Stagningsstyvhetens. träpelare. dimensionering. Lunds. Universitet, Rapport TVBKK

Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare - och hur detd påv verkar vid dimensionering Joakim Ru ubinsson Avdelningen för Kon nstruktionsteknik Lunds Tekniska Hög gskolaa Lunds Universitet, 215 Rapport TVBKK - 5244

Avdelningen för Konstruktionsteknik Lunds Tekniska Högskola Box 118 221 LUND Division of Structural Engineering Faculty of Engineering, LTH P.O. Box 118 S-221 LUND Sweden Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare och hur det påverkar vid dimensionering Bracing stiffness and it s effect on stability for timber columns and how it impacts on design Joakim Rubinsson 215 Rapport TVBK-5244 ISSN 349-4969 ISRN: LUTVDG/TVBK-15/5244(96) Examensarbete Handledare: Roberto Crocetti Examinator: Eva Frühwald Hansson Maj 215 i

Abstract Columns under vertical point loads will need a brace in order not to bend out in a mode of column buckling. To stabilize the column, a sufficient brace stiffness needs to be given, both to avoid column instability and to reduce the horizontal force which occurs in the brace. Column buckling is usually determined by Eulers buckling formula =. This is the value when buckling occurs regardless if the brace stiffness will be increased. However, if the stiffness is too low, the support will be unresistent and the column gets unstable at a lower load according to =, where is the brace stiffness. The force developed in the brace is determined as = where is the support deformation. When a column with a pinned joint at the top and at the foot is under axial load and the load gets closer to the maximum load for bracing, i.e. the load given by Eulers buckling formula, the brace stiffness is decisive for the size of deformation at the support. If the brace stiffness is low, close to what is necessary to reach Eulers buckling load, it will cause a big deformation at the support. This will also result in a big force according to =. To prevent this big force, the stiffness shall be increased to relieve the support. Columns with imperfections as initial out-of-straightness and initial deflection, will not affect Eulers buckling load but can make huge impact on the brace force. This knowledge must be considered and a good reason to keep the stiffness at least twice the ideal bracing stiffness. Stability theory of braced columns was investigated in laboratory tests. The timber columns used in the tests were supported with varying stiffness and initial deflections. The results from the tests showed that the buckling forces and increasing brace forces caused by initial deflection correlate well with the theory. A collapse of a riding stable is investigated in the report, where the impacts from the actual brace stiffness at the supports are considered. It is shown that the correct stiffness makes difference for the stability of structures. ii

Förord Examensarbetet har utförts vid Lunds Tekniska Högskola på avdelningen för konstruktionsteknik. Kursen ingår som ett avslutande moment på civilingenjörsutbildningen Väg- och vattenbyggnad. Jag vill tacka alla som har hjälpt mig under min utbildning. Lärare, vänner och familj. Speciellt tack till Roberto Crocetti som varit min handledare under examensarbetet och Emilia Wetterberg som hjälpte mig med laborationerna. Vill också tacka Rikard Nagy och David Persson för deras hjälp och stöd under examensarbetet. Lund maj 215 Joakim Rubinsson iii

Sammanfattning Pelare som utsätts för tryck kan behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycket i sidled. För att stabilisera pelaren måste fjäderstyvheten i det stabiliserande stödet vara tillräckligt stort. Detta för att undvika instabilitetsbrott men också för att fjäderkraften i stödet inte ska bli för stor. För en pelare med en led i toppen och i botten beräknas vanligen Eulers knäckningslast =. är ett värde då pelaren blir instabil och knäckning sker, oberoende av om stödens styvhet ökas. Men då styvheten är låg i pelarens toppstöd kommer pelartoppen att vara eftergivlig och instabilitet i pelaren sker vid en lägre last enligt =, där är fjäderstyvheten. Fjäderkraften beräknas enligt = där är stödets utböjning. När en pelare med led i toppen och i botten belastas och lasten närmar sig den ideala knäckningslasten, det vill säga den last som ger Eulers knäckningslast, kommer styvheten i toppstödet avgöra hur stor utböjningen blir. Om styvheten precis motsvarar vad som krävs för att klara den ideala knäckningslasten kommer detta ge en väldigt stor utböjning, vilket enligt = ger en oerhört stor kraft i stödet. För att minska kraften i stödet bör därför styvheten ökas för att avlasta stödet. Imperfektioner som snedställning och initiell krokighet påverkar inte knäckningslasten men kan ge stor inverkan på fjäderkraften som uppkommer i stödet. Detta gör att styvheten kommer att behöva vara ännu större för att ge godtagbara krafter i stödet. Vid de labbförsök som gjordes undersöktes pelare med och utan snedställning med varierande stagningsstyvheter. Försöksresultaten visar att teorin överensstämmer bra med verkligheten. Krafterna i stagen ökade också med ökad snedställning, vilket stämmer enligt teorin. I rapporten undersöks ett ras av ett ridhus med fokus på hur stagningarnas styvhet inverkar på stabiliteten. Det visar sig att konstruktionen inte skulle klara de snölaster som uppkom vid rastillfället. Resultatet visar att det spelar stor roll att anslutningar beräknas med rätt styvheter med hänsyn till stabiliteten i konstruktioner. iv

Innehållsförteckning 1 Introduktion... 1 1.1 Bakgrund... 1 1.2 Syfte... 1 1.3 Metod... 1 1.4 Avgränsningar... 2 2 Stabilitetsteori... 3 2.1 Vanliga begrepp... 3 2.2 Eulers knäckningslast... 4 2.3 Fjäderstyvhetens inverkan i pelarstöd... 5 2.3.1 Ledat infäst pelare... 5 2.4 Inverkan av ett eller flera mittstöd... 7 2.4.1 Ledad pelare med ett mittstöd... 7 2.4.2 Ledad pelare med två mittstöd... 8 2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd... 8 2.5 Fast inspänd pelare... 1 2.6 Inverkan av snedställning... 11 2.6.1 Pelare med snedställning... 11 2.6.2 Minskning av fjäderkraft... 13 2.7 Inverkan av initialkrokighet... 14 2.7.1 Pelare med initialkrokighet... 14 2.8 Inverkan av lastexcentricitet... 15 2.9 Ramar... 16 2.1 Styvhet hos anslutningar... 19 2.1.1 Styvhet för en balk... 19 2.1.2 Styvhet hos ett spikförband... 19 3 Laboration... 21 3.1 Syfte... 21 3.2 Provningsuppställningar... 21 3.3 Parametrar och egenskaper... 23 3.3.1 Fjäderstyvhet... 23 3.3.2 E-modul... 24 3.3.3 Densitet... 25 v

3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna... 25 3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95... 25 3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x14... 28 3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot Eulerknäckning... 29 3.5 Provningsresultat... 32 3.5.1 Tvärsnitt 22x95... 33 3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1... 35 3.5.2 Tvärsnitt 45x14... 45 3.6 Stabilitetslaster... 49 3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1... 49 3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2... 49 3.6.3 Tvärsnitt 45x14 vid uppställning 1... 5 3.7 Diskussion och slutsatser från provningarna... 52 3.7.1 Felkällor... 52 3.7.2 Fjäderkrafter... 52 3.7.3 Eulers knäckningslast... 53 4 Studieobjekt: Uddevalla ridhus... 55 4.1 Beskrivning av systemet... 55 4.2.2 Geometri... 58 4.2.3 Randvillkor ram... 58 4.3 Antaganden... 58 4.4 Modeller... 62 4.5 Val av element... 62 4.6 Laster... 63 4.7 Analys Ram... 64 4.7.1 Stabilitetsanalys... 64 4.7.2 Normberäkningar... 67 4.8 Hanbalkens inverkan... 67 4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalk... 67 4.8.2 Normberäkningar... 68 4.9 Takåsar... 69 4.9.1 Stabilitetsanalys takåsar... 71 4.9.2 Normberäkningar... 72 vi

4.1 Vindkryss... 72 4.1.1 Stabilitetsanalys med last från vindkryss... 75 4.1.2 Normberäkningar... 75 4.11 Diskussion och slutsatser från takrasutredningen... 76 5 Diskussion och slutsatser... 77 6 Förslag till fortsatt arbete... 79 7 Referenser... 81 8 Bilagor... 83 8.1 Bilaga 1... 83 8.2 Bilaga 2... 92 vii

1 Introduktion 1.1 Bakgrund 1958 skrev George Winter sin uppsats Lateral bracing of columns and beams [13]. Där visade Winter att stabiliserande stöd inte enbart behöver ha tillräcklig bärförmåga för att staga en pelare, de behöver också ha tillräcklig styvhet. Detta har senare utvecklats i regler för dimensionering och har främst blivit fördjupat i Joseph. A Yuras publikationer om stabilitet, ex bracing for stability [3]. De publikationer som gjorts i ämnet har oftast handlat om stålkonstruktioner och har inte varit lika omfattande när det kommer till träkonstruktioner. Pelare som utsätts för tryck kommer att behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycket i sidled. Knäckning av pelare beräknas vanligtvis med Eulers knäckningslast. Vid Eulers knäckningslast blir pelaren instabil och knäcker oberoende av om stödens styvhet ökas. Men då styvheten är för låg i toppstödet kommer pelartoppen att vara eftergivlig och pelaren blir instabil vid en lägre last, enligt Yura [3]. Även fjäderkraften i stöden kommer att variera beroende på fjäderstyvheten, men fjäderkraften beror även av imperfektioner så som pelarens snedställning och krokighet. Vid dimensionering av konstruktioner är det sällan den korrekta styvheten i stöden används i beräkningarna. Det är därför av intresse att få en uppskattning av hur stor inverkan detta har på stabiliteten och om det gör en utmärkande skillnad för en hel struktur. 1.2 Syfte Syftet med examensarbetet är att besvara hur stagningar och deras styvhet inverkar på tryckbelastade pelares stabilitet. Hur inverkar imperfektioner så som snedställning och initialkrokighet på pelarnas knäckningslaster och stagningarnas fjäderkrafter? Hur väl stämmer teorin för tryckbelastade pelares knäckningslaster och fjäderkrafter med verkligheten? Vad ska man tänka på för att få ett så riktigt resultat som möjligt när man jämför teori med praktiska provningar? När man dimensionerar bärverk för stabilitet antar man ofta att infästningar och stöd antingen är fullt ledade eller fast inspända. Hur påverkas en konstruktions stabilitet om infästningarnas korrekta styvheter används vid dimensioneringen? 1.3 Metod Stabiliteten kommer att undersökas analytiskt i kapitel 2 där påverkan av imperfektioner och styvheten i stöden beaktas. Detta för att ge en förståelse för knäckningslaster innan och då Eulers knäckningslast är uppnådd. Pelarna kommer att modelleras i ett finita elementprogram med balkelement som stabiliseras av fjädrar. FEM-programmet som används i examensarbetet har utvecklats av företaget Structural Design Software in Europe AB (Strusoft). Programmet är uppbyggt av 3D Plate, 3D Structure, Plane Strain, Plate, Pre Design, Reinforcement och Wall. 3D Structure används till avancerad finita element analys och dimensionering av betong-, stål- och träkonstruktioner. Programmet 1

innehåller CAD-verktyg som gör det enkelt att använda de förinställda elementen så som plattor, väggar, pelare och balkar. Det gör det möjligt att analysera enstaka element eller hela konstruktioner. Det går bland annat att lösa statiska analyser och globala stabilitetsproblem, vilket kommer att vara användbart till detta examensarbete. Det kommer att göras försök med tryckbelastade träpelare som stabiliseras av stöd i form av tryckfjädrar med varierande styvhet för att avgöra hur väl teorin stämmer överens med verkligheten. I examensarbetet kommer en utredning göras av ett takras från vintern 29/21 med fokus på hur anslutningarnas styvhet inverkar på stabiliteten i konstruktionen. 1.4 Avgränsningar De beräkningar som redovisas i analysen kommer att göras med hänsyn till stabilitet och därför kommer andra hållfasthetsberäkningar vara mindre ingående i rapporten. De delar av byggnaden som undersöks för takraset är de komponenter som ingår i ramarna, deras stabiliserande anslutningar sätts in som fjädrar med beräknad styvhet. Det ger en bättre bild av hur anslutningarnas styvheter inverkar på varje ram, eftersom de då enklare kan jämföras med samma ram med fullt ledade eller fast inspända anslutningar. Det som främst kontrolleras är om instabilitetsbrott är en trolig orsak till ras. I examensarbetet kommer enbart stabilitet för pelare av trä att utredas, det vill säga att pelare av andra material inte kommer att undersökas, även om teorin är anpassningsbar på dem. 2

