EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI

EN KONCIS INTRODUKTION TILL RINGTEORI DANIEL LARSSON Sammanfattning. En kort introduktion till ringteori. Innehåll 1. Inledning 1 2. Definition 1 2.1. Heltalsdomäner 3 3. Exempel, kommutativa ringar 4 4. Exempel, icke-kommutativa ringar 5 5. Homomorfier 6 6. Kroppar, vektorrum och algebror 6 7. Polynomringar 7 7.1. Divisionsalgoritmen 9 7.2. Nollställen och faktorisering 9 7.3. Principalideal och PIDs 10 7.4. Ekvivalensrelationer och ideal 10 8. Ändliga kroppar 11 8.1. Konstruktion av ändliga kroppar 12 Bruksanvisning. Vissa delar av dessa föreläsningsanteckningar är något svårare än vad som strängt taget krävs för att klara kursen 1. Dessa delar står mellan två stycken. Övningar som är svårare ackompanjeras med. 1. Inledning I förra delen så införde vi en abstrakt struktur som delas av många matematiska objekt som ni har sett under er matematiska karriär, nämligen, gruppstrukturen. I denna del ska vi införa ytterligare en struktur som kallas ringstruktur. Som ni kanske märkte vad det gäller grupper så hade en hel del exempel (såsom Z eller R) två slutna binära operationer: addition och multiplikation. Detta är kärnan i definitionen på en ring. 1 Anledningen till att dessa delar och övningar finns med är att de av er (om någon) som önskar fördjupa sig i t ex, kodningsteori eller kryptologi kommer att tvingas bita i det sura äpplet ändå så småningom och t o m vara tvungna att lära er mer (fan också)! Jag erbjuder här en snabb introduktion till vissa av dessa begrepp till er oändliga glädje. :) 1

2 D. LARSSON 2. Definition Vi startar hårt med följande definition. Definition 1. Låt R vara en binär mängd med två slutna binära operationer, (addition) och (multiplikation). Då säges R = (R,, ) vara en ring om addition och multiplikation är kompatibla enligt följande axiom: Rng1: R med ska vara en abelsk grupp, d v s, a b = b a för alla a, b R. Rng2: Det finns ett element 1 som uppfyller 1 a = a 1 = a för alla a R, m a o, en multiplikativ enhet, också kallad etta. Rng3: Multiplikationen är associativ: Rng4: De distributiva lagarna gäller: a (b c) = (a b) c, a, b, c R. a (b c) = a b a c och (b c) a = b a c a, a, b, c R. Anmärkning 1. Strängt taget så kallas en ring som uppfyller ovanstående axiom för en associativ ring med etta. Ska man vara riktigt generell så tar man bara med axiom Rng1 och Rng4 och det finns många exempel på strukturer som bara uppfyller dessa två axiom. Men för oss räcker det med att definiera ringar på ovanstående sätt. Notera! Från och med nu så skriver vi addition och multiplikation som vanligt + och eller bara ab istället för a b. Ovanstående axiom abstraktifierar några av de vanliga räknereglerna som vi är vana vid precis som gruppaxiomen gjorde när vi endast hade ett räknesätt. Vi har nu följande lista med egenskaper som kan gälla för ringar förutom axiomen: Ringar kan vara kommutativa, d v s, ab = ba för alla a, b R. Notera att man inte säger abelsk i ringfallet. Med exakt samma bevis som för grupper visar man att det multiplikativa enhetselementet är unikt. Det kan finnas så kallade nolldelare, d v s, element a 0, b 0, så att ab = 0. Ringen kan vara kommutativ: ab = ba för alla a, b R. Notera att man inte säger att ringen är abelsk. En invers till a R är ett element a 1 så att aa 1 = a 1 a = 1. Till skillnad från grupper så behöver inte alla element i en ring ha inverser. Men notera att additiva inverser existerar eftersom R också är en abelsk grupp! En ring där alla icke-noll element har en invers kallas för en divisionsring eller skevring (eng. skew ring ). Om ringen är kommutativ kallas den för en kropp. Notera att det heter field på engelska (som är en felaktig översättning från franska/tyska). En subring 2 S till en ring R är en (abelsk) undergrupp S i R så att 1 S och om a, b S så ab, ba S. Alltså är S en ring i egen person. Notera att om a S har en invers i R så behöver inte a 1 S! 2 Jag borde säga underring, men av någon anledning känns det fel, trots att jag oftast, t ex, säger undergrupp. Ni får använda det som känns bäst för er! :)

