Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. Kapitel 4 4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tre-dimensionella rummet och påverkas av en kraft? 4-2 Hur fås den tidsoberoende Schrödingerekvationen ur den tidsberoende? 4-3 Antag att man löst den tidsoberoende Schrödingerekvationen, hur fås då den allmänna lösningen till den tidsberoende? Hur bestäms de konstanter som ingår i denna lösning? 4-4 Vad är variabelseparation? Redogör för metoden! Vilken egenskap skall Hamiltonoperatorn ha för att denna metod skall fungera? 4-5 Vilka är kvanttalen för väteatomen, vilka värden tar de? Vad betyder de fysikaliskt, diskutera tex hur tillstånd med olika kvanttal skiljer sig åt. 4-6 Hur ser den grundläggande relationen ( algebran ) ut som rörelsemängdsmomentet uppfyller? 4-7 Vilka operatorer kan samtidigt mätas för rörelsemängdsmomentet? Vad är den fysikaliska tolkningen av kvanttalen l och m? 4-8 Hur definieras stegoperatorerna för rörelsemängdsmomentet? Hur används dessa för att skapa egenvektorerna l, m? 4-9 Om man bara använder algebran, vilka är då de möjliga värdena på l? Vilka värden är möjliga om man dessutom antar att rörelsemängdsmomentet beskriver rörelse i rummet, dvs att L = r p? 4-10 Hur ser ˆL z ut i sfäriskt polära koordinater? 4-11 Ge relationen mellan klotytefunktionerna Ym l och de abstrakta tillstånden l, m. 4-12 Hur ser spektrat ut för väteatomen? Ge en formel för energin för de bundna tillstånden! 4-13 Hur stor är väteatomens jonisationsenergi? Vad händer om en väteatom absorberar en foton med minst så stor energi? 1
4-14 Jämför en typisk exitationsenergi i väteatomen, med en termisk energi, k B T. Bestäm härur en temperatur som motsvarar excitationsenergin. Om man har en gas av väteatomer vid rumstemperatur, kommer de då huvudsakligen vara i grundtillståndet, i exciterade tillstånd eller rent av joniserade? 4-15 Klassisk elektromagnetism: Hur påverkas en liten magnet av a) ett homogent magnetfält och b) ett inhomogent magnetfält? Samma frågor för en liten strömslinga. 4-16 Vad innebär det att elektronen har ett magnetiskt dipolmoment? 4-17 Hur växelverkar en elektrons spinn med ett magnetiskt fält, skriv ner hamiltonoperatorn för detta problem. 4-18 Hur påverkas en elektron av a) ett homogent magnetfält och b) ett inhomogent magnetfält? (Frågan avser i första hand effekten av spinnet, det finns naturligtvis en Lorentzkraft också, vad leder den till?) 4-19 Vilka är de möjliga spinntillstånden för två elektroner? Skriv ner tillstånden dels i basen där de enskilda elektronerna har bestämda spinn, dels i basen där paret har bestämt spinn samt relatera dessa båda baser till varandra! 4-20 Om ett system består av två delar som har rörelsemängdsmomenten (l 1, m 1 ), respektive (l 2, m 2 ), vilka är då de möjliga kvanttalen (l, m) för det totala rörelsemängsmomentet för systemet? 4-21 Kan du ge ett intuitivt argument för gränserna på l i förra problemet? (Ledning: Antag att de ingående rörelsemängdsmomenten är stora jämfört med h och addera rörelsemängdsmomenten som klassiska vektorer.) 4-22 Vad är Clebsch-Gordankoefficienter för något? Hur ser de ut explicit för fallet att två s = 1/2 kombineras? Kapitel 5.1,2 5-1 Hur ser Schrödingerekvationen ut för N partiklar som rör sig i rummet? 