fördjupning inom induktion och elektromagnetism

9 fördjupning inom induktion och elektromagnetism Innehåll 12 Matematiska samband i RL-kretsen 9:2 13 Magnetisk energi 9:3 14 Elektrisk svängningskrets 9:5 15 Kvantitativ behandling av svängningskretsen 9:6 16 Elektromagnetisk vågrörelse 9:9 Svar till kontrolluppgifter 9:13 induktion 9:1

12 Matematiska samband i RL-kretsen Inkopplingsförlopp Fig 27. I figurerna är ström och spänningar i RL-kretsen markerade omedelbart efter inkoppling resp kortslutning av spänningen U. All resistans i kretsen förutsätts samlad i resistorn. Små bokstäver används för att markera tidsberoende värden. (a) Inkopplingsförloppet (b) Kortslutningsförloppet Den seriekopplade kretsen i fig 27 består av en resistor med resistansen R, en spole med induktansen L och med försumbar resistans samt en spänningskälla med polspänning U som kan kortslutas. Vi gör en potentialvandring medurs i den s k RL-kretsen vid en tidpunkt då strömmen ökar (fig 27a): U Ri L = 0 eller U = Ri + L Summan Ri + L är tydligen konstant. Det ger oss en kvalitativ förklaring till strömkurvans utseende i fig 16 efter inkopplingen av spänningen. Kurvans lutning,, är stor i början så länge strömmen och därmed termen Ri är liten, men lutningen avtar efter hand som i ökar. Slutligen blir lutningen noll, och induktionen upphör. Då har strömmen vuxit till sitt fulla värde, I = U/R. Vilken funktion i av tiden t är det som satisfierar den ekvation vi nyss ställt upp, och som samtigt ger i = 0 för t = 0 och i = U/R för t =? Följande exponentialfunktion uppfyller alla tre kraven och är följaktligen den funktion vi söker. U R t i = (1 e L R ) Man kan enkelt visa att funktionen är en lösning genom att derivera den och sätta in i ekvationen U Ri L = 0 9:2 induktion

Kortslutningsförlopp Potentialvandring medurs i den krets som bildas då spänningskällan kortsluts så att U blir noll ger (fig 27 b): Ri + e = 0 I ekvationen ska e ha ett positivt värde. Strömmen avtar emellertid under detta skede, och derivatan är därför negativ. För att kompensera för detta måste vi skriva e = L. Alltså: Ri L = 0 eller Ri + L = 0 De slutsatser vi kan dra av detta samband stämmer med utseendet hos strömkurvan i fig 16 efter att spänningen växlat från U till noll. I växlingsögonblicket har strömmen och därmed termen Ri sitt största värde. Kurvans lutning, /, måste då ha sitt största negativa värde. Vi söker en strömfunktion som dels satisfierar den ekvation vi ställt upp, dels ger i = U/R för t = 0 och i = 0 för t =. Lösningen är: i = U R e R t L Graferna till de två strömfunktionerna återges i i-t-agrammet i fig 16. 13 Magnetisk energi När spänningskällan i fig 27 kortsluts, upphör omedelbart all tillförsel av energi från spänningskällan till kretsen. I stället tar den inducerade spänningen över och fortsätter att under en stund driva ström genom kretsen. Även den strömmen innebär naturligtvis värmeutveckling i resistorn. Varifrån kommer den energi som omsätts i kretsen sedan energileveransen från spänningskällan slutat? Svaret är att den kommer från spolens magnetfält. Vi möter här en ny form av energi magnetisk energi i ett magnetfält. Under strömmens uppbyggnadsskede övergår en del av den elektriska energi som skapas i spänningskällan till magnetisk energi i spolens magnetfält. Det är denna lagrade magnetiska energi som efter spänningskällans urkoppling omvandlas till elenergi genom induktionen. induktion 9:3

