Praktisk matematik som ett stöd för andraspråkselever

Lärande och samhälle Natur, miljö och samhälle Examensarbete 15 högskolepoäng Praktisk matematik som ett stöd för andraspråkselever Practical mathematic as a support for second language learners Malin Hermansson & Alexandra Borgström Grundskolelärare årskurs 4-6 240 hp Matematik och lärande Slutseminarium 2017-03-21 Examinator: Nanny Hartsmar Handledare: Peter Bengtsson 1

Förord Vi är två lärarstudenter som studerar till grundskollärare årskurs 4-6 med fördjupning matematik på Malmö högskola. Vårt brinnande intresse för elever med svenska som andraspråk och hur man kan stötta dessa elever i matematiken är anledningen att vi valt att fördjupa inom ämnet. Samtliga delar av arbetet är skrivet av oss båda. Det har varit ett sant nöje att komma ut på olika skolor runt om i Skåne och att få träffa lärare och deras elever och se hur de arbetar. Vi vill rikta ett stort tack till skolorna och lärarna som har medverkat i vår undersökning. Vi vill även tacka Peter Bengtsson som har varit vår handledare och har under arbetets gång gett oss vägledning. Malmö mars 2017 2

Sammanfattning På Migrationsverkets hemsida går det att avläsa hur statistiken talar för en kraftig ökning av flyktingar till Sverige (Migrationsverket 2015). För skolans del innebär flyktingtillströmmen att antalet elever som inte har svenska som modersmål ökar i skolorna, vilket ställer högre krav på att lärare idag ska kunna stötta dessa elever. Detta examensarbete syftar till att undersöka och analysera hur pedagoger arbetar med praktisk matematik och uppmärksamma om pedagogerna använder praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk. Dessutom kommer vi att undersöka vilka olika sätt det finns att arbeta med praktisk matematik och vilka av dessa som verksamma lärare anser gynna eleverna mest. Vidare kommer de olika för- och nackdelarna med praktisk matematik att problematiseras. Metoderna som använts för att utföra studien är semistrukturerade intervjuer samt litteratursökning av tidigare forskning inom området. Studien analyseras utifrån ett sociokulturellt perspektiv och ett pragmatiskt synsätt. Vi valde dessa teorier därför att de belyser hur språkutveckling samt kunskapsutveckling sker genom samspel med andra och praktisk matematik sker ofta i interaktion med andra. Tidigare forskning visar på ett resultat där forskarna är oense om vilket arbetssätt som är det bästa att använda sig av för att stötta elever med svenska som andraspråk. Somliga forskare menar att ett flerspråkigt matematikklassrum är det bästa stödet medan andra forskare istället förespråkar ett arbete med praktisk matematik. Resultatet av intervjustudien är att praktisk matematik används både som ett stöd för andraspråkselever och som en del av den dagliga undervisningen. Studien visar på att det utöver många fördelar även finns nackdelar som till exempel att eleverna endast ser begrepp i ett enda specifikt sammanhang med ett visst material och bygger sin kunskap kring detta. Nyckelord: andraspråkselever, grundskola, laborativt material, matematikundervisning, mellanstadiet, praktisk matematik, språkets betydelse, svenska som andraspråk 3

1. Inledning... 6 2. Syfte och frågeställningar... 7 3. Teoretiska perspektiv... 8 3.1 Sociokulturellt perspektiv... 8 3.2 Pragmatiskt perspektiv... 9 3.3 Begreppsförklaringar... 9 4. Tidigare forskning... 11 4.1 Praktisk matematik... 11 4.2 Svårigheter i matematiken... 13 4.3 Språkets betydelse... 15 5. Metod... 16 5.1 Urval... 16 5.2 Intervjumetod... 16 5.3 Genomförande... 17 5.3.1 Det personliga mötet... 17 5.4 Etiska överväganden... 18 5.5 Validitet... 18 5.6 Reliabilitet... 19 5.7 Analysmetod... 19 6. Resultat och analys... 20 6.1 Intervju med Rosanna... 20 6.2 Intervju med Helen... 21 6.3 Intervju med Kerstin... 23 6.4 Intervju med Samuel... 24 6.5 Analys av tidigare forskningsresultat om praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk... 25 6.6 Analys av verksamma lärares arbete med praktisk matematik med elever med svenska som andraspråk... 27 6.6.1 Praktisk matematik ska vara en obligatorisk del av matematikundervisningen... 27 6.6.2 Praktisk matematik är för de yngre åldrarna... 28 6.6.3 Plötsligt blir det ett gemensamt språk... 29 4

6.7 Analys av för- och nackdelar med praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk... 29 6.7.1 Fördelar med praktisk matematik... 30 6.7.2 Nackdelar med praktisk matematik... 30 7. Diskussion och slutsats... 32 7.1 Flerspråkiga lärare... 32 7.2 Praktisk matematik som ett stöd i undervisningen... 33 7.3 Den framtida yrkesrollen... 34 7.4 Metodval... 34 7.5 Slutsats... 35 7.6 Fortsatt forskning... 36 8. Referenser... 37 Bilaga 1 Missivbrev... 40 Bilaga 2 Intervjuguide... 41 5

1. Inledning Under ett samtal med en F-6 lärare, vi kallar henne Sandra, på en mindre skola i Skåne där cirka 70 procent av eleverna har svenska som andraspråk berättade läraren att hon ansåg sig sakna kunskaper om hur lärare ska arbeta med praktisk matematik som ett stöd i matematikundervisningen. Praktisk matematik är sådan undervisning som bygger på aktiviteter med laborativt material som låter eleverna arbeta med alla sina sinnen och där de ser förankringen mellan skolmatematiken och vardagen (Malmer 1990). Då majoriteten av Sandras elever många gånger saknar förmågan att uttrycka sina tankar och uträkningar i matematiken anser hon att det praktiska materialet hade kunnat hjälpa dem om bara Sandra själv hade haft mer kunskaper om hur man ska arbeta med det. Eftersom problematiken gällande arbete med praktisk matematik blev påtagligt och verkligt så väcktes vårt intresse för detta problemområde. På Migrationsverkets hemsida går det att hitta statistik som talar för en kraftig ökning av antalet flyktingar som kommer till Sverige. Det totala antalet asylsökande år 2015 var drygt 45 procent större än motsvarande antal år 2014 (Migrationsverket 2015). För skolans del innebär flyktingtillströmningen fler elever med svenska som andraspråk och därför kommer den bristande kunskapen kvarstå som ett problemområde för lärarna om ingen förändring sker och blivande lärare kommer möta detta när de kommer ut i arbetslivet på skolorna. Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper (Skolverket 2011a, s.8). Som citatet från Skolverkets läroplan säger så ska undervisningen vara till för alla och den ska anpassas till varje elevs behov och förutsättningar. Studien kommer därmed att fokusera på hur lärare anpassar undervisningen till elever som har ett annat modersmål än svenska. Praktisk matematik är ett alternativ till en individanpassad undervisning men huruvida det hjälper eleverna att komma över den språkliga barriären eller lärarna att förankra matematiken till tidigare erfarenheter, språk och kunskaper är oklart (Berggren & Lindroth 2004). 6

