BO AKADEMI KEMISK-TEKNISKA FAKULTETEN Laboratoriet f r reglerteknik DEPARTMENT OF CHEMICAL ENGINEERING Process Control Laboratory REGLERTEKNIKENS GRUNDER HANNU TOIVONEN Biskopsgatan 8 FINç20500 bo Finland
Kapitel 1 Grundbegrepp 1.1 Vad r reglerteknik? M ls ttningen med denna kurs r att ge en informell introduktion till reglertekniken. F r att svara p fr gan vad reglerteknik r skall vi b rja med att betrakta n gra exempel. Det r mycket vanligt att tekniska system kr ver n gon form av kontinuerlig manipulering f r att fungera p nskat s tt. N gra exempel: Exempel 1.1 F r att h lla en bil èeller annat fordonè p v gen b r den hela tiden styras. Exempel 1.2 Fartyg och çygplan kr ver en pilot f r att h lla kursen under varierande vindf rh llanden. Exempel 1.3 F r att h lla konstant hastighet hos en bil b r gaspedalens l ge justeras f r att kompensera f r varierande f rh llanden, s som upp- och nerf rsbackar, vindstyrka, v gunderlag mm. Exempel 1.4 Uppv rmningen i en byggnad b r kontinuerligt justeras f r att h lla temperaturen inne konstant trots f r ndringar i yttertemperaturen, varierande antal m nniskor i byggnaden samt andra st rningar, s som ppnade d rrar eller f nster. Exempel 1.5 Temperaturen i en ugn h lls vid nskat v rde genom att sl p respektive av uppv rmningen enligt behov. Exempel 1.6 En kamera b r fokuseras f r att man skall f en skarp bild. I en videokamera med r rliga objekt b r denna fokusering utf ras kontinuerligt f r att kompensera f r variationer i objektets avst nd. Exempel 1.7 I en CD-spelare r det viktigt att disken roterar med en given konstant hastighet. Dessutom skall l shuvudet positioneras snabbt och exakt vid nskat sp r. Allt detta skall ske trots olika yttre st rningar, s som skakning och annan r relse. Exempel 1.8 I mobiltelefoni b r den mottagna signalstyrkan vid kommunikation mellan basstationen och de olika mobiltelefonerna h llas konstant, oavsett avst ndet till basstationen. Detta inneb r att signalen b r s ndas med st rre eçekt ju l ngre avst ndet r. F r att uppn konsant signalstyrka justeras eçekten d rf r kontinuerligt. 1
Exempel 1.9 F r att h lla konstant kvalitet vid framst llning av produkter av olika slag kr vs vanligen regler- och styr tg rder. F r att t.ex. producera papper av j mn kvalitet, s som j mn tjocklek, ytvikt, mm, b r en pappersmaskins funktion èmassastr mmar, ngç den mmè st ndigt justeras. Detta b r g ras eftersom det alltid çnns variationer i r varans egenskaper, som skulle ge upphov till oj mn papperskvalitet utan kompenserande mot tg rder. Exemplen ovan r typiska praktiska problem inom reglertekniken. Ett gemensamt drag hos dessa problem r att man utnyttjar m tningar fr n ett system èkursen eller hastighet hos ett fordon, temperaturen, bildsk rpan, signalstyrkan mmè f r att p verka systemet s att nskad funktion erh lls. Vi kan ge f ljande deçnition av begreppet reglering èe. control; ç. s t è: Reglering inneb r att man p basen av m tningar fr n ett system, som ger information om systemets tillst nd, aktivt p verkar systemet att f r att f ett nskat beteende. Reglerteknik èe. control engineering; ç. s t tekniikkaè r det omr de inom tekniken som sysslar med reglering. Begreppet styrning èç. ohjausè r n ra besl ktat med reglering, men h r antar man inte att m tningar av systemets tillst nd utnyttjas f r styrningen. Automation r ett bredare begrepp som ven innefattar de olika implementeringsaspekterna i samband med reglering, s som sensorer, elektronik, och datatekniska problem. En del av de i exemplen beskrivna reglerproblemen kan l sas manuellt, genom enbart m nsklig inverkan. Detta r fallet f r bilstyrningsexemplet èexempel 1.1è. Andra problem r d remot sv ra, eller rentav om jliga, att l sa manuellt. Man vreringen av vissa verljudsçygplan fordrar t.ex. snabbare reaktionshastighet n vad m nniskan klarar av. Operationen av en CD-spelare eller justeringen av alla signalstyrkor i ett mobiltelefonisystem kan i praktiken inte heller g ras manuellt. ven en pappersmaskins beteende r s komplicerat èoch snabbtè att det r sv rt att uppr tth lla en j mn produktkvalitet manuellt. Man har d rf r sedan l nge inf rt olika typer av automatiserade metoder f r reglering. Metoderna g r tillbaka till James Watts mekaniska hastighetsregulator f r ngmaskiner p 1700-talet. F