Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product), som u v = v cos θ där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalär produkt är kommutativ men ger inte en produkt som ånyo är en vektor, utan ett tal. Projektionen av vektorn v på u definieras som v cos θ där θ är vinkeln mellan u och v. Projektionen kan alltså skrivas v cos θ = u v. Man kan motivera att skalär produkt är distributiv genom följande. w v w v a b u a = u v, b = u w.. Tecknet på skalärprodukten och a + b = u (v + w) 0 om 0 θ 90 u v = om θ = 90 0 om 90 < θ 0 Speciellt om u v, så är θ = 0 och u v = v. Ännu mer speciellt, om v = u, så är u u =. För enhetsvektorerna i standardbasen i R gäller att e e = och p.s.s för de två andra basvektorerna. P.g.a. av de är vinkelräta, är e e = 0, e e = 0, e e = 0
Ex För u = sats i tre dimensioner. och v = är deras längder givna av Pythagoras = + + = och v = + + = 7. 0 0 Med u uttryckt i enhetsvektorerna e = 0, e =, e = 0 0 0 u = e + e + e och p.s.s. v = e + e + e. P.g.a. distributiva lagen får vi u v = + + =, är eftersom av 9 termer blir = 0. Till sist är vinkeln mellan vektorerna möjlig att beräkna. cos θ = u v v =... = θ = 0. Man defínierar likheten c u = c. En vektor e med längd kallar vi enhetsvektor. Ex Vektorerna u = och v = 9 = 7. De är alltså inte enhetsvektorer. har längder respektive Men har längden. f = u och f = v v.. Skalär produkt och matrismultiplikation Ovan är vektorer skrivna som m matriser. För skalär produkt är, med samma u och v som i exemplena ovan u v = = + + =. Som matrismultiplikation måste matrisen t.v., här u transponeras: u T v = [ ] = [] =. Detta är viktigt när vi behandlar kolonn- och radrum.
. Uppdelning av vektor v i vinkelräta komposanter Givet en vektorv och en referensriktning given av en vektor u 0. Man kan dela upp v = v + v relativt u, där v är parallell med u och v är vinkelrät mot u. Vi börjar med v. Dess längd är v cos θ, där θ är vinkeln mellan u och v. Den skall nu multipliceras med med u). Alltså Således är v cos θ = u v. u, som ger dess riktning ((anti-)parallell v = u v u. v = v v = v u v u. Ex Samma vektorer som i föregående exempel spänner upp ett underrum span {u, v} i R. Vi tar frama två ortogonala vektorer u och v som spänner upp samma rum. Vi låter helt enkelt u = u och ersätter v med v : v = v u v u = = Vi kan låta v = och v = 9 9. En kontrollräkning ger v v = ( ) + () + 9 = 0. v v Θ v u. Ortogonal komponent Giv ett vektorrum W R n. Mängden W av u sådana att u w = 0 för alla w W kallas den ortogonala komponenten till W. Man kan lätt visa att W T också är ett vektorrum, underrum till R n.
.. Nollrum och radrum Låt A vara en matris av typ m n. Nollrummet N A består av alla x R n, sådana att a j x = 0 för alla element i R A. Det är ekvivalent med att a j x = 0 för alla rader a j i A. Det kan skrivas A x = 0. Det betyder att x a j för alla rader i A. Dessa rader spänner upp R A. Alltså är NA = R A och vice versa. Ex 4 Vilket rum är det ortogonala komplementet till W := span {u, v} med u och v som i föregående exempel? Vi söker w 0, sådan att w u och w v. Denna vektor spänner upp W T. w Vi kan ansätta w = w och multiplicera med u och v, en produkt som w skall bli = 0. Med [ ] w [ ] [ ] A = w 0 0 =.... 0 0 w Med w = och N A = {t w, t R}. W w W Planet W = K A och linjen W = N A. Vi ser att w är it normalvektor till planet. Kommentarer Vi ser att dim N A + dim R A = + =. [ ] [ ] Som tidigare är K A = span {, } (här spannet av de två första kolonnerna i A) och av samma dimension som radrummet..4 Gram-Schmidts (ortogonaliserings-)process (GS) Vi har i ett tidigare exempel tagit fram en ortogonal uppsättning av vektorer u =: u och v =: u och den sista vektorn genom u = v u v u. () 4
Detta förfarande kallas här GS (förkortning av rubriken). Ex Givet ytterligare en vektor w =. Ge en vektor normalvektor till u och v (givna i tidigare exempel) enligt GS. En vektor vinkelrät till de två givna vektorerna är oberoende av dessa eftersom en sådan vinkelrät vektor u är entydig sånär som längd och tecken. GS-processen ger att u = w u w u u u w u u = 7 9 = Detta är en antiparallell vektor med basvektorn för nollrummet N A. Vi bevisar nu att vektorn u u = u = w u w u u u w u u u : ( w u w u u u ) w u u u = 0. w u u w u (u u ) 0 = w u w u u u = 0. P.s.s. visas att w u = 0..