Växjö University. Mängdlära och kardinalitet. - Cantors paradis. School of Mathematics and System Engineering. Reports from MSI - Rapporter från MSI

School of Mathematics and System Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Växjö University Mängdlära och kardinalitet - Cantors paradis Magnus Dahlström Jan 2005 MSI Växjö University SE-351 95 VÄXJÖ Report 05004 ISSN 1650-2647 ISRN VXU/MSI/MA/E/--05004/--SE

Magnus Dahlström Mängdlära och kardinalitet - Cantors paradis Kandidatuppsats Matematik 2005 Växjö University

Sammanfattning Denna uppsats behandlar grundläggande mängdlära och inriktar sig sedan på kardinaliteter för oändliga mängder. Bland de resultat som redovisas finns bland annat resultatet som säger att linjen R och planet R 2 innehåller precis lika många punkter. Då mängdläran beskrivs av ett formellt språk så innehåller uppsatsen en bilaga om formella språk. Nyckelord: formella språk, Cantor, mängdteori, kardinalitet, kontinuumhypotesen. Abstract This paper is about basic set theory and cardinalities for infinite sets. One of the results are that the line R and the plane R 2 contains exactly the same number of points. Because of that the set theory is described with a formal language this the paper has an appendix about formal languages. Key-words: formal languages, Cantor, set theory, cardinality, continuum hypothesis. Erkännande Tack Hans Frisk för att vi tillsammans utforskade mängdläran några steg längre än vad man brukar. Tack Robert Nykvist för hjälp med LATEX 2ε. iii

Innehåll Innehåll iv 1 Inledning 1 1.1 Bakgrund.................................. 1 1.2 Syfte..................................... 2 1.3 Frågeställningar............................... 2 1.4 Metoder................................... 2 1.5 Disposition................................. 2 2 Mängdteori 4 2.1 Naiv mängdteori.............................. 4 2.2 Den iterativa mängdteorin.......................... 7 2.3 Zermelo-Frankel:s mängdteori....................... 9 3 Kardinalitet 11 3.1 Kardinaltal................................. 11 3.2 Transfinita tal................................ 12 3.3 Uppräknerliga mängder........................... 12 3.4 Kardinaliteten hos några uppräknerliga mängder.............. 15 3.5 Icke uppräknerliga mängder........................ 17 3.6 Kardinaliteten hos några icke uppräknerliga mängder........... 18 3.7 Om kontinuumhypotesen.......................... 21 A Referenser 23 B Om formella språk 24 B.1 Alfabet................................... 24 B.2 Formler................................... 25 B.3 Meningar.................................. 26 B.4 Bevis.................................... 28 B.5 Rundgång?................................. 28 iv

1 Inledning En kurs i matematikens historia och en om matematikens grundvalar fick mig intresserad av mängder. Speciellt oändliga mängder. 1.1 Bakgrund Detta stycke bygger främst på information från [17], [9], [2] samt [14]. Georg Cantor(1845-1918) är en av arkitekterna bakom mängdläran och skaparen av teorin för läran om oändliga mängder. Få matematiska teorier har varit så omdebatterade som hans teorier om oändliga mängder. Matematiker som Kronecker(1823-1891) och Schwartz(1843-1921) försökte motarbeta Cantor medan Dedekind(1831-1916) och Weierstrass(1815-1897) stödde honom [14]. Idag accepteras dock mängdläran av de flesta matematiker. Man har dessutom lyckats återföra matematiska teorier till mängdläran, det vill säga att numera är mängdläran grunden för ett flertal matematiska teorier. Som exempel kan nämnas analysen och gruppteorin, mer information om gruppteori finns i [16]. Oändligheter hade diskuterats långt innan Cantor gjorde entré. Ett av de mest berömda problemen handlar om Akilles och sköldpaddan. Exempel 1.1 (Akilles och sköldpaddan). Akilles ska springa i kapp med en sköldpadda. Han kan springa tio gånger så fort som sköldpaddan. Sköldpaddan startar tio meter framför Akilles. Starten går, efter tio meter kommer Akilles till den plats, där sköldpaddan startade. Under denna tid har sköldpaddan hunnit röra sig en meter. Akilles springer denna meter, och på den tid han behöver till detta har sköldpaddan rört tio centimeter. Akilles springer tio centimeter, och sköldpaddan hinner med 1 centimeter. Detta innebär att Akilles kommer allt närmre sköldpaddan, men sköldpaddan kommer alltid att vara en bit framför Akilles. Detta innebär att Akilles aldrig hinner ifatt sköldpaddan. Den grekiska matematikern Zenon (ca 490-430 f.kr) är upphovsmannen till denna klassiska paradox. Här är det oändligheten som spökar. Runt två tusen år senare, 1638, ger en av renässansens viktigaste vetenskapsmän Galileo Galilei (1564-1642) ut en bok i Holland med titeln Samtal och matematiska demonstrationer om två nya vetenskaper. I denna bok behandlar Galilei bland annat geometri. Mer specifikt om en del av en linje kan sägas vara uppbyggd av punkter. Problemet som sådant är gammalt, Euklides ger en definition i Elementa. Den lyder Punkt kallas det som icke har några delar, Linea är en längd utan bredd samt Punkter äro yttersta ändarna utaf en linea 1. Det som Galilei nu funderar över är att om man tar ett linjesegment som är länge än ett annat linjesegment, kommer då det första linjesegment även att innehålla fler punkter än det andra? Ett problem som är likvärdigt är följande. De naturliga talen kan man ordna i en följd : 0,1,2,3,4,... Man kan även ordna kvadrattalen, K, i en följd: 0,1,4,9,16,... 1 Alla tre citaten är från Euklides Elementa, svensk utgåva för militärer 1800-talet. 1

Man kan nu använda den första talföljden, de naturliga talen, till att numrera elementen i den andra. Annorlunda uttryckt så för varje naturligt tal finns det precis ett kvadrattal. Det är även så att man kan gå baklänges, då ser man att för varje kvadrattal finns det precis ett naturligt tal. Det vill säga att det kommer att finnas lika många naturliga tal som kvadrattal. Med hjälp av funktioner kan man uttrycka det f (k) = k 2, g(k) = k, k N Vi kan bilda kvadrattalen utifrån de naturliga talen. k K Vi kan bilda de naturliga talen utifrån kvadrattalen. Men nu är det så att om man tittar närmre på de två talföljderna så inser man att varje kvadrattal är ett naturligt tal, K N. Men att alla naturliga tal inte är ett kvadrattal. Till exempel är talet 3 ett naturligt tal, men inte ett kvadrattal, (N K). Här tycks vi ha uppnått en motsägelse. Galilei drar här slutsatsen att man inte kan använda begrepp som lika med, större än eller mindre än på oändliga mängder. Därför kan man heller inte använda begreppen på problemet om antalet punkter på två linjer med olika längder. Problemet är enligt Galilei utan mening. Det var Cantor som cirka 250 år senare utforskade dessa begrepp och hur de kan användas på oändliga mängder. 1.2 Syfte Syftet med denna rapport är att beskriva teorin för mängder, klargöra begrepp från mängdläran, speciellt de begrepp som används när man studerar oändliga mängder. Men också redogöra för några av de resultat som nåtts vid studium av oändliga mängder. 1.3 Frågeställningar - Hur ser teorin för mängdläran ut? - Vilka begrepp används när man studerar oändliga mängder? - Vad bidrog Cantor med till läran om oändliga mängder? - Vilka kardinaliteter har olika oändliga mängder? 1.4 Metoder Den metod som används är en litteraturstudie av några böcker och artiklar som behandlar mängdlära. Sökning har skett i databaser tillhörande biblioteket och genom rekommendationer från min handledare. 1.5 Disposition I avsnitt 2 så presenteras två olika mängdteorier. Den första är Cantors egen, den naiva mängdteorin. Vidare så ges ett exempel på varför denna teori inte är konsistent. Den andra teorin som presenteras är den iterativa mängdteorin som utvecklades för att undvika de paradoxer som uppstod i den naiva mängdteorin. I avsnitt 3 behandlas kardinaliteter för några vanliga oändliga mängder. Kontinuumhypotesen presenteras kort. 2

