1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen

1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen [Understanding Physics: 13.12-13.14] Den tidsberoende Schrödinger ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation i två variabler, x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs därvid som en produkt av två funktioner, som vardera är en funktion av en enda variabel. I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen Ψ(x, t) = ψ(x)f(t). Genom att substituera denna ansats i den tidsberoende Schrödinger ekvationen fås 2 ψ(x) 2m f(t)d2 dx 2 + U(x)ψ(x)f(t) = i ψ(x) df(t) dt. Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f(t) så kan variablerna separeras: [ ] 2 1 d 2 [ ] ψ(x) 1 df(t) + U(x) = i. 2m ψ(x) dx 2 f(t) dt Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 1

Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är lika med samma konstant G (separationskonstanten). Ekvationen kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer 1 d 2 ψ(x) + U(x) = G 2m ψ(x) dx 2 [ ] 1 df(t) i = G. f(t) dt 2 Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas df(t) dt lätt inses genom substitution. = ig f(t) har lösningen f(t) = e igt/, vilket Genom att tillämpa operatorn E op = i t på Ψ(x, t) = ψ(x)f(t) får vi därpå E op Ψ(x, t) = E op ψ(x)f(t) = i [ψ(x)f(t)] = i ψ(x)df(t) t dt. Om vi sedan utnyttjar ekvationen df(t) dt i ψ(x) df(t) dt = i ψ(x) = ig f(t), så får vi [ igf(t) ] = Gψ(x)f(t) = GΨ(x, t). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 2

Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns vågfunktion (bokens ekvation 13.33), så ser vi att separationskonstanten G = E, och den första av de två separerade ekvationerna kan då uttryckas 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x) Detta är den tidsoberoende Schrödinger ekvationen, som upptäcktes av Schrödinger i slutet av år 1925 (Annalen der Physik 79, 361-376 (1926)). Då potentialfunktionen U(x) är känd, kan man i allmänhet lösa ekvationen under antagandet att funktionerna ψ(x) är välartade, vilket leder till att endast vissa av funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot varje egenfunktion svarar endast ett värde av den totala energin E som kallas egenvärde. Kvantiseringen av energin är alltså en direkt följd av att lösningarna är välartade. Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För alla värden av x måste både ψ och dψ/dx vara a) ändliga, b) entydiga, samt c) kontinuerliga (jfr fig. 13-21): Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 3

Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p: x = p = + + ψ (x)xψ(x)dx ψ (x) ( i d ) ψ(x)dx dx skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen kan också skrivas 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = [E U(x)]ψ(x). Om dψ(x)/dx nu inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så kan d 2 ψ(x)/dx 2 bli oändlig med den påföljd att högra membrum av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen U(x) eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt. I det följande skall vi studera några exempel. Vi kommer där att utnyttja villkoren för att uppställa gränsvillkor, varav kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och dess derivata kan härledas ifall potentialfunktionen har diskontinuiteter. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 4

1.14. Den rektangulära potentialbrunnen Vi betraktar en partikel med massan m som är innesluten i en rektangulär potentialbrunn med oändligt höga sidor, dvs U = då < x < a och U då x och x a (se fig. 13.22 i boken). Detta är tydligen ett bundet system. Vilken energi partikeln än har, kan den endast befinna sig inom intervallet [, a]. Utanför detta intervall kan partikeln inte existera, varför dess egenfunktion ψ(x) = inom detta område. I ett sådant system kan en partikel enligt den klassiska fysiken ha vilken energi som helst; ett kontinuerligt energispektrum är då möjligt. Innanför potentialbrunnen är potentialenergin U = (fri partikel), och den tidsoberoende Schrödinger ekvationen för partikeln blir då 2 d 2 ψ(x) = Eψ(x), dvs 2m dx 2 d 2 ψ(x) + 2mE ψ(x) =. dx 2 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 5

