3. Algebra och samband Mål, delmål och måluppgifter I det gemensamma spåret, G-spåret, finns Aktiviteter, Teorirutor och uppgifter som hjälper eleverna att nå målen. Eleverna måste inte nödvändigtvis arbeta med alla tre komponenterna. En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra när de får arbeta självständigt med uppgifter. Du som lärare får se till klassens och individernas bästa och anpassa arbetets upplägg. Nedan finns en översikt av kapitlets mål indelade i delmål och förslag på typiska måluppgifter. Måluppgifterna har vi valt så att de på ett tydligt sätt visar exempel på uppgifter som eleverna bör arbeta med för att närma sig målen. (I Del 1, s. 9, finns en allmän beskrivning av Mål, delmål och måluppgifter.) Mål Delmål Uppgifter 1 Tolka och förenkla uttryck Förenkla uttryck 1-8 med bokstäver s. 94-97 Tolka, skriva och förenkla 13-16 Diagnosuppgifter D 1-2 2 Lösa enkla ekvationer s. 98-103 Prövning i typ 6x = 54 18-26 Lösning av typ 2x + 5 = 25 34-38 Diagnosuppgifter D 3 3 Upptäcka och använda mönster Mönster 48-54 och samband s. 104-111 Samband, t.ex. proportionalitet 59-62, 65-66 Diagnosuppgifter D 4-5 4 Skriva och jämföra tal i decimala Potensform 70-74 och binära talsystem s. 112-116 Binära talsystemet 76-82 Diagnosuppgifter D 6 5 Använda strategier vid problemlösning s. 117-118 (några av) strategierna 1-10 85-93 Se problemlösningsstrategier i Del 1 (s. 14) och specifika kommentarer till Lösa Problem.
Sidan 93 I målen finns många nya begrepp att diskutera och förklara. Redan i rubriken hittar vi orden algebra och samband. Du kan läsa om ordet algebra i rutan Algebra, historia och fakta. Ordet samband står här för det område som i Lgr11 heter Samband och förändring och som bl.a. innehåller proportionaliteter och grafer (t.ex. diagram). Vi har tidigare använt ordet i betydelse av samband inom och mellan begrepp. RG Algebra, historia och fakta Ordet algebra kommer från arabiskans al-jabr, som betyder återställande och syftar på ekvationslösning, som beskrevs på 800- talet i Bagdad. På 1800-talet började man i Europa härleda algebrans lagar på ett strikt och logiskt sätt. I skolan översätter vi oftast algebra med bokstavsräkning. Vi räknar med variabler på liknande sätt som vi tidigare räknat med tal. Samma räkneregler ska då gälla för räkning med variabler. RV Diskussionsförslag för kapitlets rubrik I rubriken på s. 93 står orden Algebra och samband. 1. Vad tror du algebra bör handla om? 2. Ge exempel på vad du tidigare gjort som handlar om a algebra b samband Diskussionsbild (sidan 93) På bilden har den mänskliga pyramiden tre våningar med 1, 2 och 3 personer. Man kan tänka sig hur pyramiden skulle fortsätta och bestå av 1 + 2 + 3 + 4 + personer. Sådana summor leder till en talföljd med de så kallade triangeltalen: 1, 3, 6, 10, 15, 21 I Prima Formula 4, Något extra, på sidan 34, bygger alla uppgifterna på denna talföljd, dock utan att vi i elevboken talar om vad triangeltal är och hur man kan arbeta vidare med dem. Du har kanske tidigare använt dig av tips och beskrivningar av triangeltal som finns i Lärarhandledning 4 s. 42-44? Denna typ av information ovan, ger vi för att du ska veta var dina elever, som arbetat med Prima Formula 4-5, kan ha mött triangeltal tidigare. För dig som inte tillsammans med dina elever använt vårt läromedel räcker det att ta del av den beskrivning som finns på nästa sida. På sidan 118, 206 och 209 i Prima Formula 6 kan eleverna arbeta med triangeltal igen. I del 5 i denna lärarhandledning finns ett blad som heter Pascals triangel och i denna kan man upptäcka många intressanta talföljder, bl.a. triangeltalen. Eleverna har kanske (omedvetet) använt sig av triangeltalen i andra situationer, t.ex. vid beräkning av summan av prickarna på en 6-sidig tärning (t.ex. uppgift T8 s. 7). Här vet eleverna att 1-6, 2-5 och 3-4 finns på motstående sidor. Detta kan ge upphov till olika tankeformer när de beräknar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, t.ex. som tre par med summan 7, Detta ger svaret 3 7 = 21. Delar av det teoretiska kring triangeltalen, ovan och på kommande sidor, kan du med fördel spara tills eleverna arbetat lite på sidorna 104-107.
Diskussionssidans mänskliga pyramid med tre våningar med 1, 2 och 3 personer kan åskådiggöras så här: 1 + 2 + 3 kan ritas: x x x x x x Summan blir 6, som är ett triangeltal Vi hoppar nu till triangeltalet 21 och ger förslag på hur den tillhörande summan kan åskådliggöras och beräknas. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 kan ritas: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 är antalet x här: x x x x x x x x x x x y x x x x y y x x x y y y x x y y y y x y y y y y y y y y y y Här har vi fyllt på med lika många y som där finns x, och vi ser då att vi kan räkna ut antalet x och y genom att titta på rektangeln som är 6 7. Innan alla y är påfyllda så tror de flesta elever att rektangeln kommer att bli en kvadrat (6 6). Detta feltänk står beskrivet i diskussionsuppgift 5 på nästa sida. 6 7 Antalet x för triangeltal nr 6 blir då T 6 = 21. 2 n( n 1) Formeln för triangeltal nr n blir T n =. 2 På Diskussionsbilden är pyramiden 3 våningar hög och sätter vi in talet 3 i formeln får vi 3 (3 1) 3 4 antalet till: 6 2 2 Värdetabell för triangeltal Tal nr 1 2 3 4 5 6 n Triangeltal: 1 3 6 10 15 21... n(n + 1) / 2 Vill vi ha reda på om 45 är ett triangeltal, kan vi fortsätta tabellen ovan, tills vi ser om 45 dyker upp i nedre raden. Eller kan vi gå in i Pascals triangel och följa talen längs en linje. Man kan också lösa uppgiften med ekvationen: n( n 1) = 45 2 n(n + 1) = 90 n = 9
RV Diskussionsförslag Titta på bilden sidan 93. 1. Frågan i bilden är inte färdig. Hur kan den fortsätta? 2. Om en våning till, hur många personer skulle nedersta våningen ha då? 3. Antalet personer i hela pyramiden byggs upp av summan: 1 + 2 + 3 + 4 + I vilka sammanhang har du sett detta mönster tidigare? 4. Hur beräknar du på ditt enklaste sätt summan: a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 b) 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 c) 1 + 2 + 3 + 4 + 98 + 99 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 kan ritas x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. Vilka fel gör Felex när han beräknar antalet x i figuren? 6 6 Felex: Det är en triangel med arean 18. Alltså är summan 18. 2 6. Hur tänker Tanja? 6 7 Det är en halv rektangel och då får jag antalet x till: 21 2 x x x x x x x x x x x y x x x x y y x x x y y y x x y y y y x y y y y y y y y y y y Sidan 94 (G-spår) Aktivitet 3:1 A Det är lätt att se att om röda sträckan kallas för x, så kan den blå kallas för 2x eller 2 x (eller x 2). Det är viktigt att eleverna får se de olika uttrycksformerna. Felet som Felex gör i t.ex. uppgift 1b, på sidan 94, är ett fel som dessvärre är vanligt långt upp i skolåren. Du kan hjälpa dina elever att slippa göra samma fel genom att diskutera med dem hur man uttalar 2 x respektive 2x. Det första uttrycket förstår nog eleverna att tolka som två gånger x, men i det andra uttrycket är det intressant att få fram vad eleverna har att säga mer om, än bara två x. Säger de två stycken x eller x plus x?