I bilaga B ges en grundläggande beskrivning av ett formellt språk. Vi definierar vad ett formellt språk är och de regler som gäller för framtagning av formler genom språket. Allt detta då ett formellt språk används i avsnitt 2. 3

2 Mängdteori Under de år som närmast följde på Cantors introduktion, som gjordes 1874, av mängder så fortsatte man att utveckla mängdläran utan att egentligen bry sig om hur begreppet mängd definierades. Cantor hade en något informell definition som återges nedan (definition 2.1), den räckte dock för att kunna bilda bevis. Runt sekelskiftet 1900 så stod det klart att mängdläran behövde axiomatiseras. I detta avsnitt undersöks två mängdteoretiska axiomatiseringar. Den första bygger på Cantors eget koncept, men den visar sig tyvärr innehålla paradoxer. Den andra som utvecklades senare för att hantera de problem som uppstod i Cantors eget koncept. 2.1 Naiv mängdteori George Boolos [3] ger en ganska bra beskrivning av det man kallar naiv mängdteori. Naiv har här betydelsen att vi kan bilda mängder precis som vi vill. Vi börjar med Cantors definition av en mängd [15]. 2.1.1 Vilket är det naiva mängdkonceptet? Definition 2.1 (En mängd enligt Cantor). Med en mängd avses en godtycklig totalitet av bestämda element som kan kombineras till en helhet med hjälp av vår intuition eller tanke. Exempel 2.1 (Lagen om det uteslutna tredje, LUT). Om man på julafton skulle säga att familjens gran har ett jämnt antal barr skulle nog några säga det kan vara udda. Men om man skulle säga att granen har ett jämnt eller ett udda antal barr, skulle nog de flesta hålla med. Frågan har ett svar. Antingen är svaret jämnt antal barr eller så är det ett udda antal barr. Ingen skulle föreslå att det varken är ett udda eller jämnt antal barr. Detta är lagen om det uteslutna tredje. Ett annat mer matematiskt exempel på LUT är följande sats. Sats 2.1. Det finns två irrationella tal, a och b R\Q, sådana att det ena upphöjt till det andra är rationellt. D v s a b Q Bevis av sats 2.1. Antag att a = b = 2. Vi bildar då talet c = 2 2. Nu kan vi säga att c antingen är rationellt eller irrationellt. Är c rationellt är vi klara med beviset. Men vi ska nu undersöka vad som händer om det är irrationellt. Då bildar vi talet d = c 2 = ( 2 2) 2 = ( 2) 2 2 = ( 2) 2 = 2. Talet d är uppenbart rationellt. Tack vare LUT så vet vi att c är antingen irrationellt eller rationellt. Var det rationellt var satsen bevisad, var det irrationellt så kunde vi hitta ett nytt irrationellt tal att upphöja c till och då blev resultatet med säkerhet rationellt. Alltså är satsen bevisad. Det är med hjälp av lagen om det uteslutna tredje som den naiva mängdläran definieras. Om man tror på LUT, det finns matematiker, intuitionsiter, som inte gör det, så kan man hålla med om att varje predikat 2 antingen gäller för ett givet element eller att det inte gäller. Då finns det för varje predikat en mängd för alla de element som predikatet gäller för, och en mängd för de element det inte gäller för. Varje mängd som innehåller elementen som predikatet gäller för, kallas utvidgningen av predikatet. Vi kan formulera 2 Ett predikat är en funktion eller en relation. Se definition B.3 4

detta som att varje predikat har en utvidgning. Detta verkar självklart. Hur skulle det inte kunna finnas en mängd bestående av de element som predikatet gäller för? Eller med andra ord, hur skulle det kunna finnas ett påstående som varken är sant eller falsk? Det är detta koncept som kallas för det naiva mängdkonceptet. 2.1.2 Den naiva mängdlärans axiom Följande stycke baseras på Boolos [3] och Halmos [8]. Jag kommer här presentera ett urval av de axiom som finns. Låt S vara ett formellt språk 3. Detta språk har variablerna x,y,z,w,... Språkets predikat är P(x) med betydelsen x är en mängd, med betydelsen är ett element i, = med betydelsen är lika med och S som får ha en godtycklig betydelse. Några av axiomen för denna teori kan formuleras som följer. Axiom 2.1.1 (En mängd utan element). Det finns en mängd utan element. y[p(y) x[x y x x]] Axiomet ska utläsas Det existerar ett y, sådant att y är en mängd, och att för alla x sådana att x är ett element i y så gäller att x inte är lika med x. Nu vet vi ju att det finns inga element som inte är lika med sig självt, vilket innebär att mängden saknar element. Mängden utan element kallar vi för den tomma mängden. Det kanske kan tyckas självklart. Men i den teori som vi skapar säges det inget om att det existerar en sådan mängd. Det är dessutom inget man kan härleda utifrån de övriga axiomen. Alltså behövs ett axiom som garanterar existensen av en sådan mängd. Axiom 2.1.2 (Utvidgningsaxiomet). Två mängder är samma mängd om och endast om de har varje element gemensamt. x y[p(y) P(x) z[z x z y] x = y] Detta axiom definierar vad vi menar med att två mängder är lika. Med detta axiom kan vi se att N + är samma mängd som Z +. Axiomet säger dessutom en del om begreppet är ett element i eller som man brukar säga tillhör. Exempel 2.2 (Förfäder). Om man som mängd betraktar en människa och som element i denna mängd betraktar de förfäder som denna person har. Detta innebär att två identiska individer har samma förfäder (implikation åt vänster), samt att har man samma förfäder är man samma person (implikation åt höger). Det första är sant och det andra är falskt då man faktiskt kan ha syskon. Detta innebär att man kan inte skapa en mängd på det sätt vi i detta exempel gjorde. Axiom 2.1.3 (Specifikationsaxiomet). För varje mängd y och för varje predikat S existerar det en mängd w som innehåller de element i y som S gäller för. y[p(y) x[x y S(x) w[p(w) x w]]] Detta innebär att given en mängd så kan vi bilda två delmängder utav denna givna mängd. Mängden predikatet gäller för och mängden det inte gäller för. Axiom 2.1.4 (Mängder av mängder). y(p(y) x(x y w(x w w z))) Detta axiom säger att det finns mängder som har element som själva är mängder. 3 Se bilaga B. 5

