FINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I. Oktober Matematikcentrum Matematisk statistik

FINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I Oktober Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS, HT- Dessa fingerövningar är ett hopplock av tentatal på sannolikhetsteorihalvan av grundkursen i matematisk statistik. Binomialfördelningen, t.ex., är dåligt representerad eftersom den i huvudsak dyker upp i statistikteorin i andra halvan av kursen. De flesta talen motsvarar poäng, medan uppgifterna i kapitel.., Kovarianser från skratch, motsvarar minst poäng per styck. Ordningen är slumpmässig och lätta och svåra tal blandas huller om buller. Anna Lindgren, oktober Innehåll. Sannolikheter. Elementär sannolikhet......... Oberoende händelser......... Kombinatorik.............4 Betingad sannolikhet.......... Satsen om total sannolikhet...... Fördelningsbeskrivning. En stokastisk variabel.......... Diskret variabel......... Kontinuerlig variabel..... Funktioner av en stokastisk variabel. 4.. Kontinuerlig variabel.... 4. Flera stokastiska variabler...... 4.. Flerdimensionella stokastiska variabler........... 4.. Betingade stokastiska variabler 4.4 Funktioner av två stokastiska variabler 4.4. Diskreta funktioner..... 4.4. Kontinuerliga funktioner... Moment. Väntevärde och varians.......... Diskreta variabler........ Kontinuerliga variabler..... Oberoende linjärkombinationer. Kovarianser............... Enkla kovarianser........ Korrelation......... 6.. Kovarianser från scratch... 6. Betingade väntevärden och varianser. 6.4 Väntevärden av funktioner av en stokastisk variabel............ 7.4. Diskreta funktioner..... 7.4. Kontinuerliga funktioner.. 7. Gauß-approximation......... 7 4. Normalfördelningsexercis 8 4.... i en variabel............ 8 4.... i flera variabler.......... 8 4. Centrala gränsvärdessatsen...... 8. Binomial- och Poissonfördelning 8. Binomialfördelning......... 8. Poissonfördelning.......... 9. Kombinationer............ 9.4 Normalapproximation........ 9 6. Lösningar 6. Sannolikheter............ 6. Fördelningsbeskrivning....... 6. Moment............... 4 6.4 Normalfördelningsexercis...... 9 6. Binomial- och Poissonfördelning... 7. Svar

. Sannolikheter. Sannolikheter. Elementär sannolikhet. Låt A och B vara händelser sådana att P(A).4, P(B). och P(AB).. Bestäm P(A B ).. Sannolikheten för att händelsen A inträffar är.. Motsvarande sannolikhet för händelsen B är.6. Sannolikheten för att både händelsen A och händelsen B inträffar är.. Bestäm sannolikheten att varken A eller B inträffar.. P(A)., P(B). och P(A B ).. Beräkna P(A B). 4. Händelserna A och B är disjunkta med P(A). och P(B).. Bestäm P(A B).. Oberoende händelser. Tre händelser A, B och C har sannolikheterna.,. respektive.4. Vidare är A och B oberoende, A och C oberoende. Slutligen kan B och C aldrig inträffa samtidigt. Beräkna sannolikheten för att minst en av händelserna inträffar. 6. Antag att P(A) /, P(B) / 4 och P(A B) /. Är händelserna A och B oberoende?. Kombinatorik 7. Man har funnit att sannolikheten för spetsen upp vid kast med ett visst häftstift är.4. Hur många kast med detta häftstift ska man minst göra om man vill få detta utfall åtminstone en gång med 99 % sannolikhet? 8. En vanlig tärning kastas sex gånger. Bestäm sannolikheten för att varje sida kommer upp precis en gång. 9. På en regional högskola finns tio arbetsstationer: sex stycken av märket Sun och fyra stycken av märket DEC. En decembermorgon går fyra studenter tillsammans till datorsalen för att göra en programmeringsuppgift, och sätter sig helt slumpmässigt vid var sin arbetsstation. Bestäm sannolikheten för att precis två studenter sätter sig vid var sin DEC-station.. En fysiker gör fyra oberoende försök som lyckas med sannolikheten.9,.9,.9 respektive.8. Bestäm sannolikheten för att högst ett av försöken lyckas.. Ett fysikaliskt experiment lyckas med sannolikheten. och olika experiment är oberoende. Man gör försök. Hur stor är sannolikheten att försöket lyckas minst en gång i försöken 4 6?.4 Betingad sannolikhet. De två händelserna A och B är oberoende. Man vet att P(A). och P(A B).4. Bestäm P(A B).. För händelserna A och B gäller P(A B). och P(A B).. Bestäm P(A B). 4. För händelserna A och B gäller P(A)., P(B).4 och P(A B).6. Bestäm P(A B).. För två händelser A och B gäller att P(A).8, P(A B). och P(A B).9. Bestäm P(A B). 6. Om 7 % av de vuxna som drunknar vid bad är onyktra och risken att drunkna är gånger större för en onykter än för en nykter person, hur stor är då andelen onyktra vid bad? 7. För två händelser A och B gäller att P(A).8, P(A B). och P(A B).9. Bestäm P(B A). 8. För händelserna A och B gäller P(A B)., P(A). och P(B).4. Bestäm P(A B). 9. För händelserna A och B gäller P(A)., P(B).6 och P(A B).4. Bestäm P(B A).. För händelserna A och B gäller P(A).6, P(B). och P(A B).8. Beräkna den betingade sannolikheten P(A B).. För händelserna A och B gäller P(A B). och P(A B)., där A är A:s komplement. Bestäm P(A B).. För händelserna A och B gäller P(A).6, P(B).4, och P(A B).. Bestäm P(A B ), där B är komplementet till B.

. Fördelningsbeskrivning. För händelserna A och B gäller P(A)., P(B).6 och P(A B).4. Bestäm P(B A). 4. För händelserna A och B gäller P(A)., P(B).4, P(A B).6 och P(A B).. Bestäm P(A B).. För händelserna A, B och C gäller att P(A)., P(B A). och P(C AB).8. Beräkna P(ABC).. Satsen om total sannolikhet 6. Petter ljuger med sannolikheten.8. Han kastar en tärning och jag frågar honom om utfallet blev en sexa. Hur stor är sannolikheten att han svarar ja? Hur stor är sannolikheten att det var en sexa om Petter svarar ja på frågan? 7. Efter att ha studerat beredskapen hos reservbrandstyrkan i Lund vet man att sannolikheten att den är på väg fem minuter efter ett larm är.9 om det är måndag till fredag och.9 om det är lördag eller söndag. Beräkna sannolikheten att vara på väg inom fem minuter en slumpvis vald veckodag. 8. Under en tid i Frankrike var % av den manliga befolkningen adelsmän. Av adelsmännen av 8 % hobbyfäktare medan motsvarande andel av den övriga befolkningen var 4 %. Beräkna sannolikheten att en slumpvis utvald hobbyfäktare var adelsman. 9. I en tillverkningsprocess uppstår regelbundet fel. Man har en mätapparatur som upptäcker dessa fel med sannolikheten.99. Den har också olägenheten att indikera fel med en sannolikhet. även om fel inte förekommer. Om fel i genomsnitt förekommer gång på, vad är då sannolikheten att en indikation hos mätapparaturen är orsakad av ett fel?. Fördelningsbeskrivning. En stokastisk variabel.. Diskret variabel. Tabellen visar fördelningsfunktionen för en diskret stokastisk variabel X : k 4 F X (k)...7.8. Bestäm sannolikhetsfunktionen.. Låt X vara en diskret stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen p X (k).6.4 k för k,,,.... Bestäm P( X < 4).. En stokastisk variabel X har sannolikhetsfunktionen p X (k)..7 k för k,,,.... Beräkna P( < X < 7).. Den stokastiska variabeln X har sannolikhetsfunktionen p X (k) c/k för k,, och för övrigt. Bestäm c. 4. Beräkna P( X < ) då p X (k) pq k för k,,... med p.... Kontinuerlig variabel. Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktionen f X (x) /x för x >. Bestäm P(X ). 6. Den kontinuerliga stokastiska variabeln X har tätheten f X (x) /x för x. Bestäm P(X ). 7. Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktionen f X (x) /x för x >. Bestäm P(X ). 8. En stokastisk variabel har täthetsfunktionen f X (x) /x för x >. Beräkna dess median. 9. Låt X vara en kontinuerlig stokastisk variabel med tätheten f X (x) x för x. Bestäm P(. X ). 4. I en produktspecifikation skall anges en mediandiameter x. samt att den diametertjocklek x.9 sådan att i genomsnitt 9% av enheterna har en diameter mindre än denna. Variationen av diametrar hos produkten kan beskrivas av täthetsfunktionen f X (x) ax för 9 < x < och för övrigt. Bestäm a, x. och x.9. 4. Den stokastiska variabeln X har tätheten f X (x) x/ för x. Bestäm P( X ). 4. Beräkna P(X ) då f X (x) c a xc e xc /a för x >. 4. Bestäm konstanten c så att f X (x) cx, x 6 blir en täthetsfunktion. 44. Bestäm konstanten c så att F X (x) ce x, x blir en fördelningsfunktion för en kontinuerlig stokastisk variabel.

