Flerfaktorförsök Blockförsök, randomiserade block Modell: yij i bj eij i 1,,, a j 1,,, b y ij vara en observation för den i:te behandlingen och det j:e blocket gemensamma medelvärdet ( grand mean ) effekt av behandling i i 1,,, a i b effekt av block j j 1,,, b j e ij slumpfel Förutsättningar: e 0, ij NID e 1
a b i 1 j 1 SST y y ij a i 1 a y y y y y. y b y y i. b i 1. j a b i 1 j 1 ij i. j SSA SSB SSE a i 1 SSA b y y SSB a y y i. b i 1. j a b i 1 j 1. SSE y y y y n a b ij i. j
H 0 : 1 a H 1 : Alla i alt. H 0 : 1 a 0 är ej lika H 1 : Alla i är ej lika med noll ANOVA-tabell Variationsorsak Frihetsgrader Kvadratsummor Medelkvadratsummor Behandling a 1 SSA MSA block b 1 SSB MSB Error ( a 1)( b 1) SSE MSE F-test MSA MSE MSB MSE Totalt n 1 SST MSA SSA SSB SSE MSB MSE a 1 b 1 ( a 1)( b 1) 3
Beräkningsformler. a b SST ( y y) A B i 1 j 1 ij a SSA b ( y y) C B i 1 i. b SSB a ( y y) D B i 1 a b i 1 j 1. j SSE ( y y y. y) SST SSA SSB ij i. j A a b i 1 j 1 y ij B a b n i 1 j 1 y ij C 1 a b y b i 1 j 1 ij D 1 b a yij a j 1 i 1 n a b 4
Exempel: Tre olika diskmedel jämförs för att studera deras förmåga att stoppa bakterietillväxt i mjölkbehållare. Analysen görs i ett laboratorium och bara tre försök kan göras per dag. Eftersom det kan finnas skillnader mellan dagarna bestämmer sig försöksledaren för att betrakta Dag som en blockfaktor. Man gör observationer under fyra dagar. Data återges i tabellen nedan. Data representerar mängden bakterier som finns kvar efter diskning, d.v.s. ett lågt värde betyder att de flesta bakterier eliminerats. Dag Diskmedel 1 3 4 A 13 18 39 B 16 4 17 44 C 5 4 1 Gör en variansanalys för att se om det finns några skillnader mellan diskmedel vad gäller deras förmåga att döda bakterier. (Från Engstrand & Olsson: Variansanalys och försöksplanering. Studentlitteratur, 003.) 5
Om vi analyserar detta utan att ta hänsyn till att det kan finnas skillnader mellan dagarna, dvs. som en envägs ANOVA får vi One-way ANOVA: bakt versus disk Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value disk 703,5 351,8,73 0,118 Error 9 1158,8 18,8 Total 11 186,3 S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 11,3468 37,78% 3,95% 0,00% p-värdet är 0,118. Vi kan inte förkasta H 0. 6
Modell: xij i bj eij H alt. H0 : A B C 0 H är ej lika H 1 : Alla i är ej lika med noll 0 : A B C 1 : Alla i Signifikansnivå: 0,05 Testfunktion: Fobs MSA MSE Förutsättningar e 0, ij NID e F F F,6;0,05 5,14 H 0 förkastas om obs a 1,( a 1)( b 1); Alternativt H 0 förkastas om p-värdet är. 7
Dag Diskmedel 1 3 4 A 13 18 39 9 B 16 4 17 44 101 C 5 4 1 3 34 50 36 105 5 A a b i 1 j 1 y ij 6081 B a b yij i 1 j 1 5 n 1 418,75 C D 1 a b 9 101 3 19689 yij 49, 5 b i 1 j 1 4 4 1 b a 34 50 36 105 15977 yij a j 1 i 1 3 3 8 n a b 34 1
SST A B 6081 418,75 186,5 SSA C B 49,5 418,75 703,50 15977 SSB D B 418,75 1106,9 3 SSE SST SSA SSB 51,83 9