Axiom 2.1.5 (Mängden av alla mängder). Det existerar en mängd av alla mängder. y(p(y) x(x y (P(x) x = x))) Detta axiom har en slag särställning, konceptet med en mängd av alla mängder innebär att den mängden även måste innehålla sig själv. Det kan verka som om det är ett problem att bilda mängder som är ett element hos sig själv. Vi tar ett exempel Exempel 2.3 (Böckers titlar och bibliografier). Om vi som individer 4 i ett mängdsystem 5 har böckers titlar, så motsvarar en bibliografi 6 en mängd. Mängden av alla mängder blir då en bibliografi över alla bibliografier. Och då är det inga problem att låta den vara ett element i sig själv. 2.1.3 Russells paradox Russels paradox har fått sitt namn efter Bertrand Russel(1872-1970) som formulerade den 1902. Den upptäcktes även oberoende av Ernst Zermelo(1871-1953). Paradoxen kallas även den ultimata paradoxen då den på ett mycket övertygande sätt visar den naiva mängdlärans inkonsistens. Sats 2.2 (Russells sats). Ingen mängd kan innehålla endast de mängder som inte innehåller sig själv. Denna sats kan skrivas på samma sätt som axiomen ovan. y(p(y) x(x y (P(x) x / x))) (2.1) Bevis av 2.2. Enligt axiom 2.1.5 så finns det en mängd, U, av alla mängder. De mängder som är element i denna mängd kommer antingen innehålla sig själv eller inte. Vi kan då bilda två delmängder av U, den första kommer att innehålla alla de mängder som innehåller sig själv, den andra alla de mängder som inte innehåller sig själv. På det formella språket vi använder kan vi skriva detta. y(p(y) x(x y (P(x) x / x))) (2.2) Men hur är det då med vår mängd y? Om den innehåller sig själv så får den enligt den regel som bildar y inte vara ett element i sig själv. Om den inte innehåller sig själv ska den enligt den regel som bildar y vara ett element i sig själv. Vi har fått en motsägelse. Alltså kan en sådan mängd inte finnas. Det vill säga y(p(y) x(x y (P(x) x / x))) Exempel 2.4 (Böckers titlar och bibliografier (fortsättning)). Analogt med detta bevis så har vi i detta exempel att vi från bibliografin över alla bibliografier kan dela upp den i två volymer. En bibliografi bestående av alla bibliografier med självreferens, en bestående av alla bibliografier utan självreferens. Detta enligt lagen om det uteslutna tredje. Om vi då studerar bibliografin över alla bibliografier som saknar självreferens så uppstår frågan Vad gäller för den bibliografin?. Jo, om den inte refererar till sig själv så ska den referera till sig själv. Om den refererar till sig själv så ska den inte göra det. Och detta är ju en motsägelse. Alltså finns det ingen bibliografi över alla bibliografier som saknar självreferens. 4 Med individer avses element som inte själva är mängder. 5 Med ett mängdsystem avses en samling mängder. 6 En bibliografi är en bok som listar böcker, ett slags register. 6

Problemet är att vi kunde bilda mängden av alla mängder som inte innehåller sig själv, (2.2), utifrån de axiom som vi byggt upp vår teori utifrån, mer specifikt axiom nummer (2.1.3), (2.1.4) och (2.1.5). Då påståendena (2.2) och (2.1) inte kan vara sanna samtidigt så är teorin inte konsistent. En väg ut ur dilemmat är det som kallas den iterativa mängdteorin, vad detta är beskrivs i nästa avdelning. 2.2 Den iterativa mängdteorin Russels paradox skapade problem. Vid den här tiden hade Henri Lebesgue(1875-1941) definierat begreppet mått och med hjälp av måttbegreppet definierat det som kallas Lebesgue integralen genom att använda Cantors mängdteori, för mer information om detta se [12]. Då Russels paradox hade visat en spricka i mängdteorin stod en stor del av den matematiska analysen på osäker grund. Vidare så ställde paradoxen också till problem för Gottlob Frege(1848-1925) som höll på att färdigställa sin teori om aritmetikens grundvalar. Frege skrev då följande. En vetenskapsman kan knappast stöta på något mer oönskvärt än att se grunden ge vika just som arbetet är färdigställt. I denna position blev jag ställd genom ett brev från Herr Bertrand Russel just som mitt arbete var på väg att tryckas. För att kunna undvika Russels paradox måste vi välja de principer för hur man skapar mängder noggrant. Boolos [3] formulerar principerna på följande sätt. Mängder skapas i tanken. Det är en mental process som uppstår av att samla objekt och gruppera dem. Detta innebär att elementen i mängden måste existera innan själva mängden. Då existerar inte mängden av alla mängder. Det existerar dock en väldefinierad totalitet av alla mängder, men totaliteten är inte en mängd. Denna tankegång kan vi axiomatisera i det vi kallar stegteori. 2.2.1 Stegteori Definition 2.2 (En mängd enligt iterativt koncept). En mängd är en godtycklig samling som skapas vid något steg i följande process: Börja med individer, om det finns några. En individ är ett objekt som inte är en mängd, en individ kan inte innehålla något. Vi kallar det första steget för steg 0; där formas alla möjliga mängder av individer. Om det inte finns några individer så bildas bara den tomma mängden, det vill säga mängden utan element. Om det finns 1 individ bildas två mängder den tomma mängden och mängden innehållande den individ som fanns. Mer generellt om det finns n individer bildas 2 n mängder. Det kan finnas oändligt många individer från början. I steg 1 formas alla möjliga mängder av individer och mängder av mängder formade i steg 0. Om det fanns individer vid steg 0 bildas även mängder innehållande både individer och mängder bildade vid steg 0. I steg m bildas alla möjliga mängder av individer och mängder formade under de m 1 första stegen. Varje mängd bildas alltså vid varje steg. Man brukar dock säga att en mängd bildas endast en gång, det vill säga vid det steg där den först bildades. Värt att notera att det är först vid steg m + 1 som mängden av alla mängder vid steg m bildas. 7

2.2.2 Stegteorins axiom Nu vill vi beskriva detta koncept mer formellt. Låt S 2 vara ett språk. Detta språk har variablerna x,y,z,w,... vilka är mängder och variablerna r,s,t vilka är steg. Språket har predikaten och = som har den betydelsen de hade i S. Samt E(s,t), med betydelsen s är tidigare än t, och F(x,s), med betydelsen x bildas vid s. De första axiomen som vi ställer upp rör regler för stegen. Dessa axiom bildar vi utifrån definition 2.2. Axiom 2.2.1. s E(s, s) Inget steg är tidigare än sig självt. Förefaller kanske självklart, men det måste deklareras. Axiom 2.2.2. E är ett transitivt predikat. r s t((e(r,s) E(s,t)) E(r,t)) Axiom 2.2.3. E är sammanhängande. s t(e(s,t) s = t E(t,s)) Axiom 2.2.4. Det existerar ett tidigaste steg. s t(t s E(s,t)) Axiom 2.2.5. s t(e(s,t) r(e(r,t) (E(r,s) r = s))) Omedelbart efter varje steg följer ett annat steg. Axiom 2.2.6. s t(e(t,s) t(e(t,s) r(e(t,r) E(r,s)))) Det finns ett steg som inte är det första (steg 0), och som inte följer direkt efter ett godtyckligt steg. Nu följer några axiom angående när mängder och dess element bildas. Axiom 2.2.7. Varje mängd bildas vid ett bestämt steg. Axiom 2.2.8. x s(f(x,s) t(f(x,t) t = s)) x y s t((y x F(x,s) F(y,t)) E(t,s)) Varje element i en mängd bildas vid ett tidigare steg än mängden. Axiom 2.2.9. x s t(f(x,s) (E(t,s) y r(y x F(y,r) (t = r E(t,r))))) Om en mängd formas vid ett visst steg så har minst ett element i mängden formats vid det precis föregående steget. Detta innebär att alla element inte kan bildas innan det precis föregående steget. 8

