Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Hur elektromagnetiska vågor uppstår Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält, Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält samt ett magnetfält. Konstant acceleration: krökta flödeslinjerna och en elektromagnetisk vågpuls börjar uppstå. 1) 2) 3) t= 0 är laddningen i vila konstant acceleration fram till t = t1, konstant hastighet. En e.m. vågpuls emitteras: amplituden är vinkelberoende. Den är starkast vinkelrätt mot färdriktningen och försvinner längs färdriktningen. Det elektromagnetiska spektrumet En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor Elektromagnetisk strålning: accelererade laddningar. Oscillerande dipol En källa för radiovågor är en dipolantenn. koordinatsystem den utsända vågen
En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor Elektriska fältlinjerna kröks Maxwells ekvationer i sina integrala former Gauss lagar Amperes lag OBS: Det finns ett tillhörande magnetiskt fält, med det har inte ritats in Faradays induktionslag (OBS: Ekvationerna gäller i vakuum. I ett (homogent) material byts 0 resp. mot resp. µ.) Vilka villkor sätter Maxwells ekvationer? Vi konstruerar en plan vågfront med konstanta fältstyrkor som rör sig åt höger (i +xriktningen) med en viss okänt hastighet c I varje punkt bakom vågfronten har E- och B-fält samma styrka och samma riktning Testa Gauss lagar Gauss lagar är visst uppfyllda: det totala E- och B-flödet genom ytorna försvinner (eftersom ingen laddning är innesluten). E " da = Q innesl $ = 0 # 0 $ B " da = 0 Gauss lagar E = (0, E,0) B = (0,0,B) Skulle lagarna också uppfyllas ifall vågen hade fältkomponenter längs x-axeln? Uppfyller en sådan konstruktion Maxwells ekvationer? (Visa själv att det inte skulle det )
Testa Faradays lag Testa Amperes lag # d% E " dl = $ B dt Faradays lag Först integrerar vi E-fältet motsols runt rektangeln efgh: # E " dl = $Ea Michael Faraday Ea = Bac E=cB % B " dl = µ # 0 0 Det elektriska flödet ändras i den vita rektangeln med: Det magnetiska flödet ändras i vita rektangeln med: d" B = B(ac # dt) d$e dt Först integrerar vi B-fältet motsols runt rektangeln efgh: Amperes lag (utan ström ic): Insättning ger: µ00ec = B # B " dl = Ba d"e = E(ac # dt) dvs. i och med att E = cb måste c = 1 µ0"0 Vy längs y-axeln Numeriskt värde: c =3.00 108 m/s E- och B-fält är alltså proportionella till varandra Vy längs z-axeln Testa Amperes lag Sammanfattning Vi har visat att.. Vy längs y-axeln Elektromagnetiska vågor är transversella: E- och B-fält står vinkelrätt mot varandra och är vinkelrätt till utbredningsriktningen som definieras av vektorprodukten E x B (högerhänt system) E = cb Vågens hastighet är konstant = c i vakuum = 3 108 m/s Inget medium är nödvändigt: Det som oscillerar är E- och B-fälten E-fältet definierar vågens polarisationsriktning (linjär polarisation) B=µ00E c2=1/µ00
Maxwells ekvationer i sina differentella former Maxwells ekvationer kan också skrivas om till differentiell form: " # E = (dive ) = $ % 0 " # E = (rote ) = $ %B %t Vågekvation för en plan elektromagnetisk våg som utbreder sig längs x-axeln " 2 E y (x,t) " 2 E = # "x 2 0 µ y (x,t) 0 "t 2 " 2 B z (x,t) " 2 B = # "x 2 0 µ z (x,t) 0 "t 2 " # B = (divb ) = 0 " # B = (rotb ) = c 2 $ 0 J + $ 0 %E %t där " 0 = 1 c 2 Vågekvationen kan enkelt härledas formellt m.h.a. Maxwells ekvationer (läs själv i UP: Kap. 32 sid. 1221f.): Sinusformade (harmoniska) elektromagnetiska vågor Exempel Vågorna som E- och B-fälten bildar hänger alltså ihop och är i fas Storleksordningar ": Våglängd 220V-nätet:??? Våglängd FM-radio:??? Storleksordningar fältsyrkor: CO 2 - laser med "=10.6µm E-fältamplitud: ~10 6 V/m B-fältamplitud: 0.005 T