re och efter tiden f r andra v rldskriget b rjade elektriska reglersystem introduceras i st rre skala. I dag f rverkligas èimplementerasè reglering n stan uteslutande med hj lp av datorer, vilket m jligg r anv ndning av ber kningsintensiva ochmycket eçektiva metoder. F r att introducera den problematik och de fr gest llningar som r aktuella inom reglertekniken skall vi i det f ljande betrakta ett enkelt exempel p reglering. Exempel 1.10 - Farth llare. Betrakta automatisk farth llning i en bil, vars avsikt r att h lla konstant hastighet. P grund av st ndigt varierande f rh llanden, s som upp- och nerf rsbackar, varierande vindstyrka, v gunderlag mm b r gaspedalens l ge kontinuerligt justeras f r att en konstant hastighet skall kunna uppr tth llas. F r att unders ka hur detta kan stadkommas b r vi unders ka hur bilens hastighet y beror av de olika ovan beskrivna faktorerna samt hur vi med hj lp av gaspedalens l ge kan p verka hastigheten. F r detta beh ver vi en matematisk modell som beskriver sambandet mellan de ing ende storheterna. En s dan modell kan, tminstone approximativt, best mmas med hj lp av enkel mekanik. Situationen kan illustreras enligt çgur 1.1. Enligt Newtons tr ghetslag g ller am = F è1.1è 2
d r a = dy=dt r accelerationen, m r bilens massa och F r den totala kraften som p verkar bilen i f rdriktningen. Bilen p verkas av f ljande krafter: Motorns framdrivande kraft F d. Vi antar f r enkelhets skull att denna kraft r direkt proportionell mot gaspedalens l gesvinkel u, F d ètè =kuètè è1.2è Vi antar s ledes att motorn reagerar gonblickligen p gaspedalens l ge èvilket givetvis r en approximationè. Gravitationskraftens komponent F g iv gen plan èjmf çgur 1.1è, F g ètè =,mg sinè'ètèè è1.3è d r 'ètè r v gens lutning è' =0motsvarar plan v gè. Luftmotst nd èf luft è. Denna kraft kar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den r direkt proportionell mot skillnaden mellan hastigheten y och vindhastigheten v vind i bilens f rdriktning, F luft ètè =,bëyètè,v vind ètèë è1.4è d r b r en luftmotst ndskoeçcient. Friktionsmotst nd fr n d ck, F f ètè. Vi antar att denna kraft, som r riktad mot bilens f rdrikting och d rf r negativ, beror endast av v gunderlaget. Eftersom a = dy=dt ger ekvation è1.1è med F = F d + F g + F luft + F f, m dyètè dt =,bëyètè, v vind ètèë + kuètè +F g ètè+f f ètè è1.5è eller m dyètè + byètè =kuètè +dètè è1.6è dt d r dètè =bv vind ètè +F g ètè+f f ètè. I modellen è1.6è anger y den variabel som skall regleras èhastigheten, som skall h llas konstantè, u anger den variabel som manipuleras f r att p verka systemets beteende ègaspedalens l geè, och dètè anger en yttre st rning som p verkar den reglerade variabeln, och som i detta exempel best r av vindens inverkan, gravitationskraften och friktionsmotst ndet. Vi skall terkomma till problemet hur automatisk farth llning kan stadkommas, men f re det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. Modellen è1.6è k nns igen som en diçerentialekvation, n rmare best mt en linj r diçerentialekvation av f rsta ordningen. De system som r aktuella inom reglertekniken beskrivs vanligen just av diçerentialekvationer. F r att illustrera saken betraktar vi f ljande exempel. 3
Figur 1.1: Schematisk illustration av farth llningsproblemet. Exempel 1.11 - Temperaturreglering. Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt çgur 1.2. Temperaturen T i ett rum skall h llas konstant trots variationer i yttertemperaturen T y. V rmef rlusterna genom v ggarna r direkt proportionella mot temperaturskillnaden T, T y, dvs eçektf rlusterna ges av Eçekt ut = kèt, T y è è1.7è Temperaturen kan regleras med hj lp av eçekten P i ett v rmeelement. Vi antar f r enkelhets skull att luftens omblandning r god, s att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. Om P r mindre n v rmef rlusten genom v ggarna kommer T att minska, och om P r st rre n v rmef rlusten genom v ggarna kommer T att ka. Enligt en enkel energibalans f r rummet r 2 3 ndring av 4 upplagrad energi 5 =ëeçekt inë, ëeçekt utë è1.8è per tidsenhet Den totala m ngden luft i rummet r çv, d r ç r luftens densitet och V r rummets volym. ndringen av upplagrad energi per tidsenhet r s ledes cçv dt, d r c r luftens speciçka dt v rmekapacitet. Vi f r allts cçv dt dt = P, kèt, T yè è1.9è eller cçv dt dt + kt = P + kt y è1.10è Modellen è1.10è kan j mf ras med modellen è1.6è i farth llningsproblemet. I modellen è1.10è anger T den variabel som skall regleras ètemperaturenè, P anger den variabel som manipuleras f r att p verka systemets beteende èeçekten till v rmeelementetè, och T y r en yttre st rning som p verkar den reglerade variabeln. 4