Axiom 2.2.10. s( t(e(t,s) x(f(x,s) θ)) x(f(x,s) χ)) s x(f(x,s) χ) χ är en formel som inte innehåller några t och θ ser ut precis som χ men som innehåller ett fritt t där χ får innehåller fria s. De axiom som bildas på detta sätt kallas induktionsaxiomen. Nu har vi de axiom vi behöver för att beskriva stegteorin och därmed det iterativa mängdkonceptet. Nu är det dags att beskriva en av de mängdteorier som bygger på det iterativa mängdkonceptet, Zermelo-Frankel:s mängdteori. Det finns andra till exempel von-neumann-bernays-gödel:s, Morse-Kelly:s och Quine:s. 2.3 Zermelo-Frankel:s mängdteori Detta stycke baserar sig främst på Boolos [3], Cohen [4] och Franzén [6]. Vi måste börja med att anta några axiom om mängder. Vi använder samma språk S 2 som innan. Axiom 2.3.1 (Axiomet om tomma mängden). y x (x y) Det finns en mängd som inte innehåller några element. Axiom 2.3.2 (Utvidgningsaxiomet). x y(p(y) P(x) z(z x z y) x = y) Om vi har två mängder och om de har varje element gemensamt så är de två mängderna egentligen samma mängd. Axiom 2.3.3 (Parmängdsaxiomet). z w y x(x y (x = z x = w)) Given två mängder så existerar det en mängd som endast har de två givna mängderna som element. Axiom 2.3.4 (Unionsaxiomet). z y x(x y w(x w w z)) Given en mängd, z, så existerar det en mängd vars element, x, är element hos elementen, w, i den givna mängden, z. Axiom 2.3.5 (Potensmängd). z y x(x y w(w x w z)) Given en mängd existerar det en mängd vars element är alla delmängder av den givna mängden. 9

Axiom 2.3.6 (Oändlighetsaxiomet). y( x(x y z( z x)) x(x y z(z y w(w z (w x w = x))))) Om en mängd, m, innehåller samma element som en annan mängd, n, och n självt så kallas m för en efterföljare till n. Det existerar då en mängd som innehåller den tomma mängden och en efterföljare till varje element den innehåller. Detta axiom menar att om vi har en mängd t ex /0 så kommer mängden {/0} att vara dess efterföljare som i sin tur har efterföljaren {/0,{/0}}. På detta sätt får vi nu en lista av efterföljare. {/0,{/0},{/0,{/0}}} {/0,{/0},{/0,{/0}},{/0,{/0},{/0,{/0}}}}. På detta sätt kan man bilda allt fler och fler mängder som är efterföljare till den föregående. Oändligt många faktiskt. Om man sedan definierar en talföljd utifrån hur många element varje efterföljare har ser vi att talföljden blir 0,1,2,3,4,. Axiomet garanterar nu existensen av den mängd som innehåller /0 och hela listan av efterföljare, och på så vis existensen av N. Axiom 2.3.7 (Separationsaxiomen). z y x(x y (x z φ)) φ är en formel i S 2 som inte innehåller y fritt. För definition av vad som avses med fritt y se definition B.6. Axiom 2.3.8 (Regularitetsaxiomet). x(φ x(φ y(y x ψ))) φ är en formel i S 2 som inte innehåller y. ψ är precis som φ, men överallt där det finns ett fritt x i φ finns det ett y i ψ. Axiom 2.3.9 (Substitutionsaxiomen). F är en funktion z y x(x y w(w z F(w) = x)) Om F är en funktion från en mängd z till en mängd y. Så är även F en mängd. 2.3.1 Ett bevis Sats 2.3. Ingen mängd innehåller sig själv. Bevis av 2.3. Antag att en mängd innehåller sig själv. Det vill säga Då är följande ett axiom (enligt 2.3.8) x(x x) x(x x) x((x x) y(y x (y y))) Detta innebär att om x x så kommer inget av elementen i x, det vill säga y, innehålla sig självt. Detta är en motsägelse då x ska vara ett element hos sig självt. Alltså innehåller ingen mängd sig själv. Detta innebär ju att vi, precis som vi ville, inte kan bilda mängden av alla mängder (Axiom 2.1.5) och det var ju det axiomet som ledde till Russells paradox (Sats 2.2). 10

3 Kardinalitet Nu när vi har utvecklat en teori för mängder så kan vi börja jämföra olika mängder. Man kan ordna mängder på olika sätt. Ett sätt är att till varje element i en mängd sätta ett ordinaltal, 1, 2, 3, 4,... Det vill säga ett slags index för varje element. Men om man vill jämföra olika mängder blir det svårt då allt man har är en numrering av mängdernas element. Därför talar man istället om mängdens kardinalitet, som är ett slags mått på mängdens storlek. Kardinalitet kallades även för mäktighet eller potens. Definition 3.1 (Kardinalitet). Man säger att två mängder har samma kardinalitet om det existerar en bijektion från den ena mängden till den andra. En bijektion är en funktion mellan två mängder. Kardinaliteten för en mängd, M, betecknas M. Exempel 3.1. Ett exempel kan förklara närmre vad en bijektion är. Om man har mängden av passagerare på en buss och mängden av säten på bussen så existerar det en bijektion mellan bussens säten och passagerarna om alla passagerarna sitter ner och att det på varje säte i bussen sitter exakt en passagerare. Vad är samma kardinalitet som för slags relation? Sats 3.1. Kardinalitet är en ekvivalensrelation. Bevis av 3.1. En mängd, A har samma kardinalitet som sig själv. Den bijektion vi söker är f (k) = k; k A. Alltså är kardinalitet reflexivt. Om en mängd A har samma kardinalitet som B, och om B har samma kardinalitet som C. Så kommer även A ha samma kardinalitet som C. Då vi har två bijektioner, så kommer f (k);k A (från A till B) g(l);l B (från B till C) g( f (k));k A vara en bijektion från A till C. Alltså är kardinalitet transitivt. Om A har samma kardinalitet som B så finns det en bijektion f från A till B. Då kommer f :s invers, f 1, vara en bijektion från B till A. Alltså har B samma kardinalitet som A. Därmed är kardinalitet symmetriskt. Då kardinalitet är reflexiv, transitiv och symmetrisk så är den en ekvivalensrelation. Ofta är det dock svårt att hitta en bijektion mellan olika mängder. Men det finns ett knep. Istället för att titta blint på kardinaliteten hos en mängd, så kan man titta på relationen har inte större kardinalitet än. Vi kallar denna relation hädanefter för R. Då denna relation är reflexiv, transitiv och antisymmetrisk. Att en relation är antisymmetrisk innebär att om A står i relation till B och B står i relation till A, så är A = B. Då öppnar sig ett sätt att avgöra om två mängder har samma kardinalitet. Tag två mängder A och B. Om ARB och BRA, så har A och B samma kardinalitet. 3.1 Kardinaltal Det tal som vi associerar med en viss kardinalitet kallar vi för ett kardinaltal, det symboliserar storleken av en mängd. Man brukar definiera kardinaltalet som det största ordinaltalet eller helt enkelt indexet på det sista elementet. Man kan även uttrycka det som att kardinaltalet är det minsta ordinaltal som krävs för att räkna upp mängden [6]. De kardinaltal som används för oändliga mängder kallas för transfinita tal. 11

