Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR GRAM-SCHMIDTS METOD Med hjälp av kan vi omvandla n st linjäroberoende vektorer vv vv nn i ett vektorrum till n st ortonormerade vektorer ff ff nn som spänner upp samma rum dvs som satisfierar span(ff ff nn ) span (vv vv nn ) Gram-Schmidts ortogonaliserings- / ortonormeringsmetod Antag att vv vv nn är linjärt oberoende vektorer Först bildar vi en ortogonal bas uu uu nn Därefter normerar vi vektorerna uu uu nn och får en ortonormerad bas (ff ff nn ): uu vv uu vv pppppppp uu (vv ) vv (vv uu ) uu uu uu vv pppppppp uu (vv ) pppppppp uu (vv ) vv (vv uu ) uu uu (vv uu ) uu uu n uu nn vv nn pppppppp uu nn (vv nn ) pppppppp uu (vv nn ) vv nn (vv nn uu nn ) uu uu nn nn (vv nn uu ) uu uu Kommentarer: Vi kan med enkel beräkning visa att uu är ortogonal mot uu : vektor uu uu uu vv (vv uu ) uu uu uu vv vv uu På liknande sätt visar vi att uu är ortogonal mot uu och mot uu och i allmänt att vektorerna uu uu nn är parvis ortogonala Vektorerna är uu kk skilda från ( annars är vv kk en linjär kombination av vv vv kk som strider med antagande att vv vv nn är linjärt oberoende) Enligt och är uu uu nn linjärt oberoende (ortogonala nollskilda vektorer) som ligger i span (vv vv nn ) Med andra ord bildar uu uu nn en ortogonal bas till span (vv vv nn ) Alltså span(uu uu nn ) span (vv vv nn ) Normering: Om vi delar varje basvektor uu uu nn med dess norm får vi en ortonormerad bas: ff uu / uu ff uu / uu ff nn uu nn / uu nn Uppgift Vi betraktar rummet RR Låt W span(vv vv vv ) a) Bestäm en ortogonal bas för W
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR b) Bestäm en ortonormerad bas för W då vv vv vv Lösning: Vi använder Gram-Schmidts ortonormerings metod uu vv uu vv pppppppp uu (vv ) vv vv uu uu uu vv uu 6 / / / uu vv pppppppp uu (vv ) pppppppp uu (vv ) vv vv uu uu uu vv uu uu uu vv / uu / uu 6 / / / Härmed har vi fått en ortogonal bas B( uu uu uu ) Svar a) En ortogonal bas är B( uu uu uu ) ( / / / ) b) För att få en ortonormerad bas delar vi varje basvektor med dess norm
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ff uu uu uu uu 6 ff uu uu / / / / ff uu uu Svar b) En ortonormerad bas är ( ff ff ff ) ( 6 ) Uppgift Låt A a) Bestäm en bas för im(a) b) Bestäm en ortonormerad bas för im(a) Lösning: im(a) span( ) Med hjälp av elementära radoperationer ~ ~ ser vi att matrisen har två oberoende kolonner och att sista kolonnvektor är beroende av de första ( faktiskt parallell med första kolonn) Därför bildar första två kolonner en bas till im(a) im(a) span( ) span( ) Svar a) En bas B till im(a) består av vektorerna
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR vv och vv b) Vi ortonormerar basen B: uu vv uu vv pppppppp uu (vv ) Vi har en ortogonal bas (uu uu ) Kvarstår att normera vektorerna uu och uu ff uu uu ff uu uu Svar b) En ortonormerad bas till im(a) bildas av och Uppgift Låt A 8 a) Bestäm en bas för ker(a) b) Bestäm en ortonormerad bas för ker(a) Lösning: ker(a) är mängden av alla lösningar till A Låt z A 8 z 8 z z z Två fria variabler s zt En ledande variabel s t
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR t s t s t s Svar a) En bas till ker(a) är B ) ( Svar b) ) Vi ortonormerar basen B: u v uu vv pppppppp uu (vv ) 6 / / 6 / / 6 För att nklare normera vektorerna kan vi bta uu mot en parallell vektor som har hela koordinater t e uu 6 Alltså är u och uu 6 två ortogonala vektorer som bildar en bas till ker(a) Vi normerar de två vektorerna och får en ortonormerad bas till ker(a) C ) 7 / 7 6/ 7 / / / ( Svar: C ) 7 / 7 6/ 7 / / / ( är en ortonormerad bas till ker(a) Uppgift Vi betraktar rummet RR Låt W span(vv vv vv vv ) där vv vv vv vv Låt a) Bestäm ortogonala projektionen av vektorn på underrummet WW
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 b) Låt avbildningen T vara ortogonala projektionen av vektorer i RR på W Bestäm matrisen som hör till avbildningen T Lösning: a) Först bestämmer vi i) en bas till W ii) därefter en ortogonal bas till W ii) och till slut använder vi projektionsformeln i) En bas till W består av vektorerna vv vv vv (kolla med Gaussmetoden) ii) För att få en ortogonal bas använder vi ( kolla upp ) uu vv ff vv pppppppp uu (vv ) vv vv uu uu uu vv uu 6 / / / Anmärkning: (En liten trick att undvika beräkning med bråk) Vi kan faktiskt välja en n basvektor / / uu ff / uu vv pppppppp uu (vv ) pppppppp uu (vv ) vv vv uu uu uu vv uu uu uu vv uu 6 uu iii) Nu använder vi projektionsformel ( som är också ortogonal mot uu ) / / /
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 7 Lägg märke till att vi inte behöver enhetsvektorer i projektionsformeln Det räcker (och det är enklare att räkna) med ortogonala vektorer pppppppp WW ( ) pppppppp uu ( ) pppppppp uu ( ) pppppppp uu ( ) uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu Uppgift Vi betraktar rummet RR Låt W span(vv vv vv ) där vv vv vv Låt avbildningen T vara ortogonala projektionen av vektorer i RR på W Bestäm matrisen som hör till avbildningen T aa aa Lösning: Låt aa vara en godtckligt vektor i RR aa aa Vi bestämmer den ortogonala projektionen av på samma sätt som i föregående uppgift och därefter bestämmer avbildningens matris i) En bas till W består av vektorerna vv vv (kolla med Gaussmetoden; tredje vektorn är faktiskt summan av första två) ii) För att få en ortogonal bas använder vi ( kolla upp ) uu vv
8 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR uu vv pppppppp uu (vv ) vv vv uu uu uu uu vv uu En ortogonal bas till W är ( uu uu ) iii) Nu använder vi projektionsformel Lägg märke till att vi inte behöver enhetsvektorer i projektionsformeln Det räcker (och det är enklare att räkna) med ortogonala vektorer pppppppp WW ( ) pppppppp uu ( ) pppppppp uu ( ) aa aa aa uu aa aa aa uu aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa Därmed är avbildningens matris A