Vi ska härleda ett uttryck för den energimängd som finns lagrad i en strömförande spoles magnetfält. Vi börjar med en potentialvandring runt RL-kretsen i fig 17a i en tidpunkt under strömmens uppbyggnadsskede: i U Ri L = 0 t eller i U = Ri + L t Multiplikation med strömmen i och det korta tidsintervallet t ger termerna energimension: Ui t = Ri 2 i t + Li t t Termen Ui t är den energi spänningskällan levererar till kretsen under tiden t. Den energin omsätts i kretsen på två sätt. Ri 2 t är värmeutvecklingen i resistorn, och Li t måste vara den energi som matas in i t i magnetfältet. Uttrycket för den magnetiska energin kan förenklas: i Li t = Li i t Detta är ökningen av den magnetiska energin i spolen vid en liten strömökning i. Den totala magnetiska energin E m vid en ström I är summan av alla sådana bidrag under det att strömmen ändras från 0 till I. Den summan innebär matematiskt en integral: I Li E m = Li = [ 2 ] I LI = 2 0 2 0 2 Den magnetiska energi som finns lagrad i en spole med induktansen L och strömmen I är alltså: E m = LI 2 2 KONTROLL 1 En ström på 2,0 A går igenom en 1200-varvs spole med induktansen 22 mh. Hur stor magnetisk energi finns lagrad i spolens magnetfält? 9:4 induktion

14 Elektrisk svängningskrets Fig 28. När strömställaren i kretsen sluts, omvandlas kondensatorns elektriska lägesenergi till värme i lampans glöråd. En laddad kondensator innehåller elektrisk lägesenergi. Ansluter vi den till en lampa (fig 28), börjar en ström, begränsad av lampans resistans, flyta genom kretsen. Kondensatorns energi omsätts till värme i lampan. När kondensatorn urladdats, har all elektrisk energi omvandlats till värme, och strömmen har upphört. Helt annorlunda blir det, om vi ansluter en laddad kondensator till en spole (fig 29a). Även om spolens resistans är praktiskt taget noll kan urladdningsströmmen inte plötsligt rusa i höjden, eftersom den bromsas av en inducerad spänning u L (fig 29 b). I stället växer den efter hand och bygger under tiden upp ett magnetfält i spolen. Förloppet innebär att elektrisk energi i kondensatorn överförs till magnetisk energi i spolen. Den magnetiska energin, och därmed strömmen, slutar att växa först när kondensatorn urladdats och förlorat all sin energi (fig 29 c). (a) (b) (c) (d) (e) Fig 29. Då kretsen i (a) sluts, börjar spänningen mellan plattorna driva en ström genom spolen, och kondensatorn urladdas (b). När strömmen vuxit till sitt största värde, har kondensatorns energi omvandlats till magnetisk energi (c). När magnetfältet sedan avtar, börjar självinduktionen att mata ström i samma riktning som tigare, och kondensatorn laddas igen (d och e). Vad händer nu när kondensatorspänningen är noll och kondensatorn inte längre kan fungera som spänningskälla? Strömmen och det magnetiska fältet kan inte försvinna plötsligt. Så fort de tenderar att avta, växlar den inducerade spänningen u L polaritet och driver strömmen vidare i samma riktning som förut (fig 29 d). Det betyder att kondensatorn laddas på nytt, och att spolens magnetiska energi återgår till elektrisk energi hos kondensatorn. När all magnetisk energi blivit elektrisk energi igen, är strömmen noll och situationen likadan som vid starten, bortsett från att plattorna har bytt laddning (fig 29 e). Det betyder att förloppet startar om och upprepas med motsatta riktningar hos ström och magnetfält. När kondensatorn omladdats på nytt är kretsen tillbaka i det ursprungliga tillståndet (fig 29 a). En hel svängning är fullbordad. Vi får alltså en växelström i kretsen och en stäng växling mellan elektrisk och magne- induktion 9:5