2. Syfte och frågeställningar Syftet med studien är att undersöka och analysera hur pedagoger i årskurs 4-6 arbetar med praktisk matematik och att studera ifall pedagogerna använder praktisk matematik som stöd för elever med svenska som andraspråk. Studien kommer även lyfta och analysera de olika sätten att arbeta med praktiskt matematik som stöd. Avslutningsvis behandlar studien vad verksamma lärare ser för fördelar och nackdelar med praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk. Vad säger tidigare forskningsresultat om praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk? Hur arbetar verksamma lärare med praktisk matematik med elever med svenska som andraspråk? Finns det några för- och nackdelar med praktisk matematik som stöd för elever med svenska som andraspråk? 7

3. Teoretiska perspektiv I denna del av examensarbetet kommer vi att ta upp olika teoretiska perspektiv och begrepp som används för att tolka vårt material. Dessa kommer ligga till grund för vår reflektion kring tidigare forskning samt gjorda intervjuer med lärare i vår analysdel. 3.1 Sociokulturellt perspektiv Det sociokulturella perspektivet på lärande är baserat på den ryske psykologen och pedagogen Lev Vygotskijs teorier. Teorierna grundar sig på att kommunikation är vägen till kunskap där språket blir nyckeln till utveckling. Vygostij (2000) menar att det är i de sociala sammanhangen som individen utvecklar såväl språket som kunskapen. Det sociokulturella perspektivet byggs upp av en rad grundläggande begrepp; kommunikation, mediering, distributivt lärande, den proximala utvecklingszonen och scaffolding. Mediering är en slags förmedling där människan finner verktyg för att förstå omvärlden och för att samspela med den. Dessa redskap delas upp i två olika kategorier, språkliga och materiella. De språkliga redskapen kan till exempel vara begrepp, tecken, bokstäver och siffror där språket som en helhet även kan ses som ett medierande redskap. De materiella kan vara olika fysiska redskap som till exempel pennor och papper (Lundgren, Säljö & Liberg 2014; Vygotskij 2000). Distributivt lärande är en stor del av det sociokulturella perspektivet. Det innebär att alla deltagare vid ett lärtillfälle lär av varandra. En lärare måste inte tvunget bidra med sin kunskap till eleverna utan alla lär i samspel med varandra där kommunikation är en bärande faktor. I ett distributivt lärande kan eleverna få stöttning från både lärare och andra elever vilket leder in på den proximala utvecklingszonen. Det är i denna zon som den lärande har störst möjlighet till att utveckla kunskaper och är mottaglig för förklaringar. Den handlar om en balans mellan utmaning och stöttning där eleven måste utmanas för att inte bli för bekväm men samtidigt få lagom med stöttning för att ha möjlighet att nå målet (Ibid). Denna stöttning som är en kommunikation kallas för scaffolding. Det innebär att en mer kunnig person ger stöd för att med tiden avlägsna stödet för att den lärande ska klara det på egen hand (Hartsmar & Sandström 2008; Bruner 1983). 8

3.2 Pragmatiskt perspektiv Det pragmatiska perspektivet på lärande innebär att undervisningen utgår från elevernas behov där de får lära sig genom att göra, learning by doing. Det innebär att undervisningen utgår ifrån individen där innehållet måste vara meningsfullt för eleven och kopplingen mellan kunskap och nytta ska vara tydlig. Dessutom sker det en utveckling genom samspel med omgivningen där tanke och handling ska ses som ett, inteligent action (Lundgren, Säljö & Liberg 2014; Dewey 2004). 3.3 Begreppsförklaringar Praktisk matematik är ett undervisningssätt som baseras på ett innehåll med laborativt material som låter eleverna arbeta med alla sina sinnen, det de inte kan se kan de känna, och där förankringen mellan matematiken och vardagen blir tydlig (Malmer 1990). Laborativ undervisning är en undervisningsmetod där inlärningen sker med stöd av olika experiment och försök. Det är även ett sätt att förankra det teoretiska med det praktiska i uppgifterna enligt John Deweys learning by doing (Malmer 2002). Den konkreta matematiken är kopplad till det laborativa materialet. Den är däremot inte direkt kopplad till en abstrakt undervisning utan hur den utformas beror på läraren. Det finns alltså inget konkret material att arbeta med utan det är valet av material och hur detta används som avgör om det blir abstrakt för eleverna eller inte (Skolverket 2011a). När man lär sig ett nytt språk efter sitt modersmål, i den miljön där språket talas, så kallas det för ett andraspråk. Ett exempel på detta är när en elev invandrar från Spanien och får lära sig svenska i skolan, svenska blir elevens andraspråk. Engelskan räknas istället som ett främmande språk. Trots att engelskan lärs ut från tidig ålder i den svenska skolan så klassas det alltså inte som ett andraspråk då vi inte vistas i en engelsktalande miljö (Hyltenstam 2015). 9

När ett barn börjar prata och lär sig sitt första språk kallas detta för modersmål. Det är genom modersmålet som barnet lär sig att uttrycka sig, kunna prata med omvärlden och använda sig av betydelsefulla begrepp (Nationalencyklopedin 2017). 10