. Fördelningsbeskrivning. Funktioner av en stokastisk variabel.. Kontinuerlig variabel 4. En stokastisk variabel X har täthetsfunktionen f X (x) ( + x) för x. (a) Bestäm fördelningsfunktionen för Y X. (b) Bestäm täthetsfunktionen för Y. 46. Låt X vara rektangelfördelad i intervallet (, ), det vill säga f X (x) om x och f X (x) annars. Bestäm fördelningsfunktionen för Y ln X. 47. En stokastisk variabel X är exponentialfördelad med väntevärde. Om Y ln X, vad är då P(Y > )? 48. Den positiva stokastiska variabeln X har egenskapen att ln X N(, ). Bestäm täthetsfunktionen för X. 49. Låt X vara rektangelfördelad i intervallet (, ). Vilken fördelning får Y ln X?. Antag att sidan hos en kvadrat R(, ). Beräkna P(. < A <.7), där A är arean hos kvadraten.. En stokastisk variabel Y är en funktion Y X av X, där X är exponentialfördelad med väntevärde. Bestäm P(Y > ).. Flera stokastiska variabler.. Flerdimensionella stokastiska variabler. Två elektroniska komponenter K och K har oberoende och exponentialfördelade funktionstider T och T med väntevärdena / och /. Bestäm sannolikheten för att komponent K har en kortare funktionstid än komponent K.. Om f X,Y,Z (x, y, z) / 8 då x, y och z samt för övrigt, hur stor är då sannolikheten att Y?.. Betingade stokastiska variabler 4. De två stokastiska variablerna X och Y är kontinuerliga med f Y X (y x) /x för y x och f X (x) x e x för x <. Bestäm f Y (y).. Låt X och Y vara två kontinuerliga stokastiska variabler med den simultana tätheten f X,Y (x, y) e x för y x <. Bestäm f Y X (y x). 6. Låt X och Y vara två kontinuerliga stokastiska variabler med f X Y (x y) (x + y)/(y + ) för x och y och f Y (y) cy(y + ) för y. Bestäm f X,Y (x, y). Konstanten c får ej ingå i svaret. 7. Låt (X, Y ) vara en två-dimensionell stokastisk variabel med den simultana tätheten f X,Y (x, y) x/9 för x y. Bestäm f X Y (x y). 8. Låt (X, Y ) vara en två dimensionell stokastisk variabel med f X,Y (x, y) 7 (xy + y ) för x och y. Bestäm f X Y (x y)..4 Funktioner av två stokastiska variabler.4. Diskreta funktioner 9. De två oberoende stokastiska variablerna X och Y antar värdena, och med sannolikheterna.7,. respektive.. Bestäm fördelningen för X + Y. 6. De två oberoende diskreta stokastiska variablerna X och Y har fördelningar / 4 om x p X (x) / 4 om x annars / om y p Y (y) / om y 4 annars Bestäm fördelningen för X Y. 6. Den stokastiska variabeln X antar värdena, 7 och 8 med sannolikheterna.,.6 respektive. och den stokastiska variabeln Y antar värdena 4 och med sannolikheterna. repektive.8. Bestäm sannolikhetsfunktionen för X + Y under förutsättning att X och Y är oberoende. 6. Det gäller att P(X )., P(X ).7 och P(Y )., P(Y )., P(Y ).. Bestäm sannolikhetsfunktionen för X Y om X och Y är oberoende. 4

. Moment.4. Kontinuerliga funktioner 6. Låt X och Y vara två oberoende och normalfördelade stokastiska variabler, båda med väntevärde och varians. Bestäm fördelningsfunktionen för Z max( X, Y ). 64. Låt X och Y vara två oberoende stokastiska variabler med tätheten f X (x) e x för x respektive fördelningsfunktionen F Y (y) e 4y för y. Bestäm fördelningsfunktionen för Z min(x, Y ). 6. De kontinuerliga stokastiska variablerna X och Y är oberoende och har fördelningsfunktionen F X (x) e x för x respektive tätheten f Y (y) e y för y. Bestäm fördelningsfunktionen för den stokastiska variabeln Z max(x, Y ). 66. De kontinuerliga stokastiska variablerna X och Y är oberoende och har fördelningsfunktionen F X (x) e x för x respektive tätheten f Y (y) e y för y. Bestäm fördelningsfunktionen för den stokastiska variabeln Z min(x, Y ). 67. Låt X och Y vara oberoende stokastiska variabler med f X (x) /x för x > respektive F Y (y) /y för y >. Bestäm fördelningsfunktionen för den stokastiska variabeln Z max(x, Y ).. Moment. Väntevärde och varians.. Diskreta variabler ] 68. Låt X vara en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde och varians och definiera den diskreta stokastiska variabeln Y genom 4, X <,, X <, Y, X <, 4, < X <. Bestäm sannolikhetsfunktionen p Y (k) samt E(Y ) och V(Y ). 69. En stokastisk variabel X antar värdena, respektive med sannolikheterna.7,. respektive.. Bestäm E(X ). 7. Den stokastiska variablen X antar värdena, 7 och 8 med sannolikheterna.,.6 respektive.. Bestäm E(X ). 7. Låt X vara en stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen p X (k) / för k,,, 4,. Bestäm V(X )... Kontinuerliga variabler 7. En stokastisk variabel X har täthetsfunktionen f X (x) x /8 för < x <. Beräkna väntevärde och varians för X. 7. Kantlängden L hos en viss typ av kvadratiska plattor varierar på slumpmässigt sätt som beskrivs av täthetsfunktionen { (x 7.7)/.6 7.7 < x 8 f L (x) (8. x)/. 8 < x 8. Bestäm väntevärdet E(L). 74. Om f X (x) 4x, x och för övrigt, vad är då E(X )? 7. Om f X (x) /x, x och för övrigt, vad är då E(X )? 76. Den kontinuerliga stokastiska variabeln X har fördelningsfunktionen F X (x) e x för x. Bestäm E(X ). 77. Låt X vara en stokastisk variabel med X N(, ). Bestäm E(X )... Oberoende linjärkombinationer 78. Det gäller att P(X )., P(X ).7 och P(Y ).6, P(Y ).4. Bestäm variansen för X Y om X och Y är oberoende. 79. Om E(X ), D(X ) och E(Y ) 4, D(Y ) där X och Y är oberoende, vad är då väntevärdet och variansen för X Y?. Kovarianser.. Enkla kovarianser 8. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), E(Y ), V(X ) 4, V(Y ) och C(X, Y ).. Definiera nya stokastiska variabler genom V X + Y och W X + Y. Bestäm C(V, W ).