3 En rings karakteristik, char(r), är det minsta heltal n så att na = a } + a {{ + a } = 0 för alla a R. n ggr Om inget sådant n existerar sätter man char(r) = 0. Till exempel har vi att char(z n ) = n samt char(z) = 0. Det är inte svårt att se att char(r) = p > 0 är ekvivalent med att p är ett primtal. Definition 2. Ett vänsterideal i R är en (abelsk) undergrupp i i R så att för alla r R och alla a i, ra i. Högerideal definieras analogt: ar i för alla r R och a i. För kommutativa ringar är höger- och vänsterideal samma, men för icke-kommutativa ringar är det inte nödvändigtvis så. Men för vårt vidkommande kommer alla exempel att vara sådana så jag kommer bara att säga ideal. Här följer nu enkel, generell, sats. Sats 2.1. För alla ringar R och alla a, b, c R (ingen av dem 0) gäller (i) 0a = a0 = 0, (ii) ( a)b = a( b) = (ab), och (iii) om en multiplikativ invers till a existerar är denna unik. Bevis. Som sagt dessa är enkla: (i) 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a = 2 0a 0a = 0 och likadant gäller a0 = 0. (ii) Det man bör observera är att för att visa (ii) behöver man visa att alla dessa är additiva inverser till ab. Då följer det att de är lika på grund av att additiva inverser är unika (eftersom det är en gruppstruktur). Till exempel, ab + ( a)b = (a + ( a))b = (a a)b = 0b = [från (i)] = 0. De andra är precis likadana och lämnas till er. (iii) Antag att det finns b, c R så att ab = ac = 1. Då har vi ab ac = 0 a(b c) = 0 så multiplicera med en av inverserna från vänster: ba(b c) = 0 1(b c) = 0 b = c. 2.1. Heltalsdomäner. Definition 3. En ring R sådan att varje 0 a R inte är en nolldelare kallas för en heltalsdomän eller ett heltalsområde (även integritetsområde förekommer 3 ). Anledningen till det lustiga namnet är att man tänkte sig, i ringteorins begynnelse, att ringar helt enkelt var generaliseringar av heltal och en ring som inte hade nolldelare betraktades som heltalslika. Sats 2.2. Att R är en heltalsdomän är ekvivalent med att, om a 0 så ab = ac = b = c, och ba = ca = b = c. Bevis. Antag först att R är en heltalsdomän. Att ab = ac är ekvivalent med 0 = ab ac = a(b c) och då R inte har några nolldelare och a 0 så har vi att b c = 0. På samma sätt visar man högervarianten. Omvänt, om ab = ac b = c, antag att xy = 0 med x 0. Detta är ekvivalent med xy = x0 x(y 0) = 0 alltså är y = 0. 3 Eller, ja, det är faktiskt så att detta är den officiella svenska översättningen av det engelska integral domain. Men jag tycker detta låter så fånigt så jag använder helst inte den termen. Å andra sidan, när jag nu smakar på orden låter nog heltalsdomän och heltalsområde ganska fåniga också, men vad göra?

4 D. LARSSON Sats 2.3. Varje divisionsring är en heltalsdomän. Bevis. Låt ab = 0 och a 0. Multiplicera ab = 0 med a 1 från vänster och få b = 0. Sats 2.4. Varje ändlig heltalsdomän är en divisionsring. Bevis. Låt R := {0,1, a 2,, a n }. Välj ett element 0 b R. Vi vill hitta ett c R så att bc = cb = 1. Multiplicera alla element i R med b från vänster. Vi får då: {0, b, ba 2, ba 3, ba n }. Alla element i R förekommer i denna mängd precis en gång, ty, ba i = ba k a i = a k eftersom R är en heltalsdomän. Det betyder att 1 måste förekomma i denna mängd: alltså ba j = 1 för något (specifikt) a j. Samma argument håller från höger. Sats 2.5. Nolldelarna i Z n är precis de element m 0 som inte är koprima med n, alltså, gcd(m, n) = d > 1. Bevis. Först, om gcd(m, n) = d > 1, m 0, så m(n/d) = (m/d)n = 0 i Z n eftersom högerledet är en multipel av n. Detta betyder att m är en nolldelare i Z n eftersom varken m eller n/d är 0. Å andra sidan, om gcd(m, n) = 1, m 0, och mk = 0 = tn. Alltså måste n dela mk. Men eftersom m och n är relativt prima så n k vilket är ekvivalent med att k = 0 i Z n. Notera att vi hoppar mellan Z och Z n utan att vara speciellt försiktig. Detta rekommenderas i allmänhet inte! Följdsats 2.6. Ringen Z p, p ett primtal, har inga nolldelare. Följdsats 2.7. Ringen Z n är en kropp om och endast om n är ett primtal. Bevis. Om n inte är ett primtal finns nolldelare. Å andra sidan, om n = p så följer av Sats 2.4 och föregående följdsats, tillsammans med det faktum att Z n är kommutativ (för alla n), att Z p är en kropp. Övning 2.1. Visa att om 1 i så är i = R. Bestäm idealen i en kropp. Finn alla ideal och subringar i Z 5 och Z 6. När man betraktar Z p som en kropp brukar man skriva F p. 3. Exempel, kommutativa ringar Exempel 3.1. Följande är exempel på kommutativa ringar som ni känner väl vid det här laget: Z, Q, R, C and Z n. Exempel 3.2. Men Z, Q, R, C and Z n är inte ringar på ett naturligt sätt (varför?). Exempel 3.3. Låt C 0 (R) (eller C 0 (C)) vara mängden av alla reellvärda kontinuerliga funktioner på R (eller C), d v s, C 0 (R) := {f : R R f kontinuerlig} (och analogt C 0 (C)). Då är C 0 (R) en kommutativ ring: (f + g)(r) := f(r) + g(r), och (fg)(r) := f(r)g(r), r R. Detta exempel kan naturligtvis generaliseras vidare till vektorvärda funktioner eller till funktioner mellen mer generella mängder (men då behöver de inte vara kommutativa).