2 Stabilitetsteori Detta kapitel kommer att behandla pelare som är utsatta för tryckande normalkraft. Normalt kommer ett belastat element att deformeras i belastningsriktningen, men vid instabilitetsbrott kommer elementet istället att deformeras vinkelrätt belastningen. Detta beror på olika jämviktslägen som uppstår på grund av små avvikelser i form av krokighet. Då en stagad pelare belastas så kommer instabiliteten att vara beroende av lastens storlek och placering, pelarens styvhet och pelarens stagning. Ett standardtvärsnitt kommer att väljas för samtliga exempel i teorikapitlet, se tabell 1. Tabell 1 - Standardtvärsnitt som tillämpas i teorikapitlet Standardtvärsnitt Längd Hållfasthetsklass E-modul Tröghetsmoment 6 meter C24 11 GPa 2.85 1 m 2.1 Vanliga begrepp Knäckning En pelare som belastas med tryck kommer att utsättas för tryckspänningar till dess att pelaren blir instabil och får en kraftig böjdeformation ut i sidled genom så kallad knäckning. Imperfektioner i pelaren och initiala imperfektioner i uppställningen gör att pelaren kommer att ge horisontella krafter på stöden och börjar sakta böjdeformeras innan den knäcker. En teoretiskt helt rak pelare kommer bara att deformeras i sin längdriktning. Den kommer varken att ge några horisontella krafter eller böjdeformeras innan den knäcker. Fjäderstyvhet (/) Fjäderstyvheten för ett element är ett mått på den kraft som behövs för att det skall deformeras en viss längd. Exempelvis en tryckfjäder som trycks ihop en bestämd sträcka vid en specifik kraft enligt =. Fjäderkraft () För exempelvis en stagad pelartopp uppkommer en fjäderkraft i stödet när det motarbetar deformation i stödet. Detta för att begränsa pelartoppens utböjning vid stödet och erhålla önskad kapacitet för pelaren. Fjäderkraften beror på vilken fjäderstyvhet som finns i stödet till pelartoppen samt dess utböjning. Med en jämviktsekvation kan detta förklaras då utböjningen multiplicerat med styvheten är ekvivalent med fjäderkraften, =. För att begränsa deformationen i stödet krävs alltså en tillräckligt hög fjäderstyvhet för att motarbeta kraften. Eulers knäckningslast () Vid knäckning beaktas ofta Eulers knäckningslast, vilket är ett maximalt värde på tryckbelastningen som kan påföras ett element innan det knäcks, oberoende av om fjäderstyvheten i de stabiliserande stöden ökas. 3

2.2 Eulers knäckningslast Vanligtvis förenklas stagningen i en pelare till antingen inspänd eller ledad, med oändlig styvhet i de transversella riktningarna. De grundläggande knäckningsfall enligt Euler som uppstår för ett centriskt tryckbelastat element beskrivs generellt enligt ekvation 2.1. = () (. ) Där beskriver elementets styvhet l beskriver knäcklängden Det finns fyra renodlade knäckningsfall enligt figur 1. Figur 1 Eulers knäckningsfall Knäckningsfallen kan härledas enligt Timoschenko [4], vilket visas i bilaga 2. Dessa fyra knäckfall gäller då styvheten i stöden är större än den ideala styvheten, vilken beskrivs i ekvation 2.3 och figur 4. 4

2.3 Fjäderstyvhetens inverkan i pelarstöd Nedan följer exe empel på hur knäckningslaster uppkommer då styvheten varieras i stöd den. 2.3.1 Ledat infäst pelare Pelaren är ledat infäst i toppen och i botten. Om styvheten varieras i toppstödet mellan och kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har något stöd i toppen och falle et där stödet i toppen baraa kan röra sig i vertikalled, det villl säga = =, se figur 2.. l l Figur 2 - Extremfall för pelarens utböjningsform vid d variation av styvhet i toppstödet För fallet me ed en led dad pelaree i toppen och i botten gäller Eulers knäckningslast I figur 3 rep presenteras samma pel lare med längden och stödet med styvheten.. För en godtycklig styvhet varierarr momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2 I figur 4 visass förhållandet me ellan kritisk last och fjäderstyvhett när pelaren i figur 3 belastas. Den linjära stigningen fram till Eulers knäckningslast visa ar hur vari ierar ekvivalent med den kritiska lasten fram till det som är Eule ers knäckningslast. =. = är utböjningen i stöd det vid påförd belastning (2.2) l Figur 3 - Uppställning för jämvikt i tryckbelastad pelare 5

Värdet på den styvhet som precis motsvarar Eulers knäckningslast kallas ideal styvhet. I vårt fall ligger den ideala styvheten nära 15 kn/m, se figur 4. = (2.3) Kritisk last Pcr (kn) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 Fjäderstyvhet i stödet K (kn/m) Figur 4 - Knäckningslast för en ledad pelare enligt tabell 1 med en varierande styvhet i toppstödet 6

2.4 Inverkan av ett eller flera mittstöd Följande visar hur styvheten i pelarstöden inverkar på pelare som har stöd med varierande styvhet på mitten och fullt stagade leder i toppen och i botten. Stöden i exemplen kommer att vara jämt fördelade över pelarens längd. 2.4.1 Ledad pelare med ett mittstöd Detta fall börjar med att pelaren har en led i mitten utan någon styvhet och ser därför precis ut som den ledade pelaren i exemplet i avsnitt 2.3 med utknäckning i en halv sinuskurva se figur 5a. Då styvheten ökar i mittstödet kommer knäckningsmoden tillslut att motsvara fallet där pelaren knäcker ut runt mittstödet i en hel sinuskurva se figur 5b. Det kommer se ut som två pelare utan mittstöd ovanpå varandra och kommer behöva knäckas ut i en utböjningsform som motsvarar halva pelaren för att nå Eulers knäckningslast, vilket ger värdet = ( ). /2 /2 a) b) Figur 5 - Extremfall för utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i mittstödet Med en momentjämviktsekvation kan den ideala styvheten i mittstödet beräknas enligt Winter [13], se figur 6. Winter antar en led på pelarens mitt, vilket ger en enklare beräkning som är mycket nära verkliga fallet då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva. Då pelaren belastas med Eulers knäckningslast antas att pelaren böjer ut sträckan vid mittleden. Ett moment kring mittleden ger då förhållandet enligt ekvation 2.4 och den ideala styvheten enligt ekvation 2.5. /2 /2 = 2 2 = 2 2 (2.4) /2 /2 = 4 (2.5) /2 Figur 6 - Uppställning av jämvikt för en ledad pelare med ett mittstöd 7

2.4.2 Ledad pelare med två mittstöd Pelaren har två mittstöd som ger tre fält med samma längd, se figur 7b. Pelaren kommer enbart kunna röra sig vertikalt i toppen. Mittstöden kommer at ha samma styvhet som ökar lika mycket då knäckningslasten utreds för pelaren. Utan styvhet i mittstöden kommer utböjningsmoden motsvara den ledade pelaren i avsnitt 2.3.1, alltså knäckningslasten =, se figur 7a. Då styvheten är tillräckligt stor så att Eulers knäckningslast uppnås, vilket motsvarar fallet i figur 7b, kommer utböjning ske i tre halvsinuskurvor. För att pelaren ska knäcka ut i denna utböjningsmod måste lasten motsvara en last som knäcker en ledad pelare med en tredjedels längd. Detta ger Eulers knäckningslast = jämviktsekvation ges den ideala styvheten =. ( ) och m.h.a en /3 l /3 /3 a) b) Figur 7 - Extremfall av utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i två mittstöd 2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd /4 l /4 /4 /4 /5 /5 /5 /5 /5 Figur 8 - Extremfall för utböjningsform för varierande styvhet i tre och fyra mittstöd Pelarna är ledade i toppen och i botten med tre eller fler mittstöd med samma styvhet och centrumavstånd mellan stöden. Deras utböjningsmoder varierar mellan extremfallen för 8

knäckning, kni, då ingen styvhet finns ns i stöden och då styvheten ten är tillräckligt ligt stor för att pelaren ska böjas me llan varj je stöd, se figur 8. Då sty yvheten är tillräckligt stor kommer pelaren böja ut i ett antal halva sinuskurvor. På samma sätt som i tidigare exempel ger detta Eulers knäckningslaster för pelare med tre och fyra mittstöd till = = och =.. För att bestämma ma ideal l styvhet t i stöd för pelare med fler mittstöd töd än tre har r Timoschenko [4] beräknat värd dena i tabelll 2, enligt ekvation 2.6.. = (2.6) Tabell 2 - Ideal styvhet Timoschenko [4] i stöd för pelare med flera mittstöd då spannen är lika långa enligt Antal mittstöd 3 4 5 6 8 1 13.65 18.12 22..39 26.62 34.88 43.14 25 KritiskalastenPcr(kN) 2 15 1 5 4 85 125 17 215 26 35 345 39 435 48 525 57 615 655 Fjäderstyvheten i stöde en K (kn/m) 1 mittstöd Pe=343.99 kn 2 mittstöd Pe=773.98 kn 3 mittstöd Pe=1375.96 kn 4 mittstöd Pe=2149.93 kn Figu ur 9 - Knäckningslaster för pela are enligt tabelll 1 med flera mittstöd I figur 9 visa as knäckningslasterna för pelarna med olika antal mittstöd, töd, vilka har beskrivits i detta kapitel. Diagrammet visa ar förhållandet mellan knäckningslas last och styvhet. Förhållandet kommer att vari iera linjärt mellan de olika utbö öjningsformer som pelarna kan böja ut i. i För en pelare med 4 mittstöd kommer 5 olika utböjningsformer att uppkomma då styvheten varieras mellan och,, se utböjningsformerna i figur 9.. Detta visa ar att antalet alet utböjningsformer för de tryckbelastade pelarna kommer att var ra des samma a som antalet alet halva sinuskurvor som pelaren böjer ut i. 9

2.5 Fast insp pänd pelare l l a) b) Figur 1 - Ext tremfall för utböjningsform för en fast inspänd pelare med varierande styvhet i toppstödet Pelaren kommer att ha en fast inspänning i botten och ettt ledat stöd i toppen med varierande styvhet. Diag grammet i figur 11 visar knäckningslasten bero oende av styvheten i toppstödet. Figur 1a visar hur knäckning ser ut för en fast inspänd pelare uta an något stöd i toppen. Figur 1b visar knä äckning för en fast inspänd pelare med en led i topp pen som kan röra sig fritt i vertikalled, men förhindrad attt röra sig horisontellt i toppen. 18 Kritisk last Pcr (kn) 16 14 12 1 8 6 4 2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 555 6 65 7 Fjäderstyvhet K (kn/m) Figur 111 - Kn näckningslast för en fast inspänd pelare enligt tabe ell 1 med varierande styvhet i toppstödet I FEM-design belastades en fast insp pänd pel lare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hur mycket stödets fjäderstyvhet ökad dess kunde inte en ideal styvhet fastställas till Eulers knäckningslast. I figu ur 11 visas hur den fast inspända pelaren i figu ur 1 sakta gårr mot en oändligt stor sty yvhet för att nå upp till Eulers knäckningslast. Enligt Eulers knäckningslast för detta knäckfall borde värdet bli = (. 699) = 175.9 1

Värdet stämmer bra då kurvan går mot en platå, men den ideala styvheten kommer att nås först när den är oändligt stor, se Yura [3]. 2.6 Inverkan av snedställning Då en pelare belastas med en tryckande normalkraft kommer pelaren teoretiskt tryckas ihop i sin längdriktning till dess att knäckningslasten är uppnådd och den böjs då ut genom knäckning. Detta är inte ett verkligt fall då pelare alltid har en viss imperfektion så som snedställning. Nedan visas hur snedställning inverkar på pelaren och dess stöd. 2.6.1 Pelare med snedställning Figur 12 visar samma exempel som i avsnitt 2.3.1 med skillnaden att det är en snedställning i toppen, vilket ger upphov till fjäderkraften. Salmon och Johnson [14] visar med hjälp av momentjämvikt enligt ekvation 2.7 vilken styvhet som krävs i toppstödet för en snedställd pelare, se ekvation 2.8 Där Figur 12 - Utböjningsform för pelare med snedställning är den initiella snedställningen är utböjningen som uppkommer vid last = ( ) (2.7) = + Den ideala styvheten är som bekant = Med hjälp av ovanstående ekvationer beräknas den teoretiskt tillräckliga styvheten enligt ekvation 2.8 = (1+ ) (2.8) 11