4. Tidigare forskning I denna del av studien redovisas tidigare forskningsresultat. Forskningsresultatet är uppdelat under tre olika rubriker, praktisk matematik, svårigheter i matematiken och språkets betydelse. Denna del ligger till grund för vår första frågeställning. 4.1 Praktisk matematik Det finns delade meningar om hur man definierar laborativ matematik, konkret matematik och praktisk matematik samt hur man skiljer dessa åt. Några delar upp dessa tre som helt olika undervisningssätt som till exempel Skolverket (2011b) gör i sin rapport Laborativt material - konkretiserande undervisning och matematikverkstäder. Andra menar att praktisk matematik är användningen av laborativt material där undervisningen blir konkret och användningen av olika sinnen varieras (Kronqvist 2003). Den definition av praktisk matematik som studien kommer att förhålla sig till grundar sig på hur Malmer (1990) definierar det. Undervisningen innehåller ett laborativt material som bjuder in eleverna till att arbeta med alla sina sinnen och de ser tydligt den konkreta kopplingen till vardagen (Malmer 1990). Maria Bengtsson (2012) utgår ifrån ett internationellt perspektiv i sin artikel Mathematics and multilingualism where immigrant pupil succeed där hon skriver om hur lärare ska arbeta med andraspråkselever för att de ska nå målen i matematik. Bengtsson (2012) har gjort en undersökning i form av observationer och intervjuer på en svensk skola. Grunden till Bengtssons intresse för problemområdet är att forskning visar att andraspråkselever i till exempel Australien och Kanada når målen i matematik i större utsträckning än vad de svenska andraspråkseleverna gör. I Sverige visar forskningen istället att 20 procent av andraspråkseleverna har sedan 1998 inte nått målen i matematik. Bengtsson (2012) skriver dock att en PISA-undersökning år 2003 pekar på att andraspråkselevernas motivation och strävan efter att lyckas har ökat. Bengtsson (2012) lyfter frågan vad problemet grundar sig i då motivationen finns men resultaten visar motsatsen. Skolan där undersökningen är gjord har visat goda resultat i matematiken för samtliga elever på skolan, även andraspråkseleverna. Där präglas undervisningsmiljön av följande fem punkter; 11

1) A linguistic approach to mathematics. 2) Interplay in classrooms of mathematics between visual and practical materials and problem solving rarely focusing on textbooks. 3) A learning and problem solving organization where Swedishness (that is to say the Swedish way) is not the norm by which students are judged, including a positive approach to multilingualism. 4) High expectations towards pupils and 5) teachers and the school leadership holding an inclusive approach to pupils who need support in learning compulsory school mathematics (Bengtsson 2012 s.18) I punkt två understryker Bengtsson (2012) vikten av att låta eleverna arbeta med praktiskt material och visuella bilder. Vid klassrumsobservationerna använder sig lärarna ofta av praktisk matematik då dem använder sig av laborativt material och visuella bilder med anknytning till vardagen när dem kommunicera matematik. Eleverna får därigenom fler möjligheter till olika uttrycksformer som till exempel experiment och teckningar som ger dem chansen att prata matematik och samtidigt utveckla det matematiska språket. En viktig faktor som skiljer denna skola från många andra i Sverige är att de inte arbetar med någon bok i matematikundervisningen. Detta ger utrymme för en mer fri undervisning där annat material, så som det praktiska, naturligt kan ta en större plats (Bengtsson 2012). Berggren & Lindroth (2004) understryker att matematikundervisningen ska vara till för alla elever och menar att praktisk matematik gör att läraren kan individualisera matematiken och ge dem stöttning utifrån elevens egen nivå. Genom detta undviker man att nivågruppera klassen, vilket är emot stiftelserna, och alla kan arbeta med samma uppgifter. Berggren & Lindroth (2004) skriver även att praktisk matematik hjälper eleverna att skapa en förståelse för de nya matematiska begreppen och genom diskussionerna som uppstår av att arbetet med praktiskt material får eleverna en fast situation att referera till. Berggren & Lindroth (2004) poängterar även vikten av att sätta begreppen i olika sammanhang och använda sig av flera olika praktiska material för att minska risken för att eleverna ska koppla begreppet till en specifik situation eller material. 12

4.2 Svårigheter i matematiken Flerspråkiga matematikklassrum är en avhandling skriven av Eva Norén (2010) som är en matematikdidaktisk forskare vid Stockholms universitet. Avhandlingen genomsyras av ett sociokulturellt perspektiv med tyngdpunkter som kommunikativt klassrum, meningsfullt lärande samt diskussioner i både mindre grupper och helklass. Norén (2010) gjorde sin undersökning genom att observera matematiklektioner och intervjua elever och lärare från ett tvåspråkigt klassrum. Hon kom fram till att eleverna med ett annat modersmål än svenska ofta ses som ett problem i skolan och av lärarna då de saknar svenskhet och anpassning till den svenska skolan. Med detta menar Norén (2010) att inte ha svensk bakgrund kan skapa vissa problem då den svenska skolan bygger på Sveriges sociala värderingar och är uppbyggd av den svenska kulturen. Detta är bakgrunden till hennes undersökning. Målet med Noréns (2010) studie är att öka chansen för elever med svenska som andraspråk att lyckas med matematiken, det vill säga nå kursmålen, och se hur man på bästa sätt stöttar eleverna på vägen. Norén (2010) menar att alla elever bör få känna samhörighet och därför förespråkar hon främst tvåspråkiga lärare i matematikundervisningen. Lärare och elever delar då erfarenhet av att ha ett annat modersmål än svenska. Dessutom är en av de största fördelarna med tvåspråkiga lärare att läraren genomför undervisning på två olika språk och kan därmed hjälpa alla elever att förstå samtidigt som det svenska matematikspråket utvecklas. Detta bygger på ett kommunikativt klassrum där kunskaperna kommer genom att eleverna får samtala. Marit Johnsen Höinäs (2000) framhäver psykologen och pedagogen Lev Vygotskij (2000) och hans sociokulturella synsätt på utvecklingen hos ett barn. Begreppsförståelse menar Vygotskij (2000) är en inlärningsprocess där barnet behöver reflektera och samtala för att förstå. Han påpekar även att begrepp kan sägas vara en förening av språk och tanke där man genom användning av språket kan få en förståelse för tanken. Norén (2010) understryker i sin avhandling att identitet är sammankopplad med både språk och kultur och därför kan tvåspråkig matematikundervisning hjälpa eleverna att stärka sin identitet som en lärande och engagerad individ. Skulle däremot det svensktalande klassrummet dominera så skulle elever med svenska som andraspråk inte kunna visa sina kunskaper fullt ut och det leder i sin tur till ett begränsat lärande för dem. Norén (2010) lyfter fram flera fördelar med tvåspråkiga lärare, bland annat att fokus på elevens bristande 13