En spole och en kondensator bildar tillsammans en elektrisk svängningskrets. tisk energi. Kondensatorn och spolen utgör tillsammans en elektrisk svängningskrets. En krets som svänger odämpat, dvs utan energiförluster, kan jämföras med en mekanisk pendel, som svänger fram och tillbaka utan att amplituden minskar. Även här är det en kontinuerlig växling mellan två energiformer. I vändlägena uppträder all svängningsenergi som lägesenergi, i jämviktsläget som rörelseenergi. Pendelns lägesenergi motsvaras alltså av den elektriska lägesenergin hos kondensatorn, medan pendelns rörelseenergi kan jämföras med den magnetiska energi ledningselektronernas rörelse i spolvarven ger upphov till. Innan det här avsnittet studeras, är det lämpligt att repetera avsnitten 9 i kap 7 och 7 i kap 9 om kondensator och självinduktion. + q C q u C = q C Fig 30. Ström och spänningar i en odämpad svängningskrets vid en tidpunkt, då kondensatorn håller på att laddas upp. i L + e 15 Kvantitativ behandling av svängningskretsen Svängningstid vid odämpade svängningar Tiden för en hel svängning betecknas T. Vilka faktorer inverkar på den? Byter vi till en spole med större induktans L, får självinduktionen en större inverkan än förut. Eftersom den inducerade spänningen hela tiden bromsar strömändringarna i spolen, bör det nu ta längre tid för strömmen att nå sitt toppvärde och att återgå till noll. Svängningstiden bör öka, om spolens induktans ökar. Även kondensatorns kapacitans C bör inverka. Ju större kapacitansen är, desto mera laddning rymmer kondensatorn vid en viss spänning, och desto längre tid bör omladdningarna ta. Det verkar sannolikt att svängningstiden ökar med kondensatorns kapacitans. Kan vi komma åt sambandet mellan T, L och C? Fig 30 visar ström och spänningar i en svängningskrets med försumbar resistans i ett skede när kondensatorn laddas upp och strömmen avtar. Jfr fig 29 d. En inducerad spänning över spolen med beloppet e = L driver uppladdningen. Potentialvandring ett varv moturs ger: e u C = 0 eller q e = 0 C Vid potentialvandringen räknade vi den inducerade spänningen e positiv. När vi nu sätter in uttrycket för e måste vi skriva L, eftersom strömmen avtar under det aktuella skedet och derivatan därför är negativ. Alltså: 9:6 induktion

q 1 L = 0 eller + q = 0 C LC jämviktsläge Fig 31. Vid harmonisk svängning är den återförande resulterande kraften proportionell mot elongationen och riktad mot jämviktsläget. Den odämpade elektriska svängningen är sinusformad och har svängningstiden T = 2π ÖLØØ C. ØØØØ dq dq d Men i =. (q växer och är positiv.) Derivering ger = 2 q, 2 och vi kan skriva: d 2 q 1 + q = 0 2 LC eller 1 q + q = 0 (1) LC En ekvation av denna typ har vi träffat på tigare när vi behandlade harmoniska svängningar. Ett föremål med massan m, som utför harmoniska svängningar i en fjäder med fjäderkonstanten k (fig 31), påverkas av en resulterande kraft F = ky vid utslaget y från jämviktsläget. (Minustecknet visar att kraften har motsatt riktning mot elongationen y.) Kraftekvationen F = ma ger då, eftersom accelerationen a = v (t) = = y (t): ky = my eller k y + y = 0 (2) m Likheterna mellan ekvationerna (1) och (2) är påfallande. Den tidsberoende lägefunktionen y och konstanten i den ena motsvaras av ladd- k m 1 ningsfunktionen q och konstanten i den andra. LC I avsnitt 4, kap 6, fann vi följande uttryck för svängningstiden hos den harmoniska svängningen: m T = 2π Ö k Av symmetrin mellan ekvationerna kan vi dra slutsatsen att uttrycket för svängningstiden hos den odämpade elektriska svängningen måste ha följande utseende: T = 2π ÖØ LC Kondensatorladdningen vid en odämpad elektrisk svängning är, liksom läget vid en harmonisk svängning, en sinusfunktion av tiden. Därmed har också kondensatorspänningen u C = q/c, strömmen i = dq/ och spolens spänning u L = L / ett sinusformat tidsberoende. Se fig 32a. induktion 9:7

Dämpade svängningar En pendel slutar så småningom svänga. Svängningsenergin övergår till värme genom oundviklig friktion. Inte heller de elektriska svängningarna i en svängningskrets kan fortsätta hur länge som helst. Det finns alltid någon resistans i kretsen, varför en viss värmeutveckling blir ofrånkomlig då elektronerna rör sig fram och tillbaka. Vid varje omladdning av kondensatorn förbrukas därför en del av energin, och den maximala laddningen på plattorna blir mindre än förut. Svängningarna dämpas och dör så småningom ut. För att demonstrera dämpade elektriska svängningar ansluter vi ett s k minnesoscilloskop till en svängningskrets (fig 32 b). Genom att välja en lämplig svephastighet kan vi studera spänningen över kondensatorn under hela den tid svängningarna varar. Ett foto av oscilloskopskärmen efter ett sådant experiment visas i fig 32 c. Vi ser hur svängningarna tämligen snabbt dämpas, men att svängningstiden inte märkbart beror av amplituden utan hela tiden upptar en och en halv ruta i sidled. (b) (a) (c) Fig 32. Genom att ansluta ett oscilloskop till en svängningskrets kan man studera svängningar. Fotona av oscilloskopskärmen visar, hur kondensatorspänningen u eller kondensatorladdningen q = Cu varierar med tiden. (a) Odämpad svängning. (b) Med denna anslutning kan man studera en dämpad svängning. (c) Dämpad svängning. 9:8 induktion