3.2 Transfinita tal De transfinita talen är en slags generalisering av de naturliga talen i syfte att bestämma storleken hos oändliga mängder. Man brukar även kalla dem för oåtkomliga tal då talet är oändligt stort, men fortfarande ett specifikt tal. Man brukar beteckna transfinita tal med den hebreiska bokstaven ℵ, utläses alef. För att skilja olika transfinita tal åt sätter man ett index på ℵ. Om man vill skriva talen i storleksordning får vi ℵ 0,ℵ 1,ℵ 2,... För transfinita tal gäller lite speciella räkneregler. För att bäst åskådliggöra detta kommer jag här återge berättelsen om det oändliga hotellet [1]. Exempel 3.2 (Hilberts hotell). Det oändliga hotellet är ett hotell som har oändligt många rum. Just den här kvällen råkar alla rum vara fullbelagda, men likväl kommer det en gäst till. Hotellägaren funderar och skiner upp. Han låter gästen i rum nr. 1 flytta till rum nr. 2 och gästen i rum nr. 2 till rum nr. 3. Detta håller på tills alla gäster flyttat runt. Då står rum nr 1 ledigt och den nya gästen får plats. Det finns ytterligare ett hotell med oändligt antal rum ett par kilometer bort. Tyvärr ter det sig så olyckligt att detta andra oändliga hotell brinner ner till grunden. Hotellägaren för det hotellet undrar då om hans gäster kan få sova på vårt hotell. Givetvis går det bra. För andra gången på samma kväll får gästerna byta rum. Gästen i rum nr. 1 får flytta till rum nr. 2, gästen i rum nr. 2 får flytta till rum nr. 4 och gästen i rum nr. 3 flyttar till rum nr. 6 o s v. Detta leder till att alla rum med udda rumsnummer står lediga och gästerna från det andra hotellet kan flytta in i dem. Denna procedur kan symboliskt skrivas ℵ 0 + 1 = ℵ 0 (3.1) ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 (3.2) En ny gäst anländer (3.1). Ett oändligt antal gäster anländer (3.2). Summan av två kardinaltal definieras som kardinaltalet för unionen av de mängder som de två ursprungliga kardinaltalen tillhör. På så vis för vi fram räkneregler för de transfinita talen. Vi kommer i de följande styckena visa ett antal räkneregler för de transfinita talen. 3.3 Uppräknerliga mängder Definition 3.2 (Uppräknerlig mängd). En mängd, S, sägs vara uppräknerlig om det finns en bijektion från S till N. Mängden S kommer enligt definition 3.1 ha samma kardinalitet som N. Grovt sagt så innebär detta att man kan numrera elementen i S med hjälp av N. Följande lemma är hämtat från [5]. Lemma 3.2. För varje icke-tom mängd M är följande villkor ekvivalenta (a) M är en som mest uppräknerlig, det vill säga den kan vara ändlig eller uppräknerlig. (b) Det existerar en surjektiv avbildning α : N M (c) Det existerar en injektiv avbildning β : M N Bevis av lemma 3.2. Vi kommer här göra ett traditionellt bevis för villkor som säges vara ekvivalenta. 12

(1) (b) från (a). Låt M vara som mest uppräknerlig. Om M är uppräknerlig så gäller (b) per definition. Om M är ändlig, låt säga M = {a 0,a 1,...,a n }, så definierar vi α : N M som { ai om 0 i n, α(i) = om i > n a 0 Denna avbildning är uppenbart surjektiv. (2) (c) från (b). Låt α : N M vara en surjektiv avbildning. Vi definierar en injektiv avbildning β : M N genom att för varje a M sätta β(a) = det minsta i sådant att α(i) = a (3) (a) från (c). β : M N är en injektiv avbildning. Om M är ändlig så är vi redan klara, därför antar vi att M inte är ändlig. Vi vill nu visa att M måste vara uppräknerlig. För att göra detta definierar vi följande surjektiva avbildning α : N M α(0) = det a M med den minsta bilden över β i N α(n + 1) = det a M med den minsta bilden över β som är större än β(α(0)),...,β(α(n)) Då bilderna över β inte är begränsade i N så är α definierad för alla n N. Då tillhör uppenbart varje a M värdemängden för α. Sats 3.3. Om mängden A är som mest uppräknerlig så kommer även mängden B, B A, vara som mest uppräknerlig. Bevis av sats 3.3. Då A är som mest uppräknerlig så existerar det en surjektiv avbildning α : N A enligt lemma 3.2. Då B är en delmängd av A så definierar vi avbildningen β : N B som { α(i) för alla i:n sådana att α(i) B β(i) = α( j) för övriga i:n, där j är det lägsta i:t sådant att α(i) B Denna avbildning är uppenbart surjektiv. Alltså kommer B vara en som mest uppräknerlig mängd enligt lemma 3.2. Sats 3.4. Om mängderna A och B är som mest uppräknerliga, så är även mängden är som mest uppräknerlig. Bevis av sats 3.4. Låt och C = A B α : N A β : N B vara två surjektiva avbildningar. Då kommer även avbildningen { α(n) om i = 2 n γ(i) : N C = β(n) om i = 2 n + 1 n N vara surjektiv. Då är C som mest uppräknerlig enligt lemma 3.2. 13