Hur de än säger så får de reda på att svaret bör bli samma i A1-4, oberoende av vilket uttryck, 2 x eller 2x, de utgår från. Alltså undviker de, tills vidare, att göra aktuella felexfelet och får svaren: A1) 10 cm A2) 20 cm A3) 20 mm = 2 cm A4) 10 mm = 1 cm. B-C Svaren bör bli: B1) 25 cm B2) 50 cm B3) 50 mm = 5 cm B4) 25 mm = 2,5 cm C1) 12 cm C2) 32 cm D För att göra det lite svårare för kamraterna kommer eleverna nog på att använda decimaltal. T.ex. basen 5 och höjden 2,5 och meddelar då att omkretsen är 15 cm. E I uppgift A-C har vi använt oss av exempel med storheten längd, nu kommer exempel med storheten massa (vikt). Senare använder vi även andra storheter. Som inledning till ekvationer (likheter) passar det speciellt bra med vikter på en vågskål som är i balans. Vågskål och väga lika används även senare som illustration när eleverna ska arbeta med svårare ekvationer på s. 102. Svaren bör bli: E1) 5kg E2) 10 hg = 1 kg E3) 2000 g = 2 kg E4) 4000 g = 4 kg F Svaren i F 1-3 blir alla 25 och i F4-6 blir de 40. RV Reflektionsförslag Aktivitet 3:1 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Vad betyder 2x? 4. När Felex sätter in värdet x = 5 i uttrycket 2x, så får han svaret 25. Vilket fel gör han? 5. Husgaveln består av en kvadrat och en liksidig triangel. Hur stor är omkretsen om kvadratens a) sida är x b) sida är 8 meter 6. Varför är 2x + 3x = x + 4x? 7. Varför är 2 (x + 4x) = 8x? 8. Hur får du enklast fram ditt svar om du i uttrycket 2 (x + 4x) ska sätta in värdet a x = 12 b x = 92 Sidorna 95-97 (G-spår) Teorirutan. Här visas med både sifferexempel och bokstaven s att omkretsen kan uttryckas både som en summa och som en produkt. Eleverna kan också se hur färger på siffror och bokstäver stämmer med respektive kvadrats färg. Här kan du, på liknande sätt som vi föreslog till Aktivitet3:1, uppgift A, diskutera de olika uttrycksformerna 4 s och 4s, och deras tolkning. Vi låter tidigt eleverna använda uttryck utan multiplikationstecken, t.ex. 4s och 5x istället för 4 s och 5 x. Detta för att eleverna då kan förenkla uttryck lättare.
Uppgift 1. I den första uppgiften får eleverna se alla de tre alternativa uttryckssätten till 3s och därmed inse vilket fel Felex gör. Felet som Felex gör är mycket vanligt att elever gör långt upp i skolåren. För att hjälpa dina elever att undvika detta fel kan du göra på liknande sätt som vi föreslog till uppgift A i Aktivitet 3:1. Uppgift 2. Här och på nästa sida använder vi benämningen enkelt uttryck, för att eleverna senare i uppgift 7-9 ska förstå vad som menas med Förenkla uttrycket. Uppgift 3. Här finns en pratbubbla som säger att svaren i a-b ska bli samma. Vi har satt ut den mest för att eleverna då kan fråga sig varför det blir så. I boken finns många uppgifter där svaren blir samma eller följer ett visst mönster som visar på samband. Men vi skriver i allmänhet inte ut detta, utan önskar att eleverna själva, eller via dig, kan upptäcka och fundera över sådana samband. Uppgift 5. I pratbubblan sägs att parenteser beräknas först. Det har eleverna mött tidigare, t.ex. i Teorirutan på sidan 21. (I elevbokens första tryckning har höjd och bas felaktigt bytt plats i uppgiftstexten.) Uppgift 6. (I elevbokens första tryckning stämmer inte proportionerna för bas och höjd i de tre deluppgifterna, i uppgift a och c är x = 1,5 cm och i uppgift b är x = 1. I nästa tryckning kommer x = 1 i alla tre uppgifter.) Uppgift 7-9. Här introduceras Förenkla uttrycken som gäller för alla uppgifter. Pratbubblan vänder sig lite försiktigt mot uppgift 7, men visar sig gälla för fler uppgifter. I facit till 9 e skriver vi bara: Det kan bli lättare att beräkna efter förenkling. Bäst ser väl eleverna lönsamheten i att förenkla när de kommer till uppgift 9d, där det kan ta tid att beräkna 99 6. Uppgift 11. Här får eleverna tolka och skriva de viktiga uttrycken för betydelsen av: tre år äldre tre år yngre tre gånger så gammal som Tre gånger så gammal som skrivs ibland som tre gånger äldre än. Se kommentar till uppgift 67 i kapitel 2. Uppgift 16. Egentligen bör Cesars uttryck c + c + 4 skrivas c + (c + 4). I senare skolår kommer eleverna vara tvungna att göra så, då det kan förekomma minustecken framför en parentes. T.ex. 3c (c 4) = 3c c + 4 = 2c + 4. I denna elevbok finns dock inte denna typ av uppgifter och därför bekymrar vi inte eleverna med detta parentesproblem i förtid.