Likaså = ( + ) (2.9) Fjäderkraften kommer att variera beroende på hur styvt upplaget är, på grund av den ökande kraften som behövs för att undvika en för stor utböjning. I figur 13 visas hur fjäderkraften i toppstödet förhåller sig till lasten då styvheten hålls konstant som den ideala fjäderstyvheten. Detta visar att fjäderkraften kommer att öka mot oändligheten då lasten närmar sig den kritiska lasten. Utböjningen varierar ekvivalent med fjäderkraften enligt =, se figur 14, vilket visar orealistiskt stora utböjningar då lasten närmar sig knäckningslasten. Knäckningslasten i figur 15 är densamma som för en pelare utan snedställning. Fjäderkraft i stöd F (kn) 18 16 14 12 1 8 6 4 2 5 25 45 65 85 Last P (kn) Figur 13 - Fjäderkrafter i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter L/1 L/2 L/3 12 Utböjning (mm) 1 8 6 4 2 L/1 L/2 L/3 2 4 6 8 1 Last P (kn) Figur 14 - Utböjning i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter Kritisk last Pcr (kn) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 Fjäderstyvhet i stöd K (kn/m) Figur 15 - Knäckningslast för en ledat snedställd pelare enligt tabell 1 12

2.6.2 Minskning av fjäderkraft För att inte fjäderkraften ska bli för stor i ett stöd är det viktigt att ha i beaktande att den ideala fjäderstyvheten ger en fjäderkraft som går mot oändligheten vid Eulers knäckningslast. Därför bör fjäderstyvheten väljas större än den som motsvarar ideal fjäderstyvhet (Yura [3]). Ett rimligt antagande enligt Yura [3] är att öka den ideala styvheten till det dubbla värdet. I figur 16 visas fjäderkraften i toppstödet för pelaren i figur 12. Pelaren belastas upp till Eulers knäckningslast då toppstödet har ideal styvhet och då den ideala styvheten har det dubbla värdet. Fjäderkraft i stöd F (kn) 18 16 14 12 1 8 6 4 2 5 25 45 65 85 Last P (kn) K=3 K=15 Figur 16 - L/1=6 cm snedställd ledad pelare enligt tabell 1 med ideal styvhet 15 kn/m i stöd. Fjäderkraften hålls nere med antagandet att dubblera fjäderstyvheten till 3 kn/m. 13

2.7 Inverkan av initialkrokighet En vanlig imperfektion för pelare är att pelaren är något krökt när den monteras. Detta inverkar på pelarens beteende, då den vill deformeras mer vid belastning. 2.7.1 Pelare med initialkrokighet Figur 17 - Utböjningsform för en initialkrokig pelare En pelare med initialkrokighet enligt figur 17 kommer vid en tryckande normalkraft att få samma Euler knäckninglast som den raka ledade pelaren i avsnitt 2.3.1. Skillnaden som uppkommer är fjäderkraften i stöden och att utböjningen i pelarens mitt ökar. Till skillnad från pelaren med initial snedställning i avsnitt 2.6 kommer krafterna i toppstödet bli mycket mindre då lasten närmar sig Eulers knäckningslast. Den intitialkrokiga pelaren böjs ut på mitten utan att några större horisontella krafter verkar i toppstödet. I figur 18 visas fjäderkrafterna efter analys i FEM-design för pelaren i figur 17. Fjäderkrafterna är mycket små innan pelaren når Eulers knäckningslast. Analysen av pelare med krokighet =L/1 kunde inte visas i diagrammet eftersom den får en omedelbart för stor utböjning och pelaren kollapsar direkt vid belastning. För en krokighet på L/2 är fjäderkraften 1 kn då knäckningslasten uppnås vilket ger en utböjning i toppstödet på 1/15 meter då styvheten är 15 kn/m. Enligt figur 19 är utböjningen i mitten 2.5 meter vid samma last, vilket är orimligt mycket för en 6 meter lång pelare. Utböjningen ökar snabbt nära Eulers knäckningslast och pelaren kommer därför att kollapsa av den stora utböjningen. 1.2 1 Fjäderkaft (kn).8.6.4.2 L/2 L/3 -.2 2 4 6 8 1 Last P (kn) Figur 18 - Fjäderkraft vid ideal styvhet i toppstödet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 med olika initiella krokigheter, L=6 meter 14

Utböjning (mm) 3 25 2 15 1 5 L/2 L/3 2 4 6 8 1 Last P (kn) Figur 19 - Utböjning i mitten vid ideal styvhet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 med olika initiella krokigheter, L=6 meter 2.8 Inverkan av lastexcentricitet 1 r r 1 1 Figur 2 - Utböjningsform för en excentriskt belastad pelare När en pelare belastas excentriskt enligt figur 2 kommer detta att ge upphov till ett moment i pelaren. Momentet vill skapa en utböjning av pelaren gentemot en centriskt belastad pelare, som teoretiskt enbart trycks ihop i sin längdriktning. Excentrisk belastning påverkar inte knäckningslasten men gör stor skillnad för utböjningen enligt figur 21. Den ger upphov till fjäderkraft i pelarens upplag, se figur 22. Likt den initiellt krokiga pelaren blir fjäderkraften inte så stor, men den kommer att öka markant när lasten närmar sig Eulers knäckningslast. 15

Utböjning (mm) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 i kant 1/4r från kant 1/2r från kant 3/4r från kant 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 Last P (kn) 1 r 1-1 r Figur 21 - Utböjning i pelarens mitt för en ledad pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där r representerar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet.5 1 Fjäderkraft F (kn).4.3.2.1 i kant 1/4r från kant 1/2r från kant 3/4r från kant r r 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 Last P (kn) 1-1 Figur 22 - Fjäderkraft för en ledat infäst pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där r representerar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet Lasterna är förhållandevis låga i stödet trots den stora utböjning som momentet ger upphov till i pelaren. På samma sätt som för en initialkrokig pelare kommer kraften inte verka i horisontalled utan istället vridas kring stöden och böja ut pelaren i mitten. 2.9 Ramar Eulers knäckningslast kan överföras på ett system med pelare och balkar då komponenterna är beroende av varandra för att stabilisera systemet. Nedan visas ett enklare exempel på hur lasten kan beräknas, för vilken ett system blir instabilt och knäcker. Ramen består av två pelare som sammankopplas med en balk mellan pelarnas toppar. De två nedre pelarstöden är fullt ledade, medan balken är ihopkopplad med pelarna med momentstyva kopplingar, se figur 23. 16

EIbalk EI EI x y Figur 23 Utböjningsform för tryckbelastade pelare i ram Den kritiska lasten för ramen kan beräknas med hjälp av differentialekvationer i balkteoretisk beräkning enligt Timoschenko [4]. = (2.1) För att uppfylla kraven för pelarens nedre infästning används ekvationen = (2.11) För att vinklarna i övre sammankopplingen av pelarna till balken ska vara desamma och då pelarna belastas med samma last i toppen blir kraven i pelartopp Detta ger enligt pelarens nedre infästning ( ) = () 6 (2.12) = Om balken antas helt stel = och vi ställer upp 6 (2.13) cos = = 2 (2.14) Så blir det kritiska värdet = (2.15) 4 Detta ger alltså samma värde på Eulers knäckningslast som en pelare med momentstyv infästning i botten och utan stöd i toppen. Detta beror på att ramen får samma egenskaper 17

eftersom balken kan ses som pelarnas momentstyva infästningar. Pelarna får alltså ett vridmoment runt deras topp medan de är fria att rotera i botten. I verkliga ramar är det svårt att uppnå momentstyva hörn. I figur 24 visas ett diagram för ramen då den vid belastning har en rotationsstyvhet med värdet och med antagandet att balken är helt styv. Kritisk last för ramen då pelarna är samma som standardtvärsnittet är 21.5 enligt ekvation 2.15. Den ideala rotationsstyvheten går mot ett platåvärde, men då = 3 / är den kritiska lasten 2.5, alltså 1 från Eulers knäckningslast. 25 Kritisk last Pcr (kn) 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 Rotationsstyvhet Kr (knm/deg) Figur 24 Kritisk last för ram med två pelare enligt tabell 1 och en stel balk, rotationsstyvhet i ramhörn 18

2.1 Styvhet hos anslutningar Tidigare i avsnitt 2 beaktades upplagens styvhet för att beräkna pelares knäckningslaster. Det är också av intresse att beräkna andra komponenters styvheter för att veta deras egenskap att deformeras. Nedan följer exempel på hur styvheten beräknas för ett enskilt element och dess anslutningar, samt hur de samverkar då de är sammankopplade. 2.1.1 Styvhet för en balk En balk som belastas av tryckande normalkraft kommer att behöva en viss styvhet för att vara stabil i samma riktning. Denna stångstyvhet beräknas enligt ekvation 2.16, Gustafsson [2] = (2.16) Exempel 1: Beräkna fjäderstyvheten för en takås med följande egenskaper E=11 GPa A=45x195mm L=6m Enligt formeln beräknas fjäderstyvheten för takåsen till = 11 1.45.195 6 = 1687.5 / 2.1.2 Styvhet hos ett spikförband Styvheten för ett spikförband kan beräknas enligt Traekonstruktioner Förbindelser [5] = (2.17) Där n är antalet spikar F är bärförmåga vid tvärkraft per spik u är deformationen i förbandet Exempel 2: Beräkna fjäderstyvheten för ett åsbeslag som är fäst i en takås med 6 ankarspik på var sida. Spikarnas dimension är 4.x6mm och de har en skjuvkapacitet med karakteristiskt värde på 2 kn. 19

Infästningens styvhet är främst beroende av spikarnas beteende. Styvheten kan då beräknas enligt = Vid glidning uppskattas den verkande tvärkraften till 4 % av maximal last, vilket är en rimlig uppskattning (Per-Johan Gustavsson Byggnadsmekanik LTH) Deformationen vid =.4 avläses ur diagram i Traekonstruktioner Förbindelser [5] till.6mm Exempel 3: =.4 2 =12 = 16 /.6 Beräkna styvheten för en sammankoppling av takåsen i exempel 1 mellan två styva takbalkar med infästningar enligt exempel 2. För att beräkna den totala styvheten av sammankopplingen kan en inversberäkning användas enligt, är styvheten för takåsens infästningar är takåsens styvhet 1 = 1 + 1 + 1 (2.18) Om takåsen och infästningen från exemplen ovan används så kan det totala styvhetsbidraget från takåsen och dess infästningar mellan takbalkarna i transversell riktning beräknas till = = 16 kn/m = 1687.5 kn/m = 5343.2 kn/m Den totala styvheten för en balk och dess infästningar är alltså mycket lägre än styvheterna för balken och infästningarna var för sig. Detta är bra att ha i åtanke då deformationen ofta är ett resultat av flera sammankopplade element. 2

3 Laboration 3.1 Syfte Syftet med provningarna är att undersöka hur fjäderstyvheten i pelares stöd inverkar på stabiliteten, hur detta påverkar utböjningsmoden och hur fjäderkraften varierar vid de olika styvheterna. Provningarna kommer att ta hänsyn till hur imperfektion av snedställning inverkar på stagen, då främst hur detta inverkar på stagkrafterna. En utvärdering kommer att göras för hur utböjningsformer och knäckningslaster vid provningarna stämmer överens med teorin för en tryckbelastad pelare. Provningarna kommer att genomföras för två provuppställningar. Den ena då pelarna är ledade i botten och stagade med tryckfjädrar i toppen. Den andra då pelarna är ledade i toppen och botten, samt stagade med tryckfjädrar på mitten, se figur 25. 3.2 Provningsuppställningar Provningarna kommer att utföras med två olika typer av provkroppar, med egenskaper enligt tabell 3. Provningarna kommer att utföras på tre pelare av varje provkroppstyp. Provkropparnas initialkrokighet kontrolleras okulärt innan provning för att säkerhetsställa att den ger så lite inverkan på provningarna som möjligt. Tabell 3 - Egenskaper för provkroppar Provkroppstyp 1 2 Tvärsnitt 22x95 45x14 Längd 2 meter 2 meter Hållfasthetsklass C24 C24 E-modul 11 GPa 11 GPa Tröghetsmoment 8.43 1 m 1.63 1 m Antal provkroppar 3 (provkropp 1-3) 3 provkropp (4-6) Provningarna innefattar två uppställningar enligt figur 25. Provkroppstyp 2 kommer att ha ett för grovt tvärsnitt för att kunna användas i uppställning 2 och används således bara i uppställning 1. Uppställning 1 Uppställning 2 = Lasten = Fjäderstyvhet i stödet = Snedställningen *Visar mätpunkternas placering Figur 25 Uppställning 1 och uppställning 2 för provningarna 21

Tre olika snedställningar används för uppställningarna: 1. Utan snedställning 2. Snedställning i topp L/1=2 cm 3. Snedställning i topp L/5=4cm I figurerna 26-28 visas den praktiska uppställningen av provkropparnas stagning och mätutrustning. Figur 26 - Stagning i ovankant med tryckfjädrar och mätceller för utböjning Figur 27 - Mätcell för utböjning på mitten och led i botten 22

