Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths

Relevanta dokument
Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Mer om EM vågors polarisation. Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation?

Vågrörelselära och optik

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

Kapitel 33 The nature and propagation of light. Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion)

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)

OBS!

Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

13. Plana vågors reflektion och brytning

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

The nature and propagation of light

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/ Skrivtid:

12. Plana vågors fortskridande i oändliga media

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t s(x,t) =s 0 sin 2π T x. v = fλ =3 5 m/s = 15 m/s

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00

De tre svarsalternativen (från vänster till höger) är poäng. Oriktigt svar ger -0.2 poäng. Vet ej är neutralt och ger 0 poäng.

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)

18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.

18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1

Växelström i frekvensdomän [5.2]

Hur elektromagnetiska vågor uppstår. Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Det elektromagnetiska spektrumet

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Växelström i frekvensdomän [5.2]

Kapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor

Tentamen i El- och vågrörelselära,

OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

11. Maxwells ekvationer och vågekvationen

11. Maxwells ekvationer och vågekvationen

Komplexa tal. j 2 = 1

Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:

3. Ljus. 3.1 Det elektromagnetiska spektret

Lösningar till seminarieuppgifter

Polarisation Stockholms Universitet 2011

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

12. Plana vågors fortskridande i oändliga media

12. Plana vågors fortskridande i oändliga media

OBS!

11. Maxwells ekvationer och vågekvationen

OBS!

Bra tabell i ert formelblad

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

Tentamen i El- och vågrörelselära,

14. Potentialer och fält

10. Kretsar med långsamt varierande ström

Institutionen för Fysik Polarisation

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 7 poäng, FyL2 Tisdagen den 19 juni 2007 kl 9-15

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

OBS!

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

12. Plana vågors fortskridande i oändliga media

OBS!

Polarisation Laboration 2 för 2010v

Vågrörelselära och optik

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

12. Plana vågors fortskridande i oändliga media

OBS!

Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

ett uttryck för en våg som beskrivs av Jonesvektorn: 2

16. Spridning av elektromagnetisk strålning

OBS!

OBS!

OBS!

Institutionen för Fysik Polarisation

Vågor och Optik. Mekaniska vågor (Kap. 15) Mekaniska vågor (Kap. 15)

15. Strålande system

Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61)

Tentamen Elektromagnetism

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

OBS!

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

Föreläsning 6: Polarisation

OBS! Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som skall lämnas in.

Kursprogram för ETE110 Modellering och simulering inom fältteori, läsåret 2008/2009

Hur funkar 3D bio? Laborationsrapporter Se efter om ni har fått tillbaka dem och om de är godkända!

OBS!

Gerhard Kristensson. Spridningsteori med Antenntillämpningar

OBS!

ETEF15 Krets- och mätteknik, fk Fältteori och EMC föreläsning 3

SF1626 Flervariabelanalys

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

ETEF15 Krets- och mätteknik, fk Fältteori och EMC föreläsning 3

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

OBS!

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

OBS!

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Tentamen i El- och vågrörelselära,

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, måndag 18 mars 2013, kl 9:00-14:00

Transkript:

1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de tekniska vetenskaperna. Variationen i tiden sker enligt cos(ωt α) där ω = 2πf = vinkelfrekvensen, f frekvensen och α är en fasfaktor. Det visar sig praktiskt att arbeta med komplexa storheter och sedan ta realdelen för att få de fysikaliska storheterna (jfr kretsteori). E(r, t) = Re { E(r)e iωt} där E(r) är en komplex vektor (dvs. har komplexvärda komponenter). Tag t.ex. x- komponenten av detta komplexa fält, E x (r) = E(r) ˆx, och uttryck det komplexa fältet i polär form, dvs. E x (r) = E x (r) e iα(r). Det tidsberoende (fysikaliska) fältets x-komponent blir då E x (r, t) = Re { E x (r)e iωt} = Re { E x (r) e i(ωt α(r))} = E x (r) cos(ωt α(r)) Kommentar: I elektroniken används tidskonventionen e jωt medan man inom fysiken använder konventionen e iωt. Notera att Griffiths har med faktorn e iωt i de komplexa fälten. Plana vågor (Kap. 9.2.2) Vågekvationen från tidigare (källfritt område) Tidsharmoniska fält t iω. 2 E(r, t) εµ 2 E(r, t) t 2 = 0 2 E(r) + εµω 2 E(r) = 0 Inför materialets vågtal k = ω εµ = ω/c 2 E(r) + k 2 E(r) = 0 ( ) vilket är Helmholtz vektorvärda ekvation. Materialets brytningsindex n = ε r µ r eller k = ωn/c 0 = k 0 n. En viktig klass av lösningar till Maxwells ekvationer (Helmholts ekvation) är de plana vågorna. E(r) = E 0 e ik r

