ÅBO AKADEMI INTRODUKTION TILL SYSTEM- OCH REGLERTEKNIK

Transkript

1 ÅBO AKADEMI TEKNISKA FAKULTETEN Laboratoriet för reglerteknik FACULTY OF TECHNOLOGY Process Control Laboratory INTRODUKTION TILL SYSTEM- OCH REGLERTEKNIK HANNU TOIVONEN Biskopsgatan 8 FIN Åbo Finland

2 Kapitel 1 Vad är reglerteknik? Målsättningen med denna kurs är att ge en informell introduktion till reglertekniken. För att svara på frågan vad reglerteknik är skall vi börja med att betrakta några exempel. Det är mycket vanligt att tekniska system kräver någon form av kontinuerlig manipulering för att fungera på önskat sätt. Några exempel: För att hålla en bil (eller annat fordon) på vägen bör den hela tiden styras. Fartyg och flygplan kräver en pilot för att hålla kursen under varierande vindförhållanden. För att hålla konstant hastighet hos en bil bör gaspedalens läge justeras för att kompensera för varierande förhållanden, såsom upp- och nerförsbackar, vindstyrka, vägunderlag m.m. Uppvärmningen i en byggnad bör kontinuerligt justeras för att hålla temperaturen inne konstant trots förändringar i yttertemperaturen, varierande antal människor i byggnaden samt andra störningar, såsom öppnade dörrar eller fönster. Temperaturen i en ugn hålls vid önskat värde genom att slå på respektive av uppvärmningen enligt behov. En kamera bör fokuseras för att man skall få en skarp bild. I en videokamera med rörliga objekt bör denna fokusering utföras kontinuerligt för att kompensera för variationer i objektets avstånd. I en CD-spelare är det viktigt att skivan roterar med en given konstant hastighet. Dessutom skall läshuvudet positioneras snabbt och exakt vid önskat spår. Allt detta skall ske trots olika yttre störningar, såsom skakning och annan rörelse. 1

3 I mobiltelefoni bör den mottagna signalstyrkan vid kommunikation mellan basstationen och de olika mobiltelefonerna hållas vid en lämplig nivå, oavsett avståndet till basstationen. Detta innebär att signalen bör sändas med större effekt ju längre avståndet är. För att uppnå konstant signalstyrka justeras effekten därför kontinuerligt. För att hålla konstant kvalitet vid framställning av produkter av olika slag krävs vanligen regler- och styråtgärder. För att t.ex. producera papper av jämn kvalitet, som har önskad tjocklek, ytvikt, styrka, färg, m.m., bör en pappersmaskins funktion (massaströmmar, ångflöden m.m.) ständigt justeras. Detta bör göras eftersom det alltid finns variationer i råvarans egenskaper, som skulle ge upphov till ojämn papperskvalitet utan kompenserande motåtgärder. Exemplen ovan är typiska praktiska problem inom reglertekniken. Ett gemensamt drag hos dessa problem är att man utnyttjar mätningar från ett system (hastighet hos ett fordon, temperaturen, bildskärpan, signalstyrkan m.m.) för att påverka systemet så att önskad funktion erhålls. Vi kan ge följande definition av begreppet reglering (eng. control; fi. säätö): Reglering innebär att man på basen av mätningar från ett system, som ger information om systemets tillstånd, aktivt påverkar systemet att för att få ett önskat beteende. Reglerteknik (eng. control engineering; fi. säätötekniikka) är det område inom tekniken som sysslar med reglering. Begreppet styrning (eng. control, fi. ohjaus) är nära besläktat med reglering, men här antar man inte nödvändigtvis att mätningar av systemets tillstånd utnyttjas för styrningen. Automation är ett bredare begrepp som även innefattar de olika implementeringsaspekterna i samband med reglering, såsom sensorer, elektronik, och datatekniska problem. Ett annat närstående område är kybernetiken (eng. cybernetics), där man studerar informationens betydelse för funktionen hos olika typers komplicerade system, såsom maskiner, levande organismer eller samhällen. En del av de i exemplen beskrivna reglerproblemen kan lösas manuellt, genom enbart mänsklig inverkan. Detta är fallet för bilstyrningsexemplet. Andra problem är däremot svåra, eller rentav omöjliga, att lösa manuellt. Således kräver manövreringen av vissa överljudsflygplan snabbare reaktionshastighet än vad människan klarar av. Operationen av en CD-spelare eller justeringen av alla signalstyrkor i ett mobiltelefonisystem kan i praktiken inte heller göras manuellt. Även en pappersmaskins beteende är så komplicerat (och snabbt) att det är svårt att upprätthålla en jämn produktkvalitet manuellt. Man har därför sedan länge infört olika typer av automatiserade metoder för reglering. Metoderna går tillbaka till James Watts mekaniska hastighetsregulator för ångmaskiner på 1700-talet. Före och efter tiden för andra världskriget började elektriska reglersystem introduceras i större skala. I dag förverkligas (implementeras) reglering nästan uteslutande med hjälp av datorer, vilket möjliggör användning av beräkningsintensiva och mycket effektiva metoder. 2