5 Exempel 3.4. Här kommer ett exempel på en ring som inte har etta. Låt L(R) vara mängden av (Riemann) integrerbara reellvärda funktioner (på R). Addition är som i förra exemplet men vi inför en ny produkt (som kallas konvolutionsprodukten) (f g)(r) := f(r t)g(t)dt. R Det är inte helt uppenbart men detta definierar en kommutativ ring utan multiplikativ enhet (etta). För besserwissern på dåligt humör bör det kanske påpekas att jag har förenklat detta exempel lite. Så det är inte helt korrekt som givet, men tillräckligt korrekt för att ge er en känsla av hur generellt och användbart ringbegreppet kan vara. Exempel 3.5. Ett av de absolut viktigaste exemplen på kommutativa ringar är polynomringar. Jag kommer att säga mer om detta i en senare sektion. Men låt mig bara kort säga att, som namnet antyder, en polynomring är en mängd polynom sluten under addition och multiplikation. Exempel-Övning 3.6. Som ett sista exempel här låt Q( 2) := {a + b 2 a, b Q}. Detta är en kommutativ ring (visa detta!). Det är t o m en kropp (visa detta också! Ledtråd: definiera inverser på samma sätt som för komplexa tal). Denna och liknande ringar är mycket viktiga i talteori och vi kommer att diskutera detta snart. Varför är det inte så intressant att betrakta R( 2) := {a + b 2 a, b R}? 4. Exempel, icke-kommutativa ringar Kanske, från överrasknings-synpunkt, är det mer intressant med icke-kommutativa ringar. Här följer en svit exempel som jag finner speciellt fascinerande! Exempel 4.1 (Kvaternioner). Så vitt jag vet var kvaternionerna det första ickekommutativa talsystemet. Dra er till minnes att de komplexa talen C bildades genom att från R lägga till ett imaginärt tal i := 1. Som ni säkert kommer ihåg så C := {a + bi a, b R}. Detta är en kropp: zw = wz och varje element z har en invers 4. En fråga som ställdes på 1800-talet var om man skulle kunna lägga till ytterligare ett element j så att man får en ny kropp. Detta visar sig vara omöjligt! Däremot insåg W.R. Hamilton 1843 att om man lägger till ytterligare ett element k så får alla element inverser. Men man förlorar kommutativitet! Definitionen är som följer. Definition 4. Mängden av alla tal H := {z = a + bi + cj + dk a, b, c, d R, i 2 = j 2 = 1 1, ij = ji = k} är en icke-kommutativ ring, där alla element 0 har invers, d v s, H är en divisionsring. 4 En sak som man däremot förlorar när man lägger till i till R är ordning: det är meningslöst att undra vilket som är störst av två komplexa tal.