ANOVA-tabell Variationsorsak Frihetsgrader Kvadratsummor Medelkvadratsummor F-test Diskmedel 703,50 351,750 40,7 Dagar 3 1106,9 368,97 (4,71) Error 6 51,83 8,639 Totalt 11 186,5 H förkastas om Fobs Fa 1,( a 1)( b 1); F,6;0,05 5,14 0 40,7 5,14 H 0 förkastas Slutsats: Testresultatet tyder, på 5% signifikansnivå, på att diskmedlen i genomsnitt inte har samma förmåga att döda bakterier. 10
Med hjälp av MINITAB 11
1
13
ANOVA: bakt versus disk; dag Factor Type Levels Values disk fixed 3 A; B; C dag random 4 1; ; 3; 4 Analysis of Variance for bakt Source DF SS MS F P disk 703,50 351,75 40,7 0,000 dag 3 1106,9 368,97 4,71 0,000 Error 6 51,83 8,64 Total 11 186,5 S =,9390 R-Sq = 97,% R-Sq(adj) = 94,90% Alternativt H 0 förkastas om p-värdet är. p-värdet är 0,000 0,000 0,05 H 0 förkastas Slutsats: Testresultatet tyder, på 5% signifikansnivå, på att diskmedlen i genomsnitt inte har samma förmåga att döda bakterier. 14
One-way ANOVA: bakt versus dag Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value dag 3 1106,9 368,97 3,91 0,055 Error 8 755,3 94,4 Total 11 186, S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 9,7168 59,44% 44,3% 8,74% 15
Regression Analysis: bakt versus disk; dag Method Categorical predictor coding (1; 0) Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Regression 5 1810,4 36,083 41,91 0,000 disk 703,50 351,750 40,7 0,000 dag 3 1106,9 368,97 4,71 0,000 Error 6 51,83 8,639 Total 11 186,5 Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred),9390 97,% 94,90% 88,87% 16
Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF Constant 15,58,08 7,50 0,000 disk B,5,08 1,08 0,31 1,33 C -15,00,08-7, 0,000 1,33 dag 5,33,40, 0,068 1,50 3 0,67,40 0,8 0,790 1,50 4 3,67,40 9,86 0,000 1,50 Regression Equation bakt = 15,58 + 0,0 disk_a +,5 disk_b - 15,00 disk_c + 0,0 dag_1 + 5,33 dag_ + 0,67 dag_3 + 3,67 dag_4 Fits and Diagnostics for Unusual Observations Std Obs bakt Fit Resid Resid 9 5,00 0,58 4,4,13 R R Large residual 17
Blockförsök vid matchning. 18
Exempel Man vill mäta effektiviteten av en behandling som förmodas ha en positiv effekt för patienter med förhöjt blodtryck. Elva patienter får genomgå ett experiment som innebär att de först får en overksam behandling (placebo) och sedan den behandling vars effekt man vill mäta. Efter varje behandling uppmäts det systoliska blodtrycket i mm Hg. Patient Placebo Behandling 1 11 181 10 17 3 10 196 4 03 191 5 196 167 6 190 161 7 191 178 8 177 160 9 173 149 10 170 119 11 163 156 Antag att blodtryck är en normalfördelad variabel. Har behandlingen den förmodade effekten? ( 0,05) 19
0
1
3
Paired T-Test and CI: Placebo; Behandling Paired T for Placebo - Behandling N Mean StDev SE Mean Placebo 11 190,36 17,41 5,5 Behandling 11 166,36 1,4 6,46 Difference 11 4,00 13,09 3,95 95% CI for mean difference: (15,0; 3,80) T-Test of mean difference = 0 (vs 0): T-Value = 6,08 P-Value = 0,000 ANOVA: Blodtryck versus Medicin; Patient Analysis of Variance for Blodtryck Source DF SS MS F P Medicin 1 3168,00 3168,00 36,97 0,000 Patient 10 6764,09 676,41 7,89 0,00 Error 10 857,00 85,70 Total 1 10789,09 S = 9,5743 R-Sq = 9,06% R-Sq(adj) = 83,3% 4