Figur 1.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. Vi har sett att s v l bilen i exempel 1.10 som temperaturen i exempel 1.11 kan beskrivas med hj lp av en diçerentialekvation. Detta r typiskt f r s.k. dynamiska system. I de enkla exemplen ovan çck vi diçerentialekvationer av f rsta ordningen. I allm nhet brukar systemen emellertid vara mera komplicerade, och man f r diçerentialekvationer av h gre ordning. Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, s kan reglerproblemen i de b da fallen l sas genom att studera det generella problemet att reglera system som beskrivs av diçerentialekvationer. Vi beh ver allts inte studera farth llningsreglering, temperaturreglering, osv separat, utan det r cker med att helt generellt studera regleringen av system som beskrivs av en viss typs diçerentialekvationer. D remot r givetvis den praktiska implementeringen ès som m tapparatur mmè problemspeciçk. Ur det ovan sagda f ljer att reglerteknik r en generell metodvetenskap som inte r bunden till n got speciellt del av tekniken. I detta avseende har den likheter med ingenj rsmatematiken. Reglertekniska problem r viktiga inom alla delar av tekniken och reglerteknik r d rf r ett mne som studeras inom çera ingenj rsomr den, s som: Elektroteknik. Reglering av elmotorer, reglering av sp nningsaggregat, UPS mm. Robotik. Reglering av robotar r relse, automatisk navigation mm. Maskinteknik. Varvtalsreglering av motorer, aktivfj dring, ABS bromsar mm. Processteknik H ga kvalitetskrav p framst llda produkter, begr nsningen av t.ex. r materialanv ndning, energif rbrukning och utsl pp till ett minimum skulle inte kunna uppn s utan 5
u - S d? - y Figur 1.3: Ett system S med styrsignalen u, st rningen d och utsignalen y. l ngt g ende reglering och automation av processerna. Reglertekniken utg r ett av de viktigaste verktygen f r att uppn kvalitets- och produktivitetkraven inom processindustrin. Datateknik. Reglering f rverkligas i praktiken med hj lp av datorer. Regler- och styrprogrammen r realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation h r till de viktigaste till mpningsomr dena av datateknik. Reglerproblem r, s som vi skall se, ocks av intresse utanf r tekniken, tex inom ekonomin eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i till mpad matematik. 1.2 Signaler och system Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, s som yètè, uètè osv, som r funktioner av tiden. S dana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de inneh ller information av olika slag. Signalen yètè i exempel 1.10 ger t.ex. information om bilens hastighet som funktion av tiden. F rutom signaler har vi system, som k nnetecknas av den verkan de har p signaler. Bilen i exempel 1.10 r ett system som beskriver hur signalen yètè beror av signalerna uètè och dètè. Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 1.3 visar ett system S med tv insignaler, uètè och dètè, samt en utsignal yètè. H r r uètè en styrsignal, som vi kan manipulera f r att p verka systemet, medan dètè r en st rning, som vi ej kan manipulera men som p verkar systemet. Signalen yètè r en utsignal fr n systemet, som vi kan m ta. Exempel 1.12 Bilen i exempel 1.10 r ett system med styrsignalen uètè ègaspedalens l geè och st rningen F g ègravitationskraftenè, samt utsignalen vètè èhastighetenè. Sj lva systemet beskrivs av sambandet mellan insignalerna och utsignalerna, dvs diçerentialekvationen è1.6è. Det r viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system k nnetecknas av att utsignalen yètè r beroende av endast insignalens v rde uètè vid samma tidpunkt, dvs yètè =fèuètèè è1.11è 6