Figur 28 - Tryckfjädrar med olika styvheter och mätceller för utböjning 3.3 Parametrar och egenskaper 3.3.1 Fjäderstyvhet Vid provningarna används tryckfjädrar från Sodermann Industrifjedre A/S för att representera de olika fjäderstyvheterna i stagningarna. Valen av dessa grundade sig i att fjäderstyvheten skulle vara nära den ideala styvheten, för att sedan uppmäta vad som sker vid ökning respektive minskning av styvhet. Dessvärre krävs mycket låga styvheter vid uppställning 1 för det slankare tvärsnittet, vilket gör att fjädrarna med så låg styvhet inte kan placeras med tillförlitlig stabilitet till provkropparna. Det är därför inte möjligt att använda sig av ideala fjäderstyvheter i de provningarna. De beställda tryckfjädrarna testades för att vara säker på vilken styvhet som används vid provningarna, se tabell 4. Detta testades genom att trycka fjädrarna med en ökande last och mäta hoptryckningen. Tabell 4 - Styvheter i tryckfjädrar Beställd styvhet (kn/m) Uppmätt styvhet (kn/m) 6 8.67 1 12.3 2 23.63 4 41.5 23

3.3.2 E-modul E-modulen uppmättes för pelarna genom att lägga upp dem som balkar med två ledade stöd för att sedan belasta med en punktlast i mitten enligt figur 29. Figur 29 - Uppställning för mätning av elasticitetsmodul Nedböjningen uppmättes med ökande belastning och E-modulen kunde sedan beräknas med = 48 (3.1) är nedböjningen = h 12 = 1.76 I tabell 5-6 visas medelvärdet för de beräknade E-modulerna. Tabell 5 - Elasticitetsmoduler för 22x95 pelare Provkropp E-modul (MPa) 1 8217.639413 2 8193.275513 3 115.187456 E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ett medelvärde på E=8.81 GPa Tabell 6 - Elacticitetsmoduler för 45x14 pelare Provkropp E-modul (MPa) 4 6546.2594 5 745.753474 6 8467.88158 E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ett medelvärde på E=7.49 GPa E-moduler uppmätta på det här sättet kommer inte att ge ett helt korrekt värde. Detta eftersom stöden kommer vara eftergivliga och ge en glidning vid upplagen. Det riktiga värdet kommer förmodligen ligga närmare 11GPa som är det förväntade värdet för de inköpta träpelarna. I provningsresultaten kommer därför både de teoretiska och de uppmätta värdena att visas. 24

3.3.3 Densitet Pelarna vägdes och densiteten för respektive pelare beräknades till värdena som redovisas i tabell 7-8. Tabell 7 - Densitet för 22x95 pelare Provkropp Densitet (kg/m 3 ) 1 58.61 2 458.13 3 419.62 Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 22x95 till 462.12 kg/m 3. Tabell 8 - Densitet för 45x14 pelare Provkropp Densitet (kg/m 3 ) 4 614.37 5 536.11 6 69.52 Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 45x14 till 586.67 kg/m 3. 3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna 3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95 Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1: = 11 =.95.22 12 = 8.43 1 = = (3.2) = 2.288 = 1.144 / För uppställning 2 blir Eulers knäckningslast och ideal styvhet = 4 = 2 (3.3) = 9.15 = 18.3 / 25

De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=8.81 GPa ändrar Eulers knäckningslast samt den ideala styvheten för uppställning 1 och uppställning 2: Uppställning 1 Uppställning 2 = 8.81 1 8.43 1 2 = 1.83 = =.916 / = 8.81 1 8.43 1 2 = 7.33 2 = 4 = 14.66 / I figur 3 visas teoretiska diagram över förväntade värden på Eulers knäckningslast för tvärsnitt 22x95. Tabell 9 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna då pelarna belastas med Eulers knäckningslast. Kritisk last (kn) 2.5 2 1.5 1.5 E=11 GPa E=8.81 GPa.5 1 1.5 Fjäderstyvhet i stöd (kn/m) för uppställning 1 Kritisk last (kn) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 E=11 GPa E=8.81 GPa 1 2 3 Fjäderstyvhet i stöd (kn/m) för uppställning 2 Figur 3 Teoretiska knäckningslaster för pelare 22x95 som används vid provning 26

Tabell 9 Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast Fjäderstyvhet (kn/m) E- modul (GPa) Fjäderkraft vid 2cm snedställd (N) Utböjning (mm) vid 2cm snedställd Fjäderkraft vid 4cm snedställning (N) Utböjning (mm) vid 4cm snedställd Enligt teorin blir det väldigt små krafter i toppstödet för provkropparna med de fjäderstyvheter som ska användas vid provningarna. Den teoretiska fjäderkraften för uppställning 2 vid Eulers knäckningslast beräknas enligt Galambos och Surovec [15] i ekvation 3.4. För att det ska uppkomma kraft i mittstödet måste en initial utböjning antas. I figur 31 visas fjäderkrafterna i mittstödet vid olika fjäderstyvheter då Eulers knäckningslast belastar pelaren. Last (kn) 8.67 11 26 3. 52 6.5 2.288 12.3 11 25 2. 5 4.1 2.288 23.63 11 24 1. 48 2. 2.288 8.67 8.81 21 2.4 41 4.7 1.83 12.3 8.81 2 1.6 4 3.3 1.83 23.63 8.81 19.8 38 1.6 1.83 = 1 (3.4) Är initial utböjning vid mittstödet. Den antas enligt Galambos och Surovec [15] till L/1 =.2 Är den ideala styvheten i mittstödet Är den aktuella styvheten i mittstödet Fjäderkraft (kn) 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1 2 3 4 Fjäderstyvhet K (kn/m) Ki=18.3 Ki=14.66 Figur 31 - Fjäderkraft i stöd för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast, beräknat enligt ekvation 3.4 27

Tabell 1 visar förväntade värden på fjäderkraften i mittstödet när pelarna belastas med Eulers knäckningslast. Tabell 1 Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast Fjäderstyvhet (kn/m) E-modul (GPa) Fjäderkraft (N) Utböjning (mm) Last (kn) 3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x14 Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1: = 11 = 8.67 11 * 9.15 12.3 11 * 9.15 23.63 11 162 6.9 9.15 41.5 11 66 1.6 9.15 8.67 7.49 * 7.33 12.3 7.49 * 7.33 23.63 7.49 77 3.3 7.33 41.5 7.49 46 1.1 7.33 *Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändligheten vid kritisk last enligt avsnitt 2.6..14.45 12 = 1.63 1 = = 11 1 1.63 1 2 = 28.85 = = 14.43 / De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=7.49 GPa ändrar Eulers knäckningslast samt den ideala styvheten för uppställning 1: = 7.49 1 1.63 1 2 = 19.65 = = 9.83 / 28

Tabell 11 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna då 45x14 pelarna belastas med Eulers knäckningslast. Tabell 11 - Fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 45x14 vid Eulers knäckningslast Fjäderstyvhet (kn/m) E- modul (GPa) Fjäderkraft vid 2cm snedställd (N) Utböjning (mm) vid 2cm snedställd Fjäderkraft vid 4cm snedställning (N) Utböjning (mm) vid 4cm snedställd Last (kn) 8.67 11 * * 28.85 12.3 11 * * 28.85 23.63 11 742 31.4 1484 62.8 28.85 41.5 11 445 1.8 89 21.7 28.85 8.67 7.49 * * 19.65 12.3 7.49 974 79 1949 158 19.65 23.63 7.49 336 14 673 28 19.65 41.5 7.49 258 6.5 516 13 19.65 *Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändligheten vid kritisk last enligt avsnitt 2.6. 3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot Eulerknäckning Detta avsnitt beskriver en relation mellan Eulers knäckningslast och den karakteristiska bärförmågan för en axiellt tryckbelastad slank pelare enligt beräkningar med Boverkets konstruktionsregler, BKR 99 [1]. Syftet är att ta reda på hur stor skillnaden blir i resultat och hur den påverkas av tvärsnittets storlek. Pelaren som först kontrolleras för tryck parallellt med fiberriktningen har samma egenskaper som provkroppstyp 2 som kommer att användas vid laborationerna: Uppställning 1 = 21 ä = 4514 ä =2 meter Enligt BKR beräknas en pelares kapacitet för en tryckkraft enligt nedanstående ekvation där: : ä ö ä : ä : hä h : h ä ö 29

= enligt BKR 99 [1] (3.5) = = 12 = 153.96 =,12 = 15.876 (3.6) Om kapaciteten istället beräknas med hänsyn till Eulers knäckningslast enligt tidigare avsnitt så blir värdet: = = 28.85 Teoretiskt betyder detta att brottet inte kommer att uppkomma vid Eulers knäckningslast utan pelaren går till brott innan detta sker. Hur slank behöver då pelaren vara för att hållfasthetsvärdena enligt tryckbelastningsberäkningarna ovan ska vara mindre eller nära Eulers knäckningslast? För att ta reda på detta ställs ett förhållande upp mellan dimensioneringsreglerna i BKR och Eulers knäckningslast. : Den kritiska lasten med karakteristisk bärförmåga enligt BKR : Eulers knäckningslast = (3.7) = (3.8) h = h 12 (3.9) Vid beräkning då enbart tvärsnittets bredd b varieras med b=15, 22, 28 mm så blir förhållandet mellan den karakteristiska bärförmågan och Eulers knäckningslast: För uppställning 1 med förhållandet b=15mm 97.1% b=22mm 95.9% b=28mm 94.88% 3

Samma beräkning görs för uppställning 2 med förhållandet b=15mm 94.5% b=22mm 91.9% b=28mm 89.4% Tvärsnittet för provkroppstyp 1 som valts till 22x95 kommer förmodligen gå till brott innan Eulers knäckningslast uppkommer, men är så pass nära att en stor utböjning kommer att uppstå innan brott. De kritiska lasterna för tvärsnittet 22x95 beräknas till: Uppställning 1 Karakteristisk bärförmåga enligt BKR: = 2.2 Eulers knäckningslast: = 2.288 Uppställning 2 Karakteristisk bärförmåga enligt BKR: = 8.4 Eulers knäckningslast: = 9.15 Teoretiskt krävs alltså ett mycket slankt tvärsnitt för att en 2 meter hög pelare ska kunna belastas till ett knäckningsfall enligt Euler. Dimensioneringsformeln som används för tryck tar hänsyn till slankheten av pelaren och beaktar knäckning. Förhållandet visar att det slanka tvärsnittet vid laborationen är tillräckligt nära ett rent fall enligt Euler och kommer troligtvis ge ett tydligt beteende av knäckning. 31

3.5 Provningsresultat I följande avsnitt visas provningsresultaten som punkter i diagram med logaritmiska trendlinjer. Dessa innefattar 3 provningar till varje trendlinje, och en trendlinje per fjäderstyvhet. För provningsresultat per pelare, se kapitel 8 bilaga 1. Pelarna belastades med en tryckande punktlast i toppen och värdena för utböjningen vid mätcellerna registrerades tillsammans med belastningen som mätvärden i ett Excel-dokument. I provningsresultaten kommer flertalet laster upp i ett högre värde än teoretisk knäckningslast. Det är inte praktiskt möjligt vid teoretiskt förutsatta förhållanden. Det finns många faktorer som kan ha stor inverkan på resultatet, exempelvis felaktig E-modul, geometri och upplagsförhållanden vilket beskrivs nedan. Geometri Eulers knäckningslast för en tryckt pelare beror till stor del av geometrin genom tröghetsmomentet enligt = =. Om bredden på tvärsnittet är någon millimeter större så ökar värdet på den teoretiska knäckningslasten exponentiellt. Om verkliga bredden är 23 mm istället för 22 mm så ökar knäckningslasten med 14 %. Upplagsförhållanden Upplagsförhållandena för knäckning är en viktig faktor vilket nämndes i avsnitt 2.2. Om ena upplaget inte är helt ledat, utan istället kan uppta ett visst moment kommer knäckningslasten istället bli någonstans mellan = och = (.). Upplagsförhållandena för den övre leden i provningarna, se figur 26, kan påverka den teoretiska knäckningslängden. E-modul Den uppmätta densiteten i tabell 7 och tabell 8 tyder på en högre E-modul än de som använts vid beräkning av den teoretiska knäckningslasten. Detta tyder på att pelarnas kapacitet är högre än vad som beräknats fram. Figur 32 visar ett teoretiskt förhållande mellan E-modul och densitet (.5 fraktilen). 16 14 E-modul (GPa) 12 1 8 6 4 3 35 4 45 5 55 Densitet ρ med (kg/m 3 ) Trendlinje Figur 32 Samband på förhållandet E-modul/densitet enligt SS-EN 338 32

