Reglerteknik I: F6 Bodediagram, Nyquistkriteriet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 11
Frekvensegenskaper Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler? 2 / 11
Frekvensegenskaper Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler? Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler: r(t) = 1 R(iω)e iωt dω, 2π där e iωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf (frekvens) 2 / 11
Frekvensegenskaper Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler? Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler: r(t) = 1 R(iω)e iωt dω, 2π där e iωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf (frekvens) e iωt är egenfunktion till linjära tidsinvarianta system: e iωt G αe i(ωt+φ) 2 / 11
Frekvensegenskaper Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler? Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler: r(t) = 1 R(iω)e iωt dω, 2π där e iωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf (frekvens) e iωt är egenfunktion till linjära tidsinvarianta system: e iωt G αe i(ωt+φ) Utsignaler y(t) till linjära tidsinvarianta system blir summa av ingående cosinus- och sinussignaler! 2 / 11
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system r + e F u G y G c Y (s) = G c (s)r(s) 3 / 11
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system G c (s) = G c (iω) kallas för frekvenssvar s=iω Exempel: Frekvenssvarets beloppskurva G c (iω) ω 3 / 11
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system Signal som viktad summa av cosinus- och sinussignaler: r(t) = 1 R(iω)e iωt dω. 2π Exempel: Signalens frekvensinnehåll R(iω) 3 / 11 ω Notera att grafen är symmetrisk X(iω) = X( iω)
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system Signal som viktad summa av cosinus- och sinussignaler: y(t) = 1 Y (iω)e iωt dω. 2π Exempel: Utsignalens frekvensinnehåll Y (iω) = G c (iω) R(iω) ω 3 / 11
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system R(iω) Y (iω) = G c (iω) R(iω) ω ω Jmfr. sinus-in sinus-ut 3 / 11
Frekvenssvar Exempel på (slutet) system R(iω) Y (iω) = G c (iω) R(iω) ω ω Kom ihåg målet med reglering: y(t) r(t) Y (iω) R(iω) Y (iω) = G c (iω)r(iω) Frekvenssvarets belopp och fas G c (iω) = G c (iω) e iarg{gc(iω)} Ideal: G c (iω) 1 och arg{g c (iω)} 0 3 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar Bodediagram: beloppskurvan Omskrivning av standard form: b 0 s m + + b m (s + z 1 ) (s + z m ) G(s) = s n + a 1 s n 1 = K 0 + + a n (s + p 1 ) (s + p n ) = K (1 + s z 1 ) (1 + s z ) m s q (1 + s p 1 ) (1 + s p ) n 4 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar Bodediagram: beloppskurvan System på omskriven form: Logaritmen av frekvenssvar : Intuition: G(s) = K (1 + s z 1 ) s q (1 + s p 1 ) log 10 G(iω) = log 10 K q log 10 ω + log 10 1 + iω z 1 + log 10 1 + iω p 1 När ω z k eller ω p k är effekten på log 10 G(iω) försumbar När ω z k eller ω p k ökar/minskar log 10 G(iω) med ω 4 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar Bodediagram: beloppskurvan Rita beloppskurvan log 10 G(iω) = log 10 K q log 10 ω + log 10 1 + iω z 1 + log 10 1 + iω p 1 1. Sortera z k eller p k efter avstånd från origo. 2. Utvärdera log G(iω) vid första z 1 eller p 1 efter origo. 3. Rita kurvan längs ω : För varje nollställe ω z k ändras lutningen med +1. För varje pol ω p k ändras lutningen med 1. Komplexvärda poler ger en resonanstopp vid ω pk om ζ 1. 4 / 11