Hur påverkar materia elektromagnetiska vågor? I materia ändras fashastigheten till: v = µ r 1 OBS: för oscillerande fält har andra värden än för konstanta fält # r : 6"8 för dielektriska material (isolatorer) som glas (men kan varierar stort annars) #c/v=n kallas materialets brytningsindex. c µ r " r Diamant har brytningsindex n=2.42. Hur stor är natriumljusets vakuumvåglängd och dess våglängd i diamant, samt ljusets fashastighet i diamant? du dv " u Hur beräknar man intensiteten? Energiflöde och Poyntingvektorn Energi-innehållet i en volymenhet av strålen För en plan harmonisk elektromagnetisk våg gäller: med u = 1 2" 0 E 0 2 + 1 2 B 0 2 B = E c blir det u = " 0 E 0 2 Strålens energiflödesdensitet blir: S = 1 A du dt = 1 A du dv Ac S = c du dv = c" 2 0E 0 Vågens intensitet (irradians) är tidsmedlevärdet av dess effekt per ytenhet som strålen täcker: I = S = 1 c" E 2 2 0 0 dv = Ac" dt Den riktade energiflödesdensiteten kallas för r r Poyntingvektor och kan skrivas som: S = 1 E " B r En elektromagnetisk våg överför rörelsemängd strålningstryck Stjärnatmosfärens kollaps motverkas av strålningstrycket OBS: De här mäter däremot INTE strålningstrycket Vågen rör sig i x riktningen. E-fältet negativt och B-fältet positivt E y,in (x,t) = "E 0 cos(kx +#t) B z,in (x,t) = B 0 cos(kx +"t) Stående elektromagnetiska vågor En volymenhet av strålen innehåller rörelsemängd: Energiflödesdensiteten hänger ihop med strålningstryck: p rad = S c du = c" dp strålningen helt absorberad S = c du dv = c dp 2 dv = c 2 dp ca" dt = c" p rad Vågen reflekteras. Inducerar oscillationer i elektroner i materialet. En reflekterad våg i +x riktningen tar ut den inkommande vågens elektriska fält i spegelytan. E y,refl (x,t) = E 0 cos(kx "#t) B z,refl (x,t) = "B 0 cos(kx "#t) Superposition ger en stående våg (E alltid = 0 i x =0): E y,tot (x,t) = E 0 (cos(kx +"t) # cos(kx #"t)) = 2E 0 sin(kx)sin("t) B z,tot (x,t) = "B 0 (cos(kx +#t) + cos(kx "#t)) = "2B 0 cos(kx)cos(#t) spegelyta p rad = 2 S c strålningen helt reflekterad E är alltid = 0 i punkter x = 0, "/2, ", 3"/2, dvs. nodplan i E B är alltid = 0 i punkter x = "/4, 3"/4, 5"/4, dvs. nodplan i B E och B är alltså 90 o ur fas med varandra.
Två ledande plan (speglar) blir nodplan för E. Stående elektromagnetiska vågor t.ex. i en laser Avståndet L mellan planen " n = 2L/n Frekvenserna..f n = c / " n = n c/2l Man får en serie med (longitudinella) normalmoder. (n = 0 1, 2, 3, ) (n = 0 1, 2, 3, ) Hur långt ifrån varandra är noderna i en mikrovågsugn (f=2.45 GHz)? Sammanfattning, Elektromagnetiska Vågor Ett tidsberoende elektriskt fält medför att ett tidsberoende magnetiskt fält uppstår runt omkring det första (och vice versa) - en elektromagnetisk våg uppstår. Elektromagnetiska vågor är transversella vågor där E- och B-fält är vektorer som står vinkelrätt på varandra. E- och B-fält proportionellt till varandra i en e.m våg: E = c B 1 Ljushastigheten (i vakuum): c = " 0 Energiflödestäthet& Poyntingvektor S = E " B Ljushastigheten i ett dielektrikum: v ljus <c v ljus = 1 "µ Impulsflödestäthet& p rad = S medel Strålningstrycket c = [EB] medel c Spegel delvis genomskinlig Laser resonanskavitet Spegel Fasförhållandet mellan E- och B-fält i elektromagnetiska vågor: Fria e.m. vågor: i fas stående e.m. vågor 90 o ur fas med varandra Vågor kan med fördel adderas som fasvektorer som har längd (=amplitud) och vinkel (=fas)