5-2 Givet en normerad vågfunktion ψ( r 1, r 2 ) för två olika partiklar. a) Antag att båda partiklarnas lägen mäts, vad är sannolikheten att finna partiklarna på specificerade ställen i rummet? b) Antag att enbart läget för partikel 1 mäts, vad är sannolikheten att finna den på ett visst ställe i rummet? (Ledning: Använd svaret i a) och att partikel 2 kan befinna sig var som helst.) c) Hur ser operatorn för rörelsemängdsmomentet ut för partikel 1 (i lägesrepresentationen, dvs den operator som verkar på vågfunktionen ψ( r 1, r 2 ))? d) Antag att man gör många mätningar av rörelsemängden för partikel 1 på identiska system vart och ett beskrivna av vågfunktionen ψ( r 1, r 2 ), hur beräknas medelvärdet av dessa mätningar? 5-3 Vad menas med identiska partiklar? 5-4 En elektron rör sig inte längs en bana, hur är detta relaterat till att elektroner är identiska partiklar? 2
5-5 Vad karaktäriserar ädelgaserna (He, Ne, Ar...) kemiskt och hur är detta relaterat till deras elektronstruktur? 5-6 Vad karaktäriserar alkalimetallerna (Li, Na, Ka,...) kemiskt och hur är detta relaterat till deras elektronstruktur? 5-7 Vad innebär det att en partikel är boson och fermion (och då menar jag inte bara skillnaden i spinn)? 5-8 Hur lyder sambandet mellan spinn och statistik? 5-9 Hur lyder Pauliprincipen (Paulis uteslutningsprincip)? 5-10 Griffiths tänker sig ofta att tillståndet för två partiklar kan skrivas som en produkt av en rumsdel och en spinndel. Vilken egenskap måste Hamiltonoperatorn ha för att detta skall vara sant för de stationära tillstånden? (Ledning: Hamiltonoperatorn kan innnehålla termer som verkar både på de två partiklarnas lägen och på deras spinn, se tex spinn-bankopplingen i vätetatomen i kap 6.3.) 5-11 Vilka är de möjliga tillstånden för två elektroner om man antar att det totala tillståndet är en produkt av en rumsdel och en spinndel och att rumsdelen är konstruerad av två stycken enpartikeltillstånd ψ a, ψ b? 5-12 Två elektroner befinnner sig i ett triplettillstånd. a) Vad är det totala spinnet s för systemet? b) Hur många sådana spinntillstånd finns det och hur ser de ut, uttryckta i spinntillstånden för de enskilda elektronerna? 5-13 Två elektroner befinnner sig i ett singlettillstånd. a) Vad är det totala spinnet s för systemet? b) Hur många sådana spinntillstånd finns det och hur ser de ut, uttryckta i spinntillstånden för de enskilda elektronerna? 5-14 Jämför två elektroner som befinner sig i a) ett singlettillstånd och b) ett triplettillstånd. a) Jämför elektronernas fördelning i rummet i de två fallen! b) Antag att elektronerna repellerar varandra (Coulombkraften), vilket av tillstånden kommer att ha lägst energi? c) Magnetism i material orsakas av att elektronernas magnetiska moment pekar i samma riktning, hur är detta relaterat till förra frågan? d) Vad menas med utbyteskrafter? 5-15 Hur lyder Schrödingerekvationen för en atom med atomnummer Z? 5-16 Vilken är den viktiga approximation man gör för att få en grov uppskattning av atomernas struktur och periodiska systemet? 5-17 Om man gör approximationen i förra frågan, så ger lösningen av väteatomen, Z = 1, lösningarna för en godtycklig atom Z, förklara hur lösningarna ser ut och varför det blir så? 3