kunskaper inom språket övergår till fokus på själva matematiken istället. Språkbarriären mellan lärare och elev försvinner då och elever som nyligen anlänt får chansen att visa sina kunskaper redan från start. Dessutom kan nya begrepp introduceras och kommunikationen elever emellan ökar. Detta leder till språkutveckling då de i samtal får komma fram till sina svar och fokus ligger inte på språkfelen som görs (Norén 2010). I avhandlingen Ansvar för matematiklärande skriven av Åse Hansson (2011) kan man läsa om hur olika typer av undervisning påverkar elevernas lärande och kunskapsutveckling. Hansson (2011) betonar vikten av lärarens ansvar för elevernas lärande genom att läraren bör vägleda och stötta andraspråkseleverna i undervisningen och i deras utveckling. Hansson (2011) baserar sina forskningsresultat på sekundära analyser av redan insamlad data som till exempel resultat från PISA och TIMSS undersökningar, vilka visar elevernas testresultat i matematik. I avhandlingen utgår Hansson (2011) från tre olika dimensioner. Den första innebär att läraren tar störst ansvar för undervisningen och stöttar eleverna i deras lärande. Den andra dimensionen innebär att ansvaret lämnas över till eleverna själva och den tredje innebär att läraren lyfter fram innehållet i matematiken som ett objekt. Resultatet av avhandlingen visar att elever med ett annat modersmål än svenska missgynnas av den andra dimensionen då ansvaret på dem själva blir för stort och de får svårt att hänga med i undervisningen. Hansson (2011) drar då slutsatsen att den första dimensionen gynnar eleverna i det flerspråkiga klassrummet eftersom att läraren kan finnas där som ett stöd för att föra undervisningen och kunskapsutvecklingen framåt. Däremot menar hon att den svenska skolan inte ser ut såhär utan tvärt om, eleverna får alltmer ansvar för planering av sitt lärande. Hansson (2011) tar stöd i Dovermarks (2004) avhandling som även den pekar på att elevernas eget ansvar för sin kunskapsutveckling har ökat medan de mer lärarstyrda helklassuppgifterna har minskat. Här menar man att eleverna går sysslolösa och är omedvetna om vad som krävs av dem under tiden som de har eget arbete samtidigt som läraren är stressad och de gemensamma genomgångarna är väldigt få. Hansson (2011) analyserar sitt resultat och ställer sig frågan ifall det minskade antalet lärarledda lektioner är en bidragande orsak till den negativa utvecklingen av resultaten inom matematik i den svenska skolan. 14

4.3 Språkets betydelse Rönnberg och Rönnberg (2001) lyfter resultaten från de nationella proven i matematik år 1998 och 1999 som visar att det är en större andel elever med ett annat modersmål än svenska som inte når upp till betyget Godkänd än vad det är elever med svenska som modersmål. Rönnberg och Rönnberg (ibid) har genom forskning och utvecklingsarbeten kommit fram till att det finns många faktorer i undervisningen som har betydelse för andraspråkselevernas möjlighet att lära sig matematik. De nämner främst undervisningsspråket som en avgörande faktor. Matematikundervisningen ställer stora krav på elevernas språkbehärskning eftersom att det har en stor betydelse för att utveckla tänkandet och kunskapen. Eleverna bör därför få använda det språk som de behärskar bäst i matematikundervisningen. Den kulturella och språkliga bakgrunden är grunden till att alla barn utvecklar informella matematiska begrepp redan innan de börjar skolan och eftersom att dessa kunskaper är knutna till elevens erfarenheter och bakgrund så måste även matematikundervisningen baseras på detta (Rönnberg & Rönnberg ibid). Lärare som undervisar elever med ett annat modersmål än svenska anser att eleverna saknar dessa begrepp och erfarenheter som svenska elever har inför skolstarten. De båda forskarna menar att så är inte fallet, andraspråkseleverna har bara kunskaperna och begreppen knutna till en annan kulturell- och språklig bakgrund än vad läraren i den svenska skolan är van vid. Elizabeth Warren och Jodie Miller (2013) menar att många lärare förenklar sitt undervisningsspråk för att andraspråkseleverna ska förstå, vilket de anser är fel då det förenklade språket hämmar deras kunskaps- och begreppsutveckling. Istället ska man använda det matematiska ämnesspråket på ett korrekt sätt och stötta upp med andra hjälpmedel, så som praktiskt material, för att öka elevernas förståelse. 15

5. Metod I denna del av litteratur- och intervjustudien redogör vi för vilka metoder som använts och vi kommer presentera urval, intervjumetod, genomförande, etiska överväganden, validitet, reliabilitet samt analysmetod. 5.1 Urval Intervjudelen inleddes med att göra pilotintervjuer med två aktiva lärare. Då dessa inte påverkar resultatet, utan endast var en del av utvecklingsprocessen, valdes lärarna genom ett bekvämlighetsurval. Pilotstudierna resulterade i att vi formulerade om en del intervjufrågor då de inte var tillräckligt specifika. Fyra intervjuer genomfördes med lärare från fyra olika kommuner. Den första intervjun gjordes på en skola i en större, invandrartät stad i södra Sverige med en matematiklärare. Den andra gjordes i en av grannkommunerna med en matematiklärare på en mångkulturell skola. Intervju nummer tre gjordes med en mellanstadielärare i en förberedelseklass på större skola i södra Sverige. Avslutningsvis gjorde vi en intervju med en matematiklärare på en mindre skola i en mindre kommun belägen på landet i södra Sverige. Alla fyra lärare är verksamma i årskurs 4-6. De första tre skolorna kontaktades eftersom att det är skolor med en hög procent andraspråkselever vilket är relevant för vår undersökning. Den fjärde skolan är en skola med väldigt låg procent andraspråkselever och valdes av just den anledningen, för att se ifall användningen av praktisk matematik skiljer sig beroende på mängden andraspråkselever. Rektorerna på vardera skola tilldelade oss lämplig lärare för intervjun. 5.2 Intervjumetod Intervjuerna är av semistrukturerad karaktär. Detta innebär att intervjuerna är strukturerade genom öppna frågor med ett huvudtema, praktisk matematik, som samtalet är centrerat kring. På så sätt har respondenten en större chans att påverka intervjuns innehåll. Det ställs dock 16