RV Reflektionsförslag efter sidan 95-97 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Skriv 5x på minst två andra sätt. 3. Adam väger a kg. Skriv ett uttryck för a) Bella som är 5 kg lättare b) Cesar som är dubbelt så tung som Adam c) David som är dubbelt så tung som Cesar d Eric som är hälften så tung som Adam 4. Utgå från dina svar i uppgift 3. Skriv ett uttryck för a hur mycket Adam och Bella väger tillsammans b hur mycket Adam, Bella och Cesar väger tillsammans c hur mycket David och Eric väger tillsammans 5. Hur tänker du när du förenklar uttrycket a + 4a + 2 a + 2 a + 2 a 6. a Adam har skrivit det enkla uttrycket 6,5 a till uppgift 5 ovan. Har han rätt? 13a b Har Bella rätt? Hon har skrivit det enkla uttrycket så här: 2 Ö16 På övningsblad 16 finns uppgifter som anknyter till s.95-97. Gruppledtrådar 6-3A och 6-3B passar till s. 95-103. Aktivitet 3:2 A 1 Här står likhetstecken mellan 5x och 10 liter, vilket går att jämföra med sidan 94 med vågen i uppgift E, som också har 5x på vänster sida i vågskålen. A 2 På liknande sätt som Ebba kan nu eleverna skriva Ekvationen: 5x = 40. B Tanja löser uppgiften med strategi 2: Göra tabell och Ebba löser med nya strategin 9: Använda ekvation. Bus har tidigare, på sidan 34, visat dessa två strategier parallellt. I Tanjas tabell når hon inte svaret förrän på rad 7 (x = 7). Eleverna kan då upptäcka fördelen med att använda ekvation. Ekvationslösning introduceras officiellt på kommande sidor. Ett annat alternativ till Tanjas ekvation är att tänka i halva omkretsen och då skriva ekvationen 4x = 28. C I C3 har båda leden från C2 halverats, vilket är exempel på att likheten inte ändras om båda led divideras/multipliceras med samma tal (i detta fall 2). RV Reflektionsförslag Aktivitet 3:2 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Vilken likhet ser du mellan ekvationerna C2 och C3? 4. Titta på Ebbas ekvation i B2. Ebbas kompis utgår ifrån att halva omkretsen är 28 cm. Skriv hennes ekvation. x = 28. 5. Vad tror du Tanja mer behöver lära sig om ekvationer för att hon ska våga använda strategin Använda ekvation i stället för Göra tabell? 6. Vad tror du att du kommer att ha för nytta av att kunna mer om ekvationer och ekvationslösning? Sidorna 99-100 (G-spår)
Teorirutan. Med sträckor och bokstaven x visas samband mellan likhet och ekvation. Ebba tecknar omkretsen som en summa i ekvationen, så som Adam gör på sidan 21. Moa och Paula skulle kanske teckna så här: Moa: 2 2x + 2 x = 54 Paula: 2 (2x + x) = 54 Den som tänker i halva omkretsen tecknar sin ekvation så här: Hugo: 2x + x = 27 En jämförelse mellan Paulas och Hugos ekvationer visar att Hugo halverat i båda leden, vilket är exempel på att likheten inte ändras om båda led divideras eller multipliceras med samma tal (i detta fall 2). Uppgift 18-22. Här, och fram till sidan 102, kan eleverna lösa ekvationerna genom att pröva eller använda strategi 4 Gissa och kontrollera. En sådan metod att lösa ekvationer är alldeles utmärkt och kan användas som verktyg i många svårare fall senare. Uppgift 23. Här känner eleverna igen denna typ av fel, som Felex presenterade redan i uppgift 1b. Uppgift 24-26. Eleverna klarar enkelt av att lösa dessa utan att använda ekvation. Men uppmuntra dem gärna att teckna ekvationer ändå, med motiveringen att det är lättare att lära sig använda ekvationer på enkla uppgifter, så att de så småningom även kan använda dem när det kommer svårare uppgifter, som man kanske inte kan lösa utan ekvation. (Se dock utdraget ur en lärares dagbok i rutan nedan.) RG Så skulle jag motivera mina elever att använda ekvationer (Utdrag ur min dagbok) Eleverna undrade varför de skulle lösa uppgifter med ekvationer, när det gick lättare och fortare utan. Jag gjorde då ett tjugotal problemuppgifter, med ökad svårighetsgrad. Den sista tredjedelen kunde jag knappast själv lösa utan ekvation. Med uppmaningen: Här ska ni få reda på varför vi ska arbeta med ekvationer. Ni kan säkert lösa de första uppgifterna utan att använda ekvationer, men sen ska ni få se att ni inte har en chans. Och då vill ni säkert lära er hur man gör, och då ska vi senare visa hur lätt det går om man kan lite mer om ekvationer. Eleverna kände sig utmanade och på sista uppgifterna tog de fram alla sina tillgängliga problemlösningsstrategier. Samtliga uppgifter gick, för många elever, att lösa utan att använda en enda ekvation. Jag fick hitta på andra motiveringar för dessa elever. Men kunde jag kanske också njuta av att de hade så väl utvecklade strategier för problemlösning?
Uppgift 29-31. Vid uppgift 29 finns en pratbubbla som pekar mot endast denna uppgift. Eleverna kommer att märka att bubblan gäller även för nästa uppgift. F Uppgift 32. Här får eleverna möjlighet att se att ekvationer kan ha lösningar som ger svar som inte är heltal. Paula och Hugo skulle kanske tänka så här: Paula: 2 (4x + x) =25; 10x = 25 Hugo: 4x + x = 12,5; 5x = 12,5 Den här gången blir det enklare för Paula att hitta en lösning. A = 10 2,5 = 25 RV Reflektionsförslag efter sidan 99-100 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Vad är det för likhet mellan likhet och ekvation? Titta på Ebbas ekvation på sidan 99. Så här skrev Paula och Hugo sina ekvationer: Paula: 2 (2x + x) = 54 Hugo: 2x + x = 27 3. Hur tänkte de då? 4. Varför blir det samma svar? Titta på uppgifterna 29-30. 5. Varför blir det samma svar i 29 a-c? 6. Varför blir det samma svar i 30 a-c? 7. En elev som heter Ulrika tycker att hon kan lösa uppgifterna 24-27 lätt utan att använda ekvation. Förklara varför hon ändå bör träna sig på att teckna ekvationer. Ö17 På övningsblad 17 finns uppgifter som anknyter till s.99-100. Bakgrund och tips inför Aktivitet 3:3 sidan 101 Bakgrund. I Prima Formula 4 introducerar vi Bottental på sidan 49 och ger många kommentarer och tips i Lärarhandledning 4, sidan 57-58. I elevbok 4 sidan 155 ger Fias formula en början på den förklaring som eleverna ska upptäcka i Aktivitet 3:3 uppgift D3. På sidan 207 och 211 i Prima Formula 5 finns uppgifter, modell bottental, som handlar om decimaltal och bråk. Information ovan, ger vi för att du ska veta var dina elever, som arbetat med Prima Formula 4-5, kan ha mött bottental tidigare. För dig som inte tillsammans med dina elever använt vårt läromedel räcker det att ta del av vårt tips nedan. Tips. Om eleverna inte arbetat med bottental tillsammans med dig förut, får du vara beredd på att det kan finnas elever som spontant (och envist?) vill visa på hur de kollat chans på någon genom lekar liknande aktiviteten Bottental med Loves. Vi presenterar den nedan, för att du ska kunna använda den i samband med Aktivitet 3:3 och för att den algebraiska förklaringen Bottental med fem tal, passar väl in även som teori för Aktivitet 3:3, D3.
RG Bottental med Loves Så här kan du undersöka chansen att Vivianne är in love med Osvald. Skriv både för- och efternamn med order loves mellan. Vivianne Svensson l o v e s Osvald Vernersson Räkna hur många av vardera bokstaven l, o, v, e och s som finns sammanlagt i de båda namnen. Skriv respektive antal på en rad, med stort mellanrum. l: 1 gång o: 3 gånger v: 5 gånger e: 4 gånger s: 6 gånger Addera talen parvis och skriv dem under på rad 2. Gör på samma sätt på nästa rad osv. tills triangeln avslutas med ett Bottental. 1 3 5 4 6 4 8 9 10 12 17 19 29 36 65 Tolkningen kan variera hos eleverna. Ett exempel är att chansen är 65%. Som exempel på namn har vi ovan valt sådana där bokstaven v förekommer ofta, i detta fall hela fem gånger. Hur stor betydelse har då denna 5:a på slutresultatet? Eller omformulerat: Hur många gånger kommer denna 5:a med i bottentalet? Detta är inte lätt att svara på, men med hjälp av algebra, kan man visa att mittalet 5 kommer med 6 gånger (6c). RG Bottental med fem tal Med hjälp av algebra kan vi förklara tals sammansättning. Vi ersätter fem tal med olika bokstäver för att se hur bottentalet är sammansatt. a b c d e a + b b + c c + d d + e a + 2b + c b + 2c + d c + 2d + e a + 3b + 3c + d b + 3c + 3d + e a + 4b + 6c + 4d + e Med 5 tal uppträder startalen så här många gånger: (1, 4, 6, 4, 1). Med 4 tal uppträder startalen så här många gånger: (1, 3, 3, 1). Dessa koefficienter och övriga finner du lätt i Pascals triangel i Del 5.