5-18 Förklara atomernas skalstruktur. 5-19 Vilka elektroner i en atom bestämmer de kemiska egenskaperna? 5-20 Förklara i grova drag uppkomsten av periodiska systemet. 5-21 Hur hade atomerna sett ut om elektronerna varit bosoner? Kapitel 6 6-1 Vad krävs för att störningsteori skall fungera? 6-2 Vad betyder det att en energinivå är degenererad respektive ickedegenererad? 6-3 Vad är korrektionen till energin i första ordningens störningsteori för en icke-degenererad energinivå? 6-4 Om den studerade energinivån är degenererad, hur bestäms då korrektionen till energin i lägsta ordningens störningsteori? Hur bestäms tillstånden? 6-5 Att lösa den tidsoberoende Schrödingerekvationen kan beskrivas som att man diagonaliserar Hamiltonoperatorn. Förklara varför detta är en riktig beskrivning! Att beräkna korrektionen till energin och bestämma tillstånden i lägsta ordningens störningsteori beskrivs på motsvarande sätt som att man diagonaliserar Hamiltonoperatorn i det degenererade underrummet. Förklara varför detta är en riktig beskrivning! 6-6 Antag att man har bra (degenererade) tillstånd i den meningen att störningen till Hamiltonoperatorn H inte blandar dessa. Vad blir då korrektionerna till energin? Jämför detta med icke-degenererad störningsteori. 6-7 Ibland kan man slippa använda degenererad störningsteori trots att den studerade energinivån är degenererad, vad krävs för att så skall vara fallet? Hur hänger detta ihop med bevarade storheter? 6-8 Givet naturkonstanterna e, h, c, ǫ 0. Konstruera en dimensionslös konstant utifrån dessa storheter! (Ledning: Istället för att sätta in enheter använd kända formler som talar om vad dimensionen är på olika storheter. Vad är Coulombenergin och vad är relationen mellan energi och frekvens i kvantmekaniken?) 6-9 Varför är naturkonstanterna e, h, c, ǫ 0 relevanta för materiens elektromagnetiska växelverkan med ljus? (Ledning: Tänk efter var dess konstanter dyker upp.) 6-10 Väteatomens finstruktur har två oberoende delar, vilka är de och vad är den fysikaliska orsaken till dem? Hur ser motsvarande korrektioner till Hamiltonoperatorn ut (på ett ungefär, ignorera konstanter)? 6-11 Vad är L, S i L S-termen i Hamiltonoperatorn? Varför finns det en sådan term? (Härled den inte, men försök förstå varför en sådan term dyker upp.) 6-12 Vilka är de bevarade storheterna då L S-termen inkluderas i Hamiltonoperatorn? 6-13 J är atomens totala rörelsemängdsmoment (om vi ignorerar bidraget från atomkärnan). Är det rimligt att det finns en sådan bevarad storhet i detta problem? Motivera! 4
6-14 Kan de stationära tillstånden för väteatomen skrivas som en produkt av en rumsdel och en spinndel då L S-termen inkluderas? Motivera! 6-15 Ungefär hur stort är det av protonen orsakade magnetfältet som påverkar elektronen i en väteatom? Jämför detta med jordens magnetfält. 6-16 Beskriv kvalitativt Zeemaneffekten i en atom. Kapitel 7.1 7-1 Hur lyder variationsprincipen i kvantmekaniken? Beskriv i ord noga betydelsen av ekvationen! 7-2 Vilket tillstånd för ett system säger variationsprincipen något om? (Generaliseringar till andra tillstånd är möjliga.) 7-3 Redogör för hur man går till väga då man använder variationsprincipen för att bestämma ett approximativt tillstånd för ett kvantmekaniskt system! Vilket är den ansats man måste göra för att komma igång? Hur gör man denna? 7-4 Hur kan man bedömma hur bra ett resultat som man erhållit med hjälp av variationsprincipen är? Jämför med motsvarande fråga för störningsteori, som ju är en annan viktig approximativ metod i kvantmekaniken. 7-5 Antag att man studerar ett kvantmekaniskt system experimentellt och teoretiskt. Man mäter grundtillståndets energi och man ställer upp en Hamiltonoperator som är tänkt att beskriva systemet. Med hjälp av variationsprincipen finner man en energi som är lägre än den uppmätta. Diskutera vad detta betyder! Vilka är de möjliga slutsatserna? Lycka till! 5