4 Kapitel 2 Grundbegrepp 2.1 Introducerande exempel För att introducera den problematik och de frågeställningar som är aktuella inom reglertekniken skall vi i det följande betrakta ett par enkla exempel på reglerproblem. Exempel Farthållare. Betrakta automatisk farthållning i en bil, vars avsikt är att hålla konstant hastighet. På grund av ständigt varierande förhållanden, såsom upp- och nerförsbackar, varierande vindstyrka, vägunderlag m.m. bör gaspedalens läge kontinuerligt justeras för att en konstant hastighet skall kunna upprätthållas. För att undersöka hur detta kan åstadkommas bör vi undersöka hur bilens hastighet y beror av de olika ovan beskrivna faktorerna samt hur vi med hjälp av gaspedalens läge kan påverka hastigheten. För detta behöver vi en matematisk modell som beskriver sambandet mellan de ingående storheterna. En sådan modell kan, åtminstone approximativt, bestämmas med hjälp av enkel mekanik. Situationen kan illustreras enligt figur 2.1. Enligt Newtons tröghetslag gäller am = F (2.1) där a = dy/ är accelerationen, m är bilens massa och F är den totala kraften som påverkar bilen i färdriktningen. Bilen påverkas av följande krafter: Motorns framdrivande kraft F d. Vi antar för enkelhets skull att denna kraft är direkt proportionell mot gaspedalens lägesvinkel u, F d (t) = ku(t) (2.2) Vi antar således att motorn reagerar ögonblickligen på gaspedalens läge (vilket givetvis är en approximation). 3

5 Gravitationskraftens komponent F g i vägen plan (jfr figur 2.1), där ϕ(t) är vägens lutning (ϕ = 0 motsvarar plan väg). F g (t) = mg sin(ϕ(t)) (2.3) Luftmotstånd (F luft ). Denna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot skillnaden mellan hastigheten y och vindhastigheten v vind i bilens färdriktning, där b är en luftmotståndskoefficient. F luft (t) = b[y(t) v vind (t)] (2.4) Friktionsmotstånd från däck, F f (t). Vi antar att denna kraft, som är riktad mot bilens färdrikting och därför negativ, beror endast av vägunderlaget. Eftersom a = dy/ ger ekvation (2.1) med F = F luft + F d + F g + F f, eller m dy(t) = b[y(t) v vind (t)] + ku(t) + F g (t) + F f (t) (2.5) m dy(t) + by(t) = ku(t) + d(t) (2.6) där d(t) = bv vind (t) + F g (t) + F f (t). I modellen (2.6) anger y den variabel som skall regleras (hastigheten, som skall hållas konstant), u anger den variabel som manipuleras för att påverka systemets beteende (gaspedalens läge), och d(t) anger en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln, och som i detta exempel består av vindens inverkan, gravitationskraften och friktionsmotståndet. Vi skall återkomma till problemet hur automatisk farthållning kan åstadkommas, men före det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. Modellen (2.6) känns igen som en differentialekvation, närmare bestämt en linjär differentialekvation av första ordningen. De system som är aktuella inom reglertekniken beskrivs vanligen just av differentialekvationer. För att illustrera saken betraktar vi följande exempel. Exempel Temperaturreglering. Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt figur 2.2. Temperaturen T i ett rum skall hållas konstant trots variationer i yttertemperaturen T y. Värmeförlusterna genom väggarna är direkt proportionella mot temperaturskillnaden T T y, dvs effektförlusterna ges av Effekt ut = k(t T y ) (2.7) Temperaturen kan regleras med hjälp av effekten P i ett värmeelement. Vi antar för enkelhets skull att luftens omblandning är god, så att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. 4