6 D. LARSSON Den naturliga följdfrågan är nu: kan man lägga till ännu fler element och få nya talsystem? Svaret är ja, vilket visades bara några månader efter Hamiltons upptäckt av J.T Graves och senare av A. Cayley. Men det räcker inte med att lägga till ett element, man måste lägga till fyra nya! Resultatet man får kallas oktonioner, O. Problemet är bara att dessa är icke-associativa! Så ännu en gång förlorar man önskvärda egenskaper. Efter oktonionerna kommer de sexton-dimensionella sedonionerna, S (som inte är en divisionsring eftersom den har nolldelare) och man kan sedan fortsätta i all oändlighet med dubblad dimension och förlust av egenskaper. Man kallar den svit av ringar för Cayley Dickson algebror (CDA s) R C H O S } {{ } CDA och är inget jag kan något som helst om! För de som finner detta fascinerande rekommenderar jag Wikipedias artikel om Cayley Dickson konstruktionen. Exempel 4.2 (Komposition av funktioner). Om vi ändrar multiplikationen i C 0 (R) till komposition, d v s, (f g)(x) := (f g)(x) = f(g(x)) då är C 0 (R) fortfarande en ring men inte längre kommutativ. Exempel-Övning 4.3 (Triangulära matrisringar). Låt R, S och T vara kommutativa ringar med etta. Bilda mängden ( ) {( ) } R T r s M(R, S, T) := = r R, s S, t T. 0 S 0 t Visa att detta är en ring. Är den kommutativ? Finns etta? Skriv upp multiplikationsoch additionstabeller i fallet när R = Z 2, S = Z 3 och T = Z 3. Vilka inverser finns? Vad mer, om något, kan utläsas ur tabellerna? 5. Homomorfier Kom ihåg att en grupphomomorfi var en avbildningen φ : G H mellan grupper som dessutom relaterade gruppstrukturna till varandra: φ(ab) = φ(a)φ(b). Motsvarande koncept finns för ringar, nämligen ringhomomorfi. Den formella definitionen är: Definition 5. Låt R och S vara ringar och φ : R S en mängdteoretisk avbildning. Då är φ en ringhomomorfi eller bara homomorfi 5 om φ(1 R ) = 1 S φ(a + b) = φ(a) + φ(b) φ(ab) = φ(a)φ(b) (grupphomomorfi/linjaritet) (multiplikationsbevarande). Med andra ord är en ringhomomorfi en grupphomomorfi som kopplar ihop multiplikationerna på R och S. Följande definitioner och satser mostsvarande från gruppteorin. 5 Oftast brukar man inte blanda ihop homomorfier mellan grupper och homomorfier mellan ringar trots att de heter samma. Finns det risk för förvirring så kommer jag att tydligt påpeka vad jag menar.

7 Definition 6. Låt R φ S och för s S låt φ 1 (s) := {r R φ(r) = s}. Detta kallas den inversa bilden av s eller fibern över s. Sätt ker(φ) := φ 1 (0) = {r R φ(r) = 0}. Denna mängd kallas kärnan till φ. Låt dessutom vilket är bilden till φ. im(φ) := {s S r R, φ(r) = s}, Eftersom φ är en grupphomomorfi så gäller φ(0) = 0 (observera att vi betecknar det additiva enhetselementet i båda ringarna med samma symbol!). Sats 5.1. Följande gäller för en ringhomomorfi R φ S ker(φ) är ett ideal i R. im(φ) är en subring i S men inte nödvändigtvis ett ideal. Bevis. Beviset är tämligen lätt: Att im(φ) är en subring följer direkt från definitionen. Tänk igenom detta så att ni förstår hur. Låt b ker(φ) R, a S. Ta r R. Vi vill visa att rb ker(φ) för att visa att ker(φ) är ett (vänster-) ideal. Men det är klart, ty, φ(rb) = φ(r)φ(b) = φ(r) 0 = 0, så rb ker(φ). (På samma sätt visar man att ker(φ) är ett högerideal.) 6. Kroppar, vektorrum och algebror Låt oss repetera vad en kropp är: Definition 7. En kropp F är en kommutativ ring där varje element 0 har en invers. Definition 8. Ett vektorrum över F är en abelsk grupp V sådan att för varje v V och a F, av V. Elementen i ett vektorrum kallas av naturliga skäl för vektorer. Detta är en ganska abstrakt definition men tänk efter vad den betyder i fallet med R n. Man kan visa att varje vektorrum V har en bas, d v s, en mängd linjärt oberoende över F element i V som genererar V som grupp. Att {e 1,...,e n } är linjärt oberoende över F betyder, som vanligt, att om α 1 e 1 + α 2 e 2 + α n e n = 0, för α i F, 1 i n, så är alla α i = 0. Dimensionen över F, dim F V, är kardinaliteten på en bas (man kan visa att detta är väldefinierat: varje bas har lika många element). Definition 9. Låt F vara en kropp. En kropp E som innehåller F, F E kallas för en kroppsutvidgning av F. Man brukar skriva detta som E : F. Eftersom F E så kan varje element i E multipliceras med element från F. Med andra ord, E är ett vektorrum över F. Om dim F (E) < kallas utvidgningen för ändlig. Dimensionen av utvidgningen brukar skrivas som [E : F]. Exempel 6.1. De komplexa talen C : R är ändlig eftersom [C : R] = 2. Däremot är R : Q en utvidgning med [R : Q] =. Vi har också, från ett tidigare exempel, att Q( 2) : Q är en två-dimensionell kroppssutvidgning.