Om vi låter mängderna A och B i sats 3.4 vara uppräknerliga så får vi följande räkneregel för transfinita tal ℵ 0 + ℵ 0 = 2 ℵ 0 = ℵ 0 Sats 3.5. Om mängderna M 0,M 1,... är som mest uppräknerliga, så är unionen också som mest uppräknerlig. M n n N Bevis av sats 3.5. Jag kommer här med hjälp av induktion att bevisa satsen. Låt mängderna M 0,M 1,... vara som mest uppräknerliga. Låt vidare (1) Basfall. n = S n = S n 1 M n ; S 0 = M 0 i=1 S 1 = S 0 M 1 = M 0 M 1 S 1 är som mest uppräknerlig enligt sats 3.4. (2) Induktionsantagande. För n = p gäller att S p är som mest uppräknerlig. (3) Induktionssteg. S p+1 = S p M p+1 Då S p är som mest uppräknerlig enligt induktionsantagandet så kommer S p+1 också vara det enligt sats 3.4. Då vet vi tack vare induktionsaxiomet att S n är som mest uppräknerlig för alla n N. Det vill säga att n N M n är uppräknerlig. Om vi låter mängderna M 1... vara uppräknerliga får vi med hjälp av sats 3.5 följande räkneregel ℵ 0 + ℵ 0 + + ℵ }{{} 0 = ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 2 0 = ℵ 0 ℵ 0 st Då satser liknande de två senaste kan göras för andra transfinita tal än ℵ 0 kan vi nu anse att vi definierat multiplikation mellan naturliga tal och transfinita tal samt potenser av transfinita tal. Frågan är nu om vi kan definiera tal där potensen är ett transfinit tal. Definition 3.3. Talet a ℵ n är det antal avbildningar som finns från mängden N, med kardinaltalet ℵ n, till mängden A, med kardinaltalet a. Allt enligt principen V f D f = A N = a ℵ n Observera att kardinaltalet för A kan ju i sig vara transfinit. Sats 3.6. Det existerar ingen surjektiv avbildning från en mängd, M, till dess potensmängd P(M) = {B B M}. Vidare är M < P(M). 14

Bevis av sats 3.6. Låt α : M P(M) vara en avbildning. Betrakta mängden A = {a M a / α(a)} P(M) Om det existerar b M sådant att {α(b)} = A, då gäller att b A om och endast om b / A. Alltså existerar inga sådana b. Det innebär att A inte tillhör α:s värdemängd. Därmed är α inte surjektiv och vi vet att M P(M) Funktionen β(a) : M P(M) := {a} är en injektiv funktion. Då vet vi att M P(M). Vilket tillsammans med det föregående ger att M < P(M). Vi kan nu sammanfatta räknereglerna i en sats. Sats 3.7. ℵ n + ℵ n+1 = ℵ n+1 n N a ℵ n = ℵ n n,a N ℵ a n = ℵ n n,a N 2 ℵ n > ℵ n n N Bevis. Beviset är analogt med bevisen för sats 3.4, 3.5 och 3.6 samt för additionen det resonemang som finns under exemplet med Hilberts hotell (exempel 3.2). 3.4 Kardinaliteten hos några uppräknerliga mängder 3.4.1 Kardinaliteten hos N Definition 3.4. N har kardinaliteten ℵ 0 3.4.2 Kardinaliteten hos Z Lemma 3.8. N + har samma kardinalitet som N. Bevis av lemma 3.8. Då N + {0} = N, så är N + uppräknerlig enligt sats 3.4. Lemma 3.9. Z + har samma kardinalitet som N +. Bevis av lemma 3.9. Då N + = Z +, så är Z + uppräknerlig. Lemma 3.10. Z har samma kardinalitet som N +. Bevis av lemma 3.10. Funktionen f (k) = k kommer att avbilda N + på Z. f (k) är en bijektion. Sats 3.11. Z har kardinaliteten ℵ 0 Bevis av sats 3.11. Då Z = Z + {0} Z +, så är Z uppräknerlig enligt sats 3.4 och har då kardinaltalet ℵ 0 (3.4). 15

3.4.3 Kardinaliteten hos Q Sats 3.12. Q har kardinaliteten ℵ 0 Bevis av sats 3.12. Studera följande listning av de rationella talen. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 Varje kolumn kan nu skrivas 1 7. 2 7. 3 7. 4 7. 5 7. Γ + a = 6 7. b Z + { a b } 7 7.... Γ + a är uppräknerlig då f (k) = a k ;k Z+ är en bijektion från Z + till Γ + a. Q + = a Z + Γ + a Q + är då uppräknerlig enligt sats 3.5. På samma sätt kommer nu Γ a = b Z { a b } vara uppräknerlig genom bijektionen f (k) = a k ;k Z. Detta innebär att Q = a Z + Γ a är uppräknerlig. Och då kommer Q vara uppräknerlig enligt sats 3.4 ty Q {0} Q + = Q 3.4.4 Kardinaliteten för de reella algebraiska talen Ett reellt algebraiskt tal är ett reellt nollställe till ett polynom med koefficienter hämtade från de rationella talen. De reella algebraiska talen betecknar vi A. Vi observerar att varje rationellt tal tillhör A, men att det även finns irrationella tal som tillhör A. Ett sådant tal är 2 då det är en lösning till x 2 2 = 0. Cantor visade att A är en uppräknerlig mängd. [11] Sats 3.13. A har samma kardinalitet som N 16

Bevis av sats 3.13. Låt f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 vara ett polynom med koefficienter, a k, hämtade från Z, vi kan alltid skriva ett algebraiskt polynom på detta sätt då vi kan multiplicera varje koefficient med den minsta gemensamma nämnaren. Vidare antar vi att a n 0. Vi definierar nu höjden på polynomet som det positiva talet h = n + a n + a n 1 + + + a 1 + a 0 Höjden är uppenbart ett positivt heltal 1. Ett ändligt antal polynom har samma höjd. Detta då n h och a k h. Därför motsvarar varje höjd till ett ändligt antal algebraiska tal. Detta möjliggör ett sätt att skriva de algebraiska talen som en sekvens. Först skriver vi ner de algebraiska talen som ges av höjden 2. Det finns bara två polynom med höjden 2, nämligen 2,x. Den rot vi får från dessa tal är talet 0. Höjden 3 ger polynomen x 2,2x,x + 1,x 1,3. De nya rötterna jag får från dessa polynom är 1,1. Polynomen med höjd 4 ger nya rötterna 2, 1 2, 1 2,2. Detta innebär att varje höjd motsvarar ett ändligt antal algebraiska tal. Låt H l vara mängden av de algebraiska talen som genereras vid höjden l. Om vi nu låter höjden löpa över N så får vi ett uppräknerligt antal ändliga mängder av algebraiska tal. Om vi tar unionen av dessa mängder så kommer vi få mängden av algebraiska tal. Detta då alla algebraiska polynom har en höjd. Då vi har en union av uppräknerligt många ändliga mängder så kommer även den att vara uppräknerlig. 3.5 Icke uppräknerliga mängder Man kan nu fråga sig är alla mängder är uppräknerliga. Cantor visade genom det som kallas Cantors andra diagonalförfarande [17] [9] att R är en sådan mängd. Jag ska nu försökte beskriva detta förfarande. Sats 3.14. R är en icke uppräknerlig mängd. Bevis av sats 3.14. Antag att talen nedan är en uppräkning av de reella talen i (0,1). 0.71987...(1) 0.23232...(2) 0.23456...(3) 0.55111...(4) 0.32323...(5) Nu bildar vi talet r på så sätt att decimalen på position n sätts till 2 om den n:e decimalen i det n:e talet är en etta, annars sätts den till 1. Talet, i vårt fall r = 0.11121..., skiljer sig med minst en decimal från varje tal i uppräkningen. Alltså ingår det reella talet r inte i denna uppräkning. Då får man göra en ny uppräkning, men på exakt samma sätt kommer man alltid att ha missat minst ett tal i (0,1). Detta visar att (0,1) inte är uppräknerlig. Då (0,1) är en delmängd av R, så inte heller R uppräknerlig. Sats 3.15. R har ett kardinaltal, c, sådant att c ℵ 0 Bevis av sats 3.15. Då det inte existerar en bijektion mellan R och N så har de inte samma kardinaltal (Definition 3.1). Då N R så måste c > ℵ 0... 17