Genom att substituera k 2 = 2mE/ 2 i ekvationen ovan fås ψ (x) + k 2 ψ(x) =, som vi skall lösa. Vi försöker först med ansatsen ψ(x) = e αx, som efter substitution ger α 2 + k 2 =. Denna ekvation har lösningarna α = ±ik, och egenfunktionerna blir då ψ(x) = e ikx och ψ(x) = e ikx, som är x komponenterna av den fria partikelns egenfunktion. Den allmänna lösningen är en godtycklig lineär kombination av dessa lösningar: ψ(x) = ae ikx + be ikx, (a, b konstanter). Genom substitution av e ±ikx = cos kx ± i sin kx (Eulers formler, se A.8 (i) s. 725 i boken) kan den allmänna lösningen uttryckas ψ(x) = (a + b) cos kx + i(a b) sin kx A cos kx + B sin kx, där A och B är konstanter. Genom att tillämpa de tidigare omnämnda ändlighets och entydighetsvillkoren vid intervallgränserna x = och x = a finner vi de tillåtna egenfunktionerna ψ(x). I punkten x = gäller ψ(x) =, vilket gäller endast om A =, varför ψ(x) = B sin kx. I punkten x = a gäller därtill ψ(x) =, vilket är möjligt endast om B sin ka =, dvs B = eller sin ka =. B = skulle betyda, att ψ(x) överallt är identiskt lika med, dvs det finns ingen partikel i brunnen! Av sin ka = följer att k = nπ/a, där n = 1, 2,... (n = utesluts, varför?). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 6

Egenfunktionen för potentialbrunnen är alltså ψ n (x) = B sin nπx, n = 1, 2,... a Mot varje värde av n svarar ett bestämt energivärde (egenvärde) E n = 2 k 2 2m = n2 2 π 2 2ma 2 Energin är således kvantiserad, den kan endast anta värdena E n = n 2 E, där E = 2 π 2 2ma 2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 7

Egenfunktionerna, som visas i figuren ovan, påminner om stående vågor (se avsn. 12.12). Villkoret k = nπ/a kan nämligen skrivas k = 2π/λ (enligt sin definition) = nπ/a, varav följer nλ/2 = a, som just är villkoret för en stående våg med noder i x = och x = a. Gränsvillkoren för ett bundet system med oändligt höga kanter förutsätter att egenfunktionerna har noder i brunnens kanter, där sannolikhetsfördelningarna också försvinner (se fig. ovan). Detta ger upphov till kvantisering, som är en helt normal företeelse för de bundna systemen i kvantmekaniken (jfr även figur 13.23 i boken). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 8

Energin för det lägsta tillståndet, som kallas grundtillståndet, E 1 = E (svarar mot n = 1), är inte noll, som man skulle vänta sig klassiskt. Detta beror på osäkerhetsprincipen, eftersom p skulle vara lika med noll, om energin är noll. Vi skulle då känna p exakt, dvs p =. Detta kan endast gälla, om x =, vilket är orimligt, eftersom x bestäms av a. Observa även, att n = leder till E =, varför vi inte kan medta detta värde av n. Konstanten B bestäms genom normalisering av vågfunktionen, som utförs på följande sätt. För n = 1 gäller ψ 1 (x) = B sin ( ) πx a, så att normaliseringsvillkoret blir ( ) πx Ψ 1 (x, t)ψ 1(x, t)dx = ψ 1 (x) 2 dx = B 2 sin 2 dx = 1. a Integralen i formeln är lätt att beräkna genom substitution av u = πx eller alltså B = 2 a. ( ) πx sin 2 dx = a π sin 2 udu = a a π π = a 2 a π 4π sin 2u = a 2 a : π 1 cos 2u du 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 9

Den normaliserade grundtillståndsfunktionen är alltså ψ 1 (x) = 2 a sin πx a. Då egenfunktionen är känd kan vi beräkna väntevärdet för partikelns position, rörelsemängd och energi i grundtillståndet. Medelpositionen blir x = = 2 a π π ψ 1 (x)xψ 1 (x)dx = 2 a π u sin 2 udu = a π (u u cos 2u)du π 2 = a 2π 2 ( π u 2 π u sin 2u + π ( ) πx sin 2 xdx a ) sin 2udu Detta är ett resultat, som man kunde vänta sig på grund av grundtillståndsfunktionens symmetri. = a 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 1

På ett liknande sätt kan vi beräkna rörelsemängdens medelvärde: p = = 2 a ψ 1 (x) sin ( i d ) ψ 1 (x)dx dx ( ) ( πx i d ) sin a dx = 2 π a ( i ) sin u cos udu = i a π sin 2 u = Observera, att partikeln kan röra sig hur som helst i brunnen. ( ) πx dx a Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 11