8 D. LARSSON Låt mig återigen poängtera att skrivsättet E : F bara betyder att E är ett vektorrum över F (alltså, varje e E kan skrivas som α 1 e 1 + +α n e n för α i F och n 1) samt att E är en kropp (d v s, element e E kan multipliceras (kommutativt) och inverteras). Detta är ett exempel på något mer generellt: Definition 10. En algebra över F är ett vektorrum över F med en multiplikation (alltså en ringstruktur). Exempel 6.2. Man inser lätt (hatar ni när man säger så?) att Q( 2) : Q är en algebra över Q. På samma sätt ser man att C : R är en algebra över R och R : Q en algebra över Q. Exempel 6.3. Kvaternionerna H är ett exempel på en algebra över R som inte är en kroppsutvidgning. Notera att dim R H = 4. Exempel 6.4. Betydligt mer esoteriskt, men förhoppningsvis välbekant, är följande tre-dimensionella exempel. Det finns på R 3 en produkt av vektorer som heter kryssprodukt (eller vektorprodukt) som ni säkert kommer ihåg. Den är sådan att om u, v R 3 så är u v u, v och u v = 0 om och endast om antingen u v (då de, som vektorer, är lika), eller u = 0 eller v = 0. u v v u. Däremot så är inte associativ: u (v w) (u v) w och det finns inte heller något multiplikativt enhetselement (etta). Så (R 3, ) är en icke-associativ algebra (utan etta) över R. Detta är ett exempel på en så kallad Lie algebra. 7. Polynomringar Låt oss först påminna om och generalisera en sats som bör vara välbekant för er. Sats 7.1 (Binomialsatsen). Låt R vara en kommutativ (med 1) ring. Då är n ( ) n (a + b) n = a k b n k, k där, som vanligt, ( ) n k = n! k!(n k)!. Bevis. Bevisa denna själva! k=0 Det är lite klurigt att definiera polynomringar rigoröst så låt mig istället försöka mig på en pseudo-rigorös (men intuitiv) variant. Låt R vara en ring. Definiera { } R[z] := r i z i r i R, ändlig summa. i Elementet z kallas för den obekanta och R för koefficientringen. Ett element i R[z] är alltså på formen p(z) = p 0 + p 1 z + p 2 z 2 + p n z n, p i R. Addition är

9 komponentvis: p(z) + q(z) = (p 0 + p 1 z + + p n z n ) + (q 0 + q 1 z + + q m z m ) = Multiplikation är inducerad av den distributiva lagen: p(z)q(z) = (p 0 + p 1 z + + p n z n )(q 0 + q 1 z + + q m z m ) = = n+m k=0 ( i+j=k = (p 0 + q 0 ) + (p 1 + q 1 )z +. p i q j )z k = n+m k=0 j=0 k p k j q j z k. Övertyga er om detta! Vi förutsätter alltid att rz = zr för alla r R, d v s, element ur R kommuterar med den obekanta z. Detta betyder att R[z] är en ring, en så kallad polynomring (kan ni förstå!). Om R = S[u], d v s, om R är en polynomring över en annan ring S så är R[z] = S[u][z] := S[u, z] (vi förutsätter att uz = zu, m a o, att obekanta kommuterar med obekanta) mängden av alla ändliga summor S[u][v] := S[u, z] = { i,j s i,j u i z j s i,j S, ändlig summa}. Uppenbarligen kan detta generaliseras till godtyckligt många obekanta. Från och med nu så är alla polynomringar för enkelhets skull över en kropp, F. Låt P(z) = p 0 + p 1 z + + p n z n F[z]. Definiera deg(p(z)) := n. Detta kallas graden till P och uppfyller deg(pq) = deg(p) + deg(q). Man brukar göra konventionen att deg(0) =. Notera att för 0 P F[z] så är deg(p) 0. Elementet p n F kallas för ledande koefficienten om p k = 0 för k > n och betecknas LC(P). Om LC(P) = 1 så kallas P för moniskt. Genom att multiplicera ett polynom med LC(P) 1 (vi har koefficienter i en kropp så vi kan ta inverser) kan varje polynom fås på monisk form. Detta är inte alltid sant för generella polynomringar. Sats 7.2. Ringen F[z] är en heltalsdomän. Bevis. Antag P(z)Q(z) = 0. Då har vi = deg(0) = deg(pq) = deg(p) + deg(q). För att denna likhet ska gälla måste antingen P eller Q (eller båda) vara nollpolynomet (eftersom om P 0 så är deg(p) 0). 