Regression Analysis: Blodtryck versus Medicin; Patient Method Categorical predictor coding (1; 0) Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Regression 11 993,1 90,9 10,54 0,000 Medicin 1 3168,0 3168,00 36,97 0,000 Patient 10 6764,1 676,41 7,89 0,00 Error 10 857,0 85,70 Total 1 10789,1 Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 9,5743 9,06% 83,3% 61,55% 5
Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF Constant 184,00 6,84 6,91 0,000 Medicin Placebo 4,00 3,95 6,08 0,000 1,00 Patient -5,00 9,6-0,54 0,601 1,8 3 7,00 9,6 0,76 0,467 1,8 4 1,00 9,6 0,11 0,916 1,8 5-14,50 9,6-1,57 0,148 1,8 6-0,50 9,6 -,1 0,051 1,8 7-11,50 9,6-1,4 0,4 1,8 8-7,50 9,6 -,97 0,014 1,8 9-35,00 9,6-3,78 0,004 1,8 10-51,50 9,6-5,56 0,000 1,8 11-36,50 9,6-3,94 0,003 1,8 Regression Equation Blodtryck = 184,00 + 0,0 Medicin_Behandling + 4,00 Medicin_Placebo + 0,0 Patient_1-5,00 Patient_ + 7,00 Patient_3 + 1,00 Patient_4-14,50 Patient_5-0,50 Patient_6-11,50 Patient_7-7,50 Patient_8-35,00 Patient_9-51,50 Patient_10-36,50 Patient_11 6
Fits and Diagnostics for Unusual Observations Obs Blodtryck Fit Resid Std Resid 10 170,00 156,50 13,50,16 R 1 119,00 13,50-13,50 -,16 R R Large residual 7
Tvåvägs ANOVA, fler än en observation per cell 8
Modell: y ijk i j ij ijk e y ijk vara den k:e observationen för kombinationen behandling i och j gemensamma medelvärdet ( grand mean ) i i ij effekt av behandling i effekt av faktornivå i det specifika för population i effekt av behandling j effekt av faktornivå j det specifika för population j effekt av samspel ij effekt av interaktionen ij e ijk slumpfel Förutsättningar e 0, ijk NID e 9
a b c SST ( y y) i j k ijk a bc ( y.. y) i 1 i b ac ( y.. y) i 1 j a b c ( y. y.. y.. y) i 1 j 1 ij i j a b c ( y y.) SSA SSB SSAB SSE i j k ijk ij a SSA bc ( y.. y) i 1 a b i SSAB c ( y. y.. y.. y) i 1 j 1 ij i j b SSB ac ( y.. y) i 1 a b c SSE ( y y.) i j l j ijk ij n a b c 30
ANOVA-tabell Frihetsgrader Variationsorsak Kvadratsummor Medelkvadratsummor F-test Faktor A a 1 SSA MSA MSA MSE Faktor B b 1 SSB MSB MSB MSE Samspel ( a 1)( b 1) SSAB MSAB MSAB Error ab( c 1) SSE MSE Totalt abc 1 SST MSE MSA SSA SSB SSAB SSE MSB MSAB MSE a 1 b 1 ( a 1)( b 1) ab ( c 1) 31
Fixa faktorer och slumpmässiga faktorer Modell 1: y ( ) e ijk i j ij ijk Modell : y a b ( ab) e ijk i j ij ijk Modell 3: y b ( b) e ijk i j ij ijk 3
ANOVA-tabell Variations Kvadrat Medel kvadrat F-test orsak Frihetsgrader summor summor 1 3 Faktor A a 1 SSA MSA MSA MSE MSA MSAB MSA MSAB Faktor B b 1 SSB MSB MSB MSE MSB MSAB MSB MSAB Samspel ( a 1)( b 1) SSAB MSAB MSAB MSE MSAB MSE MSAB MSE Error ab( c 1) SSE MSE Totalt abc 1 SST 33