Sidan 101 (G-spår) Aktivitet 3:3 I denna aktivitet använder vi bottentalen för att exemplifiera och motivera olika typer av ekvationer och ekvationslösning. Vi har tidigare i rutan Bottental med fem tal, visat hur algebran kan förklara tals sammansättning. Här i aktiviteten finns också exempel som kan motivera elevers intresse för algebra. A-B Om de tre talen kallas a, b och c, kan vi se att bottentalet blir a + 2b + c. A b c a + b b + c a + 2b + c Vi ser att algebran är ett kraftfullt verktyg, då vi med hjälp av den lätt kan se att mittalet b kommer med 2 gånger. Om starttalen är 1, 4 och x, så kan vi få bottentalet direkt: 1 + 2 4 + x = x + 9. Och denna enkla ekvation, x + 9 = 15, har lösningen x = 6. Sådana enkla ekvationer har eleverna arbetat med på sidan 98-100. I uppgift B finns talet x i mitten, vilket innebär att det kommer med 2 gånger. Du kan då direkt se att bottentalet blir 4 + 2x + 1 = 2x + 5. Även denna ekvation, 2x + 5 = 17, har även lösningen x = 6. Sådana enkla ekvationer arbetar eleverna med på sidan 102-103. RG Extra uppgifter med 3 starttal Om eleverna inte tidigare arbetat tillräckligt med bottental kan du ge dem uppgifter likt dessa fyra. De är utan bokstavsuttryck och innehåller bara heltal. Uppgift 1-2 är exempel på lätta uppgifter medan 3-4 är något svårare. 1. Vilket är största möjliga bottental, med starttalen 3, 5 och 7? 2. Vilka bottental kan du få med starttalen 2, 4 och 6? 3. Försök hitta tre starttal som kan ge bottentalet 12 om du placerar dem på ett sätt och bottentalet 14 på ett annat sätt. 4. Ett av tre starttal är 0 (noll). Vilka är de andra om bottentalet vid en placering ska bli 5 och vid en annan bli 8? C Här kan eleverna dra nytta av det de upptäckt i A-B, och formulera uppgifter både med x som mitt-tal och på någon av sidorna (där det inte spelar någon roll vilken av dem).
RG Extra uppgifter med 5 starttal Om eleverna inte arbetat tillräckligt med bottental som utgår från fem starttal, så kan du börja med enklare exempel med vanliga tal. Så som i Ex 1-2, och så småningom svårare av typ Ex 3-4. I så fall har du utifrån den tidigare rutan, Bottental med fem tal, ett användbart facit, som talar om att starttalen a b c d e ger bottentalet a + 4b + 6c + 4d + e Likt den extra uppgifter med 3 starttal kan du använda uppgift 1-2 som exempel på lätta uppgifter och 3-4, som exempel på något svårare. 1. Vilket är största möjliga bottental, med starttalen 0, 1, 2, 3 och 4? 2. Vilka bottental kan du få med starttalen 0, 1, 2, 3 och 4? 3. Fyra av fem starttal är 2, 4, 6 och 8. Vilket är det femte starttalet, om det största möjliga bottentalet ska bli 90. 4. Fem starttal är placerade så här: 0 x 6 x 0. Vilket värde har x om största möjliga bottental är a 32 b 48 c 64 I Del 5 finns en sida med Pascals triangel. Här kan du på rad 5 se koefficienterna för bottentalet när du har fem starttal, på rad 4 se dem för fyra starttal osv. D 1-2. Svaret 6x + 19 kan man få direkt genom bottentalsuttrycket för 5 starttal (som du kan läsa om i rutan ovan) eller via Pascals triangel: 3 + 4 2 + 6x + 4 1 + 4 = 6x + 19 Lösningen till ekvationen 6x + 19 = 49 är x = 5. D 3. Förhoppningsvis kan eleverna komma på lösningen genom att jämföra 6x i uppgift D med 2x i uppgift B och x i uppgift A. Kanske kan Extra uppgifter med 5 starttal (som vi beskrev i en ruta tidigare) ha hjälpt eleverna eller komma till hjälp. D 4. Med talet x i mitten blir bottentalet 6x + 13, och ekvationen 6x + 13 = 61 får lösningen x = 8. (I en ruta har vi visat att bottentalet för fem starttal blir a + 4b + 6c + 4d + e. Med insatta värden får vi då: 4 + 4 2 + 6x + 4 0 + 1 = 6x + 13. Eleverna tar fram uttrycket genom att göra på liknande sätt som i figuren.)
RV Reflektionsförslag Aktivitet 3:3 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Du fick fram att x = 6 i både A och B. Varför blev bottentalet större i B? 4. Hur tänker du när du löser ekvationen 2x + 5 = 17? 5. Du har starttalen 4 1 x 2 3 Hur många gånger kommer talet x med i bottentalet? 6. Du har starttalen 4 1 x 2 Hur många gånger kommer talet x med i bottentalet? 7. I uppgift C fick ni skriva egna uppgifter och testa dem på varandra. Ni använde 3 starttal. Gör en klurig uppgift på liknande sätt, men nu med 5 starttal. 8. Vilken nytta har du av att kunna något om algebra och ekvationer när du arbetar med bottental? 9. Vilken nytta har du av att arbeta med bottental när du ska lära dig mer om algebra och ekvationer? RG Pascals triangel Ur Matematiktermer för skolan: 1 Heltal i triangelform, uppställda så 1 1 att varje tal är summan av de båda 1 2 1 närmaste talen i raden ovanför. 1 3 3 1 Triangeln var bekant inom indisk, arabisk, 1 4 6 4 1 persisk och kinesisk matematik redan kring år 1 000. Triangeln är uppkallad efter Blaise Pascal (1623-1662). Sidan 102-103 (G-spår) Teorirutan. Hur skulle eleverna lösa uppgiften om de inte uppmanades (tvingades) att använda ekvation? Förmodligen skulle lösningen se ut ungefär så här: 25 5 = 20 20 = 10 2 Vi kan då se att beräkningarna här sammanfaller väl med dem i Paulas ekvation. Och vi kan, som tidigare belysts, förstå att eleverna tycker det är onödigt jobb att använda ekvation. Men eleverna har ingen nytta av strategi 9, Använda ekvation, om de inte kan lösa ekvationer. Och för att kunna använda strategin vid svårare uppgifter måste de förmodligen börja lära sig/känna sig bekväma med att använda ekvationer på enklare uppgifter. Vi kan också tänka oss en lite längre lösning på Paulas ekvation, t.ex. Linns ekvationslösning:
2x + 5 = 25 2x + 5 5 = 25 5 2x = 20 2x 20 = 2 2 x = 10 Linn visar att hon gör likadant på båda sidor likhetstecken. Hon subtraherar båda led med 5, senare dividerar hon båda med 2. Denna metod stöds väl av vågskålmodellen i uppgift 34. En stor andel lärare förordar denna metod. En betydligt mindre andel av elever använder den. Uppgift 33-34. I Teorirutan prövar Paula sitt värde på x genom att sätta in det i ekvationen. Detta är en viktig koll som eleverna ofta glömmer. I uppgift 33-34 kan du också utmana eleverna genom att säga att någon fått svaret x = 5 i båda uppgifterna. På vilka sätt kan eleverna se att detta värde är orimligt? Ja, kanske någon elev föreslår metoden att pröva, men försök också få eleverna att titta på hur triangeln i uppgift 33 skulle sjunka ihop och bli omöjlig*, och att vågen i uppgift 34 skulle tippa över åt höger. * Detta kan eleverna åter få se i uppgift 140 sidan 127. Uppgift 35-38. Här finns många samband för eleverna att upptäcka, t.ex. i uppgift 35a 37a 36b 36c 36b 37b 37b 37c 38c 32 (enda uppgifter med decimaltal för x) Uppgift 40. Tack vare föregående uppgift kommer kanske de flesta elever, av dem som löser med ekvation, att teckna ekvationen 2y + 60 = 100. Men låt gärna eleverna teckna den enklare ekvationen y + 30 = 50. Det är nyttigt för dem att se sambandet mellan dessa två ekvationer. Uppgift 41. Många situationer som eleverna möter på dessa sidor utgår från geometriska figurer. Det är viktigt att eleverna även får se andra situationer för uttryck och ekvationer. Denna typ av uppgift med syskons ålder har eleverna träffat på en hel del på sidan 97. Uppgift 42. Här kan eleverna provoceras, på liknande sätt som i uppgift 33, med att triangeln faller platt ner om de tror att det skulle duga att b = 8. Tillhörande ekvation innehåller subtraktion, vilket inte presenterats tidigare. Se kommentar till uppgift 45. Uppgift 44-47. För uppgift 44 har eleverna, via Teorirutor, fått verktyg presenterade. Så är det inte för uppgift 45 som handlar om subtraktion. Om eleverna upptäcker sambandet mellan uppgift 44a och 45a så kanske de själva kommer på hur de kan lösa ekvationen 45a på motsvarande sätt som Paula (eller Linn) på föregående sida. Annars får de lösa hela uppgift 45 genom att pröva genom insättning av olika värden. Samma sak är det kanske för uppgift 46 och 47c. Gruppledtrådar Ö18 På övningsblad 18 finns uppgifter som anknyter till s.101-103. 6-3C och 6-3D passar till s. 104-111.