7.1. Divisionsalgoritmen. Det finns en divisionsalgoritm för polynom i F[z]. Detta är något som ni säkert har använt er av i gymnasiet utan att veta om det när ni dividerat polynom med varandra. Sats 7.3 (Divisionsalgoritmen för polynom). Låt F(z), G(z) F[z], d v s, n m F(z) = f i z i, G(z) = g i z i. i=0 i=0

10 D. LARSSON Antag att m n. Då finns unika q(z) och r(z), med 0 deg(r(z)) < m så att F(z) = q(z)g(z) + r(z). Bevis. Beviset är tämligen enkelt (men ganska långt) och står i boken. Till F[z] finns associerad en kanonisk familj av homomorfier. Definition 11. Definiera ev a : F[z] F, för a F genom ev a (P(z)) := P(a) F. Denna ringhomomorfi (kontrollera detta!) kallas för evalueringshomomorfin i a. Så för varje element i F finns en unik homomorfi F[z] F. Det var detta jag menade med familj ovan. Man bör notera att det finns en Euklides algoritm för att räkna ut största gemensamma delare i F[z] på samma sätt som i Z. Se boken för mer information och exempel. 7.2. Nollställen och faktorisering. Definition 12. Ett nollställe till ett polynom P(z) F[z] är ett element a F så att ev a (P(z)) = P(a) = 0. Sats 7.4 (Nollställessatsen). Låt P(z) F[z], deg(p(z)) > 0. Då är a F ett nollställe till P(z) om och endast om P(z) = (z a)q(z) för Q(z) F[z], deg(q(z)) < deg(p(z)). Bevis. Om P(z) = (z a)q(z) så är det uppenbart att P(a) = 0, så antag att a F är ett nollställe. Eftersom deg(p(z)) > 0 så kan vi skriva det som P(z) = (z a)q(z) + r(z), 0 deg(r(z)) < 1 enligt divisionsalgoritmen. Alltså måste r(z) vara en konstant. Då P(a) = 0 + r(a) = 0 ser vi att r(z) = 0 som polynom! Följdsats 7.5. Låt P(z) F[z] och antag deg(p(z)) = n > 0. Då har P högst n stycken nollställen. Bevis. Det är tämligen klart hur detta ska bevisas. Om P inte har något nollställe så är satsen bevisad. Antag nu att P har a F som ett nollställe. Då är P(z) = (z a)q(z), med deg(q(z)) < deg(p(z)) enligt föregående sats. Ett lämpligt induktionssteg slutför beviset. Definition 13. Ett polynom P(z) F[z] som kan skrivas som P(z) = R(z)S(z), där R(z), S(z) F[z] och deg(r(z)) > 0, deg(s(z)) > 0, kallas för reducibelt. Om P inte kan reduceras kallas det irreducibelt. Det är värt att notera att irreducibiliteten beror på vilken kropp man jobbar över. Till exempel, om vi betraktar P(z) := z 2 2 som element i Q[z] så är det irreducibelt eftersom 2 / Q, men över R är det reducibelt. På samma sätt infördes de komplexa talen då man ville få z 2 + 1 reducibelt. Här följer nu två trevliga och användbara kriterier för faktorisering av polynom. Sats 7.6. Låt P(z) = p 0 + p 1 z + + p n z n Z[z]. Antag att q = a/b Q (vi kan anta att gcd(a, b) = 1) är ett nollställe till P. Då a p 0 och b p n. Om P är moniskt följer speciellt att q Z.