3.5.1 Tvärsnitt 22x95 3.5.1.1 Utböjning för uppställning 1 I provningarna har tre fjäderstyvheter använts, alla tre över den ideala styvheten (.916-1.144 kn/m) eftersom en ideal tryckfjäder hade varit för instabil i sig för att kunna ge ett tillförlitligt resultat. Figur 33 visar att fjädrarna inte böjer ut så mycket innan en högsta last uppnås. Vissa provningar har kommit upp i mycket hög last för att sedan snabbt böja ut samtidigt som lasten sjunker. Detta beror på att pelaren har varit mycket rak vid pålastningen. När sedan en tillräcklig deformation har uppstått i pelaren har stödet plötsligt böjts ut och då inte kunnat klara av de höga laster som uppstått, detta främst vid den lägsta styvheten. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 2 4 6 8 1 12 14 Utböjning (mm) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 33 - Resultat från provning utböjning av pelartopp utan snedställning, 3 provningar För en pelare med 2 cm snedställning i toppen visar kurvorna i figur 34 att fjädrarna med de lägre styvheterna böjer ut direkt och oacceptabelt mycket vid låga laster för att sakta öka mot den högsta lasten. Vid jämförelse med pelaren utan snedställning så gör snedställningen att pelarna inte riktigt kommer upp i samma last när provningen avbrutits. Avbrotten berodde oftast på att pelaren deformerats så mycket att stöden kollapsade. 33

P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 2 4 6 8 1 12 14 Utböjning (mm) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckningslast (E=11 Gpa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 34 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 2 cm snedställning, 3 provningar Vid snedställningen 4 cm i toppen enligt figur 35 uppstår ett liknande förlopp som vid 2 cm snedställning, men det uppkommer en än större utböjning vid lägre last. De maximala lasterna då provningarna avbröts är väldigt lika för de två snedställda pelarna. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 2 4 6 8 1 12 14 Utböjning (mm) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 35 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 4 cm snedställning, 3 provningar 34

Vid belastning av pelare med uppställning 1 så kommer utböjningen bli densamma oavsett vilken fjäderstyvhet stödet har, se figur 36. Figur 36 - Utböjningsform för uppställning 1 3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1 Fjäderkrafterna beror av fjäderstyvheten och utböjningen vid belastning enligt = I figur 37 visas hur fjäderkraften beror av styvheten då pelaren saknar snedställning. Vid en lägre styvhet ökar fjäderkraften fortare vid en lägre last än för fjädrar med en högre styvhet. Det betyder att vid samma last blir utböjningen så mycket större i stödet då lägre styvheter används att fjäderkraften = ger ett större värde än då styvheten är högre. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 5 1 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 37 - Fjäderkraft från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar 35

Fjäderkraften för en 2 cm snedställd pelare visas i figur 38. Fjäderkraften börjar öka tidigare än för en pelare utan snedställning. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 5 1 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckninglast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 38 - Fjäderkraft från provning, pelare med 2 cm snedställning, 3 provningar Vid en 4 centimeter snedställning blir lutningen vid pålastning än brantare mot en stor fjäderkraft, se figur 39. Kraften ökar snabbt och är vid samma belastning mer påfrestande på stöden, jämfört med uppställningarna i figur 37-38. För alla provningar blir kraften större då styvheten är lägre, eftersom utböjningen blir mycket större. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 5 1 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 Teoretisk Knäckningslast (E=11GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Figur 39 - Fjäderkraft från provning, pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar 36

3.5.1.3 Utböjning för uppställning 2 För provningarna för uppställning 2 har fyra styvheter används där flera ligger nära den ideala styvheten (14.66-18.3 kn/m). Två styvheter är lägre än den ideala styvheten och två är högre än den ideala styvheten. När stagningen sitter på mitten bildar utböjningsformerna en halv eller en hel sinuskurva då styvheten ligger under respektive över den ideala styvheten. Detta gör att utböjningen i fjädrarna inte kommer att bli så stora då utböjningsformen utgörs av en hel sinuskurva. Då pelaren böjs ut på mitten som en halv sinuskurva kommer stöden inte att kunna stabilisera pelaren vid lika höga laster, eftersom den låga styvheten gör att stöden kollapsar på grund av för stor deformation. Utböjningarna när pelarna saknar snedställning visas i figur 4. Tabell 12 visar vilka utböjningsformer som uppstod för respektive pelare och fjäderstyvhet vid provningarna. P (kn) 12 1 8 6 4 2 K=8.67 K=12.3 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 3 6 9 12 15 18 Utböjning (mm) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 4 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt utan snedställning, 3 provningar Tabell 12 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de saknar initiell snedställning. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva Styvhet kn/m P1 Utan P2 Utan P3 Utan 8.67 Halv Halv Halv 12.3 Halv Halv Halv 23.63 Hel Hel Hel 41.5 Hel Hel Hel Vid en snedställning på 2 cm i toppen av pelaren så går det inte att utgöra några större skillnader mot en helt vertikal pelare, se figur 41. Bara styvheten K=12.3 kn/m visar en klar skillnad, då pelaren inte böjer ut mycket med 2 cm snedställning, medan den böjer ut mycket utan snedställning enligt figur 4. Styvheten är på gränsen till att vara ideal och små ändringar i uppställningen gör skillnad för utböjningsmoden vid maximal last. För utböjningsformen för pelare med 2 cm snedställning se tabell 13. 37

12 K=8.67 1 K=12.3 P (kn) 8 6 4 2 3 6 9 12 15 18 Utböjning (mm) K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 41 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt med 2 cm snedställning i topp, 3 provningar Tabell 13 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiell snedställning på 2 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva Styvhet kn/m P1 2cm P2 2cm P3 2cm 8.67 Halv Halv Halv 12.3 Halv Hel Halv 23.63 Halv Hel Hel 41.5 Hel Hel Hel Vid en snedställning på 4 cm uppkommer inte heller några direkta skillnader mer än att utböjningen blir något större vid en lägre last, se figur 42. Vid denna snedställning blev utböjningsmoden för K=12.3 kn/m återigen en halvsinuskurva, se tabell 14. Samtidigt uppstod färre hela sinuskurvor för de andra styvheterna. Detta är svårt att förklara, men troligen kan snedställningen ge en ofördelaktig deformation för ett sådant beteende. Samtidigt kan små förändringar i uppställningarna ge stora skillnader för resultatet och kan bero på tillfälliga avvikelser. Sammantaget är ändå pelarna med de två styvare fjädrarna mer benägna att böja ut i en hel sinuskurva enligt teorin för styvheter över den ideala styvheten vid Eulers knäckningslast. 38

14 K=8.67 12 K=12.3 1 K=23.63 P (kn) 8 6 4 2 3 6 9 12 15 18 Utböjning (mm) K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 42 - Resultat från provning, utböjning i pelarmitt med 4 cm snedställning i topp, 3 provningar Tabell 14 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiell snedställning på 4 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva Styvhet kn/m P1 4cm P2 4cm P3 4cm 8.67 Halv Halv Halv 12.3 Halv Halv Halv 23.63 Halv Hel Halv 41.5 Halv Hel Hel För pelare med uppställning 2 kommer utböjningsformen antingen vara en hel sinuskurva eller en halv sinuskurva enligt figur 36, beroende av fjäderstyvheten enligt avsnitt 2.4. Utböjningsformen då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva visas i figur 43. 39

Figur 43 - Utböjningsform för uppställning 2 I figur 44 och i figur 45 kan utböjningsformen utläsas för provkropp 3 med stagning på mitten. Diagrammen visar utböjningen vid lägesgivarna över respektive under fjädern och visar hur pelaren böjer ut vid dessa punkter. Lägesgivaren för utböjningarna i undre delen av pelarna gav något hackiga värden, men eftersom de endast var till för att visa utböjningsformerna behövde detta inte tas någon hänsyn till. Figur 44 visar att pelaren för de låga styvheterna går mot en halv sinuskurva då båda lägesgivarna går åt samma håll, men en styvhet på 23.63 kn/m ger utböjning åt var sitt håll för provkropp 3 utan snedställning, det vill säga en hel sinuskurva. Liksom tabell 12-14 har visat så uppkommer den ideala utböjningsformen av en hel sinuskurva då fjäderstyvheten är någonstans mellan 12.3 kn/m och 23.63 kn/m. 4

12 P (kn) 1 8 6 4 2 K=8.67 ö K=8.67 u K=12.3 ö K=12.3 u K=23.63 ö K=23.63 u K=41.5 ö K=41.5 u -5 5 1 15-2 Utböjning (mm) Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Figur 44 Utböjningsform vid provning uppställning 2 utan snedställning för provkropp 3 Resultatet för provkropp 3 med en snedställning på 2 cm visar samma utböjningsform för de respektive styvheterna enligt figur 45. I vissa provningar var det svårt för pelaren att böja ut i en hel sinuskurva. Det krävdes då en större last för att detta skulle ske. Eftersom samma pelare var tänkt att användas för flera mätningar skulle inte tryckhållfastheten överskridas och detta testades således bara en gång för varje pelare. 41

12 P (kn) 1 8 6 4 2 K=8.67 ö K=8.67 u K=12.3 ö K=12.3 u K=23.63 ö K=23.63 u K=41.5 ö -5 5 1 15-2 Utböjning (mm) K=41.5 u Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Figur 45 Utböjningsform vid provning uppställning 2 med 2cm snedställning för provkropp 3 I tabell 15-16 visas en sammanfattning av utböjningsformerna från provningarna med uppställning 2. Tabell 15 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer vid olika initiella snedställningar. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva Styvhet kn/m P1 Utan P1 2cm P1 4cm P2 Utan P2 2cm P2 4cm P3 Utan P3 2cm P3 4cm 8.67 Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv 12.3 Halv Halv Halv Halv Hel Halv Halv Halv Halv 23.63 Hel Halv Halv Hel Hel Hel Hel Hel Halv 41.5 Hel Hel Halv Hel Hel Hel Hel Hel Hel Tabell 16 - Sammanställning av utböjningsformerna för samtliga provkroppar. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva Utan 2cm 4cm 8.67 3 Halv 3 Halv 3 Halv 12.3 3 Halv 1 Hel, 2 Halv 3 Halv 23.63 3 Hel 2 Hel, 1 Halv 1 Hel, 2 Halv 41.5 3 Hel 3 Hel 2 Hel, 1 Halv Sammanställningarna visar att pelarna har lättare att böja ut i en hel sinuskurva då pelarna saknar snedställning. Detta kan bero på att snedställningen ger en mer koncentrerad last till toppstödet och pelaren böjer således mest ut i övre delen av pelaren. 42

3.5.1.4 Fjäderkraft för uppställning 2 Vid uppställningen med ett mittstöd kommer det på liknande sätt som för pelare utan mittstöd bli högre krafter vid lägre styvheter. Skillnaden är att det blir ganska små fjäderkrafter på mittstödet då pelarna böjer ut i en hel sinuskurva. Fjäderkraften i mittstödet då pelaren saknar snedställning visas i figur 46. P (kn) 12 1 8 6 4 2 5 1 15 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 46 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd utan snedställning, 3 provningar I figur 47 visas fjäderkraften för pelare med 2 cm snedställning. På samma sätt som för en pelare utan snedställning blir krafterna mindre då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva. Det är bara pelaren med den lägsta styvheten som ligger klart under den ideala styvheten och böjer lätt ut och ger en hög fjäderkraft i mittstödet. Fjädern med 12.3 kn/m var strax under den ideala styvheten och brytpunkterna visar att några serier har haft en låg fjäderkraft och böjt ut i en hel sinuskurva. P (kn) 12 1 8 6 4 2 K=8.67 K=12.3 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 5 1 15 Kraft (N) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 47 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd och 2 cm snedställning, 3 provningar I fallet då pelarna hade 4 cm snedställning hade pelaren svårt att böja ut i en hel sinuskurva vid de högre styvheterna och skulle förmodligen behövt belastas mer innan ett sådant 43

beteende, se figur 48. Lasten skulle i så fall minskats i fjädrarna eller åtminstone rätats ut mot en konstant kraft. Sådana beteenden uppkom med jämna mellanrum i försöken och kan ha berott på att det uppstod en verkande kraft i fjädrarna från början. Detta ger pelaren en viss initiell krokighet och den har därför lättare att börja böja ut i mitten. P (kn) 12 1 8 6 4 2 5 1 15 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 48 - Fjäderkraft från provning pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar 44