. Moment 8. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), E(Y ), V(X ) 4, V(Y ), och C(X, Y ). Bestäm C(X + Y, X + 4Y ). 8. Låt X och X vara stokastiska variabler med E(X ), V(X ), E(X ) 4, V(X ) och C(X, X ). Låt Y X X. Bestäm E(Y ) och V(Y ). 8. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ), E(Y ), V(Y ) samt C(X, Y ). Bestäm C(X, X + Y ). 84. Låt X, Y och Z vara tre stokastiska variabler. Bestäm V(X Y + Z). Till din hjälp har du: V(X ) 6, V(Y ), V(Z) 4, C(X, Y ), C(X, Z), C(Y, Z). 8. Låt X och Y vara två stokastiska variabler. Bestäm D(X Y ). Till din hjälp har du: E(X ), E(Y ), E(X ), E(Y ) 8, E(XY ) 4. 86. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ), E(Y ), V(Y ) och C(X, Y ). Bestäm C(X, X + Y ). 87. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ) 4, E(Y ), V(X ), V(Y ) och C(X, Y ). Bestäm C(X + Y, 4Y ). 88. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), E(Y ), V(X ) 4, V(Y ) och C(X, Y ). Bestäm C(X + Y, X + 4Y ). 89. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ) 4, E(Y ), V(Y ) 4 / och C(X, Y ). Bestäm C(X Y, X + Y ). 9. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ), E(Y ), V(Y ) och C(X, Y ). Bestäm C(X, X + Y ). 9. Låt X N(, ) och Y N(, ) vara två oberoende stokastiska variabler. Beräkna C(X, Y ). 9. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ) 4, E(Y ), V(Y ) 4 och C(X, Y ). Beräkna V(X + Y ). 9. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ) 4, E(Y ), V(Y ) 4 och C(X, Y ). Bestäm V(X Y )... Korrelation 94. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med E(X ), V(X ) 4, E(Y ), V(Y ) 9 och (X, Y ).. Bestäm C(X, X Y ). 9. Om E(X ), D(X ) och E(Y ), D(Y ) där X och Y är beroende med korrelationskoefficient., vad är då variansen för X Y? 96. Låt X och Y vara två stokastiska variabler med varianser respektive, och korrelation.. Beräkna V(X Y ). 97. Om de stokastiska variablerna X och Y är tider i sekunder respektive timmar, vilken enhet har då korrelationen mellan X och Y? 98. Låt X N(, ) och Y N(, ) ha korrelationen.. Beräkna C(X, Y )... Kovarianser från scratch 99. De stokastiska variablerna X och Y har täthetsfunktioner f X (x) f Y (x) x för x. Vidare är deras korrelationskoefficient / 4. Beräkna väntevärde och varians för X Y.. Låt (X, Y ) vara en två-dimensionell stokastisk variabel med den simultana tätheten f X,Y (x, y) / 9 för x y och för övrigt. Bestäm C(X, X + Y ).. Låt (X, Y ) vara en kontinuerlig två-dimensionell stokastisk variabel med tätheten f X,Y (x, y) +cxy i området x, y och x+y och annars. Beräkna konstanten c. Beräkna också korrelationskoefficienten mellan X och Y.. Betingade väntevärden och varianser. Låt (X, Y ) vara en två-dimensionell stokastisk variabel med den simultana täthetsfunktionen f X,Y (x, y) x/9 för x y. Bestäm E(X Y y).. Låt den tvådimensionella stokastiska variabeln (X, Y ) vara likformigt fördelad över enhetscirkeln, dvs f X,Y (x, y) / för x + y. Antag att vi observerat Y y. Bestäm den bästa prediktorn av X, det vill säga, beräkna E(X Y y). Bestäm även V(X Y y). 4. Låt (X, Y ) ha den simultana täthetsfunktionen f X,Y (x, y) 6xy( x y) för x och y. 6

. Moment (a) Bestäm de marginella täthetsfunktionerna. (b) Bestäm den betingade täthetsfunktionen f X Y (x y). (c) Bestäm den bästa prediktionen av X givet Y y, det vill säga beräkna E(X Y y).. Två stokastiska variabler X och Y har den simultana täthetsfunktionen f X,Y (x, y) x+y e (x+y) för x > och y >. Antag att man observerat X och fått värdet x. (a) Bestäm den betingade täthetsfunktionen för Y givet X x och den bästa prediktionen av Y givet X x, dvs beräkna E(Y X x). (b) Bestäm V(Y X x). 6. Låt f (x, y) för < x < y < (och annars) vara den simultana tätheten för de två stokastiska variablerna X och Y. Bestäm väntevärdet för X givet Y..4 Väntevärden av funktioner av en stokastisk variabel.4. Diskreta funktioner 7. Låt X vara en diskret stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen. k. k 4 p X (k). k för övrigt Bestäm E(/X ). 8. Låt X vara en stokastisk variabel med sannolikhetsfunktion p X (k).7. k för k,,,.... Bestäm E( X ). 9. Låt X vara en diskret stokastisk variabel med sannolikhetsfunktionen. k. k p X (k). k för övrigt Bestäm E(/X ) exakt..4. Kontinuerliga funktioner. Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktionen f X (x) x för x. Beräkna E(X (X )).. Den stokastiska variablen X har täthetsfunktionen f X (x) x / för x. Bestäm E(e X ).. Den stokastiska variablen X har täthetsfunktionen f X (x) 4x, x. Bestäm E(/X ).. En stokastisk variabel Y är en funktion Y X av X, där X är exponentialfördelad med väntevärde. Beräkna exakt E(Y ). 4. En bilförare väljer slumpvis farten F från en R(7, 9)-fördelning och kör sedan med denna konstanta fart. Beräkna exakt väntevärdet av bensinförbrukningen B (F/) liter per mil. Beräkna också exakt standardavvikelsen av bensinförbrukningen.. De oberoende stokastiska variablerna X och Y är exponentialfördelade med väntevärde. Beräkna E(min(X, Y )).. Gauß-approximation 6. Den stokastiska variabeln X har E(X ) och D(X ). Låt Y /X. Bestäm approximativt E(Y ) och D(Y ). 7. Låt X vara en stokastisk variabel med E(X ) 9 och V(X ). Bestäm approximativt väntevärde och varians för den stokastiska variabeln Y +X. Använd Gauß approximationsformler. 8. Sidan hos en viss typ kvadratiska plattor varierar kring (vänte)värdet 8 cm med variansen.6 cm. Ge en uppskattning av variansen hos plattornas yta. 9. Den stokastiska variablen Y har väntevärde och varians.. Bestäm approximativt väntevärde och varians för Z +Y.. En stokastisk variabel är fördelad som Bin(,.4). Beräkna approximativt väntevärde och varians av Y /X.. Rörelseenergin hos en cyklist är W mv /. Antag att m 8 kg och att f V (v) / för v meter per sekund. Beräkna approximativt standardavvikelsen hos rörelseenergin. 7