11 Bevis. Antag att q = a/b. Eftersom q är ett nollställe får vi 0 = P(q) = P(a/b) = p 0 + p 1 (a/b) + p 2 (a/b) 2 + + p n (a/b) n. Multiplicera hela uttrycket med b n : p 0 b n + p 1 ab n 1 + p 2 a 2 b n 2 + + p n a n = 0. Eftersom b uppenbart delar alla termer utom den sista måste b dela den sista också. Men då gcd(a, b) = 1 så måste b p n. På samma sätt ser vi att a delar alla termer utom den första och då måste a p 0. Det sista påståendet följer nu lätt. Sats 7.7 (Eisensteins kriterium). Låt F(z) = f 0 + f 1 z + + f n z n Z[z] och låt p Z vara ett primtal. Antag att p f n men att p f i, i < n och p 2 f 0. Då är F irreducibelt över Q. 7.3. Principalideal och PIDs. Till en början, låt R vara en generell kommutativ (för enkelhets skull) ring. Ni kommer säkert ihåg att i en grupp G kan man bilda den cykliska undergruppen a genererad av a G. Motsvarande kan man göra i ringar. Definition 14. Låt a R. Mängden a := {Ra R R R} är ett ideal (visa detta!) kallat principalidealet genererat av a. En ring där alla ideal är principalideal kallas för en principalidealdomän eller PID. Observera att a är idealet av alla multiplar av a med element från R. Sats 7.8. Heltalsringen Z och polynomringen F[z] är båda principalidealdomäner. Bevis. Jag visar detta i fallet med Z. Låt i Z vara ett ideal. Det finns ett minsta positivt heltal n i. Välj ett godtyckligt m i. Då är m = qn + r där 0 r < n. Då m och n ligger i i så måste r i vilket betyder att r = 0 eftersom n var det minsta positiva heltalet i i. Denna sats med tillhörande bevis fungerar, nästan ord för ord, för en generell grupp kommutativa ringar som kallas Euklidiska domäner. Dessa är heltalsdomäner sådana att det finns en divisionsalgoritm. 7.4. Ekvivalensrelationer och ideal. Låt mig poängtera: alla ideal i F[z] (och Z) är alltså givna som a(z) := {f(z)a(z) f(z) F[z]}, alltså, multipler av generatorn a(z) F[z]. Övertyga er själva att detta verkligen är ett ideal. Vi inför nu en ekvivalensrelation på F[z] associerad till ett ideal a(z) som följer: P(z) a(z) Q(z) P(z) Q(z) a(z). Notera att detta i sin tur är ekvivalent med att P(z) Q(z) = F(z)a(z), för något F(z) F[z]. Exempel-Övning 7.1. Visa att detta är en ekvivalensrelation. Mängden av ekvivalensklasser modulo a(z) brukar betecknas F[z]/ a(z). Dessutom brukar av tradition ekvivalensklassen till P(z) betecknas P(z) + a(z). Notera att vi kan få en representant till P(z) s ekvivalensklass modulo a(z) som resten av P(z) med division med a(z). Jämför allt detta med Z n!

12 D. LARSSON Sats 7.9. Mängden F[z]/ a(z) med multiplikation och addition definierade av ( P(z) + a(z) ) ( Q(z) + a(z) ) := (P(z) + Q(z)) + a(z), ( P(z) + a(z) ) ( Q(z) + a(z) ) := P(z)Q(z) + a(z). är en kommutativ ring. Utskrivet med beteckningar som vanligtvis används för ekvivalensklasser så definierar [P(z)] [Q(z)] := [P(z) + Q(z)] och en ringstruktur på F[z]/ a(z). [P(z)] [Q(z)] := [P(z)Q(z)] Bevis. Låt oss använda de sistnämnda beteckningarna för enkelhets skull. (i) Om [P(z)] = [P 1 (z)] så P(z) P 1 (z) a(z) och likadant [Q(z)] = [Q 1 (z)] så Q(z) Q 1 (z) a(z). Så för att [P(z)] [Q(z)] := [P(z)+Q(z)] ska vara väldefinierat så ska [P 1 (z)+q 1 (z)] = [P(z)+ Q(z)]. Men det är uppenbart så, ty P(z) + Q(z) P 1 (z) Q 1 (z) = (P(z) P 1 (z)) + (Q(z) Q 1 (z)) a a vilket är ekvivalent med att [P 1 (z) + Q 1 (z)] = [P(z) + Q(z)]. (ii) För att visa att [P 1 (z)q 1 (z)] = [P(z)Q(z)] krävs ett litet trick: P(z)Q(z) P 1 (z)q 1 (z) = = P(z)Q(z) P 1 (z)q(z) + P 1 (z)q(z) P 1 (z)q 1 (z) = = (P(z) P 1 (z))q(z) + P 1 (z)(q(z) Q 1 (z)) vilket ligger i a(z) eftersom a(z) är ett ideal. 8. Ändliga kroppar Låt R vara en ring (med 1). Definiera en homomorfi ξ : Z R som ξ(z) := z 1. Att ξ är en homomorfi är uppenbart. Det finns nu två möjligheter för ker(ξ): { 0 ker(ξ) = p, för p Z. Om ker(ξ) = 0 så säger man att R har karakteristik 0 och i det andra fallet p. Låt oss anta att R är en heltalsdomän. Vi vet att p måste vara det minsta heltal så att ker(ξ) = p (såvida inte ker(ξ) = 0). Om p inte är ett primtal kan man faktorisera det p = mn. Då ser man att 0 = ξ(p) = ξ(mn) = ξ(m)ξ(n) och eftersom R var en heltalsdomän måste antingen ξ(n) eller ξ(m) vara noll. Antag att det är ξ(n). Men då ligger n i ker(ξ) och är mindre än p vilket leder till en motsägelse mot att p var det minsta talet i ker(ξ). Alltså måste p vara ett primtal. Det är inte svårt att se att denna definition av karakteristik är ekvivalent med den tidigare när R = F. Faktum är att om F är en kropp finns alltid en subkropp G F så att { F p = Z p om och endast om char(f) = p > 0, eller G = Q om och endast om char(f) = 0.