3.5.2 Tvärsnitt 45x14 3.5.2.1 Utböjning för uppställning 1 Utböjningen vid en last lägre än Eulers knäckningslast går att utläsa i diagrammen nedan. Den lägsta styvheten ligger under den ideala styvheten medan de andra tre ligger över. Samtliga provningar sker med uppställning 1. En pelare utan snedställning visar att utböjningen ökar med lägre fjäderstyvhet i toppstödet, se figur 49. Lasterna är inte i närheten av knäckningslasten då den teoretiska E-modulen för pelarna används, de är dock nära knäckningslasten då den uppmätta E-modulen används. Några av provningarna böjde knappt ut alls, vilket enbart märktes för pelare utan snedställning. 3 K=8.67 25 K=12.3 P (kn) 2 15 1 5 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 3 6 9 12 15 Utböjning (mm) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 49- Resultat från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar Vid en snedställning på 2 cm enligt figur 5 böjer pelaren ut mer vid samma last än provkropparna utan snedställning. Skillnaderna mellan de olika styvheterna i toppstödet ger en klarare uppdelning av kurvorna, där en lägre styvhet ger en större utböjning. 45

3 K=8.67 25 K=12.3 P (kn) 2 15 1 5 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 3 6 9 12 15 Utböjning (mm) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 5 - Resultat från provning, pelare med 2 cm snedställning i topp, 3 provningar Provkropparna i figur 51 med 4 cm snedställning i toppen kom att böja ut mer än de utan snedställning. Det krävdes ändå en något högre last att böja ut mer än en 2 cm snedställd pelare. Resultaten är ändå väldigt lika när brytpunkterna kontrolleras. Detta visar att små skillnader ger ett större utslag för trendlinjerna eftersom antalet provningar var så pass begränsade. 3 K=8.67 K=12.3 25 K=23.63 P (kn) 2 15 1 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 5 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 3 6 9 12 15 Utböjning (mm) Trendlinje K=41.5 Figur 51 - Resultat från provning pelare med 4 cm snedställning i topp, 3 provningar 46

3.5.2.2 Fjäderkraft för uppställning 1 Fjäderkrafterna för provkropparna utan snedställning har samma beteende vid samma last oavsett styvhet se figur 52. Teoretiskt ska stöden få en högre kraft då lasten närmar sig knäckningslasten. Provningslasterna är inte nära den teoretiska knäckningslasten, utan systemet fungerar troligtvis som en styv pelare som lutar sig mot en fjäder och kommer ge samma kraft i fjädern oavsett styvhet. 3 K=8.67 25 K=12.3 2 K=23.63 K=41.5 P (kn) 15 1 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 5 Trendlinje K=12.3 5 1 15 2 Kraft (N) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 52 - Fjäderkraft från provning pelare utan snedställning, 3 provningar Resultaten från de två snedställningarna ger samma resultat som pelaren utan snedställning, då alla styvheter ger nästan identiska kurvor för fjäderkraften oavsett vilken styvhet som används. Se figur 53-54. 47

3 K=8.67 25 K=12.3 2 K=23.63 K=41.5 P (kn) 15 1 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 5 Trendlinje K=12.3 5 1 15 2 Kraft (N) Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 53 - Fjäderkraft från provning pelare med 2 cm snedställning, 3 provningar P (kn) 3 28 26 24 22 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 5 1 15 2 Kraft (N) K=8.67 K=12.3 K=23.63 K=41.5 Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Teoretisk Knäckningslast (7.49 GPa) Trendlinje K=8.67 Trendlinje K=12.3 Trendlinje K=23.63 Trendlinje K=41.5 Figur 54 - Fjäderkraft från provning pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar 48

3.6 Stabilitetslaster Diagrammen nedan grundar sig på provningsresultaten vid en kritisk utböjning på L/5, det vill säga 4 cm (vilket motsvara en oacceptabelt stor utböjning vid dimensionering av bärverk). Detta jämförs med den teoretiska knäckningslasten för de olika provningsuppställningarna. 3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1 För att stödet ska böja ut 4 cm i toppstödet måste lasten överstiga den teoretiska knäckningslasten då styvheten är över 1 kn/m, se figur 55. P (kn) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 1 2 3 Fjäderstyvhet (kn/m) Provdata Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Trendlinje Knäckningslast Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Figur 55 - Knäckningslaster från provning, vid 4 cm utböjning i toppstöd För att pelaren ska böja ut 4 cm i mitten vid en varierande stagning i toppen så är lasten under den teoretiska knäckningslasten, se figur 56. Det betyder att pelaren inte klarar av att belastas till Eulers knäckningslast. P (kn) 3 2.5 2 1.5 1.5 1 2 3 Fjäderstyvhet (kn/m) Provdata Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Trendlinje Knäckningslast Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Figur 56 Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren 3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2 Figur 57 visar provningarna då ett stöd är placerat på mitten. Mätvärdena har valts antingen då pelaren böjt ut vid stödet i mitten, eller då pelaren böjer ut mellan toppstödet och mittstödet, beroende på var utböjningen på 4 cm sker först. Detta har gett en knäckningslast som stämmer bra överens med det teoretiska lastvärdet. 49

P (kn) 14 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 Fjäderstyvhet (kn/m) Provdata Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Trendlinje Knäckningslast Teoretisk Knäckningslast (E=8.81 GPa) Figur 57 Knäckningslaster från provning vid 4 cm utböjning då pelaren har ett stöd på mitten 3.6.3 Tvärsnitt 45x14 vid uppställning 1 Knäckningslasten för pelaren med avseende på deformationen i toppstödet visar att pelaren belastas långt under den teoretiska knäckningslasten då stödet deformeras 4 cm, se figur 58. P (kn) 35 3 25 2 15 1 5 Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) 1 2 3 4 5 Fjäderstyvhet (kn/m) Provdata Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Trendlinje Knäckningslast Figur 58 Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i toppstöd Provningsresultatet för det grövre tvärsnittet visar att den teoretiska knäckningslasten ligger bra mycket över vad provkropparna klarade att belastas med. Lasten då pelaren deformeras 4 cm i mitten ligger under hälften av den teoretiska knäckningslasten enligt figur 59. 5

35 Provdata P (kn) 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 Fjäderstyvhet (kn/m) Teoretisk Knäckningslast (E=11 GPa) Trendlinje Knäckningslast Teoretisk Knäckningslast (E=7.49 GPa) Figur 59 - Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren 51

3.7 Diskussion och slutsatser från provningarna Provningarna som sammanställs i figur 56-57 visar resultat som stämmer bra med teorin, men det finns även resultat som är avvikande, figur 55, 58-59. Detta är väntat då testerna är gjorda med få provkroppar och materialegenskaper dem sinsemellan kan skilja sig mycket. Diagrammen för provningarna av det slanka tvärsnittet visar att flera laster kommer upp i högre värden än Eulers knäckningslast, det ska inte vara möjligt. För det grövre tvärsnittet ligger lasterna bra mycket under Eulers teoretiska knäckningslast, vilket är väntat. Provningarna för det slanka tvärsnittet visar att pelarna med de lägre fjäderstyvheterna böjer ut mer då fjäderstyvheten är lägre och det går snabbare mot en stor kraft i stagningen då pelaren närmar sig knäckningslasten. Lasterna då provkropparna går till brott stämmer också bra med teoretiska värden. Resultatet av provningarna bekräftar att teorin är applicerbar på verkligheten enligt diskussionen och slutsatserna i 3.7.2 och 3.7.3. Resultatet visar också på avvikelser gentemot teorin som kan bero på flera felkällor vilka beskrivs i 3.7.1. 3.7.1 Felkällor Det finns många felkällor vid denna typ av laborationer då instabilitetsfenomen är väldigt känsliga för stödens placering och lastens excentricitet. Det visade sig svårt att placera mätcellerna på det ställe där pelarna knäcker ut som mest, vilket ger en viss avvikelse i resultatet mellan de olika mätserierna. Det hade varit optimalt att ha fler mätceller utefter pelaren för att få en korrekt bild av utböjningen och hur stor den maximala deformationen blir. Kolven som belastar som en led i ovankant kan ge en viss stabilisering av pelarens ovankant, se avsnitt 3.5. Detta påverkar främst resultatet för tvärsnitt 22x95 då det slankare tvärsnittet lätt blir lite inspänt i toppen, vilket inte har lika stor inverkan på det mindre slanka tvärsnittet 45x14 (Roberto Crocetti Konstruktionsteknik LTH). Den uppmätta E-modulen visar att pelarnas egenskaper varierar, även individuella imperfektioner i träet som kan vara svårt att upptäcka okulärt kan vara en bidragande orsak till variationen i resultatet. Felkällorna som tagits fram för rapportens provningsuppställningar är mycket viktiga att undvika för att få korrekta resultat som kan jämföras med de teoretiska värdena. Detta är bra att tänka på vid liknande provningar som utförs i forskningssyfte. 3.7.2 Fjäderkrafter Tvärsnitt 22x45 med stöd i topp: Styvheterna i tryckfjädrarna låg över den ideala styvheten och skillnaden i kraft var ytterst liten vid dessa provningar då pelaren var helt vertikal. När pelarna var snedställda vid provningarna visade det sig att utböjningen och lasten som verkar i stödet sker tidigare för den lägsta styvheten och pelarkonstruktionen klarar därmed inte lika höga laster vid en lägre styvhet. Fjäderkrafterna som uppkommer vid knäckningslasten är under 1 procent av den 52

påförda lasten, men är ändå över den teoretiska fjäderkraften. Då pelarna är belastade med Eulers knäckningslast är den uppmätta fjäderkraften mycket nära den teoretiska enligt tabell 1. Tvärsnitt 22x45 med stöd i mitt: Här visade sig tydligt ett beteende av att krafterna blir lägre i fjädrarna för de högre styvheterna. De två lägsta styvheterna ligger nära den ideala styvheten och kommer vid stöd på mitten att bli mer belastade eftersom de inte är tillräckligt styva för att pelaren ska böja ut i en hel sinuskurva. Kraften är i storleksordningen enligt de teoretiska värdena i tabell 11. Tvärsnitt 45x14 med stöd i topp: Resultatet visar inte så klara skillnader som vid det mindre tvärsnittet. Det ser ut som att kraften i fjädern med lägre styvhet blir lägre. Detta beror på att denna inte kan tryckas ihop mer än någon centimeter vilket ger en högsta kraft på 1 N och kommer därför snabbt att tryckas ihop och nå stödets maxlast. Krafterna går annars i samma linje. Lasterna kommer inte upp i Eulerknäckningslasten, vilket enligt teorin är då den stora skillnaden i fjäderkrafter uppstår. Allmänt: Rapportens provningsresultat för fjäderkrafterna visar att teorin är väl applicerbar på verkligheten vad gäller styvhetens inverkan då belastningen närmar sig Eulers knäckningslast. När pelaren närmar sig knäckningslasten så ökar fjäderkraften markant. Det visade sig också att vid en lägre styvhet så uppkom den stora ökningen i fjäderkraft vid en lägre tryckkraft, vilket är riktigt enligt teorin. Fjädrarna kunde inte heller tryckas ihop så mycket, då de minsta fjädrarna var väldigt slanka, detta gav ett lågt maxvärde innan de blev helt hoptryckta och därmed helt styva. Det syns också tydligt i diagrammen att vid ett stöd på mitten, så verkar små krafter på mittstödet när den ideala styvheten överskrids och pelaren böjer ut i en hel sinuskurva. Kraften kommer istället föras över till det övre och det undre stödet medan det blir jämvikt vid mittstödet. Resultatet i provningarna visar att en verkligt rak pelare kommer att få fjäderkraft i toppstödet eftersom en helt rak pelare inte är realistisk, speciellt inte för ett anisotropt material som trä. Teorin om att en rak pelare inte får någon fjäderkraft i toppstödet bör därför inte användas vid beräkning, istället ska en initiell snedställning alltid beaktas. Provningarna visar att pelare som inte är slanka nog att belastas till en utböjningsform enligt Euler inte kommer att få en ökad fjäderkraft då toppstödets styvhet är låg, fjäderkraften blir densamma oavsett vilken styvhet som används då pelaren belastas. 3.7.3 Eulers knäckningslast Resultatet stämmer bra med teorin i flera fall, men det är också anmärkningsvärt att lasten vid flera provningar ligger över Eulers knäckningslast. Det är inte rimligt, men kan förklaras av flera möjliga felfaktorer för provningsuppställningar av denna typ som tagits fram i rapporten enligt avsnitt 3.5. Den teoretiska ideala styvheten för den slanka pelaren med mittstöd stämmer bra i provningsresultatet, utböjningsformen av en hel sinuskurva kunde tydligt 53

påvisas vid styvheter högre än den ideala styvheten. Det betyder att teorin är väl tillämpningsbar på verkligheten när styvheten i pelarens stabiliserande stöd ska beräknas. Deformation som i rapporten används som krav vid knäckningslast i avsnitt 3.6 ser ut att vara ett bra riktvärde för det slankare tvärsnittet där det verkar stämma bra med den teoretiska knäckningslasten. Lasterna vid provningarna för det grövre tvärsnittet ligger långt under det teoretiska värdet på Eulers knäckningslast. Detta gäller för samtliga styvheter. Provningarnas maxlast för det grövre tvärsnittet stämmer dock bra med beräkningen som gjordes i avsnitt 3.4.3, då det karakteristiska värdet på maxlasten beräknades till 15.9 kn. Det visar att rapportens provningar stämmer bra med teorin och bekräftar att felkällorna gör mindre inverkan på ett grövre tvärsnitt. Det något lägre värdet på maximal last vid de lägre styvheterna betyder att pelaren kommer att vara instabil innan den belastas med sitt maxvärde, vilket är riktigt enligt teorin. I denna studie begränsas värdet för utböjningen till L/5 för att kunna använda något riktmärke för knäckningslasten. Om utböjningen hade begränsats till ett annat värde så hade det givetvis påverkat resultatet för uppskattad knäckningslast. Det anses ändå att vid denna utböjning kunde inte pelarna belastas mycket mer då utböjningen hade ökat mer utan att en betydande lastökning hade uppstått. 54