. Binomial- och Poissonfördelning 4. Normalfördelningsexercis 4.... i en variabel. Låt X N(, 4). Beräkna P(X 4).. Låt X N(, 4). Beräkna P(X > 4). 4. Om X N(,.), vad är då P(X >.)?. Om X N(., ) vad är då P(X.)? 6. Beräkna väntevärdet av X om X är en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde och varians 9. Beräkna också P(X 6). 7. Beräkna x.9 då X N(, ) utifrån kvantildefinitionen x ; P(X x ). 8. X N(, ). Beräkna P(X ). 4.... i flera variabler 9. De stokastiska variablerna X, X och X är oberoende och normalfördelade X N(, ), X N(, ) och X N(, ). Beräkna P(X + X X > 4).. Låt X N(, ) och Y N(, ) vara två oberoende stokastiska variabler. Beräkna P(X Y > ).. De stokastiska variablerna X och Y är oberoende och normalfördelade med E(X ), E(Y ), D(X ) 4, D(Y ). Beräkna P(X + 7 < Y ).. Om X N(, ) och Y N(, 4) är oberoende, vad är då P(X + Y > )?. Låt X N(, 4) och Y N(4, ) vara två oberoende stokastiska variabler. Beräkna P(X > Y ). 4. Antag att längden av en slumpmässigt vald flicka i en viss skolklass är X i cm där X i N(, ). Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald flicka är procent längre än en annan slumpmässigt vald flicka. Det antas givetvis att deras längder är oberoende.. Låt X och Y vara oberoende stokastiska variabler med X N(, ) och Y N(, ). Bestäm P(X + Y ). 4. Centrala gränsvärdessatsen 6. Då man använder en viss mätmetod görs vid mätning nummer i ett fel som kan beskrivas av en stokastisk variabel X i med E(X i ) och V(X i ).. Vidare antar vi att alla X i har samma fördelning. Bestäm approximativt sannolikheten för att summan av oberoende mätningar har ett fel vars absolutbelopp är större än, det vill säga beräkna P( > ). i X i 7. Låt X, X,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med sammma fördelning med E(X i ) och V(X i ). Låt Y n n i X i, där n är ett stort tal. Bestäm approximativt sannolikheten för att P( Y n n < n ). 8. Vikterna hos personer antas vara oberoende stokastiska variabler X,..., X med samma fördelning N(7, ). Beräkna P( i X i > i X i), det vill säga sannolikheten att de första personerna tillsammans väger mer än de sista. 9. Låt Y vara summan av oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler med väntevärdet.. Bestäm approximativt P(Y > 44). 4. X, X,..., X är oberoende likafördelade stokastiska variabler med E(X i ) och V(X i ) 4. Låt Y i X i. Beräkna approximativt P(Y <.7). 4. X, X,..., X är oberoende likafördelade stokastiska variabler med E(X i ) och V(X i ). Låt Y i X i. Beräkna approximativt P(Y > ).. Binomial- och Poissonfördelning. Binomialfördelning 4. Låt X Bin(,.). Beräkna P(X 4). 4. Om X Bin(,.4) vad är då P(X < )? 44. Antag X Bin(,.7) och Y Bin(9,.7). Dessutom är X och Y oberoende. Bestäm P(X + Y ). 4. Om X Bin(,.4) vad är då P(X < 8)? 46. Vilket är det största möjliga utfallet hos X då X Bin(,.8)? 47. Vilket är det största möjliga utfallet hos X + Y då X Bin(,.8) och Y X? 8

. Binomial- och Poissonfördelning 48. Per kastar en symmetrisk tärning gånger. Bestäm sannolikheten att han får precis fyra ettor i de kasten.. Poissonfördelning 49. Låt X Po() och Y Po(). Bestäm P(X + Y < 6) om X och Y är oberoende stokastiska variabler.. Låt X och Y vara oberoende stokastiska variabler som är Poissonfördelade med väntevärdet respektive. Bestäm P(X + Y ).. Om X Po() vad är då P(X )?. Låt X Po(4) och X Po(6). Bestäm P(X + X 7). Du får förutsätta att X och X är oberoende.. Låt X och Y vara oberoende Poissonfördelade med väntevärde. repektive.. Beräkna P(X + Y < ). 4. Beräkna P(X 4, Y ) då X och Y är oberoende och båda från Po().. Kombinationer. Låt X och Y vara oberoende binomialfördelade Bin(,.4) respektive Bin(,.6). Beräkna P(X + Y < ). 6. Låt X och Y vara oberoende och Poissonfördelade med väntevärdet. Beräkna P(X + Y ). 7. Om X Bin(,.) och Y Po(6) och X och Y är oberoende, vad är då P(X + Y )? 8. Låt X och Y vara oberoende och Poissonfördelade med väntevärde. Beräkna sannolikheten att X + Y <..4 Normalapproximation 9. Antag att X Bin(,.) och Y Bin(,.4). Dessutom är X och Y oberoende. Bestäm approximativt P(X Y ). 9

6. Lösningar: Sannolikheter 6. Lösningar 6. Sannolikheter. P(A B ) P(A B) (P(A) + P(B) P(AB)).4. +..4. P(A B ) P(A B) (P(A) + P(B) P(AB))..6 +... P(A B) P(A) + P(B) P(AB) P(A) + P(B) (P(A) P(AB )) P(B) + P(AB ). +..7 4. P(A B) P(A) + P(B) P(AB). +..7. P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC).+.+.4....4 +.76 6. A och B är oberoende eftersom P(AB) P(A) + P(B) P(A B) + 4 och P(A) P(B) 4 dvs P(AB) P(A) P(B) 7. P(minst ett) P(inget) (.4) n.46 n.99 n ln.46 ln. n ln. ln.46.9, dvs minst 6 kast 8. 6 6 6 4 6 6 6 6 4.4 9. P( vid DEC, vid Sun) ( 4 )( 6 ) 4!!! 6!! 4!! 4! 6! / 7.4. H i : försök i lyckas, ( 4 ) P(H ).9, P(H ).9, P(H ).9 och P(H 4 ).8. P(högst ett försök lyckas) P(inget lyckas) + P(precis ett lyckas) P(H H H H 4 ) + P(H H H H 4 ) + P(H H H H 4 ) + P(H H H H 4 ) + P(H H H H 4).... +.9... +..9.. +...9. +....8 +9+9+9+4.4. P(minst ett lyckat av tre) P(inget lyckat) P(alla misslyckas) (.).67. P(A B) P(A). ty oberoende. P(A B) P(A B) P(B). P(A B)+P(A B)..+. / 8.7 4. P(A B) P(AB) P(B) P(A)+P(B) P(A B) P(B).+.4.6.4 / 4.. P(A B) P(AB) P(B) P(AB) P(A B) P(A)+P(AB)..9.8+. /.67 6. A: drunka, B: onykter P(B A).7, P(A B) P(A B ). P(AB) P(B A) P(A).7 P(A), P(AB ) P(A) P(AB). P(A). P(A B) P(A B ) P(AB) P(B) P(AB ) P(B ).7 P(A) P(B). P(A) P(B) P(B) P(B) P(B) /.7 % 7. P(AB) P(A B) P(B). (P(A B) P(A) + P(AB)).(.9.8 + P(AB)).(. + P(AB)) P(AB) / 4.. P(B A) P(AB) P(A)..8 /. 8. P(A B) P(A) + P(B) P(AB). +.4 P(A B) P(B).6..4.4

