Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i Väjö. Hastighetsbegränsningen var 5 km/h. andel.8.6.. Hastighet i korsning före ombyggnad 6 8 hastighet km/h. Hur stor andel av bilisterna kan vi förvänta oss kommer att överskrida hastighetsbegränsningen?. Hur stor andel av bilisterna kommer att köra mellan 5 km/h och 5 km/h?. Hur stor är 5 %-kvantilen, dvs den hastighet som överskrids av 5 % av bilisterna?. Hur mycket måste vi sänka medelhastigheten för att andelen fortkörare ska bli högst 5 %, om spridningen är densamma? 5. Om medelhastigheten sänks med km/h, hur mycket måste vi minska spridningen för att andelen fortkörare ska bli högst 5 %? Lösning; Vi behöver först hitta en lämplig fördelning. STANDARDISERAD NORMALFÖRDELNING X N, med EX och DX kallas standardiserad normalfördelning med täthetsfunktion Ôe / för < < fördelningsfunktion F X PX och kvantiler Ð sådant att Ð φ.... t dt Standardnormalfördelning fås genom att slå i Tabell normcdf i MATLAB. Kvantilerna fås i Tabell norminv-alfa i MATLAB. På grund av symmetrin kring gäller att och Ð Ð samt Eempel: X N, beräkna PX, PX, P X, 5 %-kvantilen och 9 %-kvantilen. Lösning: PX Tabell.8. PX PX > Symmetri PX < Tabell.95.8. P X PX PX.95.8.59. Ð.5.5 Tabell Ð.5.69. Ð.9 Ð. Symmetri Ð. Tabell.86.
ALLMÄN NORMALFÖRDELNING X N Ñ, med EX Ñoch DX Ôe / för < < F X t dt måste räknas ut numeriskt. Om X N Ñ, så a + bx N a + bñ, b Nm,σ, Nm+,σ, Nm,σ, Nm+,σ/,Nm/,σ/..5 6 8 Om X N Ñ, X så Z N, Det innebär att PX P X PZ Tabell... RÄKNA MHA STANDARDNORMALFÖRDELNINGEN! Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8. PX > 5 PX 5 P X 5 5 } {{ } N, 5 5.9 Symmetri.9 Tabell 6. % 5. P5 X 5 P X 5 5 5 5 5 5 5..9 Symmetri. +.9 Tabell.65 +.65.5 %. Finn.5 så att.5 PX >.5.5.5 5.5 5 Ð.5 Tabell.69.5 5 +.69 6.5 km/h.. FinnÑny så att PX > 5.5 då X N Ñny,. PX > 5 5 ny 5 ny.5 Ð.5.69 Ñny 5.69 8.5 km/h. 5. Finn ny så att PX > 5.5 då X N, ny. 5 PX > 5.5 ny 5 Ð.5.69 ny ny 5.69 9. km/h. Vi kan öka spridningen! Eempel fortkörare: Hastigheten hos en bilist, X N Ñ, därñ5 km/h och km/h. andel Hastighet i korsning före ombyggnad.8.6. SUMMOR AV NORMALVARIABLER Om X N Ñ, Ñy, y och Y N är oberoende så gäller att + y X + Y N Ñ +Ñy, och a + bx + cy N a + bñ + cñy, b + c y. 6 8 hastighet km/h
Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 Eempel fortkörare: X i N 5, Hastigheten hos en bilist:. Skillnaden i hastighet mellan två bilar: X X N 5 5, + N, 9.9. Sammanlagd hastighet för två bilar: X + X N 5 + 5, + N, 9.9. Medelhastigheten hos två bilar: X 5 + 5 X i N, + N 5, N 5,.9. Sannolikheten att medelhastigheten för två bilar överstiger 5 km/h: P X > 5 P X 5 P X 5 5 5.9.9 5 5..9. Tabell.655 CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN Om X,..., X n är oberoende och likafördelade med EX i Ñoch VX i så gäller att X i N nñ, n och X N Ñ, n om n är tillräckligt stort. Medelvärdet konvergerar mot väntevärdet och blir ungefär normalfördelat oavsett vilken fördelning X i har! m hatbar med m, σ, α5% 6 8 n Fördelningen för medelvärdet av.. st N, fördelade s.v. Fördelningen för medelvärdet av.. st Ep/ fördelade s.v. CGS-EXEMPEL EXPONENTIALFÖRDELNING Tiderna, X i, mellan successiva kunder är oberoende och Ep/5-fördelade, dvs med EX i DX i 5 min. Beräkna approimativt sannolikheten att man får vänta mer än 8 timmar innan den hundrade kunden anländer. Lösning: Sätt Y X i. Då gäller att EY EX i EX i 5 5 min och VY VX i VX i 5 och alltså DY VY DX i 5 5 min. Enligt CGS gäller dessutom, eftersom n är stort, att Y X i N EY, DY N 5, 5. Alltså får vi att PY > 8 timmar PY > 8 min 8 5 PY 8 5...655 Eakt: Y, /5 med PY > 8 - gamcdf8,,5.59.65. Ganska bra approimation!
Standardiserad normalfördelning X N,, EX, V X, α λ α π e / ϕ F X ϕt dt Φ Φ räknas ut numeriskt eller tabell. Allmän normalfördelning X Nµ, σ, EX µ, V X σ Sats: X µ σ N, πσ e µ /σ φ... Täthetsfunktion för N, Φ.8.6. Fördelningsfunktion för N, F X α µ + σλ α t dt Φ µ σ.. F8 F8.5 m σ σ 6 8.5 σ m m Linjärkombinationer av normalfördelningar Linjärkombinationer av normalfördelade s.v. är normalfördelade. Dvs. Om X i Nµ i, σ i och Y a i X i gäller Y NEY, DY Y N a i µ i, n a i σ om alla X i är oberoende i av varandra F8 F8 Centrala gränsvärdessatsen, CGS Summa av oberoende likafördelade s.v. är ungefär normalfördelad om antalet termer är stort. Med EX i µ, V X i σ fås E Om Y X i gäller Y Nnµ, σ n p X k.. Summa av tärningar E Om X n X i gäller σ X Nµ, n 5 6 Antal tärningar 8 k 5 F8 5 F8 6..8. Medelvärde mellan,,,6, Ep variabler E. Sten, sa och påse Per och Lisa spelar sten, sa och påse. Vinnaren får en krona av förloraren, vid oavgjort händer inget. Antag att det är samma sannolikhet för vinst, oavgjort och förlust. a Bestäm fördelningen för Lisas vinst i en spelomgång. b Beräkna väntevärde och varians för Lisas vinst i en spelomgång. c Vad är sannolikheten att Lisa totalt vunnit minst 5 kr efter 5 spelomgångar?.8.6 Sannolikhetsfunktion Normalapproimation. 5. 5 5 5 5 F8 F8 8
E. Äpplen Tag 5 äpplen från ett äppelträd. Låt X i vara vikten av äpple nr i. Vad är slh att den sammanlagda vikten överstiger 5 g om EX i g och V X i g? Lsg. Sätt Y sammanlagd vikt 5 X i. Enligt CGS är Y ungefär normalfördelad om 5 är stort; Y NEY, DY. EY E X i EX i 5 g V Y V X i V X i 5 g DY g Dvs Y N,. 5 P Y > 5 P Y 5 Φ Φ.5.9. F8 9