RV Reflektionsförslag efter sidan 102-103 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Se uppgift 33. Felex svarar att x = 5 och att sidan är 5 cm. a Är det möjligt att rita en triangel med sidorna 5, 5 och 12 cm? b Är det möjligt att rita en triangel med sidorna 6, 6 och 12 cm? c Är det möjligt att rita en triangel med sidorna 61, 61 och 120 mm? 3. I uppgift 35 står det inte att du ska lösa den med ekvation. Hur löser du uppgiften utan ekvation? 4. Vilka likheter ser du mellan uppgift 36b och 36c? 5. I uppgift 40 har Ebba tecknat ekvationen y + 30 = 50. Hur har hon tänkt? 6. Se uppgift 42. Felex svarar att b = 8 och får då triangelns sidor till 8 cm, 4 cm och 4 cm. Är det möjligt att rita en sådan triangel? 7. Titta på uppgifterna 44-47. a Adam tycker att 45b kan lösas på liknande sätt som 44a. Vad kan han mena med det? b Bella kan inte lösa uppgift 46b-c. Hur skulle du förklara för henne så att hon kan lösa den typen av ekvationer? c Vilken av uppgifterna 44-47 tycker du var svårast? Varför? Inför Aktivitet 3:4 sidan 104 Genomför gärna aktiviteten Minsta antalet förflyttningar i samband med sidorna 104-107. Den är mycket omtyckt och lärorik. Vi ger här instruktioner till hur du kan leda arbetet samt kommentarer. Extra Aktivitet Minsta antalet förflyttningar 1. Markera 3 x 3 rutor på golvet t.ex. med A4- papper. Låt åtta elever komma fram och inta var sin plats på alla rutor utom på den nedersta hörnrutan till höger (S). P R S Tom ruta Uppdraget är att personen P, som står på den översta hörnrutan till vänster, ska hamna på den tomma rutan (S) Personerna får bara röra sig horisontellt eller lodrät. Ingen får hoppa över
någon av kamraterna. Alla förflyttningar räknas, och det gäller att lyckas få P till S med minsta möjliga antal förflyttningar. Locka gärna gruppen att första gången låta R vara rundningsmärke, dvs. den eleven står stilla hela tiden, medan övriga elever förflyttar sig med- eller moturs. (Detta innebär att antalet förflyttningar blir så många som 25, men det är ett enkelt system.) 2. Låt de åtta eleverna prova ett par gånger till. De kan säkert finna flera sätt att få P att gå närmsta vägen. (Minsta möjliga antalet förflyttningar är 13.) 3. Är eleverna säkra på att de hittat minsta möjliga antal förflyttningar? Hur kan de veta det? Låt eleverna sitta ner, gärna i par, och rita 3 x 3 rutor. Enklast är om de använder små papperslappar eller liknande som de kan förflytta. Låt eleverna prova flera gånger med 3 x 3 rutor. Varje gång de tycker att de får ett bra resultat antecknar du det på tavlan. När flera grupper fått samma minsta antal förflyttningar (13) skriver du det som rekordet på tavlan. Låt nu eleverna prova hitta minsta antal förflyttningar över 4 x 4 rutor, 5 x 5 rutor osv. Anteckna även dessa rekord. Anteckningarna kan se ut så här: Antal rutor Antal förflyttningar (minimum) 3 x 3 13 4 x 4 21 5 x 5 29 4. Hur kan eleverna vara säkra på att de hittat minsta antal förflyttningar, minimum? - Några elever kanske ser mönstret, ökningen med 8, men tysta gärna ner deras röster så länge. - Kanske någon annan vill prova att hitta en formel eller liknande för att ta reda på hur många förflyttningar det behövs för 10 x 10 rutor, för 100 x 100, för n x n rutor osv. (Här brukar man försöka bilda en formel med hjälp av antal rutor och diverse räkneoperationer. Ibland stämmer det för ett eller två fall, men det brukar vara svårt att få fram en formel om man inte tar till vara att ökningen är konstant = 8.) - Kanske vill någon fylla på en del i tabellen, och använda denna som de brukar göra. Få elever brukar försöka med 2 x 2 rutor. Men att använda 2 x 2 rutor är viktigt för att upptäcka så mycket som möjligt av mönstret i tabellen, och detta görs bäst om man ser talföljdens första tal. (Så som Bus beskriver det med från början i elevboken s. 73 uppgift 79.) Antal rutor Antal förflyttningar (minimum) 1 x 1-2 x 2 5 8 (differens 8) 3 x 3 13 8 4 x 4 21 8 5 x 5 29
5. I tabellen nedan ger vi exempel på hur man kan få i hop en formel av gjorda observationer. Detta är dock ingen nödvändighet för alla, enligt punkt 7 nedan. n x n Antal (A) Kan skrivas 1 x 1 (-3) 5 1 8 2 x 2 5 5 + 0 8 3 x 3 13 5 + 1 8 4 x 4 21 5 + 2 8 5 x 5 29 5 + 3 8 100x100 5 + 98 8 n x n 5 + (n 2) 8 Andra raden (2 x 2) är väl inte den första man fyller i, men den är viktig för att se mönstret och första möjliga tal i talföljden. (Första raden, 1x1, ser lite konstig ut. Hur tolka denna? Om vi har 1 x 1 rutor och samma regel gäller så är det färdigförflyttat redan tre steg tidigare än vi började!) Några elever har kanske klurat ut en formel, då de utgått ifrån att differensen är 8, och finner formeln A = 8n + c. Därefter sätter de in detta i t.ex. rad 3 och får: 8 3 + c = 13 som ger c = 11 och formeln A = 8n 11. Denna formel får vi också genom förenkling av tabellens formel ovan: 5 + (n 2) 8 = 5 + 8n 16 = 8n 11 6. Det är absolut inte nödvändigt att eleverna kommer fram till en skriven formel. Det räcker att de inser att de inte behöver lägga allt större kvadrater, ökningen är ändå hela tiden 8. Därmed kan de i ord beskriva formeln: - För 2 x 2 rutor behövs 5 förflyttningar, för 3x3 behövs 11 förflyttningar, och så fortsätter det att öka med 8 hela tiden. Dessa elever kan senare testa någon av formlerna ovan och se hur de stämmer. 