. Genom undersökningar med hjälp av räknare och datorer kan eleverna bli förtrogna med funktioner. I KIM-projektet har vi analyserat elevers uppfattningar av funktionsbegreppet. Med diagnoser har vi försökt att kartlägga deras olika uppfattningar och utifrån detta utvecklat förslag till undervisningsaktiviteter. Utgångspunkten är att datorer och grafiska räknare kan vara hjälpmedel när det gäller de olika övergångarna i Janviermatrisen (se Rosén, 1996 s 45). Det finns speciell programvara för detta syfte, t ex The Language of Functions and Graphs (Shell Centre for Mathematics Education, 1985). Min avsikt är dock att ge exempel på något av det som kan göras med mer lättåtkomliga hjälpmedel, som räknare både vanliga och grafritande och kalkylprogram. Olika representationsformer Från graf till tabell När vi har en graf uppritad på datorn eller på den grafiska räknaren, kan vi använda trace-funktionen. Vi får då en rad x- och y-värden, som ger underlag för en tabell. Nedan visas ett sådant räknarfönster. 38 Nämnaren nr 3, 1997

Från tabell till graf Kalkylprogram är speciellt lämpliga för att illustrera övergången från tabeller till grafer, punkter eller sammanhängande kurvor. Följande exempel visar rotfunktionen. Det finns nackdelar med den grafiska räknaren, som t ex avläsningsnoggrannheten på skärmen. Detta kan leda till en diskussion med klassen om räknarens begränsningar och möjligheter. Problemet är som regel inte lika uppenbart då man använder datorer, vars skärm har bättre upplösning. Från formel till graf Med hjälp av grafisk räknare, kalkylprogram eller annan programvara är det lätt att rita grafen till en funktion som ges av ett algebraiskt uttryck. Med hjälp av programmet MathPlus får man grafen nedan när man skriver in y = 2x 2 5: Från formel till tabell Möjligheten att gå från formel till tabell finns först och främst i kalkylprogram, men det är också möjligt med grafiska räknare. Här har vi en sådan tabell med värden för funktionen y =2x + 1 där vi även fått med derivatan! Det finns också andra verktyg för transformation mellan representationsformer i Janviermatrisen. I vissa program blir övergången mellan algebraiskt uttryck och graf mycket enkel. Möjligheter att rita flera grafer gör att vi kan experimentera och på det sättet bestämma ett uttryck som anpassas till grafen. Exemplet ovan är gjort i Excel där man har möjlighet att visa både funktionstabell och tillhörande graf på samma gång, och dessutom se hur grafen ändrar sig när man ändrar tabellvärdena. Jämför även med exemplet Gissa min formel. När du startar ett kalkylprogram ser övre vänstra delen ut ungefär som i nästa figur. Nämnaren nr 3, 1997 39

Möjligheten att koppla räknare och datorer till externa mätinstrument gör att elever också kan få rika erfarenheter av övergångar från situation till graf. a) Skriv in definitionsmängden till funktionen i kolumn A. (Här A1 A21). b) I kolumn B skriver du in formeln (Här =+A1^3+1), och fyller ned i de celler i B som motsvarar cellerna i A. (Här B1 B21). Dölj sedan kolumn B genom att välja 0,1 som kolumnbredd. c) Lägg in nollor i kolumn C för att kunna definiera en graf baserad på kolumn C. d) Låt programmet rita grafer utifrån tabellerna B och C. Kalkylbladet är nu förberett för elevarbete. Funktionsmaskiner Maskiner är en välkänd metod för att illustrera funktionsbegreppet och används då och då i läroböcker. Man kan illustrera en funktionsmaskin på följande sätt: in Idén är att man matar in något (t ex ett tal) i maskinen och maskinen matar ut resultat (t ex ett annat tal). Räknare och datorer kan vi se som funktionsmaskiner. ut Enkla räknare Nästan alla räknare kan utföra konstantberäkningar. Detta betyder att de kan användas som t ex lägga till 5 -maskin eller multiplicera med 3 -maskin. Några räknare har en K-tangent för att lagra en konstant, men de flesta räknare har konstanten inbyggd. Låt eleverna experimentera för att komma underfund med hur den fungerar. e) Eleverna skall nu skriva in uttryck i kolumn C som använder värdena i A, för att på så sätt få grafen att sammanfalla med den som ritats utifrån kolumn B. Finn följden Trycker man [+][5][=] på en räknare får man en lägg till 5 -maskin, dvs om du nu trycker [4][=] blir svaret 9. Vidare ger [8][=] svaret 13. På detta sätt kan man generera en rad talföljder. För lägg till 5 -maskinen kommer upprepad tryckning på [=] att ge en talföljd. Vilken? Elevuppgiften blir att söka funktionen (uttrycket) som ligger bakom. 40 Nämnaren nr 3, 1997

