Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter saknar f(x) extrempunkter. I annat fall finns rötterna x = r 1, x = r 2 och så vidare. 3 Om f (r) > 0 har f(x) en minpunkt, (r, f(r)) 4 Om f (r) < 0 har f(x) en maxpunkt, (r, f(r)) Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Vi sammanfattar nu det vi hittills kan i konsten att skissa funktioner och betraktar figur 1 Figur 1: g,h,i visar funktionens f(x) nollställen Får man genom att lösa ekvationen f(x) = 0 b,c,d,e visar nollställen hos derivatan f (x) Får man genom att lösa f (x) = 0 a,f begränsar det intervall a x f som vi studerar av f(x) B,D,F är lokala maxpunkter. Får man genom f(b), f(d), f(f) A,C,E är lokala minpunkter. Får man genom f(a), f(c), f(e) A är global minpunkt Håkan Strömberg 1 KTH Syd
D är global minpunkt Funktionen f(x) i figur 1 är växande i intervallen nedan Då är f (x) > 0. a x < b c x < d e x < f Funktionen f(x) i figur 1 är avtagande i intervallen nedan. Då är f (x) > 0. b x < c d x < e 1 Figur 2: Här ser vi ett 3:e-gradspolynom. Bestäm, med hjälp av diagrammet, i vilka intervall funktionen är växande respektive avtagande. (Det är heltal där du tror att det är det) Lösning: Funktionen f(x) är växande i intervallen och avtagande i intervallet < x < 3 11 < x < 3 < x < 11 För x = 3 och x = 11 är däremot funktionen varken växande eller avtagande. 3 Funktionen har extrempunkter i f(x) = x x4 17x3 + 30x 2 + 0 3 x 1 = 4 x 2 = 0 x 3 = 3 x 4 = Ta med hjälp av andraderivatan f (x) reda på vilken typ av extrempunkter det rör sig om. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Lösning: För att komma fram till f (x) måste vi först bestämma Nu får vi f (x) = x 4 4x 3 17x 2 + 60x f (x) = 4x 3 12x 2 34x + 60 Vi har nu att bestämma tecknet hos f (x) för de fyra nollställena till f (x) f ( 4) = 22 < 0 maxpunkt f (0) = 60 > 0 minpunkt f (3) = 42 < 0 maxpunkt f () = 90 > 0 minpunkt Så här ser grafen ut. Stämmer våra beräkningar? 400 0-6 -4-0 -400 Figur 3: 4 En luftballong startar sin uppstigning vid tiden t = 0 timmar för att stanna uppe i drygt t = 6 timmar. På vilken höjd (i meter) ballongen befinner sig på vid tiden t bestäms av funktionen h(t) = 4t 3 4t 2 + 240t Bestäm den högsta höjd ballongen befunnit sig på under de 6 första timmarna i luften. Lösning: Vi startar med att derivera funktionen och därefter lösa ekvationen h (t) = 0 h (t) = 12t 2 8t + 240 h (t) = 0 ger 12t 2 8t + 240 = 0 t 2 9t + = 0 t = 9 2 ± 81 4 80 4 t = 9 2 ± 1 2 t 1 = 4 t 2 = Håkan Strömberg 3 KTH Syd
h(t) har extrempunkter för t = 4 och t =. Genom att ta fram andraderivatan kan vi snabbt se vilken typ av punkter. Vi testar de de två punkterna h (x) = 24t 8 h (4) = 12 < 0 maxpunkt h () = 12 > 0 minpunkt Vi bestämmer nu h(4) och h(), samt höjden för intervallets gränser h(0) och h(6). t 0 4 6 h(t) 0 32 30 360 Svar: Ballongens högsta höjd är 360 meter Här får du se tre grafer. Hur hör de ihop - 1 2 3 4 6-1 - 1 2 3 4 6 40-1 2 3 4 6-40 Lösning: Översta grafen visar funktionen f(x), antagligen ett :e-gradspolynom. Den mellersta grafen visar f (x) och den nedersta f (x). Håkan Strömberg 4 KTH Syd