6. Lösningar: Fördelningsbeskrivning 9. P(B A) P(A) + P(B) P(AB). +.6 P(A B) P(B)..4.6.86. P(A B) P(AB) P(B) P(A)+P(B) P(A B) P(B).6+..8. /.6. P(A B) P(AB) P(B) / 8.7. P(A B ) P(AB ) P(B ) /.67. P(B A) P(AB) P(A) /.48 P(AB) P(AB)+P(A B)..+. P(A) P(AB) P(B).6..4 P(A B) P(B) P(A).4.6. 4. P(A B) P(AB) P(B)..4 / 4.. P(ABC) P(C AB) P(AB).8 P(B A) P(A).8... 6. A: sexa, B: ljuger, C: Ja, C AB A B, P(B).8, P(A) / 6, A och B oberoende. P(C) P(AB ) + P(A B) 6 (.8) + ( 6 ).8 7 /.7. P(A C) P(AC) P(C) P(C A) P(A) P(C) (.8) /6.7 /.48 7. A: helg, B: inom fem minuter. P(B ) P(A) P(C) P(A) / 7, P(B A).9, P(B A ).9. P(B) P(B A) P(A) + P(B A ) P(A ).9 7 +.9 7 4.96 8. A: adelsman, B: fäktare, P(A)., P(B A).8, P(B A ).4. P(A B) P(AB) P(B) P(B A) P(A) P(B A) P(A)+P(B A ) P(A ).8..8.+.4 (.) / 9. 9. A: fel, B: larm, P(A)., P(B A).99, P(B A ).. P(A B) P(AB) P(B) P(B A) P(A) P(B A) P(A)+P(B A ) P(A ).99..99.+. (.) / 66. 6. Fördelningsbeskrivning. p X (k) F X (k) F X (k ) för k,,..., k F X (k) F X (k ) p X (k).......7..4 4.8.7...8.. P( X < 4) k p X (k) k.6.4k.6 (.4 +.4 +.4 ).744. P( < X < 7) 6 k4 p X (k) 6 k4..7k. (.7 4 +.7 +.7 6 ).77. k p X (k) p X () + p X () + p X () c + c + c c c /.6 4. P( X < ) P(X ) p X ()..7.. P(X ) f X (x) dx x dx x ] + /.67 6. P(X ) f X (x) dx x dx x + /. ] 7. P(X ) f X (x) dx x dx x ] + /. 8. x. :. x. f X (x) dx x. x dx x ] x. /x. x. /. 9. P(. X ). f X (x) dx. x dx + dx x ]...7 4. f X (x) dx 9 ax dx a 9 a 9a a / 9.. x. x 9 f X (x) dx x. 9 ] x. x 9 dx 9 x. 9 9 9 x. 9. + 9 9.. På samma sätt:.9 x.9 f X (x) dx x.9 9.9 + 9 99. ] ax 9

6. Lösningar: Fördelningsbeskrivning 4. P( X ) f X (x) dx x 4 ] 4 4 / 4.7 x dx 4. P(X ) eftersom X är en kontinuerlig variabel. 4. f X (x) dx ] 6 cx dx cx 6 c6 c 6 / 7.9 44. F X () ce c c. 4. (a) F Y (y) P(Y y) P(X y) P(X y / ) F X (y / ) y / f X (x) dx y / ( + x) dx (x + x ) ] y/ (y/ + y/ ) ( + ) (y/ + y / ) för y / dvs för y 8. Dessutom är F Y (y) för y < och F Y (y) för y > 8. (b) f Y (y) F Y (y) ( y / + y / ) y / ( y / + ) för y 8 och för övrigt. 46. F X (x) x f X (u) du x du x för x. F Y (y) P(Y y) P( ln X y) P(ln X y) P(X e y ) F X (e y ) e y för e y dvs för y <. Alltså: Y Exp() 47. F X (x) e x för x. P(Y > ) P(ln X > ) P(X > e ) P(X > ) F X () ( e ) e.7 48. f ln X (x) e (x ) / för < x <. F X (x) P(X x) P(ln X ln x) F ln X (ln x). f X (x) F X (x) d dx F ln X (ln x) f ln X (ln x) x x e (ln x ) / för < ln x < dvs x >. (X är lognormalfördelad) 49. F X (x) x f X (u) du x du x för x. F Y (y) P(Y y) P( ln X y) P(ln X y) P(X e y ) F X (e y ) e y för e y dvs y <. Alltså: Y Exp(). X sidan R(, ), f X (x) och F X (x) x för x. A arean X. F A (x) P(A x) P(X x) P( x X x) P( X x) F X ( x) för x. P(. < A <.7) F A (.7) F A (.).7..89. X Exp(), f X (x) e x/ och F X (x) e x/ för x. F Y (y) P(X y) P( y X y) P( X y) F X ( y) e y/ för y. P(Y > ) F Y () e /.4. T i Exp( / i ), f T i (x) i e ix, x. P(T < T ) x<y f T,T (x, y) dx dy x yx e x e y dx dy e x e y ] dx x e ( + )x dx + e ( + )x ] +. P(Y ) y f X,Y,Z(x, y, z) dx dy dz 8 dz dy dx 8 / 4. f Y (y) f X,Y (x, y) dx f Y X (y x) f X (x) dx y e x] y x xe x dx y e x dx. f Y X (y x) f X,Y (x,y) f X (x) e y för y. Y Exp() e x xe x x för y x, dvs (Y X x) R(, x) eftersom f X (x) f X,Y (x, y) dy x e x dy ye x] x xe x för x

6. Lösningar: Fördelningsbeskrivning 6. f Y (y) dy cy(y + ) dy y ] c + y c( + ) c 6 c 6 /.. f X,Y (x, y) f X Y (x y) f Y (y) x+y y+.y(y + ).y(x + y) för x och y 7. f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) x/9 y /9 x/y för x y eftersom f Y (y) f X,Y (x, y) dx y x 9 ] y y /9 för y 8. f Y (y) f X,Y (x, y) dx 7 (xy + y ) dx y(+y) 4 för y. x 9 dx y 7 ( x + xy) ] f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) y(x+y)/7 y(+y)/4 (x+y) +y för x då y 9. p X +Y (k) i+jk p X,Y (i, j) i+jk p X (i) p Y (j). k : p X +Y () p X () p Y ().7.7.49; k : p X +Y () p X () p Y () + p X () p Y ().7. +..7.8; k : p X +Y () p X () p Y () + p X () p Y () + p X () p Y ().7. +.. +..7.8; k : p X +Y () p X () p Y () + p X () p Y ().. +...4; k 4: p X +Y (4) p X () p Y ()... 6. p X Y (k) i jk p X,Y (i, j) i jk p X (i) p Y (j). k : p X Y ( ) p X () p Y (4) 4 / 8 ; k : p X Y ( ) p X () p Y () + p X () p Y (4) 4 + 4 / ; k : p X Y () p X () p Y () 4 / 8 6. p X +Y (k) i+jk p X,Y (i, j) i+jk p X (i) p Y (j). k 7: p X +Y (7) p X () p Y (4)...6; k 8: p X +Y (8) p X () p Y ()..8.4; k : p X +Y () p X (7) p Y (4).6..; k : p X +Y () p X (7) p Y () + p X (8) p Y (4).6.8 +...; k : p X +Y () p X (8) p Y ()..8.8 6. p X Y (k) i jk p X,Y (i, j) i jk p X (i) p Y (j). k : p X Y ( ) p X () p Y ()...6; k : p X Y () p X () p Y () + p X () p Y ().. +.7..; k : p X Y () p X () p Y () + p X () p Y ().. +.7..; k : p X Y () p X () p Y ().7..7 6. X, Y N(, ), F X (x) (x) och F X ( x) F X (x). F X (x) P( X x) P( x X x) F X (x) F X ( x) F X (x) ( F X (x)) F X (x) (x) för x. F Z (z) P(max( X, Y ) z) P( X z och Y z) F X (z) F Y (z) ( (z) ) för z