Eftersom beräkningen av medelenergin innebär derivering i avseende på tiden, måste vi använda den tidsberoende vågfunktionen: E = = = Resultatet är vad vi kunde vänta oss. Ψ 1 (x, t)i t Ψ 1(x, t) ψ 1 (x)eie t/ i t ψ 1(x)e ie t/ dx ψ 1 (x)eie t/ i ψ 1 (x) = E ψ 1 (x)ψ 1(x)dx E. ( ie ) e ie t/ dx Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 12

1.15. Potentialsteget Vi skall nu betrakta en partikel med energin E, som rör sig längs x axeln från vänster till höger, och som stöter mot en vägg (potentialsteg) i punkten x =. I detta fall gäller U = { då x U då x >. Vi skall särskilja två olika fall: a) E < U och b) E > U. Vi skall först studera problemet klassiskt, sedan kvantmekaniskt. Klassisk behandling. a) E < U. Klassiskt kan partikeln endast röra sig inom regionen x, där dess kinetiska energi är E = p2 2m. Partikelns rörelsemängd är p = ± 2mE. Den positiva lösningen svarar mot det fall, då partikeln närmar sig potentialsteget från vänster, och den negativa lösningen det fall, då partikeln rör sig mot vänster efter att ha reflekterats. Klassiskt är reflektionssannolikheten (exakt) 1% (transmissionssannolikheten är givetvis % ). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 13

b) E > U. I detta fall är partikelns energi E och dess rörelsemängd p = 2mE då x. Om x >, så minskar partikelns energi till E U, och dess rörelsemängd till p = 2m(E U ). Reflektionssannolikheten är i detta fall %, medan transmissionssannolikheten är 1%. Kvantmekanisk behandling. a) E < U. Om x så är den tidsoberoende Schrödinger ekvationen 2 d 2 ψ = Eψ, vilket är ekvationen för en fri partikel. Om x >, så blir Schrödinger ekvationen 2m dx 2 2 d 2 ψ 2m dx = (E U )ψ. Observera, att E U 2 i detta fall är negativ. Vi skall lösa Schrödingers ekvation för varje region skilt för sig och sedan kräva att lösningen och dess derivata är kontinuerliga vid barriären, vilket garanterar att lösningen är välartad. Vi skall kalla x för region I och x > för region II. I region I kan Schrödinger ekvationen skrivas d2 ψ I dx 2 = k2 ψ I (k 2 = 2mE 2, k = p ). Efter ansatsen ψ I = e αx finner vi att den allmänna lösningen till denna ekvation, som är egenfunktionen för en fri partikel, är ψ I = Ae ikx + Be ikx, och den fullständiga tidsberoende vågfunktionen är Ψ I (x, t) = ψ I (x)e iet/ = Ae i(kx Et/ ) + Be i(kx+et/ ). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 14

Tidsberoendet har inkluderats för att vi skall se åt vilket håll materievågen rör sig. Enligt vågrörelseläran (se s. 31-312 i boken) rör sig vågen i x axelns positiva riktning, om termerna kx och ωt i exponenten har motsatta förtecken, men i x axelns negativa riktning om de har samma förtecken. Således anger Ψ + (x, t) = Ae i(kx Et/ ) en våg som fortskrider i x axelns positiva riktning med rörelsemängden p = k, medan Ψ (x, t) = Be i(kx+et/ ) betecknar en våg som rör sig i x axelns negativa riktning med rörelsemängden p = k. I region II kan Schrödinger ekvationen för partikeln skrivas d 2 ψ II dx 2 = K 2 ψ II, (K 2 = 2m(U E) 2 ), som har lösningen ψ II = Ce Kx + De Kx. Observera, att K är reellt och positivt, eftersom U > E. Termen Ce Kx, som växer mot oändligheten, då x växer, är inte fysikaliskt realistisk, och vi sätter därför C =. Vågfunktionen i region II blir alltså Ψ II (x, t) = ψ II (x)e iet/ = De Kx e iet/. Genom att tillämpa kontinuitetsvillkoren på egenfunktionen och dess derivata i punkten x = : ψ I () = ψ II () och [ dψi dx ] x= = [ dψii dx ] x=, får vi ekvationerna A + B = D och ika ikb = KD. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 15