7. Denna Aktivitet har vi genomfört med lärare, studenter och elever från 11 år och uppåt (och dessas föräldrar). Sämst går det för dem som är formelfixerade (dock inte i mönster/talföljder). De formelfixerade söker bilda formler utan att bry sig på den tydliga konstanta differensen 8. Bäst går det för dem som upptäcker differensen 8 och utnyttjar denna i sitt formelsökande. Det finns också de som tänker ut formeln genom att räkna stegen som P tar och övrigas steg. Vid ett föräldramöte, med föräldrar som var en aning kritiska till lärarens fokusering på mönster, hade elevparen tillverkat en formel långt innan deras föräldrar hade kommit på att utnyttja differens-tänkandet. Sidan 104 (G-spår) Aktivitet 3:4 A 1 Mönstret växer med 5 hela tiden, och det startar även med antalet 5. (Elever brukar säga att det är rena femmans multiplikationstabell.) Eleverna ser mönstret enkelt i en tabell. Figur nummer: 1 2 3 4 10 n 100 Antal knappark: 5 2 5 3 5 4 5 10 5 n 5 100 5 Talföljd T: 5 10 15 20 50
2 Figur 10 har 50 knappar. Antalet knappar, K, i figur n kan beskrivas med formeln K = n 5 = 5 n = 5n 3 Nummer 7 innehåller 35 knappar. Uppgiften kan lösas med den enkla ekvationen 5n = 35. I talföljden T i tabellen ovan kan man se att talet 35 hamnar under figur nummer 7. B 1 I mönster A, figur 4, är antalet stickor: 4 5 = 20 2 I mönster B, figur 4, är antalet stickor: 4 4 + 1 = 17 Elever som inte kommer på denna formel och inte satt sig in i Tanjas tabell kan komma fram till att figur 3 har 13 stickor och att ökningen hela tiden är 4, så då behövs 17 stickor för figur 4. 3 S = 4 4 + 1 = 17 4 Ekvationen 4n + 1 ger att n = 11. Fias formel. Ett alternativt sätt att ta fram en formel. Fia utgår från figur nr 1 och bygger efter hand på med ökningen. Figur nr (n) Antal stickor (S) 1 5 2 5 + 1 4 3 5 + 2 4 4 5 + 3 4 5 5 + 4 4 n 5 + (n 1) 4 Fias formel kan förenklas 5 + (n 1) 4 = 5 + 4 (n 1) = 5 + 4n 4 = 4n + 1. Och vi ser att den är samma som Tanjas. C Uttrycken som stämmer är: 3n + 2 2 + 3n 5 + (n 1) 3 Det sista uttrycket finns inte med i tabellen, i bokens första tryckning. Uttrycket är av den typ som Fia visar ovan. RV Reflektionsförslag Aktivitet 3:4 1 Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2 Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3 Se figur 1-3 i uppgift A. Skriv en formel för antalet knappar (K) som behövs för att bygga figur nummer n. 4 Se uppgift C. a Varför duger inte uttrycken 5n och 4n + 1? b Hur tänker du när du testar vilka uttryck som duger? c Hur visar du att uttryck 2 + n 3 kan bli samma som 3n + 2? d Hur visar du att uttrycket 5 + (n 1) 3 också kan bli samma?
Sidan 105-107 (G-spår) På sidorna 104-107 möter eleverna endast så kallade Aritmetiska talföljder. I sådana är differensen samma mellan tal nr 2 och tal 1 som mellan tal nr 3 och tal 2 osv. I elevboken skriver vi oftast att ökningen är samma hela tiden. Teorirutan. Mönstret i uppgift A på föregående sida var exempel på rena 5:ans tabell. Samma sak gäller i teorirutan, där Mönster A är rena 3:ans tabell. På sidan 108 och framåt får eleverna lära känna sådana mönster som proportionaliteter. I Aktiviteten på sidan 108 finns bokstaven L i ett mönster, så bokstaven blir större och större för varje figur. Som du ser behåller endast Mönster 1 proportionerna där. Mönster B startar i figur 1 med 3 knappar, därefter ökar det hela tiden med bara 2 knappar. Sådana mönster kan man lära känna igen genom att mönstren har någon knapp, sticka eller annat gemensamt. Eleverna ser det lättast när de jämför mönstren på sidan 106, där det syns tydligt om mönstret har någon gemensam sticka eller inte. I uppgift 53 har trianglarna efter figur 1 gemensamma sidor (stickor), i uppgift 52 ökar antalet stickor hela tiden med tre genom att hela trianglar tillkommer. Formeln i teorirutans mönster B kan också skrivas: K = 3 + (n 1) 2 = 3 + 2(n 1) Detta är ett etablerat och generellt sätt som alltid utgår från antalet i figur 1 (3 i detta fall) och ser till att differensen (2 i detta fall) multipliceras med (n 1). Vi kallade denna typ av formel för Fias formel i samband med Aktiviteten 3:4. ovan. Vi kan också se att Fias formel förenklad blir samma som K = 2n + 1. Vi låter eleverna använda sådana uttryck utan multiplikationstecken, t.ex. 2n + 1 i stället för att alltid skriva ut multiplikationstecknet i t.ex. 2 n + 1. Eleverna kan då förenkla sina uttryck lättare, och i senare skolår måste de ändå, i sådana sammanhang, göra förenklingar utan utsatt multiplikationstecken. Dock i nästa kapitel presenterar vi våra uttryck och formler med multiplikationstecken, eftersom nationella prov för skolår 6 oftast gör så. Se t.ex. uppgift D7 sidan 143 och uppgift 70 sidan 147. Uppgift 48-51. Eleverna kan hitta samband mellan t.ex. uppgift 49b-50b 49c-50c 49d-50d, men olika ändå 51a-51b 51b-51c-51d Uppgift 52-54. Mönstret i uppgift 52 är rena 3:ans tabell. Formeln, precis som för mönster A på föregående sida, blir S = n 3 = 3n. Även uppgift 53 har en formel som stämmer med den för Mönster B på föregående sida. I uppgift 54 har kvadraterna i Mönster A inga gemensamma sidor/stickor, differensen (ökningen) är 4 och eleverna kan då skriva formeln S = 4n. För mönster B i uppgift 54 är första stickan gulfärgad i varje figur. Detta för att eleverna lättare ska förstå var ettan (1) kommer ifrån i uttrycket 3n + 1. Uppgift 55-56. Det syns via röda kvadraten varför ettan ska finnas med i formeln. I facit till uppgift 56 skriver vi: 56 a De ökar med 4 hela tiden. b K = n 4 + 1 = 4n + 1. Även denna formel duger: K = 5 + (n 1) 4.