Bodediagram Exempel 1:a ordningenssystem med enkla poler. Exempel: G 1 (s) = 0.2 s + 0.2, G 2(s) = 1 s + 1, G 3 (s) = 5 s + 5, (F P D(s) = 1 + s) 10 2 90 10 1 60 belopp 10 0 10 1 G 1 fas (grader) 30 0 30 G 1 G 2 G 3 F PD 10 2 G 2 G 3 60 5 / 11 F PD 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 ω (rad/s) 90 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 ω (rad/s)
Bodediagram Exempel 2:a ordningenssystem med komplexkonjugerade poler: G(s) = ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω 2 0 Poler ω 0 ζ ± iω 0 1 ζ 2 där p 1 = p 2 = ω 0. Beloppet 10 1 10 0 10 1 ζ = 0.05 ζ = 1 ζ = 0.5 ζ = 0.1 ζ = 0.3 Fasen ( o ) 0 30 60 90 120 ζ = 0.5 ζ = 1 ζ = 0.05 ζ = 0.1 ζ = 0.3 5 / 11 10 2 10 1 10 0 ω/ω 0 10 1 150 ζ 1 ger resonanstopp G(iω 0 ) = 1 2ζ 180 10 1 10 0 ω/ω 0 10 1
Bodediagram Exempel G(s) = 100(s + 1) s(s 2 + 6s + 100) Nollställen: 1 Poler: 0 och 3 ± i 91 där ω 0 = 10 och relativa dämpningen ζ = 0.3. [Tavla: skissa beloppskurva] 5 / 11
Bodediagram Exempel Nollställen: 1 Poler: G(s) = 100(s + 1) s(s 2 + 6s + 100) 0 och 3 ± i 91 där ω 0 = 10 och relativa dämpningen ζ = 0.3. 10 1 0 lutning 0 Resonanstopp 30 G(iω) 10 0 lutning 1 10 1 lutning 2 arg G(iω) ( o ) 60 90 120 150 5 / 11 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 ω (rad/s) 180 10 1 10 0 10 1 10 2 ω (rad/s)
Poler/nollställen och frekvenssvar Bodediagram: faskurvan System på omskriven form: G(s) = K (1 + s z 1 ) s q (1 + s p 1 ) Argumentet av frekvenssvar (i radianer): arg{g(iω)} = q π + arctan ω z 1 + arctan ω p 1 6 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar Bodediagram: faskurvan System på omskriven form: G(s) = K (1 + s z 1 ) s q (1 + s p 1 ) Argumentet av frekvenssvar (i radianer): arg{g(iω)} = q π + arctan ω z 1 + arctan ω p 1 Rita faskurvan Om G(s) inte har några poler/nollställen i HHP gäller: ω 0: arg G(iω) 0 om ing 1 s och G(0) > 0 ω : varje nollställe bidrar med + π 2 i fas, och varje pol bidrar med π 2 i fas Varje pol i origo bidrar med π 2 i fas ω 6 / 11 Nollställen i HHP ger negativt fasbidrag.
G c (s) stabilitet via G o (iω) Frekvenssvar och Nyquistkurvan Återkopplat system: r + e F u G y Slutna systemets överföringsfunktion: G c (s) = Kretsförstärkningen: G 0 (s) = F (s)g(s) G 0(s) 1+G 0 (s) 7 / 11
G c (s) stabilitet via G o (iω) Frekvenssvar och Nyquistkurvan Återkopplat system: r + e F u G y Slutna systemets överföringsfunktion: G c (s) = G 0(s) 1+G 0 (s) Kretsförstärkningen: G 0 (s) = F (s)g(s) G c (s) stabilt 1 + G 0 (s) har inga nollställen i HHP. Definition: Komplexvärt frekvenssvar, G 0 (iω) där 0 ω <, kallas för Nyquistkurvan. 7 / 11
Nyquistkurvan Exempel DC-motor G(s) = 1 s(s+1) styrs med förstärkaren F (s) = K s+2. 8 / 11
Nyquistkurvan Exempel DC-motor G(s) = 1 s(s+1) styrs med förstärkaren F (s) = K s+2. Nyquistkurva för G 0 (iω) = G(iω)F (iω): 0 Im Re 1 K=9 2 K=6 K=3 3 4 3 2 1 0 1 8 / 11 Slutna systemet stabilt för K = 3, instabilt för K = 9, och på stabilitetsgränsen för K = 6.
Nyquistkriteriet 0 Im Re 1 K=9 2 K=6 K=3 3 4 3 2 1 0 1 (Resultat 3.3) Förenklade Nyquistkriteriet: Om G 0 (s) inte har poler i HHP: G c (s) stabilt Nyquistkurvan G 0 (iω) omsluter ej 1 9 / 11
Nyquistkriteriet Mer generellt: Låt s bilda halvcirkel γ, med radie R. Då avbildas av G o (s) på γ. 10 / 11
Nyquistkriteriet Mer generellt: Låt s bilda halvcirkel γ, med radie R. Då avbildas av G o (s) på γ. 10 / 11 (Resultat 3.3) Nyquistkriteriet via argumentvariationsprincipen: #poler{g c (s)} i HHP = #poler{g 0 (s)} i HHP + Antal gånger γ omcirklar 1 positivt
Återblick Poler/nollställer och frekvenssvar Bodediagram Stabilitet hos G c (s) via Nyquistkriteriet för G 0 (s) 11 / 11