4 Studieobjekt: Studieobjekt: Uddevalla ridhus I februari 21 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölast snölast som verkade under denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar ramar rasade rasade in in några veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades. påbörjades. 4.1.1 Beskrivning av systemet Uddevalla rid ridhus hus är en limträk limträkonstruktion onstruktion med måtten 25x43m och en noc nockhöjd khöjd på 9.3m 9. m och uppbyggnad enligt figur 6 6.. Stommen har ha ett bärande system av ramar med spännvidd på 24.5m, bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna Ramarna har har ett ett centrumavstånd på 6m. Taket är uppbyggt av trapetsprofilerad stålplåt liggandes på åsar av fingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar samt vindstag i gavlarna stomstabiliserar byggnaden byggnaden.. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan åsar och takbalkarna, takbalkarna, vilket leder ti till ll excentriciteter och försämrar konstruktionen ur stabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt väggplåt och och är är fästa fästa på på väggreglar. Figur 6 - Uddevalla ridhus, stomme i 3d 55

I tabell 17 visas dimension och material på samtliga bärande element. Tabell 17 Bärande element ELEMENT MATERIAL STORLEK (mm) Pelare långsida L4 215x45 Pelare hörn L4 115x225 Pelare gavlar L4 115x315 Pelare gavlar mitt L4 14x315 Takbalkar L4 115x675 Takbalkar gavlar L4 66x36 Takåsar K24 45x195 Väggreglar K24 45x17 Dragband Ks6s (sträckgräns 59 MPa) D=25 Hanbalk K24 165x18 Dragstag gavlar Hålband 6x2. Enligt SP Trätek [9] har vid okulära besiktningar kunnat konstateras flera brister i konstruktionen. Efter raset stod ett närliggande ridhus kvar med intakt snötäcke och med hjälp av det kunde snömängden på taket uppskattas vid rastillfället, vilket var betydligt tjockare på den västra sidan av taket än på den östra. Vid granskning av rasmassorna ansågs åsar, väggreglar och detaljer i takpartiet vara mycket enkelt utförda. När rasmassorna undersöktes, kunde en viss förskjutning i horisontalled uppvisas i de östra pelartopparna och att de då hade fallit utåt. Klossbrott uppmärksammades i dessa pelares infästning till grunden. Dragstagens muttrar på östra sidan var inte korrekt åtskruvade. Likaså var de dåligt påskruvade i väster, dessutom hade brickor i ett dragstag inte monterats alls. Detta har undersökts och visat sig vara en stor anledning till brott. Hanbalken var inte korrekt utförd enligt ritningarna, ett mothållande block saknades på balken. Dessa satt ändå kvar i rätt position efter raset och ska förmodligen inte vara en bakomliggande orsak till brott. De ramar som rasade ingick alla i vindkryssen, detta kan bero på att urtag hade gjorts för infästning av vindkryssen och nära 5 procent av tvärsnittet hade tagits bort. Sprickor hade då skett i nivå med dessa urtag. Utredningen som görs i denna rapport kommer att undersöka konstruktionens stabilitet och hur konstruktionen skulle klara sig vid en korrekt uppbyggnad efter tillhörande ritningar. Figur 61 visar bilder på konstruktionen efter raset och figur 62 visar anslutningar vid nock och pelar-balk. 56

Figur 61 Bilder efter raset Figur 62 Till vänster: Taknock, hanbalk och åsar. Till höger Upplag och infästning av takstolar och dragband 57

4.2.2 Geometri I figur 63 visas geometrin för en ram genom ridhuset, med tillhörande koordinatsystem. Z Y X Figur 63 - Geometri 4.2.3 Randvillkor ram Åsarnas infästningar till takbalkarna kan inte uppta något moment, men ger en viss låsning vinkelrätt takbalkarna. Infästningen mellan takbalk och pelare kommer vara förhindrad att röra sig transversellt men antas ledad i samtliga riktningar. Hanbalken och taknocken modelleras med ledad infästning. Tabell 18 visar lokala riktningar för samtliga infästningar enligt figur 63. Tabell 18- Randvillkor Infästning Mx My Mz x y z Takås-takbalk - - - - Varierar* - Väggreglarpelare - - - - Varierar* - Takbalk-pelare - - - Styv Styv Styv Taknock - - - Styv Styv Styv Hanbalktakbalk - - - Styv Styv Styv Pelare-grund - Styv Styv Styv Styv Styv * Beräknad styvhet enligt kapitel 4.3 4.3 Antaganden En modell med och utan pelare undersöktes för att få en uppfattning om hur pelarna spelar in i konstruktionen. Med detta konstaterades att resultaten påverkas av pelarnas eftergivlighet och valet blev därför en modell med pelare. Därför var hänsyn till väggreglarnas och takåsarnas styvheter viktiga för modellen. 58

För att modellen skulle få en mer korrekt sidostagning behöver takåsarnas och väggreglarnas styvhetsbidrag beräknas för deras normalkraftsriktning. Hela konstruktionen i sig ger också ett bidrag som måste beaktas vid den totala stagningen. Den totala stagningen beräknas enligt ekvation 4.1., är styvheten i takåsens infästning är styvhetsbidraget från hela konstruktionen Takåsar 1 = 1 + 1 (4.1) Takåsarna har traditionella takåsinfästningar mot var sida av takbalken med 6 ankarspikar 6x4. i takås och 6 ankarspikar i takbalk. Takåsarnas styvhetsbidrag beräknas ur ekvation 4.2. = (4.2) är antalet spikar som verkar vid normalkraft i takåsen är den verkade tvärkraften vid instabilitet och uppskattas till 4 % av maximal last är glidningen vid F och avläses ur diagram i Traekonstruktioner Forbindelser [5] till.6mm Väggreglar = 15. 1.25 = 1.98.4 198 = 12 = 1584 /.6 Samma beräkning gäller för väggreglarna som är infästa med två vinkeljärn med 4 ankarspikar i regeln och 6 ankarspikar i pelaren. De nedersta reglarna är dock infästa med 6 spikar i regeln och pelaren vardera. Nedersta väggregeln.4 198 = 12 = 1584 /.6 Övriga väggreglar är infästa med 4 ankarspikar på var sida om regeln vilket ger styvheten: Övriga väggreglar Konstruktionens bidrag.4 198 =8 = 156 /.6 59

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med alla stabiliserande elem ment uppförts, se figur 64. Beräknade styvheter för takåsarnas och väggreglarnass infästningar är inkluderade i modellen. Figu ur 64-3D modell för beräkning av konstruktionens stabiliserande bidrag Ramen som ska analyseras i en 2D modelll har reducerats i modellen ovan. 1N Hori isontella laster förs på takåsarna där anslutningen tilll ramen ska finnas. Utböjningarnaa i dessa punkter ger sedan konstruktionens styvhetsbidrag. Figur 65 visar num mrering för väggreglar och takåsar, detta speglas med samma värd den på andra halvan av ramen. 14 15 111 12 13 1 8 9 7 6 5 4 3 2 1 Figur 65 - Numrering av takåsar och väggreglar 6

Tabell 19 - Konstruktionens styvhetsbidrag till takåsar och väggreglar Väggregel/Takås Utböjning (mm) K konstr (N/mm) 1.24 492. 2.13 97.9 3.17 588.2 4.219 456.6 5.255 392.2 6.897 111.5 7.116 86.2 8.134 74.6 9.137 73. 1.127 78.7 11.111 9.1 12.975 12.6 13.889 112.5 14.885 113. 15.976 12.5 Med eftergivligheten i takåsarna så blir de totala styvheterna enligt tabell 19, med numrering enligt figur 65. Beräkning av total styvhet sker enligt exempel för regel 1: =. / 1 = 1 1584 + 1 492 I tabell 2 visas den totala styvheten för takåsarna och väggreglarna med numrering enligt figur 65. Tabell 2 - Total styvhet i beräkningsmodellens väggreglar och takåsar Väggregel/Takås Utböjning (mm) K tot (N/mm) 1.24 3743.5 2.13 914.8 3.17 567.1 4.219 433.8 5.255 382.7 6.897 11.7 7.116 85.7 8.134 74.3 9.137 72.7 1.127 78.3 11.111 89.6 12.975 11.9 13.889 111.7 14.885 112.2 15.976 11.8 61

För stabilitet mot last på långsidan kommer takåsar och väggreglar inte ge något nämnvärt bidrag. Denna styvhet kommer därför främst komma från pelarnas inspända infästningar till grunden. 4.4 Modeller Modellerna som används vid beräkningen är uppställda i Fem-Design 9.. I analysen har ett antal uppställningar undersökts. Både balkelement och skalelement har används då dessa ger olika resultat vid en stabilitetsanalys. Skalelementen är bättre när det kommer till fenomen så som vippning av konstruktionen, då excentriciteter och lokala spänningar är lättare att utreda. Balkelementen är bättre att använda då krafter skall undersökas för att analysera normberäkningar. 4.5 Val av element Vid val av balkelement i modellen gjordes en kontroll när värdena konvergerar. Resultat vid en stabilitetsanalys visade att 25 element var fullt tillräckligt för samtliga delar i konstruktionen förutom dragbandet som sattes till 1 element. Att sätta dragbandet till 1 element är rimligt då detta enbart skall belastas med dragkraft. Värdet på stabilitetslasten, då modellen blir instabil vid en stabilitetsanalys i FEM-design, ändras inte så mycket med fler än 1 element, men det varierar mer när fler än 3 element används. Att det ger samma resultat med 1 element beror på att balkar respektive pelare automatiskt delades in i 1 element mellan varje takås eller väggregel och de blev således redan uppdelade i flera element. Vid kontroll av skalelementsmodellen gjordes på samma sätt en stabilitetsanalys och undersökning när denna konvergerade. Detta visar att en indelning med element mindre än 13 cm ger ett mindre varierande värde på stabilitetslasten. Vid kontroll av andra utböjningsformer så blir dessa mer konstanta ju finare indelning som anges. Valet blir 5 cm för att vara säker på att indelningen är tillräckligt fin och för att denna storlek ger ett värde som anses vara mer på säkra sidan. Se tabell 21 för skillnader mellan olika element vid en jämnt utbredd last. I figur 66 visas indelningen av element för skalmodellen och balkmodellen. Figur 66 - Elementindelning. Till vänster: skalmodell. Till höger: Balkmodell 62

Tabell 21 Val av antal element för balkmodell samt för skalmodell Antal balkelement Per balkdel Stabilitetslast kn/m Storlek på skalelement cm 1 5.6 2 3.496 5 5.65 15 3.556 1 5.65 14 4.71 15 5.65 13 3.942 2 5.61 12 4.26 25 5.6 11 3.948 3 5.618 1 3.994 35 5.634 9 3.976 4 5.673 8 3.954 45 5.736 7 3.99 5 5.276 6 3.814 55 5.31 5 3.92 6 5.242 4 3.922 Stabilitetslast kn/m 4.6 Laster De lastkombinationer som kommer att undersökas är en jämnt utbredd snölast och en ojämn snölast, båda tillsammans med en vindlast och byggnadens egentyngd. Snölast Då mätningar gjordes på plats vid rasplatsen har det konstaterats att snölasten var betydligt större på läsidan och har uppskattats till förhållandet 1:2 mellan lovart och lä, vilket kommer att användas vid den ojämna lasten. Snölasten vid raset har uppskattats på plats enligt SP Trätek [9] till.7-.8 kn/m 2 på lovartsidan och 1.4-1.5 kn/m 2 på läsidan med det större värdet vid nocken. Detta ger en last på ramen med 6 meter spännvidd till 4.2-4.8 kn/m på lovartsidan och 8.5-9 kn/m på läsidan. Lasterna kommer att antas belasta som en utbredd last över takbalken då takåsarna ligger med ett så pass tätt avstånd. Vindlast Vindlasten har antagits då detta inte var noterat vid rastillfället. Detta har enligt Eurocodes svenska standard [6] en referenshastighet på 25 m/s och med terrängtyp II givit en karakteristisk vindlast till.81 kn/ m 2. Detta ger en karakteristisk vindlast: På långsidan På kortsidan till, =.81.8 =.648 /,ä =.81.5 =.45 /, =.81.8 =.648 / 63