större krav på intervjupersonen då den måste vara en aktiv lyssnare och ställa passande följdfrågor. En semistrukturerad intervju är dock inte så fri att den skulle klassas som en ostrukturerad intervju där samtalet är helt öppet och endast vägleds av ett ämne som respondenten i huvudsak talar kring (Alvehus 2014). Metoden semistrukturerad intervju är vald eftersom att en strukturerad intervju, i detta sammanhang, är för begränsad. I en strukturerad intervju finns det inga möjligheter att ställa följdfrågor vilket kan begränsa möjligheterna till att få så djupgående svar som möjligt. De ostrukturerade intervjuerna är inte heller gynnsamma då praktisk matematik är ett relativt okänt begrepp för många lärare. Vi valde att genomföra intervjuer för att kunna besvara vår andra frågeställning angående praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk ute i de svenska skolorna. Intervju är även den huvudsakliga metoden för att besvara den tredje frågeställningen som rör för- och nackdelar med praktisk matematik. 5.3 Genomförande Arbetet inleddes med att de fyra skolorna kontaktades genom utskick av ett informationsmejl till rektorerna. Mejlet innehöll en presentation av oss samt vilket syfte studien har. I mejlet redogjorde vi även för vårt önskemål om att komma i kontakt med en matematiklärare i årskurs 4-6 som skulle vilja delta i en intervju. Genom detta fick vi kontakt med en matematiklärare på vardera skola vilket resulterade i att fyra intervjuer kunde genomföras. Innan intervjun genomfördes erhöll de fyra lärarna ett missivbrev (se bilaga A) som informerade dem om intervjun och de etiska principerna som vi tar hänsyn till i vårt arbete. 5.3.1 Det personliga mötet De fyra personliga mötena såg ungefär likadana ut. Vi träffade läraren vid huvudentrén till skolan. Därefter blev vi visade till ett avskilt tyst rum, i tre av fallen var detta lärarens klassrum och på den fjärde skolan skedde intervjun i ett grupprum. Innan intervjun genomfördes frågade vi om läraren hade läst missivbrevet och ifall hen var införstådd med villkoren för medverkan. Ett godkännande från lärarna att spela in intervjun som en ljudfil efterfrågades innan vi satte igång, inspelningen startades och intervjun påbörjades. Intervjun 17

varade i cirka 15-20 minuter. När vi hade ställt alla våra frågor med tillhörande följdfrågor fick läraren möjlighet att göra ett tillägg om hen ville innan intervjun avslutades. 5.4 Etiska överväganden Vetenskapsrådet (u.å) har fyra allmänna huvudkrav för forskning som har tagit hänsyn till i denna studie. Dessa är informationskravet, konfidentialitetskravet, samtyckeskravet och nyttjandekravet. De skolor och lärare som har medverkat i arbetet har tilldelats fiktiva namn för deras anonymitet och alla personuppgifter har behandlats konfidentiellt. Vi har även tagit hänsyn till nyttjandekravet då deltagarna har blivit informerade om att den insamlade datan endast kommer att användas i forskningssyfte. De medverkande, såsom lärare och rektorer, har innan intervjun fått ta del av vad kommande arbete kommer att innehålla, allt enligt informationskravet. Vetenskapsrådet (u.å) menar med samtyckeskravet att det är vår skyldighet som intervjuare att informera respondenterna att deras deltagande är frivilligt och att deras medverkan kan avbrytas när som helst. Då samtliga deltagare är över 18 år så behövdes inget medgivande från målsman. Alla intervjudeltagare har tilldelats ett missivbrev (se bilaga A) där de informerades om de ovanstående kraven. 5.5 Validitet Säljö (Lundgren,Säljö, & Liberg 2014) beskriver god validitet som att man på ett lämpligt sätt använder sig av stoffet, i vårt fall intervjuerna, och att detta görs på ett så trovärdigt sätt som möjligt för få fram ett resultat och därigenom kan dra en slutsats. För att nå en så hög validitet som möjligt i undersökningen är intervjufrågorna noga utarbetade och formulerade på så vis att risken för missuppfattningar ska vara minimal. För att denna risk ska minska så genomfördes en pilotintervju där frågorna testades i syfte att se ifall dem ledde till några missuppfattningar. 18

5.6 Reliabilitet På samma sätt som en tumstock är ett instrument för att mäta föremåls längd är enkäter, intervjuer och observationer instrument för att mäta uppfattningar och beteenden (Johansson & Svedner 2010 s.95). Som Bo Johansson och Per Olov Svedner (2010) skriver så är reliabilitet en mätning av noggrannhet och i vårt fall noggrannheten av genomförande av intervju samt transkribering. För att uppnå så hög reliabilitet som möjligt har vi varit två intervjuare närvarande vid samtliga intervjutillfällen. Intervjuerna är inspelade för att fokus skulle vara på respondentens svar samt eventuella följdfrågor. Vi valde därför att avstå från att föra anteckningar under pågående intervju. Tack vare inspelningarna har det varit möjligt att gå tillbaka och lyssna på intervjuerna ett flertal gånger vilket ökar reliabiliteten. Transkribering av intervjuer har skett tillsammans för att minimera felskrivningar och risken för att missa viktig information. Intervjuerna har transkriberats utifrån talspråk där pauser och tveksamheter har markets. 5.7 Analysmetod Insamlad data, i vårt fall transkriberade intervjuer, analyserades noggrant då vi började med att se till helheten och läste transkriberingarna flera gånger för att kunna materialet utan och innan. Enligt Febe Friberg (2012) bör man i detta skede ha ett öppet sinne och ta in allt vad materialet har att erbjuda för att få en övergripande förståelse. Arbetet fortsatte med att bryta ner texten för att plocka ut de meningsbärande delarna som sedan kategoriseras utifrån frågeställningarna. Under tiden vi analyserar pendlar vi hela tiden mellan själva texten, det konkreta, och kategorierna, det abstrakta, för att vara säkra på att analys och data stämmer överens med varandra (Friberg 2012). Utifrån våra kategorier från analysdelen har det av datan framkommit en ny helhet, vilket vi åter behandlar den som. 19