6. Lösningar: Moment 64. F X (x) x f X (u) du x e u du e x för x. F Z (z) P(min(X, Y ) z) P(min(X, Y ) > z) P(X > z och Y > z) ( F X (z)) ( F Y (z)) e z e 4z e 6z för z. Z Exp( / 6 ) 6. F Y (y) y f Y (u) du y e u du e y för y. F Z (z) P(max(X, Y ) z) P(X z och Y z) F X (z) F Y (z) ( e z ) ( e z ) för z 66. F Y (y) y f Y (u) du y e yu du e y för y. F Z (z) P(min(X, Y ) z) P(min(X, Y ) > z) P(X > z och Y > z) ( F X (z)) ( F Y (z)) e z e z e z för z. Z Exp( / ) 67. F X (x) x f X (u) du x u du u ] x x för x >. F Z (z) P(max(X, Y ) z) P(X z och Y z) F X (z) F Y (z) ( z ) ( z ) för z > 6. Moment 68. X N(, ), F X (x) (x). p Y ( 4) P(X < ) ().9; p Y ( ) P( X < ) ( ) () ( ). ( ()) ()..4; p Y () P( X < ) () () ()..4; p Y (4) P(X ) F X () ().9. E(Y ) k k p Y (k) 4 ( ()) ( ().) + ( ().) + 4 ( ()). E(Y ) k k p Y (k) ( 4) ( ()) + ( ) ( ().) + ( ().) + 4 ( ()) 8 4 (). V(Y ) E(Y ) E (Y ) 8 4 () 7.8 69. E(X ) k k p X (k) k k p X (k).7 +. +..4 7. E(X ) k k p X (k). + 7.6 + 8..9 7. E(X ) k k p X (k) k k / +++4+. E(X ) k k p X (k) k k / + + +4 +. V(X ) E(X ) E (X ) 7. E(X ) x f X (x) dx x x 8 dx x 8 dx x 4 4 8 ] E(X ) x f X (x) dx x 4 8 dx x 8 ] 4 4 8 /.. x x 8 dx 8 /.4. V(X ) E(X ) E (X ) ( ) /. 7. E(L) x f L(x) dx 8.6 7.7 + 8...6 +. x(x 7.7) dx 8 x(8. x) dx x ( x 7.7 )] 8 7.7 x ( 8. x )] 8. 8 8 7.7 8 +7.7 6.6 + 8. 8 8.+ 8 6. 4.8.6 +.4..4 + 4.8 7.9 74. E(X ) x f X (x) dx x 4x dx 4x ] 4 /.8 7. E(X ) x f X (x) dx x x dx x dx x ] / 4

6. Lösningar: Moment 76. f X (x) F X (x) e x för x. E(X ) x f X (x) dx x e x dx xe x] + e x dx e x] / 77. f X (x) e x / för < x <. E(X ) x f X (x) dx x e x / dx e x / ] 78. E(X ). +.7.7; E(X ). +.7.; V(X ) E(X ) E (X )..7.87. E(Y ).6 +.4.4; E(Y ).6 +.4.4; V(Y ) E(Y ) E (Y ).4.4.4. V(X Y ) V(X ) + V(Y ).87 +.4.47 79. E(X Y ) E(X ) E(Y ) 4. V(X Y ) V(X ) + V(Y ) 4 + 4 8. C(V, W ) C( X + Y, X + Y ) C(X, X ) C(X, Y ) + C(Y, X ) + C(Y, Y ) V(X ) C(X, Y ) + 6V(Y ) 4. + 6. 8. C(X + Y, X + 4Y ) C(X, X ) + 4C(X, Y ) + C(Y, X ) + 4C(Y, Y ) V(X ) + C(X, Y ) + V(Y ) 4 + + 74 8. E(Y ) E(X X ) E(X ) E(X ) 4. V(Y ) V(X X ) V(X ) + ( )C(X, X ) + V(X ) 4 ( ) + 9 9 8. C(X, X + Y ) C(X, X ) + C(X, Y ) V(X ) + 6C(X, Y ) + 6 8 84. V(X Y + Z) V(X ) + V(Y ) + V(Z) C(X, Y ) + C(X, Z) C(Y, Z) 6++4 4 ( )+4 4 ( ) 4 8. V(X ) E(X ) E (X ). V(Y ) E(Y ) E (Y ) 8 4. C(X, Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) 4. V(X Y ) V(X ) + V(Y ) C(X, Y ) + 4 4 4. D(X Y ) V(X Y ).6 86. C(X, X + Y ) C(X, X ) + C(X, Y ) V(X ) + 6C(X, Y ) + 6 4 87. C(X + Y, 4Y ) 4C(X, Y ) + 4V(Y ) + 84 88. C(X + Y, X + 4Y ) V(X ) + 4C(X, Y ) + C(Y, X ) + 4V(Y ) 4 + ( + ) + 86 89. C(X Y, X + Y ) V(X ) + C(X, Y ) C(Y, X ) V(Y ) 4 + (9 ) ( ) 4 9. C(X, X + Y ) V(X ) + C(X, Y ) + 6 8 9. C(X, Y ) eftersom oberoende medför okorrelerade. 9. V(X + Y ) V(X ) + V(Y ) + C(X, Y ) 4 4 + 4 + 4 8 9. V(X Y ) V(X ) + V(Y ) C(X, Y ) 4 + 4 4 94. C(X, X Y ) C(X, X ) C(X, Y ) V(X ) (X, Y ) V(X )V(Y ) 4. 4 9 9. C(X, Y ) (X, Y ) V(X )V(Y ).. V(X Y ) V(X ) + V(Y ) C(X, Y ) 4 + 4

6. Lösningar: Moment 96. C(X, Y ) (X, Y ) V(X )V(Y ).. 6. V(X Y ) V(X ) + V(Y ) C(X, Y ) + 4 4. 6 6 6. 97. Ingen, korrelationskoefficienten är enhetslös. 98. C(X, Y ) (X, Y ) V(X )V(Y )... 99. E(X ) E(Y ) x f X (x) dx ] x x dx x /. E(X ) E(Y ) x f X (x) dx x x dx x 4 ] /. V(X ) V(Y ) E(X ) E (X ) ( ) / 8. C(X, Y ) V(X )V(Y ) 4 8 8 4 8 / 7. E(X Y ) E(X ) E(Y ). V(X Y ) V(X ) + V(Y ) C(X, Y ) 8 + 8 7 /.8. f X (x) f X,Y (x, y) dy x 9 dy ( x) 9 x 9 för x. E(X ) x f X (x) dx x x 7 ] 7. E(X ) x f X (x) dx x ( x 9 ) dx x 9 x4 8 9 4 8 /. x ( x 9 ) dx ] V(X ) E(X ) E (X ) /. f Y (y) f X,Y (x, y) dx y y 9 dx 9 för y. E(Y ) y f Y (y) dy y y 9 dy ] y 7 7. E(Y ) y f Y (y) dy ] y 4 y y 9 dy 8 4 8 9 /. V(Y ) E(Y ) E (Y ) 9 /. E(XY ) xy f X,Y (x, y) dx dy y y x xy 9 y y 9 y y 9 ] y 4 6 dx dy { y x x dx} dy x ] y x dy y y 4 6 9 / 4. y 9 dy C(X, Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) 9 4 / 4. C(X, X + Y ) V(X ) + C(X, Y ) + 6 4 /.. f X,Y (x, y) dx dy x x x y y + cxy ( + cxy) dx dy ] x dx cx( x) ( x + ) dx ] x( x) + cx ( x) 4 + (x + cx ( x) ) dx ] x + cx ( x) 6 + + cx 4 4 ] cx 6 dx + c 4 c. f X (x) f X,Y (x, y) dy x ( + xy) dy y + 6xy ] x ( x) + 6x( x) för x. Dessutom är f Y (y) f X (y) p.g.a. symmetri. E(X ) E(Y ) x f X (x) dx x (( x) + 6x( x) ) dx ] x ( x) + x ( x) + ( x x + 4x ( x)) dx 6 + x4 ( x) ] ] + x4 dx 6 + x 6 + /. E(X ) E(Y ) x f X (x) dx x (( x) + 6x( x) ) dx ] x ( x) + x4 ( x) + ( x + x4 ( x)) dx ] x 4 + x ( x) + x dx 6