Genom att kombinera dessa ekvationer kan A och B uttryckas med hjälp av D: Lösningen i fallet a) kan alltså uttryckas: A = B = (k + ik)d 2k (k ik)d. 2k och { ψi (x) = D 2k [(k + ik)eikx + (k ik)e ikx ] om x, ψ II (x) = De Kx om x >. För att förstå vad lösningarna innebär skall vi studera sannolikhetstätheterna P (x, t) = ψ (x)e iet/ ψ(x)e iet/ = ψ (x)ψ(x) i de båda regionerna. I region I är sannolikhetstätheten för den inkommande partikeln (ψ(x) = D 2k (k + ik)eikx ) P + (x, t) = A e ikx Ae ikx = (k ik)d (k + ik)d 2k 2k = (k2 + K 2 )D 2 4k 2. Den inkommande partikeln är därför en våg med konstant sannolikhetstäthet genom hela regionen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 16

Samma sannolikhetstäthet erhålls för den reflekterade vågen. Detta innebär fysikaliskt, att alla partiklar som når potentialsteget med E < U kommer att reflekteras inklusive dem som tränger in i region II. Om x >, så är P II = (De Kx ) 2 = D 2 e 2Kx, en exponentiellt avklingande funktion av inträngningsavståndet. Kvalitativt åskådliggörs vågfunktionens förlopp i de båda regionerna i fig. 13.28 (jfr bilden nedan), som visar vågfunktionens reella del. Som vi ser, är det möjligt att partikeln tränger in i region II, något som inte är tillåtet enligt den klassiska fysikens lagar. Detta kan förstås med hjälp av osäkerhetsprincipen. Om partikelns osäkerhet i rörelsemängd p är av samma storleksordning som dess rörelsemängd p = k, så kan vi uppskatta osäkerheten i position, x, ur osäkerhetsrelationen p x /2: x 2p = 2 K = 1 2K. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 17

Om inträngningsdjupet x p betecknar det avstånd, på vilket P II (x, t) har fallit till 1/e av sitt värde i x =, så finner vi att D 2 /e = D 2 e 2Kxp, eftersom sannolikhetstätheten är D 2 i punkten x =. Således är x p = 1 2K. Observera, att detta avstånd är detsamma som den ovan uppskattade osäkerheten i position ( x). Vi får alltså en bekräftelse på, att osäkerhetsprincipen ger förklaringen till partikelns förmåga att tränga igenom barriären. Observera också, att K = 1 2m(U E) är mycket stort, då U E. I detta fall tränger partikeln endast obetydligt in i region II, och x är mycket liten. Om U å andra sidan är endast obetydligt större än E, så är K liten, och x följaktligen stor. Inträngningsdjupet är då också stort. Sannolikheten för reflektion vid barriären kan uttryckas som förhållandet mellan sannolikhetstätheterna av de reflekterade och inkommande vågorna, dvs med tidigare använda beteckningar: R = P (x, t) P + (x, t) = Ψ Ψ Ψ + Ψ + = B B A A = (k + ik)(k ik) (k ik)(k + ik) = 1. Detta överensstämmer med det klassiska resultatet, men motsäger inte heller det kvantmekaniska resultatet. Också en partikel som tränger genom barriären måste komma tillbaka, eftersom sannolikheten att partikeln når x = + är noll. b) E > U. I detta fall är den kinetiska energin för partikeln i region I lika med E. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 18

Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen är då likadan som i fall a): 2 d 2 ψ I 2m dx 2 ekvationen för en fri partikel. Om vi sätter k 2 1 = 2mE/ 2, så får vi ekvationen d2 ψ I dx 2 har lösningen ψ I (x) = Ae ik 1 x + Be ik 1 x. Den fullständiga vågfunktionen är Ψ I (x, t) = ψ I (x)e iet/ = Ae i(k 1 x Et/ ) + Be i(k 1 x+et/ ). = Eψ I. Detta är åter = k2 1 ψ I som Liksom tidigare, representerar den första termen en partikel som rör sig i x axelns positiva riktning med rörelsemängden k 1 och den andra termen representerar en partikel som rör sig i motsatt riktning med rörelsemängden k 1. I region II (x > ) är den kinetiska energin E U positiv. Här har vi alltså fortfarande att göra med en fri partikel, även om dess energi är lägre. Om vi definierar k 2 = 2m(E U )/, så kan partikelns Schrödinger ekvation skrivas Den motsvarande vågfunktionen är d2 ψ II dx 2 = k 2 2 ψ II. Ψ II (x, t) = ψ II (x)e iet/ = Ce i(k 2 x Et/ ) + De i(k 2 x+et/ ). Den första termen anger här en partikel som rör sig i x axelns positiva riktning med rörelsemängden k 2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 19