6. Resultat och analys I denna del av studien redovisas resultatet av våra intervjuer som sedan analyseras. I den första delen redogörs det för vad tidigare forskningsresultat skriver om praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk. Därefter kommer vi klargöra vilken roll den praktiska matematiken har i matematikundervisningen för elever med svenska som andraspråk i den svenska skolan i dag. Vidare belyser vi för- och nackdelar med den praktiska matematiken som ett stöd för elever med svenska som andraspråk. Avslutningsvis kommer vi att analysera utifrån ett pragmatiskt och sociokulturellt synsätt med koppling till tidigare nämnda begrepp. 6.1 Intervju med Rosanna Intervjun är gjord på en F-6 skola i en invandrartät stad i södra Skåne där det går cirka 400 elever. Rosanna är mentor för 22 elever i en årskurs 6 där samtliga bedöms i förhållande till målen i svenska som andraspråk. På frågan om det någon gång uppstår missförstånd i kommunikationen mellan Rosanna och hennes andraspråkselever svarade hon: [...]nu är det såhär att vi är en skola där alla 400 elever är SvA elever, vi har bara en elev med eh svenska som sitt modersmål. Vilket gör att vi har hela vår undervisning bygger på att det är SvA elever. Allt jag har från stöd och struktur så har jag ju bildstöd. Jag har bildstöd i allt jag gör i matematiken, vilket gör att det inte blir så mycket eh eh missförstånd kan man ju säga. Rosanna har en rad olika strategier för att hjälpa eleverna att nå målen i matematik. Bilder är en av de viktigaste stöttorna i hennes undervisning. Rosanna berättar att ett av hennes viktigaste sätt att stötta eleverna på är genom att använda bilder som stöd i undervisningen. Som ytterligare en extra anpassning placerar hon elever med samma modersmål bredvid varandra i klassrummet. Rosanna berättar att struktur är något som genomsyrar all undervisning, att använda samma struktur leder till att eleverna endast behöver fokusera på själva matematiken. Rosanna påstår sig inte arbeta med praktisk matematik under varje matematiklektion, hon menar att det beror på vilket arbetsområde de arbetar med. Samtidigt säger Rosanna att hon har ett behov av att använda sig av den praktiska matematiken med 20

tanke på hennes andraspråkselever. Vi ställer då frågan om hon anser att praktisk matematik kan användas som ett hjälpmedel för elever som har svenska som andraspråk att nå målen? Ja, absolut, det blir så mycket mera konkret, det blir ett språk mellan oss som gör det så synligt. Där vi kan prata om jag inte kan hens språk så kan jag alltid i praktiken kunna visa så absolut. Plötsligt så blir det ett gemensamt språk. Vi ställer följdfrågan; Finns det något annat alternativ som du hellre skulle välja än just den praktiska matematiken? Rosanna svarar att de arbetar mycket med det svenska språket i matematiken där de håller sig till ämnesspråket utan att förenkla. Rosanna ger istället ut stödmeningar och hjälper dem att uttrycka sig på det viset. En stödmening som Rosanna kan använda under matematiklektionerna kan se ut på följande sätt Produkten är... Vi frågar Rosanna vilka för- och nackdelar hon anser att det finns med praktisk matematik. Hon anser att praktisk matematik kan användas som ett språkstöd, vilket är en stor fördel, nackdelen är att den inte alltid fungerar som man vill. Hon menar att hon inte alltid når fram till sina elever genom den praktiska matematiken, då föredrar hon hellre att ta hjälp av Google translate. 6.2 Intervju med Helen Den andra intervjun är gjord med mellanstadieläraren Helen på en F-6 skola i en mindre stad i södra Sverige. Hon är mentor för en årskurs 6 där hon har 16 elever varav cirka 80 procent bedöms mot målen i svenska som andraspråk. Helen berättar att man i hennes klass väljer att vid ett tillfälle i veckan plocka ut två av eleverna med svenska som andraspråk för att ha matematikundervisningen utanför klassrummet med en studiehandledare som talar samma modersmål som eleverna. Anledningen till att man väljer att göra detta är för att de ska få särskild undervisning när det gäller nya begrepp och språket kring matematiken där modersmålet kan användas som ett stöd. Vid de andra undervisningstillfällena menar Helen att det ofta uppstår missförstånd när hon ska introducera begrepp eller när eleverna arbetar på egen hand med lästal. Då brukar hon använda sig av bilder som ett stöd eller så försöker hon få eleverna att se och förstå helheten istället för att se enskilda ord som de inte förstår. I en uppgift kan det till exempel stå Torsten bygger ett torn med klossar. Han lägger den blå klossen ovanpå den gula klossen. Här kan eleven ha svårt för att förstå innebörden av ovanpå och då menar Helen att man skulle kunna hoppa över det ordet och ändå förstå innebörden av 21

hela meningen. På frågan om Helen arbetar med praktisk matematik i sitt klassrum svarar hon följande; Vi har kanske inte så mycket laborativt material men ibland så tar man ju in eh.. ja kuber, klossar och såhär men det är inte så att dem sitter med plockmaterial på samma sätt som man jobbar med dem lägre åldrarna. För det är ju inte själva räkningen utan det är faktiskt svenskan och ordförståelsen som oftast vållar problem. Helen menar ändå att hon arbetar med praktisk matematik till viss del då hon lyfter en del saker som de arbetar med i hennes klassrum. Vi tittar på linjalen, vi mäter, vi hittar kroppsmått, vad är det som motsvarar 1 centimeter? Vad är det som är 1 decimeter? Hur lång är 1 meter? Alltså man hittar referensmått. Att man bygger upp det så att man har en någonting att gå tillbaka och backa upp sina kunskaper på. Att man vet att ett decilitermått ja men just det, det var det vi hade där. Hur många gånger tog man det för att det skulle bli en liter? Jämföra saker liksom en kub som rymmer 1 liter kan det vara lika mycket som i en liter fil? Saker att hänga upp det på, det tror jag. Gällande frågan om praktisk matematik kan användas som ett hjälpmedel för elever med svenska som andraspråk svarar Helen att det tycker hon absolut. Hon menar på att det blir mer konkret då eleverna kan applicera matematikkunskaper på verkliga saker vilket gör det enklare att förstå. Men Helen själv använder det inte som ett särskilt stöd för just andraspråkseleverna utan hon tar in praktisk matematik som ett hjälpmedel när hon känner att hon behöver det för att hjälpa eleverna att förstå och ofta blir det i helklass och inte för en specifik elev. På sista frågan om Helen ville lyfta några fördelar samt nackdelar med praktisk matematik svarar hon; Jag har svårt att se att där skulle finnas några nackdelar med det men samtidigt så ser jag inte det som ett stöd för språkbrister. Men fördelarna är ju absolut att eleverna får en koppling till verkligheten så att det blir tydligt för dem och dessutom är det enkelt att använda och enkelt att förstå. 22