6. Lösningar: Moment ] + x 6 + / 6. V(X ) V(Y ) E(X ) E (X ) 6 ( ) /. E(XY ) xy f X,Y (x, y) dx dy x x y x xy( + xy) dx dy ] xy x + 4x y dx y ( x( x) + 4x ( x) ) dx ] x ( x) 4 + 4x ( x) + ( x ( x) + 4x ( x) ) dx ] x ( x) 6 + x 4 ( x) + ( x 6 + x4 ( x)) dx ] x 4 4 + x ( x) + x dx ] 4 + x 6 /. C(X, Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) 47/8. (X, Y ) C(X,Y ) V(X )V(Y ) 47/8 /6 47/88.4. f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) x/9 y /9 x/y för x y eftersom f Y (y) f X,Y (x, y) dx y x 9 ] y x 9 dx y /9 för y och, alltså E(X Y y) x f X Y (x y) dx y x x y dx ] y x y dx x y y y y y/ för y. x + y x y y x y. f Y (y) f X,Y (x, y) dx y y dx y för y. f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) / y / för y x y, dvs y (X Y y) R( y, y ) då y och E(X Y y) y + y då y, V(X Y y) ( y + y ) y då y 4. (a) f X (x) f X,Y (x, y) dy 6xy( x y) dy ] 6x(y xy y ) 6x( x för x. f Y (y) f X,Y (x, y) dx ) x(4 x) 6xy( x y) dx y(4 y) för y (b) f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) 6xy( x y) y(4 y) 6x( x y) 4 y för x då y (c) E(X Y y) x f X Y (x y) dx x 6x( x y) 4 y dx 6 4 y 6 4 y ] ( y)x x4 4 { y 4 för y. (a) f X (x) f X,Y (x, y) dy } x+y e (x+y) dy 4y (4 y) ] x+y e (x+y) + e (x+y) dy x e x + e (x+y)] x e x + e x x+ e x för x >. f Y X (y x) f X,Y (x,y) f X (x) x+y e (x+y) x+ e x x+y x+ e y för x, y >. E(Y X x) y f Y X (y x) dy y x+y x+ e y dy xy+y ] x+ e y + ] x+y x+ e y + x x+ + x+ e y ] x+ x+ då x > x+y x+ e y dy x+ e y dy x x+ + x+ 7

6. Lösningar: Moment (b) E(Y X x) y f Y X (y x) dy y x+y x+ e y dy xy +y x+ e y ] + xy+y x+ e y ] + x+6y x+ e y ] + x x+ + 6 x+ e y ] xy+y x+ e y dy x+6y x+ e y dy 6 x+ e y dy x x+ + 6 x+ (x+) x+ då x >. V(Y X x) E(Y X x) E (Y X x) (x+) x+ ( x+ x+ ) x +4x+ x +x+ då x > 6. f Y (y) f X,Y (x, y) dx y dx y för < y <. f X Y (x y) f X,Y (x,y) f Y (y) för < x < y, dvs y / y (X Y y) R(, y) då < y < och E(X Y y) y / då < y < 7. E( X ) k k p X (k). + 4. +. 9 /.6 8. E( X ) k k p X (k) k k.7. k.7 k.6k.7.6 7 / 4.7 9. E( X ) k k p X (k). +. +. 7 /.7. E(X (X )) x (x ) f X (x) dx x (x ) x dx x4 (x ) dx ] x (x ) ] x dx x6 /.. E(e X ) ex f X (x) dx ] e x 4 e. E( X ) ex x 4 4 e4 4.4 x f X (x) dx 4x dx x ] dx x 4x dx. X Exp(); f X (x) e x/ för x. E(X ), V(X ) 4, dvs E(X ) V(X ) + E (X ) 4 + 8. E(Y ) E(X ) x f X (x) dx x e x/ dx x e x/] + x e x/ dx 4x e x/] + 4 e x/ dx 8e x/] 8 4. f F (x) 9 7 / för 7 x 9. E(B) E( F ) x f F (x) dx ] 9 9 x 7 dx x 6 9 7 6 7 9/.64. E(B ) E( F 4 ) x 4 4 f 4 F (x) dx 9 7 x 4 9 7 dx V(B) E(B ) E (B) 96/. ] 9 x 7 /.64. ( 9 ) D(B) V(B) 7.94.. f X (x) e x/ och F X (x) e x/ för x ; Z min(x, Y ). F Z (z) P(min(X, Y ) z) P(min(X, Y ) > z) ( F X (z))( F Y (z)) e z/ e z/ e z och f Z (z) F Z (z) e z för z, dvs Z Exp() och E(Z) 6. y g(x) /x, g (x) /x. E(Y ) g(e(x )) E(X ) /.. V(Y ) ( g (E(X )) ) V(X ) ( E(X ) ) D(X ) ( ) / 6. D(Y ) V(Y ) /.4 7. y g(x) +x ; g (x) (+x). E(Y ) g(e(x )) +E(X ) +9 /.. V(Y ) ( g (E(X )) ) V(X ) ( (+E(X )) ) V(X ) ( (+9) ) /. 8

6.4 Lösningar: Normalfördelningsexercis 8. X sidan, E(X ) 8 cm, V(X ).6 cm. Y X ; g(x) x ; g (x) x. V(Y ) ( E(X ) ) V(X ) 4 8.6 777.6 cm 4 9. z g(y) +y ; g (y) (+y). E(Z) g(e(y )) +E(Y ) + /.. V(Z) ( g (E(Y )) ) V(Y ) ( (+E(Y )) ) V(Y ) ( (+) ). / 6.6. X Bin(,.4); E(X ).4 4; V(X ).4(.4).4. Y g(x ) /X ; g (x) /x. E(Y ) E(X ) / 4.. V(Y ) ( E(X ) ) V(X ).4 4 4 /.94. V R(, ); E(V ) + m/s; V(V ) ( ) / m /s. w g(v) mv /; g (v) mv. V(W ) ( me(v ) ) V(V ) 8. D(W ) V(W ) 8 / 6.9 kg(m/s) 6.9 J 6.4 Normalfördelningsexercis. P(X 4) P(X 4) ( 4 4 ) (.7).777.66. P(X > 4) ( 4 4 ) ().844.866 4. P(X >.) (.. ) (.).99.668. P(X.) (.. ) (.).847.6 6. E(X ) V(X ) + E (X ) 9 + 9. P(X 6) P(X < 6) P( 6 < X < 6) ( ( 6 9 ) ( 6 9 )) ( ( /)) ( (.8)) (.7989).4 7..9. P(X x.9 ) ( x.9 ) x.9.9. x.9..6449 6.4 8. P(X ) ( ) ().. 9. E(X + X X ) E(X ) + E(X ) E(X ) +. V(X + X X ) V(X ) + V(X ) + V(X ) 4 + + 7. Y X + X X N(, 7). P(Y > 4) (.4).948 ( 4 7 ) ( 7 ). E(X Y ) E(X ) E(Y ). V(X Y ) V(X ) + V(Y ) + 9 7. Z X Y N(, 7). P(X Y > ) ( ( ) 7 ) ( 7 ) (.6).66.4644. E(X + 7 Y ) E(X ) + 7 E(Y ) + 7. V(X + 7 Y ) V(X ) + V(Y ) 4 + 9 7. Z X + 7 Y N(, 7). P(X + 7 < Y ) P(Z < ) ( 7 ) (.).88686.4. E(X + Y ) E(X ) + E(Y ) + ; V(X + Y ) V(X ) + V(Y ) + 4. Z X + Y N(, ). P(Z > ) P(Z ) ( ) (.).796.474. X Y N( 4, 4 + ) N(, ). P(X > Y ) P(X Y ) ( ( ) ) (.).79.47 9