6 Figur 2.1: Schematisk illustration av farthållningsproblemet. Om P är mindre än värmeförlusten genom väggarna kommer T att minska, och om P är större än värmeförlusten genom väggarna kommer T att öka. Enligt en enkel energibalans för rummet är Ändring av upplagrad energi = [Effekt in] [Effekt ut] (2.8) per tidsenhet Den totala mängden luft i rummet är ρv, där ρ är luftens densitet och V är rummets volym. Ändringen av upplagrad energi per tidsenhet är således cρv dt, där c är luftens specifika värmekapacitet. Vi får alltså cρv dt = P k(t T y) (2.9) eller cρv dt + kt = P + kt y (2.10) Modellen (2.10) kan jämföras med modellen (2.6) i farthållningsproblemet. I modellen (2.10) anger T den variabel som skall regleras (temperaturen), P anger den variabel som manipuleras för att påverka systemets beteende (effekten till värmeelementet), och T y är en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln. Vi har sett att såväl bilen i exempel 2.1 som temperaturen i exempel 2.2 kan beskrivas med hjälp av en differentialekvation. Detta är typiskt för s.k. dynamiska system. I de enkla 5

7 Figur 2.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. exemplen ovan fick vi differentialekvationer av första ordningen. I allmänhet brukar systemen emellertid vara mera komplicerade, och man får differentialekvationer av högre ordning. Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, så kan reglerproblemen i de båda fallen lösas genom att studera det generella problemet att reglera system som beskrivs av differentialekvationer. Vi behöver alltså inte studera farthållningsreglering, temperaturreglering, osv separat, utan det räcker med att helt generellt studera regleringen av system som beskrivs av en viss typs differentialekvationer. Däremot är givetvis den praktiska implementeringen (såsom mätapparatur m.m.) problemspecifik. Ur det ovan sagda följer att reglerteknik är en generisk metodvetenskap som inte är bunden till någon speciell del av tekniken. På engelska talar man om enabling technology, för att betona att det är frågan om en metodik som gör det möjligt att realisera önskade beteenden och funktioner hos tekniska system. I detta avseende har reglertekniken likheter med ingenjörsmatematiken och datatekniken. Reglertekniska problem är viktiga inom alla delar av tekniken och reglerteknik är därför ett ämne som studeras inom flera ingenjörsområden, såsom: Elektroteknik. Reglering av elmotorer, reglering av spänningsaggregat, UPS m.m. Robotik. Reglering av robotar rörelse, automatisk navigation m.m. 6

