MATEMATIKDIDAKTIK. Peter Frejd Department of Mathematics, Linköping University, Sweden Seminarium

Transkript

1 MATEMATIKDIDAKTIK Peter Frejd Department of Mathematics, Linköping University, Sweden Seminarium

2 SEMINARIUM 7 Vad är en funktion? Hur bildas begrepp? Exempel på funktioner 2 2

3 FUNKTIONER HISTORIK Funktion, vad är det? Functio= förättning, fungor=utföra Redan de gamla babylonierna (4000år sedan) kartlade hur himlakroppar förflyttades Det gamla grekerna med Ptolemaios (100-talet) gjorde även beskrivningar hur man kunde räkna fram funktions värdet (Katz 1993) Galileo Galilei ( ) Rene Descartes ( ) och Pierre de Fermat ( ) tar fram koordinatsystemet 3 3

4 FUNKTIONER HISTORIK Gottfrid Wilhelm Leibnitz ( ) var först med att introducera begreppet (Vilenkin, 1995) för att beskriva ett samband mellan olika sträckor som beskriver punkter på en kurva Daniel Bernoulli ( )..en formel eller ett uttryck Leonhard Euler ( ) introducerade f(x) i Introductio att en funktion av en varierande storhet är ett analytiskt uttryck. Leibnitz 4 4

5 FUNKTIONER HISTORIK Gottfrid Wilhelm Leibnitz ( ) var först med att introducera begreppet (Vilenkin, 1995) för att beskriva ett samband mellan olika sträckor som beskriver punkter på en kurva Daniel Bernoulli ( )..en formel eller ett uttryck Leonhard Euler ( ) introducerade f(x) i Introductio att en funktion av en varierande storhet är ett analytiskt uttryck. Bernoulli 5 5

6 FUNKTIONER HISTORIK Gottfrid Wilhelm Leibnitz ( ) var först med att introducera begreppet (Vilenkin, 1995) för att beskriva ett samband mellan olika sträckor som beskriver punkter på en kurva Daniel Bernoulli ( )..en formel eller ett uttryck Leonhard Euler ( ) introducerade f(x) i Introductio att en funktion av en varierande storhet är ett analytiskt uttryck. Euler 6 6

7 FUNKTIONER HISTORIK Euler 1755 a quantity should be called a function only if it depends on another quantity in such a way that if the latter is changed, the former undergoes change itself (Sfard, 1992, p.62). Lejeune Dirichlet ( ) if a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned to x there is a rule according to a unique value of y is determined, then y is said to be a function of the independent variable x (Sierpinska, 1992, p46) Dirichlet 7 7

8 FUNKTIONER HISTORIK En defintion från mängdläran. En avbildning (funktion) från en mängd A till en mängd B är en delmängd av AxB sådant att varje x ЄA är det första elementet i precis ett par i delmängden. 8 8

9 FUNKTIONER HISTORIK Från intuitiva idéer till exakta definitioner Från dynamiska procedurer till statiska strukturer Från fysikaliska samband till abstrakta matematiska begrepp. 9 9

10 HUR BILDAS BEGREPP? Funktionsbegreppet introduceras i grundskolan och i början på gymnasiet eleverna kanske förknippar en funktion till en feberkurva eller grafen till en linjär funktion. Hur skulle du själv vilja förklara för elever vad som menas med en funktion? 10 10

11 HUR BILDAS BEGREPP? Anderberg (1992), beskriver två vanliga sätt som används i läroböcker på grundskolan. 1. Man leker med en funktions maskin som kan programmeras på olika sätt. 2. Man inför ett koordinatsystem och ritar linjer och kurvor

12 HUR BILDAS BEGREPP? Ett annat sätt att introducera funktioner är att starta med en definition. T.ex. En funktion är en mängd av tal par, vilkas första element är olika F = {(1,5), (4,2), (7,1), (3,6), } F = {(1,3), (4,2), (1,5), (2,6), } 12 12

13 HUR BILDAS BEGREPP? Carleson (1968) skriver Man erkänner behovet av en precis definition först då man mot bakgrunden av sitt erfarenhetsmaterial inser att saken är så komplicerad att missförstånd eller fel kan uppstå utan precisa begrepp Carleson (1968) Man lär sig att förstå komplexa tal genom att man blir van vid dem, inte genom att man på något djupare sätt förstår vad de innebär. Hans Freudenthal (1973, sid 126) Man behöver inga särskilda definitioner för parallellogram etc. Man ställer problem där figurerna ingår och låter eleverna upptäcka vad de har för egenskaper 13 13

14 HUR BILDAS BEGREPP? Hur förstår eleverna nu vad en funktion är för något? man blir van vid det rör sig om (på ett mer eller mindre tillfredsställande sätt) Exempel och mot exempel Svit av exempel Omedvetet bildande BYGGS UPP VIA ERFARENHETER 14 14

15 - Är det sant att din hund kan räkna? - Ja, han är väldigt förtjust i matte.

16 HUR SKA MAN ÖKA ELEVERNAS BEGREPPSUTVECKLING? Bergsten (2009) Olika representationsformer Verbal Tabell Graf Formel Verbal Mätning Skiss Skapa Modeller Tabell Läsning Plottning Anpassning Graf Tolkning Avläsning Kurvpassnin g Formel Tolkning av variabler Beräkning Skissering 16 16

17 HUR SKA MAN ÖKA ELEVERNAS BEGREPPSUTVECKLING? Bergsten (2009) Tekniska hjälpmedel Laborativa material (väga, mäta, ta tid o.s.v) Analysera grafer. Analysera mönster och andra samband (omkrets,area,volym) 17 17

18 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Kurvkatalog Linjära funktioner y = kx + m Exponentialfunktioner y = Ae kx y=a x Polynomfunktioner y= ax 2 + bx + c, y = x 3 o.s.v Funktioner såsom y = k/x y = k/x 2 y = sqr(x) Trigonometriska funktioner y = A sin(kx+φ) Inversa funktioner Rationella funktioner t.ex. y = e x y = lnx f(x)=p(x)/q(x) 18 18

19 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Linjära funktioner y = kx + m Ex. Mobilabonnemang, hyra bil, kg priser, o.s.v

20 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Exponentialfunktioner y = Ae kx y=a x Ex. Pengar på banken, skuldfällan, Minskning av värdet på en bil, befolkningsutveckling o.s.v. Talet e (1+1/n)^n då n->oo 20 20

21 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Polynomfunktioner y= ax 2 + bx + c o.s.v 21 21

22 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Funktioner såsom y = k/x y = k/x 2 y = sqr(x) 22 22

23 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Trigonometriska funktioner y = A sin(kx+φ) 23 23

24 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Inversa funktioner t.ex. y = e x y = lnx 24 24

25 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Rationella funktioner f(x)=p(x)/q(x) 25 25

26 GYMNASIETS OCH HÖGSTADIET FUNKTIONSLÄRA? Diskontinuerliga funktioner och funktioner med två variabler 26 26

27 FUNKTIONER

28