Exempel: Tjugofyra män, som alla väger för mycket, slumpas till de 1 behandlingskombinationer man får genom att kombinera fyra olika dieter med tre nivåer av joggning. Varje försöksperson fick samma mängd kalorier, men dieterna skiljde sig åt med avseende på proportionen protein, fett och kolhydrater. Data var som följer: 34
Diet Joggning Viktminskning Normal 0 8,5 Normal 0 11,5 Normal 1 14,0 Normal 1 16,0 Normal 4,5 Normal 19,5 H_prot 0 15,5 H_prot 0 16,5 H_prot 1 0,0 H_prot 1 3,0 H_prot 7,0 H_prot 4,0 H_fat 0 8,5 H_fat 0 7,5 H_fat 1 13,0 H_fat 1 11,0 35
H_fat,0 H_fat 7,0 H_carbo 0 15,5 H_carbo 0 13,5 H_carbo 1 1,0 H_carbo 1 18,0 H_carbo 4,5 H_carbo 7,5 36
A. Finns det något signifikant samspel mellan diet och joggning? B. Finns det några skillnader mellan dieterna? Vilka? C. Finns det några signifikanta skillnader mellan joggningsnivåerna? Vilka? D. Även sådana som inte joggade och som fick normal diet verkar ha minskat i vikt. Är denna minskning signifikant? Från Engstrand & Olsson: Variansanalys och försöksplanering. Studentlitteratur, 003. 37
Joggning Diet 0 1 Normal H_prot H_fat H_carbo 8,5 11,5 15,5 16,5 8,5 7,5 15,5 13,5 14,0 16,0 0,0 3,0 13,0 11,0 1,0 18,0 4,5 19,5 7,0 4,0,0 7,0 4,5 7,5 38
Modell: y e i 1,, 3, 4 ijk i j ij ijk j 1,, 3 k 1, Förutsättningar e 0, ijk NID e 39
Boxplot of Viktminskning Boxplot of Viktminskning 30 30 5 5 Viktminskning 0 15 Viktminskning 0 15 10 10 H_carbo H_fat Diet H_prot Normal 0 1 Joggning 40
41
4
43
44
Residual Plots for Viktminskning Normal Probability Plot Versus Fits 99 Percent 90 50 10 Residual 1 0-1 - 1-4 - 0 Residual 4 10 15 Fitted Value 0 5 Histogram Versus Order 8 Frequency 6 4 Residual 1 0-1 - 0 -,4-1, 0,0 Residual 1,,4 4 6 8 10 1 14 16 Observation Order 18 0 4 45
ANOVA: Viktminskning versus Diet; Joggning Factor Type Levels Values Diet fixed 4 H_carbo; H_fat; H_prot; Normal Joggning fixed 3 0; 1; Analysis of Variance for Viktminskning Source DF SS MS F P Diet 3 170,458 56,819 1,51 0,001 Joggning 61,750 310,875 68,45 0,000 Diet*Joggning 6 43,917 7,319 1,61 0,7 Error 1 54,500 4,54 Total 3 890,65 S =,1311 R-Sq = 93,88% R-Sq(adj) = 88,7% 46
47
48
Interaction Plot for Viktminskning Data Means 5 Diet H_carbo H_fat H_prot Normal 0 Mean 15 10 0 1 Joggning 49
Interaction Plot for Viktminskning Data Means 5 Joggning 0 1 0 Mean 15 10 H_carbo H_fat Diet H_prot Normal 50
ANOVA: Viktminskning versus Diet; Joggning Analysis of Variance for Viktminskning Source DF SS MS F P Diet 3 170,458 56,819 1,51 0,001 Joggning 61,750 310,875 68,45 0,000 Diet*Joggning 6 43,917 7,319 1,61 0,7 Error 1 54,500 4,54 Total 3 890,65 S =,1311 R-Sq = 93,88% R-Sq(adj) = 88,7% ANOVA: Viktminskning versus Diet; Joggning Analysis of Variance for Viktminskning Source DF SS MS F P Diet 3 170,46 56,8 10,39 0,000 Joggning 61,75 310,88 56,86 0,000 Error 18 98,4 5,47 Total 3 890,63 S =,3389 R-Sq = 88,95% R-Sq(adj) = 85,88% 51