I dessa uppgifter breder mönstret ut sig i både vågrät och lodrät riktning. På liknande sätt sker detta i uppgift 114-115 och 141-142. Du kan göra en intressant Extra Aktivitet Mönster med siffrorna 4, 5, 6 och 8. Instruktion till Aktiviteten finns efter Reflektionsförslaget. F Uppgift 57. I figurerna och i tabellen ser man att antalet gula smilisar är samma som figurens nummer. I tabellen står uttrycket för antalet blå smilisar. Totala antalet kan eleverna då få genom att addera uttrycken för blå (2n + 2) med det för gula (n). Givetvis kan eleverna lika väl komma fram till sitt uttryck för totala antalet på det sätt de brukar göra. I facit står: F57 a 3n + 2. (Du kan få fram det genom att addera gula och blå: n + 2n + 2 = 3n + 2.) Det kan vara intressant att följa upp detta med att se på Mönster B i uppgift 54 på detta sätt. Figur nr: 1 2 3 4 n Vågräta stickor: 2 4 6 8 2n Lodräta stickor: 2 3 4 5 n + 1 Summa: 4 7 10 13 2n + n + 1 = 3n +1 Ö19 På övningsblad 19 finns uppgifter som anknyter till s.104-107. RV Reflektionsförslag efter sidan 105-107 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Se uppgift 54. Hur ser du att formeln för Mönster A blir: A = 4n + 0 = 4n och för Mönster B = 3n + 1. 3. Se uppgift 56. a Testa Fias formel K = 5 + (n 1) 4. Funkar den? B Hur kan hon ha tänkt? Beskriv hur du tänker när du c kollar om en viss formel stämmer d själv ska fundera ut en formel. Extra Aktivitet Mönster med siffrorna 4, 5, 6 och 8 Denna uppgift kan påminna eleverna om att det gäller att se upp (se Aktivitet 3:5 nedan) För dig som vill veta vad eleverna arbetat med tidigare eller som vill ha ytterligare övning att arbeta med finns liknande se upp -uppgifter även t.ex. i Prima Formula 4 s. 57 uppgift 75 och s. 100 uppgift 77.) A Låt eleverna arbeta i par eller grupp. De ska göra uppgifterna 114-115 (Spår 1) och 141-142 (Spår 2) i en följd. När elever löser dessa uppgifter snabbt, får de ofta fram ett mönster liknande: Siffran 4 har i första figuren 4 stickor Siffran 5 har i första figuren 5 stickor Siffran 6 har i första figuren 6 stickor Siffran 8 har i första figuren 8 stickor. Men det blir FEL! Siffran 8 har 7 stickor!
Håll med andra ord utkik efter grupper som inte ser upp, utan tror att siffran 8 har 8 segment (stickor) i uppgift 142. B Diskutera varför man lätt faller i denna fälla. C Låt eleverna rita eller lägga med stickor, ett par siffror eller alla siffrorna 3, 2, 1 och 0 samt siffran7, på liknande sätt som i uppgift 141. (De kan även kolla hur många segment varje siffra har på miniräknaren.) Siffran 3 har i första figuren 5 stickor Siffran 2 har i första figuren 5 stickor Siffran 1 har i första figuren 2 stickor Siffran 0 har i första figuren 6 stickor. Siffran 7 har i första figuren 3 eller 4 stickor. Det mönster som några elever kanske såg i uppgift A gällde alltså bara siffrorna 4, 5 och 6. Du kan anknyta till Bus tips på sidan 73, uppgift 79, där han kontrollerar mönster och ser att det är lättare att upptäcka hur mönstret verkligen är, eller om det överhuvudtaget finns ett mönster, genom att börja från början med figur 1. I Del 3 finns Gruppledtrådar 6-3C och 6-3D som anknyter till digitala siffran 8 och till aktiviteten ovan. Sidan 108 (G-spår) Aktivitet 3:5 A 1-2 Båda mönstren har 3 stickor i figur 1. I Mönster 1 blir det lodräta och vågräta antalet stickor efterhand 2 gånger så stort, 3 gånger osv. Formeln blir M 1 = 3n. Det lodräta antalet är i varje figur dubbelt så stort som det vågräta. När vi kommer till figur 100 så är proportionen lodrät/vågrät = 200/100 = 2/1. Proportionen är konstant. Formen på bokstaven är den samma. Formeln blir M 1 = 3n. Så är det inte i Mönster 2. När vi kommer till figur 100 så är proportionen lodrät/vågrät = 101/100. Formen på bokstaven är inte samma som i figur 1. Proportionerna ändras efterhand. Formeln blir M 2 = 3n + 1. Låt gärna eleverna prova att göra ett eller två olika mönster på andra bokstäver, t.ex. bokstaven E eller H, som båda kan bilda uttryck 5n. Titta gärna efter om eleverna lyckas göra H så att figur 2 har (4+4) lodräta och 2 vågräta, eller ökar de bara på med (2+2) lodräta och 1 vågrät? Mönster med siffror är också trevliga att testa. Sådana uppgifter finns på sidan 124 och 128 i elevboken. A 3 I diagrammet ser vi redan att punkterna för Mönster 1 ligger på en rät linje OCH att linjen går genom origo. (Detta skulle också ske om t.ex. kilopriset är samma, eller om taxikostnaden är samma per kilometer och saknar framkörningsavgift.) Punkterna för mönster 2 kommer också på en rät linje (samma ökning) men linjen går inte genom origo. Den skär y-axeln i koordinaten (0, 1), vilket man också kan se om man i formeln M 2 = 3n + 1 sätter in n = 0.
B När eleverna ritat in båda prisalternativen rätt med tre eller flera värden på antal timmar (xaxeln) och förbundit punkterna med räta linjer, så kan de se att linjerna möts i koordinaterna (4,5; 180). Efter 4,5 timmar blir alltså Butik 2 lönsammare. Om hyresavtalet gäller endast för hela timmar blir svaret att från och med 5 timmar blir Butik 2 lönsammare. Formlerna är B 1 = 40t respektive B 2 = 90 + 20t = 20t + 90. Sätts dessa ihop till ekvationen 40t = 20t + 90, så får vi lösningen t = 4,5. Detta betyder också att skärningspunkten inträffar vid 4,5 timmar. Fler typer av sådana uppgifter med brytpunkter finns i elevboken på sidan 205 och 210. RV Reflektionsförslag Aktivitet 3:5 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Se Mönster 1 i uppgift A. a Hur många vågräta stickor har figur 100? b Hur många lodräta stickor har figur 100? Beräkna kvoten av lodräta och vågräta stickor i figur c nr 1 d nr 4 e nr 100 4. Se Mönster 2 i uppgift A. a Hur många vågräta stickor har figur 100? b Hur många lodräta stickor har figur 100? Beräkna kvoten av lodräta och vågräta stickor i figur c nr 1 d nr 4 e nr 100 5. I Mönster 1 håller bokstaven L proportionen (formen), i Mönster 2 hålls den inte. Välj någon annan bokstav och gör på liknande sätt ett mönster som håller proportionerna och ett som inte gör det, likt Mönster 1 respektive Mönster 2. 6. Se uppgift B. De två linjerna i diagrammet skär varandra i punkten (4,5; 180). t = 4,5 h, dvs. tiden det tar innan det blir lönsammare för Butik 2 är.4,5 timmar. Hur tänker Tanja när hon får fram rätt tid genom att teckna denna ekvation: 40t = 20t + 90 Sidan 109-111 (G-spår) Teorirutan. Vi antar att vi prickar in hur mycket hon har efter att ha sparat en månad, två månader, tre månader osv. i koordinatsystemet. Värdena kommer då att ligga på en rät linje, som dessutom går genom origo. När båda dessa villkor är uppfyllda så säger vi att sparandet är proportionellt mot tiden. Sparandet måste då ha varit lika stort varje månad. Uppgifterna på hela denna sida handlar om diagrammet i teorirutan. För att få eleverna att bättre förstå vad proportionalitet kan handla om, så kan du redan nu hålla en diskussion kring diagrammet till uppgift 63 på nästa sida. Se kommentarer till detta nedan.