Den andra termen beskriver en partikel, som rör sig i motsatt riktning med rörelsemängden k 2. Eftersom vi endast intresserar oss för partiklar som kommer in från vänster, så kan vi sätta D =. Vi skall nu, liksom tidigare, tillämpa gränsvillkoren på ψ(x) och dψ(x)/dx i punkten x =. Eftersom både egenfunktionerna och deras derivator bör vara kontinuerliga i denna punkt, får vi ekvationerna A + B = C och ik 1 A ik 1 B = ik 2 C. Genom att kombinera ekvationerna, och uttrycka A och B med hjälp av C, får vi A = (k 1 + k 2 )C 2k 1 B = (k 1 k 2 )C 2k 1. och Sannolikheten för att vågen skall reflekteras från potentialsteget är alltså R = B B A A = (k 1 k 2 ) 2 (k 1 + k 2 ) 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 2

som i allmänhet är olika noll. Detta skiljer sig från det klassiska resultatet, R =, om inte k 1 = k 2 (men i detta fall finns ingen barriär). I allmänhet är < R < 1. För en partikelstråle som träffar barriären, anger reflektionskoefficienten R förhållandet mellan antalet partiklar som reflekteras per sekund och antalet partiklar som kommer in per sekund. Egentligen borde man mäta antalet partiklar per sekund med sannolikhetsflödet, som är sannolikheten för att en partikel skall passera genom en punkt. Tidigare (s. 313) har visats, att effekten, dvs energiflödet, som medförs av en våg är proportionell mot produkten av dess hastighet och kvadraten på amplituden. På motsvarande sätt kan sannolikhetsflödet j av en materievåg beskrivas av produkten av partikelns hastighet v och kvadraten på materievågens amplitud Ψ Ψ, eller alltså Ψ Ψv. Vi kunde försumma partikelhastigheten vid beräkningen av R, eftersom både den inkommande och reflekterade vågen hade samma kinetiska energi och rörde sig med samma hastighet; hastigheten blev därför eliminerad ur uttrycket för R. När vi beräknar transmissionssannolikheten, T, måste vi däremot beakta det faktum, att partiklarna rör sig långsammare till höger om barriären, där den kinetiska energin är E U, än till vänster om barriären, där deras kinetiska energi är E. Transmissionssannolikheten blir därför T = j 2 j 1 = C Cv 2 A Av 1 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 21

där j 1, v 1 och j 2, v 2 betecknar sannolikhetsflödet och partiklarnas hastighet före, resp. efter potentialsteget. Då C/A = 2k 1 /(k 1 + k 2 ) och v 2 /v 1 = p 2 /p 1 = k 2 /k 1 (se ovan), så gäller alltså T = [ 2k1 k 1 + k 2 ] 2 k 2 k 1 = 4k 1k 2 (k 1 + k 2 ) 2 Observera dessutom, att R + T = (k 1 k 2 ) 2 (k 1 + k 2 ) 2 + 4k 1k 2 (k 1 + k 2 ) 2 = k2 1 2k 1k 2 + k 2 2 + 4k 1k 2 (k 1 + k 2 ) 2 = 1. Sannolikheten för att en partikel antingen skall reflekteras eller transmitteras är alltså 1%. Antalet partiklar kommer alltså att bevaras. Vi skall ännu se på två fall, som närmare belyser skillnaden mellan de kvantmekaniska och klassiska resultaten. a) E U, steget är mycket litet (E E U ), se fig. 13.31. I detta fall är k 1 k 2, så att R och T 1. Resultatet påminner mycket om det klassiska fallet. Sannolikheten för reflektion är ytterst liten. b) E E U, partikelns energi är obetydligt större än steghöjden U, se fig. 13.32. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 22

I detta fall är k 1 k 2, så att R 1 och T, som visar, att partikeln högst sannolikt reflekteras, fast energin bara är obetydligt större än steghöjden, något som inte kan förklaras klassiskt. Reflektion vid en diskontinuitet, vilket inte är ett klassiskt fenomen är dock ett välkänt vågfenomen, t.ex. då vågor i en vattenyta stöter på lågvatten (fig. 13.34). I fig. 13.33 (se även bilden nedan) har reflektions och transmissionkoefficienternas värden ritats som funktion av förhållandet E/U. Som vi ser, skiljer sig det kvantmekaniska resultatet mest från det klassiska då förhållandet är något större än 1. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 21 23