1 Vi startade med ett polynom p(x), som vi deriverade två gånger och fick Berätta allt du kan om p(x) p (x) = 6 2 Denna gång har polynomet p (x) = 0 två rötter x 1 = 2 och x 2 =. Dessutom vet vi att f (2) > 0. Frågor: a) Vilket gradtal har p(x)? b) Vad vet vi om extrempunkten då x = 2? c) Vad kan vi säga om den andra extrempunkten? d) Vart försvinner kurvan då x? 3 Vilket gradtal måste ett polynom, som i figur 4, minst ha, för att ha två terrasspunkter? 7. -3-2 -1 1 2-2. 2. - -7. - Figur 4: 4 Här får du grafen till polynomet f (x) berätta vad du vet om f(x). 60 40-4 - -40 Figur : Håkan Strömberg KTH Syd
Här följer inte mindre än 9 grafer. Tre polynom f(x), g(x), h(x) och deras första respektive andra derivator. Din uppgift är att para ihop dem rätt! 4 3 2 1 - - -30-40 -0 0 40 30 - - - -30-40 12. 7. 2. -2. - - 40 30 - - 2. -2. - -7. - - - 1 p(x) är av andra graden. Andragradstermen måste vara 3x 2, vilket betyder att funktionen har ett minimum, vilket också f (x) vittnar om. De andra termerna i p(x) vet vi dock inget om. 2 a) 3:e graden b) Det är en minpunkt c) Det är en maxpunkt d) Mot y = 3 p(x) måste vara av minst :e graden. 4 Här har du en möjlig f(x) 0-4 -0-0 -10 Figur 6: Håkan Strömberg 6 KTH Syd
g (x) h(x) f(x) h (x) g(x) g (x) f (x) f (x) h (x) Räkna bokens uppgifter: 73, 7 73 1) f(x) har ingen extrempunkt. Alltså är f (x) 0 för alla x. Då är antingen f (x) > 0 eller f (x) < 0 för alla x. Här handlar det förstås om f (x) > 0. 2) Här har f(x) en extrempunkt vilket betyder att f (x) = 0 för något x. f(x) är varken positiv eller negativ för alla x. 3) Alla tangenter vi kan dra till denna funktion är positiva, vilket innebär att f (x) > 0 för alla x. 4) Denna funktion är mest lik 1). Böjer av något men aldrig så att tangenten till kurvan har k-värdet 0. Då är f (x) > 0 för alla x. ) Här avtar f(x) hela tiden, så då är f (x) < 0 för alla x 6) Varken det ena eller det andra. f(x) har ju en tangent med k = 0. 7 a) Först får vi en punkt (3, 1) på kurvan som vi prickar in. Sedan får vi att f (3) = 0, vilket betyder att punkten vi fått är en extrempunkt. Genom f (x) < 0 för alla x förstår vi att extrempunkten är em maxpunkt. Att f (x) < 0 för alla x kan betyda att till exempel f (x) = och då är f(x) ett andragradspolynom. Men även f (x) = 28x 2 är en möjlighet och då är f(x) av fjärde graden. Figur 7: b) Den här gången har vi en punkt punkt på kurvan, (4, 3) som vi prickar in. Återigen har tangenten i denna punkt k = 0, Men nu är f (x) > 0 för alla x och vi har istället en minpunkt. c) Vi får en punkt på kurvan (1, 3) med en tangent som har k = 0. den här gången får vi inte veta något om f (x), men eftersom f (x) < 0 då x < 1 och f (x) > 0 då x > 1 förstår vi att det handlar om en minpunkt. d) Vi får punkten (, 0) på kurvan. Eftersom det tangenten i denna punkt är lika med x-axeln har vi ett dubbelt (minst) nollställe i punkten. f (x) > 0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Figur 8: då x < och f (x) < 0 då x > talar om att det handlar om en maxpunkt. Håkan Strömberg 8 KTH Syd