6.3 Intervju med Kerstin Den tredje intervjun är gjord på en F-9 skola i södra Skåne med Kerstin som arbetar i en förberedelseklass på skolan. Hon undervisar i matematik och naturvetenskap och har under många år arbetat i mellanstadiet. I klassen som Kerstin undervisar i går det tre elever, eleverna är mellan 10 och 12 år gamla och samtliga bedöms mot målen för svenska som andraspråk. Vi frågar henne om det någon gång uppstår missförstånd mellan henne och hennes elever vilket hon svarar att det ofta gör. I regel är många nyanlända elever väldigt duktiga på matematik, de flesta har gått i skolan i sitt hemland och är duktiga på de fyra räknesätten. Det är när det kommer till de svenska begreppen i matematiken som problemen och missförstånden uppstår. [...] det kan vara sådana ord som antal och varannan. Varje har vi jobbat med här igår, udda och jämnt och sånt när man ska förklara de begreppen så kan de ibland uppstå missförstånd då får man ju visa och vara väldigt visuell och visa på tavlan och hur det går till. Kerstin berättar för oss att hon arbetar mycket med praktisk matematik, speciellt när det kommer till lästal. Vid lästal stöttar Kerstin eleverna med praktiskt material, visar bilder, mäter, låter eleverna själv få prova så de får en vardagsanknytning och hon bakar även en gång i veckan med eleverna. Detta för att de ska få lära sig svenskan genom att läsa receptet och även matematiken när det kommer till volym och vikt. Ett annat exempel som Kerstin berättar om är när de arbetar med längd: Då har de fått mäta sina steg och så vet de att det går ungefär två steg som går på en meter och så kan vi gå ut och gå och så får de räkna sina steg och så kan de uppskatta hur långt har vi gått nu. Vi frågar Kerstin om hon någon gång använder praktisk matematik när hon ska förklara något nytt begrepp i matematiken. Kerstin berättar då att den praktiska matematiken är nyckeln till deras kommunikation. Det kan vara att förklara ett så simpelt begrepp som varje, hon lägger upp föremål på bordet och sätter handen på varje föremål. Utifrån denna gestaltning kan hon sedan arbeta vidare med begreppet varannan. Eleverna får prova sig fram, känna och se på föremålen. Kerstin förklarar att man som lärare är en trollkarl och måste hitta sina egna trollformler för att få eleverna att förstå, det är bara sin egen fantasi som kan sätta stopp. Hon berättar även för oss att hon anser att praktisk matematik ska vara något som ska ingå i all matematikundervisningen och inte bara som ett extra stöd. Vi frågar Kerstin om hon kan se 23

några för- och nackdelar med den praktiska matematiken. Hon väljer då att lyfta fördelarna som något hon nämnt tidigare och att man ska vara observant på att eleverna lär sig begreppen i just den situationen som du visar dem. Eleverna kan ibland fästa sig vid hjälpmedlet istället för själva begreppet, vilket kan leda till missförstånd. 6.4 Intervju med Samuel Den sista intervjun genomfördes på en mindre F-6 i en liten kommun södra Sverige med en matematik- och NO-lärare på mellanstadiet. Samuel är mentor för en klass på 28 elever där fyra stycken bedöms mot målen svenska som andraspråk. Han fick frågan om det någon gång uppstår missförstånd mellan honom och hans andraspråkselever och hur han i sådana fall löser detta. Samuel menar på att det ganska ofta uppstår missförstånd och detta främst sker när han ska gå igenom nya matematiska begrepp. Det är då som eleverna låser sig och är i behov av ett extra stöd. Samuel löser detta genom att använda mycket bilder som hjälpmedel för att andraspråkseleverna ska kunna se begreppets betydelse och för att de ska få en visuell bild av ordet. Samuel lyfter detta som det viktigaste tillvägagångssättet han har för att stötta och hjälpa sina andraspråkselever att nå målen. Men han poängterar även att elevernas modersmålsundervisning är en viktig del i deras språkutveckling som ligger till grund för förståelsen i matematiken. På frågan om Samuel arbetar med praktiskt matematik svarar han; Ja, jag vill tro att jag arbetar med praktisk matematik när jag använder mina bilder för att låta eleverna se det matematiska språket. Förutom att stötta eleverna genom det praktiska materialet så genomför vi ibland olika experiment och försök i helklass för att jag vill att eleverna ska få en mer abstrakt bild av matten. Om jag inte är fel på det så skulle jag kalla det för praktisk matematik. Intervjun avslutas med att Samuel får lyfta både för- och nackdelar med praktisk matematik varpå han väljer att svara; Jag ser givetvis många fördelar med praktisk matematik eftersom att man kan ta ner något avancerat på en väldigt enkel och tydlig nivå för eleverna. Det skulle jag nog säga är det största fördelen. Dessutom är det ett sätt för mina andraspråkselever att uttrycka sig på när språket inte räcker till. Nackdelar är svårare, jag tycker nog att det i sådana fall är att veta hur 24