Uppgift 58-61. Alla dessa uppgifter handlar om Sarahs sparande, med utgångspunkt från diagrammet. Eleverna får gå in och göra avläsningar från såväl x-axel som y-axel. I uppgift 59c får eleven se att svaret blir 0 tack vare villkoret att linjen ska gå genom origo. Uppgift 62. Här klarar eleverna sig utan diagram och känner igen denna typ av uppgifter genom att tänka: så här mycket per månad, hur mycket blir det då på 12 månader?. De skriver förmodligen direkt något i denna stil. a 12 100 kr = b 12 25 kr = 6 50 kr = c 12 250 kr = Kanske de utnyttjar svaret från föregående uppgift. Uppgift 63. Här handlar det om äpplen som kostar lika mycket per kilogram, även om man köper många. Om det t.ex. vore billigare per kilogram eller extrapris vid köp av 5 kg, så skulle räta linjen böja av efter 5 kg. Och proportionaliteten skulle upphöra. Proportionaliteten skulle också upphöra om man fick börja med att betala för påsen som äpplena ska ligga i. (Jämför med framkörningsavgift för Taxi.) I denna uppgift arbetar eleverna med tal på x-axeln som inte behöver vara heltal, vilket de var på föregående sida. (Uppgift 63c handlar om 1,5 kg.) Uppgift 65. Tabellerna för Målarfärg och Hyra cykel visar exempel på icke-proportionalitet. Man kan se det på följande sätt: Målarfärg: Differensen mellan 4-3 liter är 40, mellan 3-2 liter 50 och mellan 2-1 liter 60. Det blir lägre literpris ju mer som köps. Hyra cykel: Proportionalitet gäller fram till 4 h, då det inträder ett extra pris. Uppgift 66. Här får eleverna gå direkt in på de två burkarna och se att literpriset är olika. Uppgift 69. I uppgift d kan eleverna få fram att Tanja efter pausen måste hålla dubbelt så hög hastighet. Detta kan de också se i diagrammet där lutningen på linjen blir dubbelt så stor efter pausen. RÖ20 På övningsblad 20 finns uppgifter som anknyter till s. 108-111. Gruppledtrådar 6-3E och 6-3F passar till s. 112-118.
RV Reflektionsförslag efter sidan 109-111 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Se uppgift 65. Hur ser du i tabellen om den innehåller proportionalitet eller inte? 3. Se uppgift 66. Hur ser du om priset är proportionellt mot volymen, eller inte? 4. Jämför uppgift 66 med uppgift 69. a Försök tyda Tanjas diagram nedan. Titta på det noga. Fyll i sådant som saknas i diagrammet och berätta sedan (gärna likt en idrottsreporter) vad som händer under Tanjas löpning. T.ex. hur farten ändras, eller är konstant. b Gör ett eget diagram. Låt någon annan tyda det. Sträcka 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tid I Del 5 finns fem grafer; Graf 1-5, som kopieringsblad. Dessa grafer (diagram) är lärorika och roliga för eleverna när de försöker tyda dem och berätta vad de tror händer. Det är här lämpligt att eleven arbetar tillsammans med en kamrat. Efter dessa blad med grafer kommer två blad som heter Tolka diagram 1-2. Uppgifter liknande dessa förekommer ofta i olika tester, t.ex. i de nationella proven. Extra Aktivitet Tänk på ett heltal 1-60 Genomför gärna denna aktivitet i samband med sidorna 112-116. Den, tillsammans med de två sidorna med kort 1-6 i Del 5, ger en rolig och utmärkt bakgrund och förklaring till varför just tvåsystemet/binära talsystemet är så användbart. Den belyser även mönster C i Aktivitet 3:6. Aktiviteten passar också att göra före Aktivitet 3:7. Instruktion Be klassen tänka på ett, för dig hemligt, tal mellan 1-60. Visa på Overhead eller liknande ett kort i taget. Fråga i tur och ordning om det tal de tänker på finns med på kort 1, kort 2 osv. Lägg, de kort, där klassen sagt att talet finns med, i en hög. I denna hög adderar du talen som står längst upp till höger på varje kort. Summan ger klassens tänkta tal. (De tal som står längst upp till höger kan vara 1, 2, 4, 8, 16 eller 32. Detta är de binära talen, av vilka man, genom olika kombinationer och summor, kan få fram alla tal mellan 1 och 63.)
Sidan 112 (G-spår) Aktivitet 3:6 Arbeta gärna med en extra aktivitet: Tänk på ett heltal 1-60, tillsammans med två sidor i Del 5 (instruktion ovan) innan ni gör Aktivitet 3:6. Den ger eleverna en rolig och utmärkt bakgrund och förklaring till varför just tvåsystemet/binära talsystemet är så användbart. Den belyser mönster C i Aktivitet 3:6 och tabellen i Aktivitet 3:7. A Ökningen i Mönster A kan väl bäst beskrivas som multiplikation med 10. Att dessa burkars tal ser så bekanta ut beror ju på att dessa tal är tiobasen i vårt positionssystem (som beskrivs i kommentarerna för nästa sida i elevboken). I Mönster C är ökningen multiplikation med 2 och här ser eleverna det nog som dubbelt för varje steg. B I Mönster A 10 000, i Mönster B 625 och i Mönster C 16 C1 100 000 C2 32 D1 10 4 D2 10 5 D3 10 6 E1 2 4 E2 2 5 E3 2 6 Här kan en diskussion kring pratbubblorna passa väl in. Varför är både 10 0 = 1 och 2 0 = 1? Även Reflektionsförslagets uppgift 3-5 tar upp detta fenomen. F 1 10 < 10 1 < 10 2 < 5 3 < 3 5 < 2 10. (3 5 = 243 och 2 10 = 1024.) Lägg märke till jämförelsen 2 10 (= 1024) > 10 2 (= 100) 3 5 (= 243) > 5 3 (= 125) Uppmuntra gärna eleverna att göra tabeller av typ tabell G och H nedan. Tabell G Hur många rader behöver du göra innan du är säker på vilket av tecknen <, = eller > som gäller i fortsättningen? n n+2 < = > (n+2) n 0 2 = 0 < 2 0 = 1 1 3 = 1 < 3 1 = 3 2 4 = 16 = 4 2 = 16 3 5 = 243 > 5 3 = 125 4 6 = 4096 6 4 = Använd gärna miniräknare Vilket tecken tror du det blir i fortsättningen? Tabell H Hur många rader behöver du göra innan du är säker på vilket av tecknen <, = eller > som gäller i fortsättningen?