One-way ANOVA: Viktminskning versus Diet Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Diet 3 170,5 56,8 1,58 0,6 Error 0 70, 36,01 Total 3 890,6 S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 6,00069 19,14% 7,01% 0,00% Pooled StDev = 6,00069 One-way ANOVA: Viktminskning versus Joggning Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Joggning 61,8 310,88 4,8 0,000 Error 1 68,9 1,80 Total 3 890,6 S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 3,5781 69,81% 66,94% 60,57% Pooled StDev = 3,5781 5
53
54
55
56
Regression Analysis: Viktminskning versus Diet; Joggning Method Categorical predictor coding (1; 0) Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Regression 11 836,1 76,011 16,74 0,000 Diet 3 84,37 8,15 6,19 0,009 Joggning 133,00 66,500 14,64 0,001 Diet*Joggning 6 43,9 7,319 1,61 0,7 Error 1 54,50 4,54 Total 3 890,6 Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred),1311 93,88% 88,7% 75,5% 57
Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF Constant 14,50 1,51 9,6 0,000 Diet H_fat -6,50,13-3,05 0,010 4,50 H_prot 1,50,13 0,70 0,495 4,50 Normal -4,50,13 -,11 0,056 4,50 Joggning 1 5,00,13,35 0,037 5,33 11,50,13 5,40 0,000 5,33 Diet*Joggning H_fat 1-1,00 3,01-0,33 0,746 3,67 H_fat 5,00 3,01 1,66 0,13 3,67 H_prot 1 0,50 3,01 0,17 0,871 3,67 H_prot -,00 3,01-0,66 0,519 3,67 Normal 1 0,00 3,01 0,00 1,000 3,67 Normal 0,50 3,01 0,17 0,871 3,67 Regression Equation Viktminskning = 14,50 + 0,0 Diet_H_carbo - 6,50 Diet_H_fat + 1,50 Diet_H_prot - 4,50 Diet_Normal + 0,0 Joggning_0 + 5,00 Joggning_1 + 11,50 Joggning_ + 0,0 Diet*Joggning_H_carbo 0 + 0,0 Diet*Joggning_H_carbo 1 + 0,0 Diet*Joggning_H_carbo + 0,0 Diet*Joggning_H_fat 0-1,00 Diet*Joggning_H_fat 1 + 5,00 Diet*Joggning_H_fat + 0,0 Diet*Joggning_H_prot 0 + 0,50 Diet*Joggning_H_prot 1 -,00 Diet*Joggning_H_prot + 0,0 Diet*Joggning_Normal 0 + 0,00 Diet*Joggning_Normal 1 + 0,50 Diet*Joggning_Normal 58
59
Interaction Plot for bensinåtgång Data Means 6,5 6,0 biltyp X Y Z 5,5 Mean 5,0 4,5 4,0 1 3 förare 4 5 60
Interaction Plot for bensinåtgång Data Means 6,5 6,0 förare 1 3 4 5 5,5 Mean 5,0 4,5 4,0 X Y biltyp Z 61
ANOVA: bensinåtgång versus förare; biltyp Factor Type Levels Values förare random 5 1; ; 3; 4; 5 biltyp fixed 3 X; Y; Z Analysis of Variance for bensinåtgång Source DF SS MS F P förare 4 13,1480 3,870 3,98 0,046 biltyp 7,1560 3,5780 4,33 0,053 förare*biltyp 8 6,6040 0,855 1,35 0,000 Error 30 1,1600 0,0387 Total 44 8,0680 S = 0,196638 R-Sq = 95,87% R-Sq(adj) = 93,94% 6
ANOVA: bensinåtgång versus förare; biltyp Factor Type Levels Values förare random 5 1; ; 3; 4; 5 biltyp random 3 X; Y; Z Analysis of Variance for bensinåtgång Source DF SS MS F P förare 4 13,1480 3,870 3,98 0,046 biltyp 7,1560 3,5780 4,33 0,053 förare*biltyp 8 6,6040 0,855 1,35 0,000 Error 30 1,1600 0,0387 Total 44 8,0680 S = 0,196638 R-Sq = 95,87% R-Sq(adj) = 93,94% 63