man ska använda det för att få bäst resultat eller för att hjälpa så mycket som möjligt. Vet man inte hur man ska använda sig av praktisk matematik så kanske man bara krånglar till det ännu mer för eleverna. En utbildning hade varit på sin plats. 6.5 Analys av tidigare forskningsresultat om praktisk matematik som ett stöd för elever med svenska som andraspråk Detta avsnitt är strukturerat efter att forskningsresultaten är uppdelade i kategorier. Den ena kategorin är de studierna som förespråkar ett flerspråkigt klassrum och består av Noréns (2010) studie, Hanssons (2011) studie och Rönnberg och Rönnbergs (2001) studie. Den andra kategorin är de studierna som förespråkar att undervisningen sker på svenska med olika typer av stöd som till exempel praktisk matematik. Kategorin utgörs av Bengtssons (2012) studie, Berggren och Lindroths (2004) studie samt Waren och Millers (2013) studie. I kommande stycke vägs dessa två kategorier av studier mot varandra. Norén (2010) menar att elever som har ett annat förstaspråk än svenska och därmed inte har en svensk bakgrund kan få vissa problem med att den svenska skolan bygger på Sveriges sociala värderingar och är uppbyggd av den svenska kulturen. Då Norén (2010) poängterar vikten av att känna samhörighet så förespråkar hon tvåspråkiga lärare i matematikundervisningen som en primär lösning på problemet. Lärare och elever delar då erfarenhet av att ha ett annat modersmål än svenska och dessutom får de en stor fördel i att läraren kan genomföra undervisningen på två olika språk och kan därmed hjälpa alla elever att förstå samtidigt som det svenska matematikspråket utvecklas. Norén (2010) lyfter fram flera fördelar med tvåspråkiga lärare, bland annat att fokus på elevens bristande kunskaper inom språket övergår till fokus på själva matematiken. Språkbarriären mellan lärare och elev försvinner och elever som nyligen anlänt får chansen att visa sina kunskaper redan från start. Dessutom kan nya begrepp introduceras och kommunikationen elever emellan ökar vilket leder till språkutveckling då de i samtal får komma fram till sina svar och fokus ligger inte på språkfelen som görs. Vi ser också, utifrån ett sociokulturellt perspektiv, att tvåspråkiga lärare kan hjälpa andraspråkseleverna att nå målen i matematik då kommunikation, samtal mellan lärare-elev och elev-elev och samarbete mellan eleverna är viktiga faktorer för 25

kunskapsutvecklingen då det leder till ett distributivt lärande. Dock är vi kritiska till hur en andraspråkslärare ska vara lösningen när läraren har andraspråkselever med flera olika förstaspråk. Dessutom menar vi att såväl den generella språkutvecklingen som utvecklingen av ämnesspråket eventuellt kan hämmas lite av ett tvåspråkigt klassrum då eleverna enkelt kan falla tillbaka i tryggheten att kommunicera på sitt förstaspråk istället för att utmana sig själv i andraspråket. Med för stor trygghet och för lite utmaning når eleverna inte den proximala utvecklingszonen där möjligheten för utveckling är stor. Warren & Miller (2013) menar genom att förenkla matematikspråket för elever med svenska som andraspråk så hämmar detta deras kunskaps- och begreppsutveckling. Istället ska det matematiska ämnesspråket användas på ett korrekt sätt och andra hjälpmedel, såsom praktiskt material, används för att öka elevernas förståelse. Rönnberg och Rönnberg (2001) poängterar dock en viktig sak som motsätter sig våra tankar. Nämligen att undervisningsspråket är den mest avgörande faktorn för att andraspråkselever ska ha en möjlighet att lära sig matematik. Matematikundervisningen ställer stora krav på elevernas språkbehärskning eftersom att det har en stor betydelse för att utveckla tänkandet och kunskapen. Därför bör eleverna använda det språk som de behärskar bäst i matematikundervisningen. Bengtsson (2012) ger ett alternativ till detta då hon understryker vikten av att låta andraspråkseleverna arbeta med praktiskt material och visuella bilder. Vid användning av praktisk matematik får eleverna möjligheter till många olika uttrycksformer som till exempel experiment och teckningar vilket ger dem en chans att prata matematik och samtidigt utveckla det matematiska språket. Med utgångspunkt i ett sociokulturellt perspektiv tolkar vi det som att Bengtsson (2012) menar att praktisk matematik blir ett gemensamt språk i klassrummet som alla förstår och alla kan kommunicera genom vilket innebär att man inte behöver ta bort det svenska språket och på så vis hämma elevernas utveckling av ämnesspråket. Vi menar att genom ett kommunikativt klassrum bjuder man in eleverna till ett distributivt lärande där alla får möjlighet till att lära av varandra. Kommunikationen blir då en bärande faktor och eleverna lär i samspel med varandra och läraren. 26

6.6 Analys av verksamma lärares arbete med praktisk matematik med elever med svenska som andraspråk I denna del av arbetet delas respondenterna upp i olika kategorier utifrån hur de arbetar med praktisk matematik. Den första kategorin, praktisk matematik ska vara en obligatorisk del av matematikundervisningen, består av de pedagogerna som använder praktisk matematik som ett stöd vilka är Kerstin och Samuel. Kategori nummer två, praktisk matematik är för de yngre åldrarna, är den pedagog som till stora delar utesluter praktisk matematik, Helen. Den tredje kategorin, plötsligt blir det ett gemensamt språk, består av den pedagog som har delade åsikter och står på båda sidor, Rosanna. 6.6.1 Praktisk matematik ska vara en obligatorisk del av matematikundervisningen Vi tolkar det som att Kerstin arbetar mycket med praktisk matematik som ett stöd för andraspråkseleverna. Kerstin poängterar även att den praktiska matematiken bör vara en del av all matematikundervisning och inte endast användas som ett stöd. Kerstin berättar om flera olika tillvägagångssätt för att hjälpa eleverna på som till exempel visa bilder, arbetar med material som klossar, arbetar med längdmått utifrån dem själva, bakar en gång i veckan för att arbeta med volym och vikt. Detta är många olika varianter där eleverna får prova på själva och vardagsanknytningen blir tydlig för dem. Vi tolkar detta utifrån ett pragmatiskt synsätt där learning by doing genomsyrar undervisningen. Man kan se att Kerstin låter eleverna prova på nästan allt de gör, där flera olika sinnen spelar roll för inlärningen. Undervisningen utgår ifrån elevernas behov vid till exempel bakningen då inlärning av vikt och volym kommer till direkt nytta och undervisningen blir meningsfull för eleverna. Undervisningens nytta understryks i det pragmatiska synsättet och här blir kopplingen mellan kunskap och nytta tydligt för eleverna. Hon menar dessutom att detta ska komma som en naturlig del av undervisningen och inte bara som ett stöd vilket visar på att Kerstin känner sig säker på hur hon ska arbeta med praktisk matematik och hur hon bäst använder materialet. - Samuel menar även han att det ofta uppstår missförstånd mellan honom och hans andraspråkselever, främst vid genomgång av nya begrepp. Samuel löser det genom att ta hjälp av praktisk matematik där han använder bilder för att hjälpa eleverna se orden och visualisera 27