3.6 Kardinaliteten hos några icke uppräknerliga mängder 3.6.1 Kardinaliteten hos R Denna sats och dess bevis är hämtat från [9], [13] och [17], men sammanställt av mig. Sats 3.16. R har kardinaliteten 2 ℵ 0 Bevis av sats 3.16. Om f (x) = arctan(x) D f = R V f = ( π 2, π 2 ) så har g(x) = arctan(x) + π 2 π D g = R V g = (0,1) Det vill säga g(x) är en bijektion från R till (0,1). Alltså har R och (0,1) samma kardinalitet (Definition 3.1). Alla de reella talen i (0,1) kan skrivas på binär form. Vi får en uppräknerlig följd av 1:or och 0:or för varje reellt tal. Så mängden (0,1) kan ses som mängden av alla binära strängar. Ett annat sätt att för en uppräknerlig följd 1:or och 0:or är att studera avbildningarna från N till {0,1}. Varje avbildning ger precis en uppräknerlig följd av 1:or och 0:or. Mängden av alla sådana avbildningar måste då vara samma sak som mängden av alla binära strängar. Men antalet avbildningar från N till {0,1} är väldefinierat. Antalet är ju V f D f = {0,1} N = 2 ℵ 0 Då det existerar en bijektion mellan antalet avbildningar från Z till {0,1} och R så har de samma kardinalitet (definition 3.1). 3.6.2 Kardinaliteten hos R 2 Sats 3.17. R 2 har samma kardinalitet som R. Bevis av sats 3.17. På samma sätt som i förra stycket kommer funktionen f (x,y) = ( arctan(x) + π 2 π, arctan(y) + π 2 π vara en bijektion från R 2 till (0,1) (0,1). Alltså har även R 2 och (0,1) (0,1) samma kardinalitet. Kan vi nu bestämma kardinaliteten hos (0,1) (0,1) så vet vi kardinaliteten för R 2. Cantor visade att (0,1) (0,1) har samma kardinalitet som (0,1). Jag kommer här återge ett bevis för detta [9]. 18 )

1 (x,y) Tag som exempel 1 0 z 1 (x,y) = (0.1357...,0.2468...) då bildar vi talet z genom att som första decimal sätta första decimalen i x och som andra decimal sätta första decimalen i y, som tredje decimal sätter vi sedan andra decimalen i x. På detta växlande sätt fortsätter vi att välja siffror till z. Vi får att z = 0.12345678... På detta sätt får vi nu exakt en punkt z på linjen för varje punkt (x,y) i planet. Processen kan sedan även göras baklänges. Detta ger att vi har en funktion från linjesegmentet (0,1) till enhetskvadraten. Det vill säga de har samma kardinalitet. Men det finns ett problem med Cantors bevis [9]. Om vi på detta sätt som Cantor gjorde så stöter vi på ett problem, vår funktion blir ej en bijektion ty z 1 = 0.510201020102... ger upphov till som är samma sak som (x,y) = (0.50000...,0.12121212...) som enligt vår funktion blir (x,y) = (0.49999...,0.12121212...) z 2 = 0.419291929192... och z 1 z 2. Vi har alltså en motsägelse. Men vi räddar oss från den motsägelsen om vi inte tillåter vår funktion till att bara flytta en nolla. Vi flyttar alla nollor och en annan siffra. Det vill säga z 1 = 0.510201020102... ger upphov till (x,y) = (0.5020202...,0.1010101...) Vi tillåter inte heller ett tal på formen 0.5000..., det vill säga tal som slutar med ett oändligt antal nollor. Istället skriver vi 0.5000... som 0.4999... Nu har vi skapat en bijektion mellan (0, 1) (0, 1) och (0, 1). Detta ger att (0,1) (0,1) har samma kardinalitet som (0,1). Och då att R har samma kardinalitet som R 2. Denna reparation av Cantors bevis gjordes av Julius König(1849-1913) 19

Detta resultat att R har samma kardinalitet som R 2 förvånade samtiden då det strider mot den intuitiva uppfattningen om linjen och planet. Enligt beviset innehåller de ju lika många punkter. Har begreppet dimension då förlorat sin mening? Svaret är nej då bijektionen från planet till linjen är uppenbart diskontinuerlig. 3.6.3 Kardinaliteten hos de trancendenta talen Vi drar oss till minne att ett algebraiskt tal är ett nollställe till ett polynom med koefficienter hämtade från de rationella talen. Vi definierar nu ett trancendent tal som ett tal som inte är algebraiskt. Sats 3.18. T har samma kardinalitet som R Bevis av sats 3.18. Då A är uppräknerlig enligt sats 3.18 och vi vet att R = A T så vet vi också att de trancendenta talen T är en icke uppräknerlig mängd, då A är uppräknerlig och R är icke uppräknerlig. Vidare måste T ha samma kardinalitet som R enligt reglerna för räkning med transfinita tal (Sats 3.7). Detta resultat förvånade även det samtiden då det vid den här tiden ansågs att de reella trancendenta talen vara en mycket liten mängd. 1873 lyckades Hermite bevisa att talet e är trancendent och Lindemann bevisade 1892 att även π är trancendent [11]. När Lindemann hade färdigställt sitt bevis kommenterade Kronecker det med Till vilken nytta är din vackra utredning av π. Varför studera ett sådant problem när irrationella tal inte finns? [14] Det antas att detta resultat kostade Cantor en professur i Berlin då Kronecker inte ville acceptera Cantors resultat [17] [14]. 3.6.4 Kardinaliteten hos R Q Mängden av irrationella tal, R Q är en icke uppräknerlig mängd. Först minns vi att unionen av två uppräknerliga mängder är uppräknerlig (sats 3.4). R = Q (R Q) Vi vet här att Q är uppräknerlig och att R inte är det. Detta ger att R Q inte är uppräknerlig, men vilket kardinaltal har denna mängd? Sats 3.19. R Q har samma kardinalitet som R Bevis av sats 3.19. R kan betraktas som en union av två disjunkta mängder. De reella algebraiska talen och de reella trancendenta talen. Vi kallar som tidigare de reella algebraiska talen för A och de reella trancendenta talen för T. Vi kan nu skriva och Z Q A R T R Q Då vi vet att T är en delmängd av R Q så vet vi att denna mängd har ett kardinaltal 2 ℵ 0. De irrationella tal som inte finns i T utan som finns i A kallar vi A. Då A är 20

