Modul: Problemlösning Del 1: Matematiska problem Vad är ett problem? Kerstin Hagland och Johan Åkerstedt Var och en av oss har föreställningar om vad matematik är. Dessa föreställningar är ofta ganska omedvetna och oreflekterade. Vi har utvecklat dem under vår skolgång, genom upplevelser i hemmet och på fritiden, under lärarutbildning och lärarfortbildning, via läromedel vi använder, i arbetet med kollegor, genom påverkan av skolans styrsystem och så vidare. Hur vi själva uppfattar matematik påverkar sättet vi undervisar på. En lärare som framför allt ser matematik som en samling traditionella metoder och skrivsätt kan antas undervisa annorlunda än en lärare som främst ser matematik som en skapande och problemlösande sysselsättning. Matematik i form av vedertagna symboler, begrepp och regler bör vi givetvis informera eleverna om, men de bör också enligt kursplanen få chansen att uppleva matematiken som en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet. Och då måste de förstås få möjligheter att arbeta med matematiska problem. Vad är då ett matematiskt problem? http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (6)
Det kan man också ha olika föreställningar om. Forskning har visat att tre olika uppfattningar är vanliga bland lärare: Ett matematiskt problem är en uppgift. Ett matematiskt problem är en textuppgift. Ett matematiskt problem är något man inte vet hur man ska lösa. Andra uppfattningar kan vara att problem är öppna uppgifter med många olika svar eller att problem är kluringar eller tankenötter som ibland är matematiska, ibland bara kluriga. I Kommentarmaterial till kursplanen i matematik beskriver Skolverket sin syn på vad ett matematiskt problem är och hur det skiljer sig från rutinuppgifter: Matematiska problem är, till skillnad från rena rutinuppgifter, situationer eller uppgifter där eleverna inte direkt känner till hur problemet ska lösas. I arbetet med matematiska problem måste eleverna i stället undersöka och pröva sig fram för att finna en lösning. Problem kan ha kopplingar till olika matematiska kunskapsområden och kan ta sin utgångspunkt i egna intressen, fantasier eller verkliga situationer. Ibland förekommer ett problem i en specifik situation som gör att eleverna behöver tolka och göra en matematisk formulering av situationen. Problemen kan också vara rent matematiska och sakna direkt samband med vardagen. http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (6)
Vidare i texten framgår det också att vad som är ett problem är individuellt: Ett matematiskt problem kan betraktas som en relation mellan eleven och problemsituationen. Det är en relation som kan se olika ut, beroende på hur långt eleven har kommit i sin kunskapsutveckling. En elev som har kommit långt i sin kunskapsutveckling kan uppleva en uppgift som en rutinuppgift om hon eller han känner till en lösningsmetod. En annan elev kan i mötet med samma uppgift däremot behöva undersöka och pröva sig fram till en lösning. Här följer vårt förslag på hur man kan klargöra begreppen uppgifter, rutinuppgifter, textuppgifter, problem och rika problem: Uppgifter kallar vi de övningar som eleverna ställs inför i undervisningen. De kan ha olika syften och innehåll. Här har vi några exempel: Rutinuppgifter är uppgifter där eleverna är välbekanta med sättet de ska lösas på. Läraren har presenterat hur man brukar göra, hur man kan tänka, säga, ställa upp, räkna ut, skriva, rita, använda symboler och så vidare. Om de ställs inför liknande uppgifter framöver är tanken den att de ska känna igen uppgiftstypen och kunna välja och använda en förväntad metod. Rutinuppgifter kan förstås vara både lätta och svåra. De kan till exempel innehålla ett enstaka steg, flera steg eller flera räknesätt. Här är några exempel på rutinuppgifter: 14 + 5 =? 6 8 =? 223 49 + 7 90 =? http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (6)
Textuppgifter är uppgifter som beskriver en situation i löpande text. Texten avslutas med en eller flera frågor som eleverna ska besvara. Eleverna ska klara av att tolka texten och översätta den till en matematisk uppgift som sedan ska lösas. Lösningen ska sedan återtolkas till den beskrivna situationen och svar ska skrivas, ofta i text med hel mening. För att klara detta ska eleverna bland annat kunna välja ut de matematiska fakta som är nödvändiga för att kunna lösa uppgiften och de ska kunna läsa, skriva, förstå och kunna växla mellan matematisk text och vanlig text. Precis som när det gäller rutinuppgifterna kan textuppgifter vara mer eller mindre svåra. Texterna kan vara enkla eller mer komplicerade, orden lätta att förstå eller svårare. Här är några exempel på textuppgifter: Kalle, Lisa och Ahmed delar lika på 12 plommon. Hur många plommon får var och en? Kajsa har fem bilar och Albin två. Hur många färre bilar har Albin? Maria har sju bollar. Hon har två fler än Anna. Bengt har tre bollar fler än Anna. Hur många bollar har Bengt? Problem är uppgifter som