13 Sats 8.1. Låt F q vara en ändlig kropp med q element och anta att E : F q är en ändlig utvidgning. Då är antalet element i E lika med q r för r = dim Fq (E). Dessutom, har vi att char(e) = p > 0. Bevis. Uppenbart. Eller? Notera! Här krävs det att jag påpekar en subtilitet angående notation som jag själv då och då gör glömmer bort (efterföljande frustration och panik får mig att komma på mitt misstag). När p är ett primtal så betecknar man kroppen Z p med F p. Men F q är inte Z q om q inte är ett primtal. Det är betecknar då helt enkelt en kropp med q element 6. Så var försiktig! Sats 8.2. Låt F vara en godtycklig kropp och G vara en ändlig undergrupp till F = (F \ {0}, ). Då är G cyklisk. Bevis. Som abelsk grupp är G = Z d1 Z d2 Z dk, där d i = p li i (primtalspotenser). Låt y vara minsta gemensamma multipeln av alla d i. Det är klart att y d 1 d k. Om a i Z di så är a y i = e och alla element i G uppfyller denna ekvation. Eftersom denna ekvation har högst y stycken lösningar så är y d 1 d k. Alltså är y = d 1 d k. Detta betyder (eftersom y var minsta gemensamma multipel) att alla d i är distinkta primtal och l i = 1 för alla i. Alltså är G cyklisk. Följdsats 8.3. Om F = F q så är F q cyklisk. Sats 8.4. Det existerar en kropp med p n element för alla primtal p och alla r > 0. En sådan kropp är en n-dimensionell kroppsutvidgning av F p. Bevis. Se boken. 8.1. Konstruktion av ändliga kroppar. Vi har följande sats. Sats 8.5. Låt f(z) vara ett irreducibelt polynom i F p [z]. Då är F p [z]/ f(z) en ändlig kropp med p deg(f(z)) element. Bevis. Vi vet att det är en ring. Element i F p [z]/ f(z) har alla grad mindre än r. Antalet sådana polynom är p r. Eftersom f(z) är irreducibelt så har P(z) / a(z) och f(z) inga gemensamma faktorer, alltså gcd(f(z), P(z)) = 1 P(z)Q(z) + f(z)g(z) = 1. Definition 15. En generator för F q kallas för ett primitivt element. Om z är ett primitivt element för kroppen F p [z]/ f(z) så säges f(z) vara ett primitivt polynom. Övning 8.1 (**). Är den direkta produkten av två kroppar en kropp? Med andra ord, om F 1 och F 2 är kroppar är F 1 F 2 := {(f 1, f 2 ) f 1 F 1, f 2 F 2 } en kropp? Glöm inte att motivera ert svar. Övning 8.2 (**). För varje kropp E av karakteristik p > 0 med dimension n finns en avbildning Frob r : E E, Frob r (a) := a pr, för alla a E. Visa att Frob är en homomorfi, och 6 Ibland betecknar man Fq med GF(q), där GF står för Galois Field (efter Évariste Galois). Men jag och många andra väljer att inte beteckna ändliga kroppar som F q.

14 D. LARSSON Frob är bijektiv. En bijektiv homomorfi från en ring R till sig själv kallas för en automorfi. Automorfin Frob kallas för den relativa Frobenius (automorfin) om r > 1 och den absoluta Frobenius om r = 1. Övning 8.3 (**). Som ni vet utgör alla punkter (a, b) R 2 som uppfyller a 2 +b 2 = 1, enhetscirkeln S 1. Alltså är punkterna på S 1 precis lösningarna till ekvationen f(x, y) = x 2 + y 2. På samma sätt kan man fråga sig vilka lösningarna till f(x, y) är om man, istället för R 2, betraktar F 2 p. Då får man enhetscirkeln S 1 p i F 2 p. (a) Finn antalet lösningar till f(x, y) när kroppen är F 2, F 3, F 5. (b) Finn antalet lösningar till f(x, y) i Z 2 6. Notera att vi här söker lösningar över en ring inte en kropp! (c) Låt nu f(x, y) = y 2 x 3 x 2 x i F 2 3. Hur många lösningar finns? Lösningsmängden till f(x, y) i (c) är ett exempel på en elliptisk kurva över en ändlig kropp och sådana är numera väldigt populära i samband med kodningsteori och kryptologi.