Om vi varierar induktansen L resp kapacitansen C i svängningskretsen i fig 32, finner vi att svängningstiden inom mätnoggrannheten ges av sambandet T = 2π ÖLC, trots att svängningen här är dämpad. Dämpningen ökar med resistansen hos kretsen. Inom tekniken har man stor användning av elektriska svängningskretsar eller oscillatorer, där ny energi stängt matas in för att förhindra att svängningarna dämpas. Sådana kretsar ingår exempelvis i raosändare och raomottagare. KONTROLL 2 Vilken är svängningstiden resp frekvensen hos en odämpad svängningskrets, där induktansen är 35 mh och kapacitansen 0,12 µf? 16 Elektromagnetisk vågrörelse I fig 33 ser vi en svängningskrets som är induktivt kopplad till en oscillator. Kopplingen innebär att svängningskretsens spole placeras så att den känner det magnetfält som oscillatorströmmen alstrar i en annan spole. I svängningskretsen uppstår då tvungna svängningar med samma frekvens som i oscillatorkretsen. Resonans uppkommer om oscillatorfrekvensen sammanfaller med LC-kretsens egenfrekvens, och strömmen i svängningskretsen får då maximal amplitud. oscillator Fig 33. Med en oscillator kan man åstadkomma tvungna svängningar i en svängningskrets. Hittills har vi studerat en sluten svängningskrets, där det magnetiska fältet i huvudsak varit koncentrerat till spolen och det elektriska till mellanrummet mellan kondensatorplattorna. Vi antar nu att vi ändrar en svängningskrets genom att successivt minska spolens varvtal och kondensatorplattornas storlek, samtigt som vi ökar plattavståndet (fig 34). Kretsen förvandlas slutligen till en enda rak ledare, en öppen svängningskrets eller en antenn. induktion 9:9

Fig 34. Omvandling av en sluten svängningskrets till en öppen. Fig 35. Tvungna svängningar i en öppen svängningskrets. På grund av förändringarna avtar både induktansen L och kapacitansen C kraftigt, och den öppna kretsens egenfrekvens 1 f= = T 1 2π ÖLC är därför hög, kanske av storleksordningen GHz. En oscillator som, på samma sätt som i fig 33, ska driva svängningarna i den öppna kretsen, måste därför vara högfrekvent för att resonansvillkoret ska vara uppfyllt. I den öppna svängningskretsen i fig 35 pendlar laddningar fram och tillbaka precis som i den slutna kretsen. Under ena halvperioden är antennens övre ände positiv och den nedre negativ. En halvperiod senare har laddningarna bytt plats. Mellan antennens ändpunkter uppträder en växelspänning, och i antennen flyter en växelström. När spänningen har sitt största värde, är den elektriska fältstyrkan intill antennen maximal (fig 36 a). I det ögonblicket är strömmen noll. En fjärdedels period senare är spänningen noll, men i stället har strömmen vuxit till maximum, och det elektriska fältet har bytts ut mot ett magnetiskt, (fig 36 b). Under nästa kvartsperiod byggs ett elektriskt fält upp på nytt, motriktat det ursprungliga, och det magnetiska fältet försvinner. Intill antennen sker en stäng växling mellan elektriska och magnetiska fält som är vinkelräta mot varandra. (a) (b) e Fig 36. Kring den öppna svängningskretsen utbildas omväxlande elektriska fält (a) och magnetiska fält (b). 9:10 induktion