6. Lösningar: Binomial- och Poissonfördelning 4. E(X.X ) E(X ).E(X ) (.) cm. V(X.X ) V(X ) +. V(X ) ( +. ) cm. X.X N(, ). P(X >.X ) P(X.X ) ( ( ) ) ( /7) (.87).878.9. E((X +Y )) (E(X )+E(Y )) (+) 6. V((X + Y )) (V(X ) + V(Y )) 4( + ). Z (X + Y ) N(6, 4 ). P((X + Y ) ) (.6).84 ( 6 4 ) ( ) 6. Y i X i N(,.) N(, ) enligt CGS. P( Y > ) P( Y ) P( Y ) P( Y ( ( ) ) ( (.86864).67 7. Y n n i X i N(n, n ) N(n, n); )) ( (.)) Z Yn n N(n n, n n ) N(, /n). P( Z < n ) P( n < Z < ( / n ) /n n ) ( / n ) ( /n ) (.7).76. (oberoende av n) 8. Y i X i N( 7, ) N(84, ). Y i X i N( 7, ) N(9, ). Y Y N(84 9, + ) N( 7, ). P(Y > Y ) P(Y Y ) ( ( 7) ) (.4).994.876 9. X i Exp(.); E(X i )., V(X i ).. Y i X i N(.,. ) N(, ) enligt CGS. P(Y > 44) ( 44 ) (.).8849 4. Y i X i N(, 4 ) N(,.) enligt CGS. P(Y <.7) (.7. ) (.).99.668 4. Y i X i N(, ) N(, ) enligt CGS. P(Y > ) ( ) (.).99.668 6. Binomial- och Poissonfördelning 4. P(X 4) P(X ) k ( k ). k.8 k k4 ( k ). k.8 k. 4.8 +..67 4. P(X < ) P(X ) k ( k ).4 k.6 k.6 +.4.6 9 + 9.4.6 8.679 44. X + Y Bin( + 9,.7) Bin(4,.7). P(X + Y ) P(X + Y ) 4 k ( 4 k ).7 k. 4 k.89.68 4. P(X < 8) P(X 7) 46.. 7 k ( k ).4 k.6 k.9877 47. X + Y X + X. Det blir alltid. 48. X antal ettor Bin(, / 6 ). P(X 4) p X (4) ( 4 )( 6 )4 ( 6 )6! 4! 6! 6 6 7 7 6 9.4 49. X + Y Po( + ) Po(4). P(X + Y < 6) P(X + Y ) 4k k e 4 k!.78

6. Lösningar: Binomial- och Poissonfördelning. X + Y Po( + ) Po(). P(X + Y ) k k e k! e + e 4e.99. P(X ) P(X 9) 9 k k e k!.48.49. X + X Po(4 + 6) Po(). P(X + X 7) P(X + X 6) k k7 e k!..8699. X + Y Po(. +.) Po(.8). P(X + Y < ) P(X + Y ).8k k e.8 k!.96 4. P(X 4, Y ) P(X 4) P(Y ) e 4 4! e! 8 9 e 4.6. P(X + Y < ) P(X + Y ) i+j ( i ).4 i.6 i ( j ).6 j.4 j { i ( i ).4 i.6 i } i j ( j ).6 j.4 j.6 (.4 +.6.4 +.6 ) +.4.6 (.4 +.6.4) +.4.6.4.6 +.4.64 +.88.6.6 +.7648 +.468.86 6. p X (k) e k k! e k! för k,,.... P(X + Y ) i+j p X (i) p Y (j) e { } i i! j i/ j! e {! (! +! ) +!! +!! 7 e.477 7. P(X + Y ) i+j p X (i) p Y (j) i p X (i) p Y ( i) } i ( i ). e 6 6 i ( i)!. e 6 {( ) 6! + ( )!. e 6.8 8. P(X + Y < ) P(X + Y 4) i+j 4 p X (i) p Y (j) e 4 i { i i! } j i/ j j! { e! j / j j! +! j / j j! +! j / j j! +! j / j j! + 4 4! } j 4/ j j! { e j j j! + j j j! + j j j! + 6 j j j! + 4 4 e { (! +! +! ) + (! + + (! +! ) + 6! + 4 4! e { 7 } } j j j! } + + 7 + 6 + 6 4! ) e 4 89 4 6e 8.774 9. Eftersom.. > och.4.6 6 > gäller att X N(.,..) N(, ) och Y N(.4,.4.6) N(6, 6) och alltså X Y N( 6, + 6 ) N(, 6). P(X Y ) P(X Y ) (.8).8997 } ( ( ) 6 )

7. Svar 7. Svar..4....7 4..7..76 6. Ja 7. Minst 6 kast 8..4 9. / 7...67... / 8 4. / 4. / 6. / 7. / 8..4 9..86. /. / 8. /. / 4. / 4.. 6. P(Svarar ja) 7 / P(sexa svarar ja) / 7. 4 8. / 9 9. / 66. p X (k)..744..77. c / 4... / 6. / 7. / 8. 9..7 4. a / 9 x. 9. x.9 99. 4. / 4 4. 4. / 7 44.., k., k.4, k., k 4., k 4. (a) F Y (y) (y/ + y / ) för y 8 (b) f Y (y) y / ( y / +) för y 8 46. F Y (y) e y för y < 47. e 48. f X (x) x e (ln x ) / för x > 49. Y Exp()..89. e /. +. / 4. f Y (y) e y för y. f Y X (y x) x för y x 6. f X,Y (x, y).y(x + y) för x och y 7. f X Y (x y) x/y för x y 8. f X Y (x y) (x+y) +y för x då y 9. p X +Y (k) 6. p X Y (k) 6. p X +Y (k) 6. p X Y (k).49, k.8, k.8, k.4, k., k 4 / 8, k /, k / 8, k.6, k 7.4, k 8., k., k.8, k.6, k., k., k.7, k 6. F Z (z) ( (z) ) för z 64. F Z (z) e 6z för z 6. F Z (z) ( e z ) ( e z ) för z 66. F Z (z) e z för z 67. F Z (z) ( z ) ( z ) för z > (), k 4 ()., k 68. p Y (k) ()., k (), k 4 69..4 7..9 E(Y ) ; V(Y ) 7.8

7. Svar 7. 7. E(X ) / ; V(X ) / 7. 7.9 74. 4 / 7. 76. / 77. 78..47 79. E(X Y ) V(X Y ) 4 8.. 8. 74 8. E(Y ) ; V(Y ) 9 8. 8 84. 4 8. 86. 4 87. 84 88. 86 89. 9. 8 9. 9. 8 9. 4 94. 9. 96. 6 97. Ingen 98.. 99. E(X Y ) V(X Y ) /. /. c ; (X, Y ) 47/88. y/. E(X Y y) V(X Y y) y 4. (a) f X (x) x(4 x) för x. f Y (y) y(4 y) för y (b) f X Y (x y) 6x( x y) 4 y för x (c) E(X Y y) 4y (4 y). (a) f Y X (y x) x+y x+ e y för y > E(Y X x) x+ x+ (b) x +4x+ x +x+ 6. y / 7. 9 / 8. 7 / 4 9. 7 /... e 4 4.. 8 4. E(B) 9/ D(B) 7. 6. E(Y ). D(Y ).4 7. E(Y ). V(Y ). 8. 777.6 cm 4 9. E(Z) / V(Z) / 6. E(/X ) / 4 V(/X ) /. 6.9 kg(m/s) 6.9 J..66..866 4..668..6 6. E(X ) 9 P(X 6).4 7. 6.4 8.. 9..948..4644..4..474..47 4..9..84 6..67 7.. 8..876 9..8849 4..668 4..668 4..67 4..679 44..68 4..9877 46. 47. 48..4 49..78..99..49..8699..96 4..6..86 6..477 7..8 8..774 9..8997