2 där E 0 är en fix (komplex) vektor och k är vågens vågvektor. Undersök vilka villkor som vågvektorn måste uppfylla för att vara en lösning till ( ). Insättning i ( ) ger 2 k k eftersom ik: Villkor på vågvektorn k: ( k k + k 2 )E 0 e ik r = 0 k k = k 2 k = kê Villkor på vågvektorn E 0 : Gauss lag D = 0 ger (εe) = 0 E = 0 ik E 0 e ik r = 0 k E 0 = 0 Vågorna är transversella E 0 k. Lösningarna E(r, t) = Re { E 0 e ik r e iωt} = Re { E 0 e i(k r ωt)} kallas plana vågor eftersom för fix tid t har alla punkter som satisfierar k r = konstant, dvs. ett plan samma elektriska fält E(r, t). Normalen till planet är ê, och vågen utbreder sig i ê:s riktning, dvs. i vågvektorns riktning. Plan som är separerade i rummet med ett inbördes avstånd λ där kλ = 2π har samma fält. E(r + λê, t) = Re { E 0 e i(k (r+λê) ωt)} = E(r, t) eftersom e ik λê = e ikλ = e 2πi = 1 Avståndet λ kallas vågens våglängd. Vi har också f = ω 2π, k = ω c = 2π λ fλ = ω 2π 2π k = ω k = c Motsvarande fält för det magnetiska fältet H fås ur Faradays lag vilket ger iωµh = E H = 1 iωµ E = 1 iωµ (E 0e ik r ) = 1 iωµ ik ( E 0 e ik r) = 1 ωµ k E = 1 η ê E ty k ωµ = ω εµ ωµ = 1 = 1 µ/ε η där η = µ/ε är materialets vågimpedans (enhet Ω). I vakuum η 0 = µ 0 /ε 0 120π Ω 377 Ω. En konsekvens av detta är att {E, H, k} är ett höger-orienterat system.

3 H E k Kommentar: I fysiken använder man oftare sambandet mellan E och B. Dessutom är det vanligare att använda brytningsindex n och våghastigheten c än vågimpedansen η. Sambandet mellan E och B ges av B(r) = 1 c ˆk E(r) = n c 0 ˆk E(r) Exempel: Om ˆk = ẑ och vågen är riktad (polariserad) i x led fås E(r) = ˆxE 0 e iφ e ikz Motsvarande magnetfält ges av H(r) = ŷ 1 η E 0e iφ e ikz Transformation till tidsplanet ger E(r, t) = Re { E(r)e iωt} = ˆxE 0 cos(ωt + φ kz) H(r, t) = ŷ 1 η E 0 cos(ωt + φ kz) Poyntings vektor Tidsmedelvärdet av en kvadratisk tidsharmonisk storhet är 1 <S(t)> =<E(t) H(t)>= 1 2 Re {E H } = 1 {E 2 Re = 1 2 Re 1 ωµ k( ) E }{{ E} 1 ωµ E ( ) k }{{ E} = E 2 =0 ( )} 1 ωµ k E = 1 2ωµ k E 2 = 1 2η ê E 2 1 Tidsmedelvärdet av produkten av två tidsharmoniska fält f 1 (t) och f 2 (t) fås lätt genom att bilda medelvärdet över en period T = 2π/ω. <f 1 (t)f 2 (t)> = 1 T = 1 4T T 0 T 0 f 1 (t)f 2 (t) dt = 1 T T 0 Re { f 1 (ω)e iωt} Re { f 2 (ω)e iωt} dt { f1 (ω)f 2 (ω)e 2iωt + f 1 (ω)f 2 (ω)e 2iωt + f 1 (ω)f 2 (ω) + f 1 (ω)f 2 (ω) } dt = 1 4 {f 1(ω)f 2 (ω) + f 1 (ω)f 2 (ω)} = 1 2 Re {f 1(ω)f 2 (ω)}

4 Kommentar: Fälten E och H skapas i något område där det finns laddningar och strömmar som varierar tidsharmoniskt, t.ex. i en antenn. Fälten färdas ut från området som tidsharmoniska elektromagnetiska vågor som måste uppfylla ekvationerna ( ). Långt bort från en området är vågen sfärisk, dvs. vågen rör sig med ljushastigheten radiellt ut från antennen. Vi kommer att behandla dessa sfäriska vågor i antennavsnittet senare i kursen. Lokalt kan vågen ofta approximeras med en planvåg, se figur, vilket är en fördel eftersom planvågor är enklare att analysera än sfäriska vågor. Figur:Den vänstra figuren visar det elektriska vektorfältet för det spridda ljuset från en liten partikel (tex molekyl). Fältet är en sfärisk våg som färdas med ljusets hastighet radiellt ut från partikeln. I den markerade rektangeln är vågfronten nästan plan och fältet kan approximeras med planvågen som visas i den högra figuren Polarisation av plana vågor (Kap. 9.1.4) Ett tidsharmoniskt vektorfält, t.ex. E, har följande egenskaper: 1. E-fältet svänger i ett plan (polarisationsplanet) 2. E-fältet beskriver en elliptisk bana i polarisationsplanet