Kalkylprogram Kalkylprogram ger flera möjligheter till aktiviteter som utmanar elevernas kreativitet. Följande exempel är hämtat från Algebra för alla (Bergsten m fl, 1997). Gissa min formel Arbeta i par med följande deluppgifter: a) En av er skriver in en valfri formel i cell B1.Använd cell A1 som variabel, t ex B1 = A1 + 2. Kopiera sedan formeln till cellerna B2 t o m B15. När du kopierar formeln till B2 är variabeln A2, B3 har A3 som variabel etc. b) Den andra skriver in ett valfritt tal i cell A1. Prova med andra tal i A2, A3 osv. Uppgiften är nu att lista ut vilken formel som är dold i kolumn B. När du tror att du vet formeln skriver du in den i cell C1 och kopierar den till C2 t o m C15. c) Prova med olika tal i kolumn A. Visar cellerna i kolumn B och C samma tal? Är formlerna ekvivalenta? Om inte, så pröva med en annan formel i kolumn C. d) När ni är säkra på att ni har ekvivalenta formler så tittar ni efter. Är de identiska? Kan de vara ekvivalenta utan att se lika ut? Hur avgör man det, i så fall? Syftet med uppgifterna är att peka på att samma funktion kan formuleras på många olika sätt. Detta kan tas som en utgångspunkt när det gäller att skriva om algebraiska uttryck. En elev har valt formeln y = 3x + 2 och skrivit = 3 * A1 + 2 i cell B1 och kopierat till cellerna B2 t o m B15. Elev 2 prövar med några olika värden i kolumn A. Det gäller att hitta sambandet och att kunna uttrycka det med en formel i kolumn C. Experiment med grafer Vi startar med funktionsuttrycket f(x) = ax + b Vad sker när vi ändrar värdena på a och b? För att bestämma detta kan vi använda flera olika verktyg. Här är en grafritande räknare användbar. I koordinatsystemet nedan är följande funktioner ritade. y 1 =2x + 1 y 2 =3x + 1 y 3 =4x + 1 y 4 =5x + 1 En svårighet är att axlarna inte är graderade. Detta kan emellertid tas som utgångspunkt för diskussioner i klassen. Kalkylprogram med grafiska möjligheter kan också användas. Vi kan rita flera funktioner i samma diagram och grafen förändrar sig automatiskt allteftersom vi ändrar tabellen som är underlag för grafen. Exemplen ovan visar att verktyget inte alltid ritar grafer så bra som vi önskar oss. De bästa verktygen för att rita funktionsgrafer är de speciella matematikprogrammen. Avslutande kommentarer Räknare och datorer kan användas i matematikundervisningen på olika sätt. Styrkan är att de illustrerar de matematiska sambanden mycket tydligt. Medan det förut var mycket tidskrävande att rita grafer till funktioner blir ritandet nu något som automatiseras på samma sätt som när en enkel räknare utför beräkningar. En viktig fråga för alla matematiklärare är vilka konsekvenser det för med sig. Nämnaren nr 3, 1997 41

Precis som vid annan beräkning vill vi inte att eleverna skall ta räknarens resultat för givet. Vi önskar att de skall veta något om vad som ligger bakom framställningen av en graf, på samma sätt som vi önskar att de skall känna till algoritmer som används vid beräkningar. För att rita en graf har man traditionellt utgått från en funktionstabell. Detta är möjligt även då man har tillgång till räknare eller kalkylprogram. När man på detta sätt blivit mer bekant med funktionsgraferna kan man övergå till att studera kvalitativa sidor hos graferna, t ex hur konstanter påverkar grafens utseende. Det finns gott om programvara i matematik, men avsikten har här varit att peka på något av det som är möjligt med standardprogram. Användningen i undervisningen bör vara enkel. Arbetet som läggs ner på tekniken bör inte överstiga arbetet med matematikinnehållet. Med enkla kalkylprogram är detta möjligt. Litteraturlista Bergsten, C. m fl. (1997). Algebra för alla. Nämnaren TEMA. Göteborgs unversitet. Burton, L. & Jaworski, B. (Eds.) (1995). Technology in Mathematics Teaching a bridge between teaching and learning. London/Lund: Chartwell Bratt/Studentlitteratur. Centre for Mathematics Education. The Open University. (1986). Calculators in the Secondary School. Cambridge. Cambridge University Press. Clarkson, P.C. (Eds.) (1996). Technology in Mathematics Education. Melbourne: The Mathematics Education Research Group of Australia. Dahland, G. & Lingefjärd, T. (1996). Graphing calculators and students interpretations of results. NOMAD 4(2 3). Gaeng, P. (1993). Excel for Science and Technology. Grand Rapids, MI: Abacus. Orvis, W. J. (1993). Excel 4 for Scientists and Engineers. San Francisco: Sybex. Rosén, B. (1996). Funktionslära i skolmatematik. Nämnaren 23(4), 44-47. Shell Centre for Mathematical Education, University of Nottingham. (1985). The Language of Functions and Graphs. Manchester: Richard Bates Limited. Litteratur om datorer och räknare Göran Andersson: Tillämpad matematik med Maple Göran Andersson: Tillämpad matematik med Mathematica Byrge Birkeland: Mathematics with Mathcad Byrge Birkeland: Illustrated Mathematics Per Broman: Upptäck matematiken med Casio CFX 9850G CFX 9950G Spånga: AB Curt Enström. Gunnar Bäckström: Praktisk matematik med MATLAB Stefan Njord och Bengt Persson: Räkna med DERIVE David Sjöstrand: Mathematics with Excel David Sjöstrand: Matematiklaborationer med grafräknare Stockholm: Liber Utbildning. David Sjöstrand: Matematiklaborationer med grafräknaren TI 82 Stockholm: Liber Utbildning. 42 Nämnaren nr 3, 1997