eleverna inte har en på förhand given lösningsmetod att ta till för att kunna lösa. Här krävs det en extra mental ansträngning av eleverna och läraren ska uppmuntra dem att vara kreativa och uthålliga och undersöka och prova sig fram för att hitta sin egen väg fram till lösningen. Observera att svår inte är liktydigt med att det är ett matematiskt problem. Eleven kan till exempel ha svårt att tyda texten men när det väl är gjort är uppgiften en rutinuppgift för eleven. Rika problem innebär bland annat att problemen bär på rika möjligheter till en givande diskussion kring olika matematiska begrepp, procedurer, strategier och uttrycksformer. Här är några exempel på uppgifter som kan vara problem om eleverna inte har mött något liknande tidigare: 6 + _ = 11 _ Hitta på ett eget liknande problem. Lös det. Astrid numrerade alla sidorna i sitt häfte, 1, 2, 3 och så vidare. a) Hur många sidor hade häftet om hon använde 57 siffror? b) Hitta på ett eget liknande problem. Lös det. Några vänner spelade tennis. Var och en spelade en gång var mot de andra. a) Hur många matcher spelades totalt om de var tre? b) Hur många matcher spelades totalt om de var fyra? c) Hur många matcher spelades totalt om de var tio? d) Hur tycker du man enklast kan tänka ut det? e) Hitta på ett eget liknande problem. Lös det. http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (6)
I den sista deluppgiften Hitta på ett eget liknande problem. Lös det. är det tänkt att eleverna kan anpassa sammanhanget efter något de intresserar sig för samtidigt som de visar att de har förstått det matematiska i problemet. Så här tänker vi oss att de nämnda uppgiftstyperna förhåller sig till varandra: Uppgift Rutinuppgift Textuppgift Problem Rika problem Övriga problem Uppgift är alltså det övergripande uttrycket, det innefattar alla typer av uppgifter. En uppgift som man ger eleverna kan sedan vara en rutinuppgift för en elev men ett problem för en annan och samtidigt kan det vara en textuppgift för båda dessa elever. Undervisning i matematik via problem En undervisning där elever lär matematik genom att lösa problem kännetecknas enligt forskare av att läraren har visat förmåga att välja ett problem som passar alla elever, att lärarens genomgångar utgår från olika kategorier av elevlösningar och att läraren har kunskap om elevers vanligaste missuppfattningar. Valet av problem avgör hur undervisningen ska läggas upp. För att ett problem ska fungera optimalt krävs att läraren har valt ett lämpligt problem, har satt sig in i problemet ordentligt och själv har löst problemet på flera olika sätt för att kunna vara väl förberedd på de lösningar eleverna kommer med. Läraren kan också behöva anpassa problemet efter eleverna, texten kan kanske göras mer lättläst eller mer begriplig, de ingående talen kan kanske vara andra tal, lättare och svårare delfrågor kan kanske behöva läggas till och så vidare. För att eleverna ska lära sig så mycket som möjligt är det viktigt att alla elever arbetar med samma problem samtidigt och att arbetet får ske utan tidspress. Ju fler varianter på strategier, uttrycksformer, matematiska tankar och idéer som eleverna kommer fram med och kan ta del av desto mer givande kan det bli för hela elevgruppen - och även för läraren. Problem ska alltså helst inte användas som en sorts individuella extrauppgifter utan hela klassen ska arbeta med samma problem. Läraren ska också ha tänkt igenom vilka matematiska samtal som kan komma att föras, hur man bäst bemöter eleverna utan att lotsa dem och hur man kan ge dem utmaningar så att de utvecklar sina matematiska kunskaper. Det är förstås också viktigt att läraren aldrig ger eleverna något tips om lösningsstrategi, för då förvandlas ju problemet genast till en rutinuppgift. http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (6)
Referenslitteratur Bergqvist, E. & Bergqvist, T. (2012). Intentions with and interpretations of the concept of problem. Konferensartikel presenterad på Matematikdidaktiska forskningsseminariet. http://www.mai.liu.se/smdf/madif8/bergqvist&bergqvist.pdf Burman, L. (2006). Om valet av uppgifter i matematikundervisningen. Ingår i Häggblom, L. & Burman, L. & Röj-Lindberg, A-S. (red.) Perspektiv på kunskapens och lärandets villkor, s. 133 140. Pedagogiska fakulteten vid Åbo Akademi, No 1-2006. www.vasa.abo.fi/users/lburman/doc/ob60uval.doc Frank, M. (1990). What myths about mathematics are held and conveyed by teachers? Arithmetic Teacher, 37 (5), p 10-12. Hagland, K., Hedrén R, & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: Inspiration till variation. Stockholm: Liber. Skolverket (2011a). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Stockholm: Utbildningsdepartementet. Skolverket (2011b). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande. Doktorsavhandling. Umeå: Umeå universitet. http://umu.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:140830 http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (6)