5 ^e 2 E(r,t) ^e 1 3. Rörelsen kan vara moturs (medurs) och vågen kallas höger-(vänster-)elliptiskt polariserad Två specialfall: (a) Ellipsen är degenererad till en linje (linjärt polarisation, LP) Villkor: E 2 /E 1 =reellt tal (b) Ellipsen är degenererad till en cirkel (cirkulär polarisation, RCP, LCP) Villkor: E 2 /E 1 = ±i eller E 2 = E 1 e ±iπ/2 Reflektion och transmission mot halvrymd (Kap. 9.3.2) Vid bestämning av reflektion och transmission mot en halvrymd följer man följande steg: 1. Inför vågimpedanserna och vågtalen för de båda halvrymderna 2. Skriv upp de elektriska och magnetiska fälten för den infallande, reflekterade och transmitterade vågen 3. Använd randvillkoren att tangentialkomponenterna av de elektriska och magnetiska fälten är kontinuerliga 4. Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (reflektionsoch tranmsissionskoefficienten), som lätt löses

6 k 1 1 E i E r E t k 2 2 z Halvrymderna Den vänstra halvrymden, z < 0, har relativ permittivitet ε r1 och relativ permeabilitet µ r1. Motsvarande vågimpedans och vågtal ges av µ0 µ r1 µr1 η 1 = = η 0 ε 0 ε r1 k 1 = ω c = ω c 0 µr1 ε r1 där c 0 är ljushastigheten i vakuum. Den högra halvrymden, z > 0, har relativa permittivitet och permeabiltet ε r2 respektive µ r2. Vågimpedansen och vågtalet för den högra halvrymden ges av µ0 µ r2 µr2 η 2 = = η 0 ε 0 ε r2 ε r2 k 2 = ω c = ω c 0 µr2 ε r2 ε r1 Fälten i vänstra halvrymden De komplexa elektriska fälten i den vänstra halvrymden är E 1 (z) = E i e ik 1z + E r e ik 1z Den första termen modellerar den infallande vågen och den andra den reflekterade vågen. Den komplexa amplituden E i är känd medan den andra E r är okänd och sökes. Motsvarande magnetfält ges av regeln om högersystem H 1 (z) = 1 η 1 ẑ E i e ik 1z 1 η 1 ẑ E r e ik 1z Fälten i högra halvrymden Det komplexa elektriska fältet i den högra halvrymden är E 2 (z) = E t e ik 2z som modellerar den transmitterade vågen. Den komplexa amplituden E t är okänd och sökes. Motsvarande magnetfält ges av regeln om högersystem H 2 (z) = 1 η 2 ẑ E t e ik 2z

7 Randvillkor Tangentialkomponenterna av E och H är kontinuerliga vid z = 0. Eftersom E och H är tangentiella fås E i + E r = E t 1 η 1 ẑ E i 1 η 1 ẑ E r = 1 η 2 ẑ E t Lösningen till detta ekvationssystem i den givna amplituden E i ges av E r = η 2 η 1 E i = re i E t = 2η 2 E i = te i där reflektionskoefficient r och transmissionskoefficient t ges av r = η 2 η 1 t = 2η 2 Reflektion mot perfekt ledande plan Om område 2 är perfekt ledande kan det inte finnas något fält där, dvs E t = 0. Den kända infallande vågen och den ansatta reflekterande vågen ges av E 1 (z) = E i e ik 1z + E r e ik 1z Randvillkoret på en perfekt ledande yta är att tangentialkomponenten av det elektriska fältet är noll. Detta ger E r = E r och därmed är r = 1. Totala fältet för z < 0 ges av E 1 (z) = E i ( e ik 1 z e ik 1z ) Detta är en stående våg. Om E i är en reell vektor ges motsvarande fält i tidsplanet av E(z, t) = Re{E 1 (z)e iωt } = 2E i sin k 1 z Re{e iπ/2 e iωt } = 2E i sin k 1 z sin ωt Exempel: Magnetfälten ges av regeln om högersystem H 1 (z) = 1 η 1 ẑ ( E i e ik 1z E r e ik 1z ) = 1 η 1 ẑ E i ( e ik 1 z + e ik 1z ) = 2 η 1 ẑ E i cos k 1 z OBS! Det går inte att använda regeln om högersystem direkt på det totala fältet eftersom det innehåller både en vänster- och en högergående våg.