uppräknerlig, så är delmängden A också uppräknerlig. Både A och A har då kardinaltalet ℵ 0. Vi observerar att T A = R Q Och med de räkneregler som finns för transfinita tal ser vi nu att 2 ℵ 0 + ℵ 0 = 2 ℵ 0 då 2 ℵ 0 > ℵ 0. Alltså har R Q kardinaltalet 2 ℵ 0. 3.7 Om kontinuumhypotesen Man frågade sig nu om det skulle finnas en mängd som inte är uppräknerlig och inte lika stor som R. Alla försök att finna en sådan mängd har dock misslyckats. Cantor formulerade en förmodan att en sådan mängd inte existerar. Denna förmodan kallas kontinuumhypotesen. 3.7.1 Kontinuumhypotesen Sats 3.20 (Kontinuumhypotesen). Om ℵ 0 är kardinaltalet för de naturliga talen och c = 2 ℵ 0 är kardinaltalet för de reella talen så gäller att ℵ 1 = 2 ℵ 0 Det finns ett antal olika formuleringar på kontinuumhypotesen. - Det existerar ingen mängd av reella tal som varken har en bijektion till N eller R. - Oavsett hur man drar en rät linje i euklidisk rymd så kommer linjen ha samma antal punkter. - Varje oändlig delmängd av kontinuumet har antingen samma mäktighet som N eller R. Sats 3.21 (Den generaliserade kontinuumhypotesen). För varje transfinit kardinaltal, ℵ α, gäller ℵ α+1 = 2 ℵ α Om den generaliserade kontinuumhypotesen är sann kan sats 3.7 formuleras på följande sätt. Sats 3.22. ℵ n + ℵ n+1 = ℵ n+1 n N a ℵ n = ℵ n n,a N ℵ a n = ℵ n n,a N 2 ℵ n = ℵ n+1 n N 21

3.7.2 Kontinuumhypotesens lösning På David Hilberts(1862-1943) berömda lista från år 1900 med 23 problem vars lösning skulle vara till stor nytta för matematiken står kontinuumhypotesen på plats nummer ett. Dessa problem förväntades vara lösta inom en snar framtid. Senare visade Gödel att man inte kan bevisa icke-existensen av en sådan mängd, och Cohen visade att man inte kan avgöra om en sådan mängd existerar. I alla fall inte med de axiom som man har inom mängdläran. Man säger att kontinuumhypotesen är oavgörbar. Man kan då välja att använda kontinuumhypotesen som ett axiom eller att använda dess negation som ett axiom. Detta ger kontinuumhypotesen samma ställning som t ex parallellpostulatet inom euklidisk geometri. Dock är skillnaden att om man ändrar i parallellpostulatet så får man andra geometrier, i fråga om kontinuumhypotesen så får man ingen sådan skillnad. Parallellpostulatet säger att given en rät linje och en punkt som inte ligger på linjen så existerar precis en rät linje som går igenom den givna punkten och inte skär den givna linjen. Från det paradis, som Cantor skapat åt oss, skall ingen kunna driva ut oss. David Hilbert, 1926 22

A Referenser [1] M. Aigner och G. Ziegler : Proofs from the book (3rd ed.), Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York(2004) [2] L. Ahlgren, m. fl. : Bonniers lexikon, Bonnier lexikon AB (1993) [3] G. Boolos : The iterative concept of sets från Philosophy of mathmatics (S.E) eds. H. Putnam och P. Benacerraf, Cambridge University Press (1983) [4] P. Cohen : Set theory and the continuum hypothesis, W.A. Benjamin Inc. (1966) [5] H.-D. Ebbinghaus, J. Flum och W. Thomas : Mathematical Logic (S.E), Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York (1996) [6] T. Franzén : Logik med tillämpningar, Studentlitteratur (2002) [7] K. Gödel : What is Cantor s continuum problem? från Philosophy of mathmatics (S.E) eds. H. Putnam och P. Benacerraf, Cambridge University Press (1983) [8] P. Halmos : Naive set theory, D. Van Nostrand Company Inc. (1967) [9] T. Heiede : Cantor og mængdelæren, Normat 49:4, 145-161 (2001) [10] L. Hellström, m. fl. : Elementär algebra, Studentlitteratur (1998) [11] E. Kamke : Theory of sets, Dover publications Inc. (1950) [12] A.N. Kolmogorov och S.V. Fomin : Introductary real analysis, Dover publications Inc.(1975) [13] N. McGough : The continuum hypothesis, http://www.ii.com/math/ch/ (2004-03-15) [14] J. O Connor och E. Robertson : A history of set theory, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/histtopics /Beginnings_of_set_theory.html (2004-03-23) [15] C. Parsons : What is the iterative conception of set? från Philosophy of mathmatics (S.E) eds. H. Putnam och P. Benacerraf, Cambridge University Press (1983) [16] P.-A. Svensson : Abstrakt algebra, Studentlitteratur (2001) [17] J. Thompson : Matematiklexikon, Whalström & Widstrand (2000) 23

B Om formella språk Detta stycke syftar till att ge en överblick för det man kallar formella språk. Stycket är i stora delar en översättning av utvalda delar från [5]. Anledningen till att denna överblick ges är att ge en bakgrund till avsnitt 2. B.1 Alfabet Definition B.1 (Alfabet). Med ett alfabet, A, avses en uppsättning symboler. Det finns många alfabet, två av dem som vi använder varje dag är A 1 = 0,1,2,,9 och A 2 = a,b,c,,ä,ö. Definition B.2 (Ord). Med ett ord eller en sträng avses en ändlig sekvens av symboler från A. Längden på ett ord är antalet symboler i ordet. Mängden av alla ord betecknas A. Exempel B.1. Två ord i A 2 är hoppa och hppoa, båda med längden 5. Det kan tyckas underligt att jag här använder begreppet mängder när jag kommer använda ett formellt språk till att definiera mängdbegreppet, men jag återkommer till denna skenbara motsägelse. Vi ska nu försöka definiera hur man bildar det som kallas ett första ordningens språk. Alla variabler i språket kommer att referera till element i den struktur vi bildar språket för. Dessa element kallas språkets domän. Ett andra ordningens språk har variabler som refererar till delmängder av språkets domän. Definition B.3 (Alfabetet för ett första ordningens språk). Ett alfabet för ett första ordningens språk innehåller följande symboler. Vi ger även en förklaring av vad vi vill att just dessa symboler ska beteckna. (a) v 0,v 1,v 2, (variabler) (b),,,, (de logiska konnektiven) (c), (de logiska kvantifikatorerna) (d) (likhetssymbol) (e) ),( (paranteser) (f) (1) för varje n 1 en, kanske tom, mängd med n-relationssymboler. (2) för varje n 1 en, kanske tom, mängd med n-funktionssymboler. (3) en, kanske tom, mängd av konstanter. Vi låter nu A beteckna symbolerna från (a) till (e) samt S beteckna symbolerna från ( f ). Symbolerna i S måste givetvis vara skilda från varandra samt symbolerna i A. S bestämmer ett första ordningens språk. Vi kallar A s := A S för språkets alfabet samt S för dess symbolmängd. Symbolmängden kallas även för språkets predikat. I följande avsnitt kommer bokstäverna P,Q,R, beteckna relationssymboler, f,g,h, funktionssymboler, c,c 0,c 1, konstanter och x,y,z, variabler. Nu kanske det behövs ett exempel på vad som menas med en n-funktion respektive en n-relation. Exempel B.2. En 2-funktion är till exempel vårt vanliga +. En 2-relation är exempelvis. 24