Detta ger en last på pelarna i x-led till,ä =.81.5 =.45 /, =.648 6 = 3.888 /, =.45 6 = 2.43 / Eftersom ramen är 25 meter bred med uppdelning av vind på 8 ramar så ges lasten per pelare i y-led till, =, =.648 25 2 8.45 25 2 8 = 1.13 / =.633 / Eftersom det inte går att avgöra vilka vindlaster som var rådande vid raset, så kommer vindlasterna att hållas konstanta i modellen med ett karakteristiskt värde. Detta för att ha ett värde som motsvarar mer riktiga förhållanden, då inga säkerhetsfaktorer tillsätts. I beräkningarna kommer undersökas huruvida vindlasten ger positiv eller negativ inverkan på konstruktionen. 4.7 Analys Ram En stabilitetsanalys kommer att göras i beräkningsmodellen för att kontrollera för vilka laster konstruktionen blir instabil. Dessutom kommer en vidare analys genomföras för att kontrollera flera troliga brottorsaker. En extra kontroll kommer att göras för hanbalken och takåsarna för att undersöka hur dessa komponenter inverkar på konstruktionen och hur de klarar lasterna. 4.7.1 Stabilitetsanalys Skalelement En stabilitetsanalys av skalmodellen utfördes i beräkningsmodellen för att visa när konstruktionen blir instabil. Detta gjordes för två lastuppställningar, en med jämnt fördelad last över hela takbalken och en med ojämnt fördelad last över takbalken. Ojämnt fördelad last innebär i detta fall att ena halvan av takstolen hade dubbelt så mycket last som den andra sidan, så som visade sig råda vid raset. De laster som konstruktionen klarade visas i tabell 22. Utböjningsformen går att se i figur 68, där visas att takbalken böjer ut i underkant. Tabell 22 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 3.92 Ojämn last 2.58 resp. 5.16 Vid kontroll utan vindlast så är skillnaden i resultatet försumbar. 64

Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva i horisontalled så kommer konstruktionen klara en större last enligt tabell 23. Tabell 23 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar är oändligt stora för skalmodellen Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 6.1 Ojämn last 4.25 resp. 8.5 Figur 67 visar spänningarna i ena balken utsatt för den ojämnt fördelade lasten, strax innan stabilitetsbrott. Det blir både drag- och tryckspänningar i båda sidorna av balken, vilket visar på en obalans med en vippande rörelse av balken. Figur 67 - Övre två bilderna visar ena sidans spänningar (MPa), de två nedre visar den andra sidan 65

Figur 68 Utböjningsmoder för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedre bilden) Balkelement En modell med balkelement uppfördes med samma lastförutsättningar som skalmodellen. Resultatet i tabell 24 visar på viss skillnad i stabilitetslasterna vid stabilitetsanalysen av konstruktionen med balkelement gentemot skalelement. Utböjningsmoden för skalelement respektive balkelement går att se i figur 68, där utböjningen visas från två vinklar. Balkelementet visar att takbalken böjer ut i underkant på samma sätt som skalmodellen. I balkmodellen måste excentriciteter mellan balk och pelare gentemot påförd last och balk modelleras med enskilda element med hjälp av verktyget fictitious bar, eftersom balk, pelare och last annars kopplas till samma noder. Elementen syns i figur 68 som kopplingar mellan överkant och underkant takbalk. Tabell 24 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 5.6 Ojämn last 3.7 resp. 7.4 Lasten gäller utan vindlast, då det gav ett något värre fall men skillnaden är försumbar. 66

Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva så ger resultatet stort utslag även för balkmodellen, se tabell 25. Tabell 25 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar är oändligt stora för balkmodellen Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 7.5 Ojämn last 4.75 resp. 9.5 Balkmodellen får samma utböjningsform som i figur 68, men lasterna som krävs för en instabil struktur är större. Av analysen kan alltså tydligt visas att åsarnas och reglarnas styvhet spelar märkbart in på konstruktionens stabilitet. 4.7.2 Normberäkningar Beräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattad osymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Vid kontroll i FEM-Design utan säkerhetsfaktorer så klarar sig konstruktionen. Hanbalken för knäckning har en utnyttjandegrad på 61 %. Den mest belastade takbalken har utnyttjandegraden 97 % för vippning, vilket är ett mycket högt värde, speciellt med hänsyn till dimensionering eftersom inga säkerhetsfaktorer har använts. Vid normberäkningarna ger vindlasten ett visst positivt bidrag till konstruktionen och värdena gäller då vid värsta fallet, utan vindlast. Med vindlast blir värdena istället 19 % för hanbalken och 83 % för balkarna. 4.8 Hanbalkens inverkan En jämförelse mellan konstruktionen med respektive utan hanbalk har gjorts. Uppställningarna som har undersökts är desamma med den enda skillnaden att hanbalken har tagits bort. 4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalk Skalelement Utböjningsmoden med skalelement blir densamma som med hanbalk, att takbalken böjs ut i underkant, se figur 7. Om man jämför med tabell 22 är instabilitetslasten väsentligt lägre utan hanbalk enligt tabell 26. Tabell 26 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen utan hanbalk Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 2.81 Ojämn last 1.85 resp. 3.7 67

Balkelement Vid en stabilitetsanalys av konstruktionen utan hanbalk blir instabilitetslasten lägre även för balkmodellen enligt tabell 27, jämför med tabell 24. I figur 7 visas hur takbalkarna böjs ut i underkant. Tabell 27 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen utan hanbalk Lastuppställning Last (kn/m) Jämn last 5.25 Ojämn last 3.45 resp. 6.9 Figur 7 - Utböjningsmod utan hanbalk för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedre bilden) 4.8.2 Normberäkningar Beräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattad osymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Då hanbalken inte avlastar takbalkarna kommer den värst utnyttjade takbalken inte att klara sig, den kommer att utnyttjas 16 % för knäckning, men även 99 % för vippning och 95 % för kombinerad böjning och tyck. Kraft och spänning med och utan hanbalk Den ojämnt fördelade stabilitetslasten för balkmodellen utan hanbalk används för att se vilka krafter som uppkommer i konstruktionen vid samma last, se tabell 28. 68

Tabell 28 Resultat vid normberäkningar för balkmodell med respektive utan hanbalk Kraft/Spänning Med hanbalk Utan hanbalk Normalkraft takbalk -192 kn -15 kn Normalkraft pelare -92 kn -92 kn Normalkraft dragband 17 kn 128 kn Normalkraft hanbalk 168 kn - Moment takbalk 145 knm 193 knm Moment pelare 18 knm 25 knm Moment hanbalk kn Tvärkraft takbalk 35 kn 46 kn Tvärkraft pelare 14 knm 15 kn Tvärkraft hanbalk.3 kn - Normalspänning takbalk -19 MPa -24 MPa Normalspänning pelare -4 MPa -5 MPa Normalspänning dragband 1.6 GPa 1.5 GPa Normalspänning hanbalk -6 MPa - Resultatet visar att hanbalken är en viktig komponent när det kommer till stabilitet av konstruktionen. Den avlastar även spänningarna i takbalkarna när momentet och tvärkraften minskas i balken. Den ger dock en större normalkraft i balken och dragbandet, samt en lokal kraft vid hanbalkens infästning. 4.9 Takåsar Takåsarna har undersökts för sig då dessa inte är med i den ram som analyserats ovan mer än i form av ett stabiliserande stöd. Uppställningen ses i figur 71, den visar en takås med upplag på tre takbalkar. Fingerskarvar finns på var sida om stödet i mitten och på insidan om ytterstöden. Figur 71 Skalmodell (till vänster) och balkmodell(till höger) för takås 69

Leder Takåsarna är skarvade med 6 spikar, deras plac cering kan ses i figur 72. Y Z X Figur 72 - Skarvning av takåsar De streckade linjerna visar origo i figuren och tyngdpunkt mellan spikarna kan beräknas till = = 6 + 2 6 2 + 4 + = 6.67 6 = = 1 4 1 2 = 3.33 6 Styvheten i lederna Spikarna har dimensionernaa 1x3.4 mmm vilket ger en infä ästning med styvheter i transversella riktningar tilll = 15 =.. 1.25 = 1.2.4 12 = 6 = 48 /..6 För att få ut rotationsstyvheten runt z-axeln anv vänds enligtt Gustafsson [12]] = = (4.3) 7

där är spikarnas individuella styvhet i transversell riktning är spikarnas individuella hävarm till tyngdpunkten = 48(67. + 27.49 + 14. 91 + 53.75 + 35.9 + 14.9 ) 1 = 47.36 / Detta är något förenklat då inverkan av vinkeländringen inte tas till hänsyn, men denna anses försumbar. Randvillkor Takåsen ligger parallellt med x-led. Styvheten i takåsarnas upplag tas ur tidigare beräkningar till 1584 kn/m i transversella riktningar. Takplåtens infästning antas ge full transversell stagning i ovankant. Randvillkoren för takåsarna sammanfattas i tabell 29. Tabell 29- Randvillkor takåsar Infästning Mx My Mz x y z Fingerskarv styv styv 47.36 48 48 48 Takås-takplåt - - - styv Styv styv Takås-takbalk - - - 1584 1584 1584 4.9.1 Stabilitetsanalys takåsar Takåsarnas båda modeller belastas med en jämnt utbredd last. Vid en stabilitetsanalys så klarar takåsarna i balkmodellen en maximal last på 15.2 kn/m. Skalelementmodellen klarar en maximal last på 12.1 kn/m. Utböjningsmoderna för modellerna går att se i figur 73. Lasten då takåsarna blir instabila är relativt hög för en takås. Nedan visas resultat från normberäkningarna i FEM-design för att kontrollera takåsarnas bärförmåga vid raset. Figur 73 - Utböjningsmoder för takåsar (skalelement till vänster, balkelement till höger) 71

Figur 74 Tryck- och dragspänningar (MPa) i takå åsar vid 2.25 kn/m last Detta betyder att takåsarna inte klararr belastningen som var rådande vid inget instabilitetsbrottt utan istället ett materialbrott i takåsarna. raset,, men det blir 4.9.2 Normberäkningar Den verkliga lasten som verkar på takåsarnaa är vid vär rstaa fallet med c/cc 1..5 m och snölast på 1.5 kn/ /m 1.5 1.5 = 2..25 /. Vid en kontroll i FEM-design böjning och drag och 162 % med balkelement så blir utnyttjandegraden uta an säkerhetsfaktorer 186 % för kombinerad för vippning. Maximala tryck- och dragspänningar undersöks i skalmodellen vid 2..25 / lastl t. I figur 74 visass attt spänningarnaa överskrider materialets egenskaper för C24 virke. 4.1 Vindkryss Vindkryssen är excentriskt placerade enligt figur 75 och ger upphov tilll stora spänningar i takbalken. För att ber räkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommerr en balkmodell för hela konstruktionen belastas med de laster som verk kade vid rastillfället. Dee kraf fter som uppstår förs sed dan in i tidigare skal- respektive balkmodelll för att undersöka den inv verkan som uppstår vid lasten från vindkryssen. Figur 75 - Pla acering av vindkryss Vindlast Vindlasten ger en last på pelarna på långsidan till, =, = =.64 48 6= 3.8888 / / =.4 5 6= 2.43 / 72

För pelarna på kortsidan blir vindlasten De yttersta pelarna belastas med halva värdet. Snölast, =.648 6.235 = 4.4 /, =.45 6.235 = 2.525 / Snölasten vid raset har uppskattats på plats till.7-.8 kn/m 2 på lovartsidan och 1.4-1.5 kn/m 2 på läsidan med det större värdet vid nocken. Detta ger en last på takåsarna på lovartsidan till Och på läsidan till Kraft i vindkryss, =.7 1.5 = 1.5 /, =.8 1.5 = 1.2 /,ä = 1.4 1.5 = 2.1 /,ä = 1.5 1.5 = 2.25 / Vid insättning av lasterna i en balkmodell, se figur 76, så fås de största lasterna i takets vindkryss till 6.6 kn närmast nocken och 12 kn i krysset mot kanten. Eftersom vinden med största sannolikhet inte verkade med sådan kraft vid kollaps så kontrolleras även byggnaden utan vindlast. Draget blir då istället.43 kn respektive kn. Vindkryssen kommer att representeras av punktlaster som verkar i vindkryssens riktning. 73

Figur 76 - Modell för framtagning av laster i vindkryss 74