Elektromagnetisk strålning Vad händer med de fält som kontinuerligt ska ersättas med andra? De innehåller energi och kan därför inte utan vidare försvinna. En del av energin återgår till antennen, men delar av fälten utbreder sig bort från den (fig 37). Ju högre frekvensen är, desto större del av energin sänds på detta sätt ut från antennen. Elektromagnetiska vågor eller elektromagnetisk strålning rör sig bort ifrån antennen. Strålningen uppför sig som en transversell vågrörelse, där vågorna utgörs av mot varandra vinkelräta elektriska och magnetiska fält. Inga partikelsvängningar behövs för att fortplanta de elektromagnetiska vågorna, och därför utbreder de sig obehindrat i vakuum. Fig 37. Förändringar hos det elektriska fältet under svängningarna i antennen. (a) (b) Fig 38. Ögonblicksbilder av det elektriska fältet i papperets plan och av det magnetiska fältet i ett plan vinkelrätt mot papperet (b). e Fig 39. Fältstyrkan E och flödestätheten B i en punkt ett stycke ut från antennen, som funktion av tiden. Från och med några våglängders avstånd är E och B i fas, trots att de intill antennen är fasförskjutna i förhållande till varandra. induktion 9:11

I vågen som utsänds från en vertikal antenn är det elektriska fältet vertikalt och det magnetiska horisontellt (fig 38 och 39). Den elektriska fältstyrkan är omväxlande riktad uppåt och nedåt, och den magnetiska fältvektorn pekar ömsom åt höger och ömsom åt vänster, sett i vågens rörelseriktning. När de båda fälten får verka på ledningselektronerna i en metall, t ex i en mottagarantenn, tvingas dessa utföra en vertikal svängningsrörelse. (De båda fälten samarbetar i detta fall. I fortsättningen behöver vi bara tala om det elektriska fältet.) Svängningen blir kraftigast om mottagarantennen är parallell med sändarantennen, men obetydlig om antennerna står i rät vinkel mot varandra. I det senare fallet är ju ledningselektronernas rörelseutrymme starkt begränsat. När det sägs om en rao- eller TV-sändning att den har vertikal polarisation, innebär detta att det elektriska fältet från sändarantennen är vertikalt, vilket har betydelse då man monterar upp sin mottagande antenn. Vi har tigare sett att ljus kan polariseras (avsnitt 6, kap 3). Med hjälp av en experimentutrustning för mikrovågor kan vi få en inblick i hur detta går till när man använder de polaroider som nämndes i avsnittet. Utrustningen består av en sändare och en mottagare för elektromagnetiska vågor med några få cm våglängd. Mellan en mikrovågssändare S och en mikrovågmottagare M, med inbördes parallella antenner, placeras ett trådgaller vinkelrätt mot linjen SM (fig 40). När gallrets trådar är parallella med antennerna (fig 40 a) hejdas mikrovågorna praktiskt taget helt. Vrids nu gallret kring axeln SM, inkerar M en våg, vars styrka växer till ett maximum då gallrets trådar står i rät vinkel mot antennerna (fig 40 b). (a) (b) Fig 40. 9:12 induktion

Fig 40 c. I det senare fallet har vågens fält mycket liten möjlighet att framkalla elektronsvängningar i gallret. Vågen går igenom gallret med i stort sett oförminskad energi. När trådarna i gallret är parallella med det elektriska fältet, omsätts emellertid vågens energi till strömvärme i gallertrådarna, och vågens energi reduceras kraftigt. Fig 40 c visar vad som händer om gallret har samma orientering som i (b), men sändarantennen vrids från sitt ursprungliga läge. En svagare våg når mottagaren, eftersom den elektriska fältstyrkan nu har en komposant parallell med gallrets trådar. Det måste medföra att vågens energi minskar. Oberoende av sändarantennens orientering är den våg som kommer igenom gallret planpolariserad, vinkelrätt mot gallertrådarna. Gallret verkar som en polarisator. Vi kan nu få en uppfattning om hur en polaroid kan polarisera ljuset från en glödlampa. I glödlampsljuset förekommer svängningar av alla riktningar ljuset är opolariserat. Polaroidens parallella kedjor av långsträckta kristaller innehåller lättrörliga elektroner. Dessa kedjor spelar samma roll som trådarna i gallret som påverkade mikrovågorna. När opolariserat ljus passerar en polaroid, släcks alla elektriska svängningskomposanter som är parallella med molekylkedjorna ut, och alla svängningar i det genomgående ljuset är parallella dvs ljuset är planpolariserat. Svar till kontrolluppgifter K 1 K 2 44 mj T = 0,41 ms, f = 2,5 khz induktion 9:13