d r f èuè r funktion. Figur 1.4 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, d det sker stegvisa f r ndring i insignalen. Utsignalen f ljer insignalen gonblickligen, utan n gon tr ghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tr ghet som g r att 1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 0.6 0.5 0.4 0.3 y 0.2 0.1 0 0.1 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 1.4: Responsen hos ett statiskt system. utsignalen yètè r beroende av tidigare v rden p insignalen u, dvs yètè =Fèuèçè;ç ç tè è1.12è Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hj lp av diçerentialekvationer, av vilka vi sett exempel p i exempel 1.10 och 1.11. Exempel 1.13 Enkelt dynamiskt system. Figur 1.5 visar insignalen och utsignalen hos ett dynamiskt system y = Su è1.13è som beskrivs diçerentialekvationen dyètè + ayètè = buètè è1.14è dt vid en stegvisa f r ndringar i insignalen. Parameterv rdena a =1,b=1har anv nts i çguren. Vi kan i detta skede g ra n gra kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att p grund av systemets tr ghet dr jer det en stund innan utsignalen f tt sitt nya v rde efter insignalens f r ndring. Om insignalen u r konstant, dvs uètè =u 0 =konstant, kommer utsignalen y att asymptotiskt n rma sig v rdet y = b a u 0 èty f r detta v rde r dy=dt =0och ingen ytterligare f r ndring hos y f sè. Storheten b kallas systemets station ra f rst rkning. a Systemets dynamiska, eller transienta, beteende best ms sin sida av parametern a: ju st rre positivt v rde a har, desto snabbare varierar yètè. Systemets transienta och station ra responser kan anges mera explicit i systemekvationen genom att skriva denna i formen T dyètè dt + yètè =Kuètè è1.15è 7
d r K = b=a r den station ra f rst rkningen och T =1=a kallas systemets tidkonstant, och r direkt proportionell mot den tid som det tar f r systemet att reagera f r en f r ndring i insignalen. Tr gheten hos dynamiska system beror vanligen p olika typers energiupplagring eller p transportf rdr jningar. I farth llningsexemplet r det bilens upplagrade r relseenergi som ger upphov till tr gheten, och i temperaturregleringexemplet r det den i luften lagrade v rmeenergin. Tr gheten g r att insignalen uètè till ett dynamiskt system p verkar det framtida f rloppet hos systemets utsignal yètè. F r att kunna reglera och styra dynamiska system r det d rf r viktigt att ha en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 1.2 1 0.8 0.6 u 0.4 0.2 0 0.2 1.2 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 0 0.2 2 0 2 4 6 8 10 tid Figur 1.5: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation è1.14è f r stegformiga f r ndringar i insignalen. 1.3 Systemtekniska mnen Signaler och system r viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allm nt inom s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga r dessa begrepp inom signalbehandling. Medan man inom reglertekniken anv nder information i uppm tta signaler f r att kunna p verka ett system s att det beter sig p nskat s tt, r man inom signalbehandlingen intresserad av att manipulera sj lva signalerna, t.ex. f r att çltrera bort brus eller komprimering avdata som en signal inneh ller. Exempel 1.14 - Eçektreglering i mobiltelefoni. Den mottagna signalstyrkorna fr n de olika mobiltelefonerna till basstationen h lls konstanta oavsett avst ndet till basstationen, jmf çgur 1.6. Detta sker genom att basstationen s nder information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ndrar eçekten p den uts nda signalen enligt behov. Detta r ett reglerproblem: m tningar fr n systemet èstyrkan hos mottagen signalè anv nds f r att manipulera systemet èden uts nda signalens eçektè. 8
Figur 1.6: Mobiltelefonerna justerar den uts nda eçekten p basen av den mottagna signalstyrkan vid basstationen. Exempel 1.15 - Signalçltrering i mobiltelefoni. Signalen mellan basstation och mobiltelefon p verkas p grund av çerv gsutbredning, jmf çgur 1.7. Detta kan beskrivas med hj lp av ett system S som p verkar den uts nda signalen s: y = Ss è1.16è d r y r den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras fr n den mottagna signalen y genom att best mma ett çlter F, s att ^s = Fy ç s è1.17è F r att kunna best mma çltret F b r systemet S vara k nt. Detta r ett signalbehandlingsproblem: signalen fr n systemet çltreras f r att ta fram den ursprungliga signalen, men sj lva systemet manipuleras inte. Figur 1.7: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen r f rvr ngd p grund av çerv gsutbredning. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom çltering av y. 9