8 Mekanik. Varvtalsreglering av motorer, aktivfjädring, ABS bromsar m.m. Processteknik Höga kvalitetskrav på framställda produkter, begränsningen av t.ex. råmaterialanvändning, energiförbrukning och utsläpp till ett minimum skulle inte kunna uppnås utan långt gående reglering och automation av processerna. Reglertekniken utgör ett av de viktigaste verktygen för att uppnå kvalitets- och produktivitetkraven inom processindustrin. Datateknik. Reglering förverkligas i praktiken med hjälp av datorer. Regler- och styrprogrammen är realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation hör till de viktigaste tillämpningsområdena av datateknik. Reglerproblem är, såsom vi skall se, också av intresse utanför tekniken, t.ex. inom ekonomin eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i tillämpad matematik. 2.2 Signaler och system Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, såsom y(t), u(t) osv, som är funktioner av tiden. Sådana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de innehåller information av olika slag. Signalen y(t) i exempel 2.1 ger t.ex. information om bilens hastighet som funktion av tiden. Förutom signaler har vi system, som kännetecknas av den verkan de har på signaler. Bilen i exempel 2.1 är ett system som beskriver hur signalen y(t) beror av signalerna u(t) och d(t) Blockschema Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 2.3 visar ett system S med två insignaler, u(t) och d(t), samt en utsignal y(t). Här är u(t) en styrsignal, som vi kan manipulera för att påverka systemet, medan d(t) är en störning, som vi ej kan manipulera men som påverkar systemet. Signalen y(t) är en utsignal från systemet, som vi kan mäta. Exempel 2.3 Bilen i exempel 2.1 är ett system med styrsignalen u(t) (gaspedalens läge) och störningen F g (gravitationskraften), samt utsignalen v(t) (hastigheten). Själva systemet beskrivs av sambandet mellan insignalerna och utsignalerna, dvs differentialekvationen (2.6). 7

9 d u S y Figur 2.3: Ett system S med styrsignalen u, störningen d och utsignalen y. Blockschema är bekväma för att åskådliggöra strukturen hos sammansatta system. Konstruktionen av blockschema kan göras med hjälp av elementen i figurerna Figur 2.4 visar två seriekopplade system, där utsignalen y 1 från systemet S 1 är insignal till systemet S 2. Figur 2.5 visar förgrening av en signal. Observera att signalerna här uppfattas som funktioner eller informationsflöden, och förgreningen skapar således två identiska kopior av signalen u. Kombination av två signaler genom addition eller subtraktion symboliseras med en cirkel enligt figur 2.6. Mera komplexa systemkopplingar kommer att behandlas längre fram. u S 1 y 1 S 2 y Figur 2.4: Seriekopplade system. u u u Figur 2.5: Förgrening av signal. 8

10 u u 1 + u 2 u 1 u 1 u 2 + u 2 u 2 (a) (b) Figur 2.6: Summering (a) och subtraktion (b) av signaler Statiska och dynamiska system Det är viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system kännetecknas av att utsignalen y(t) är beroende av endast insignalens värde u(t) vid samma tidpunkt, dvs y(t) = f(u(t)) (2.11) där f(u) är funktion. Figur 2.7 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, då det sker stegvisa förändring i insignalen. Utsignalen följer insignalen ögonblickligen, utan någon tröghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tröghet som gör att utsignalen y(t) är beroende av tidigare värden på insignalen u, dvs y(t) = F (u(τ), τ t) (2.12) Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hjälp av differentialekvationer, av vilka vi sett exempel på i exempel 2.1 och 2.2. Problem 2.1 Beskriv en elektrisk krets bestående av ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över motståndet är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? 9

11 u y tid Figur 2.7: Responsen hos ett statiskt system. Problem 2.2 Beskriv en elektrisk krets bestående av en spole med induktansen L i serie med ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över kretsen är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? Exempel 2.4 Enkelt dynamiskt system. Betrakta ett dynamiskt system y = Su (2.13) som beskrivs differentialekvationen dy(t) + ay(t) = bu(t) (2.14) Figur 2.8 visar insignalen u(t) och utsignalen y(t) hos systemet för stegvisa förändringar i insignalen. Parametervärdena a = 1, b = 1 har använts i figuren. Vi kan i detta skede göra några kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att på grund av systemets tröghet dröjer det en stund innan utsignalen fått sitt nya värde efter insignalens förändring. Om insignalen u är konstant, dvs u(t) = u 0 = konstant, kommer utsignalen y att asymptotiskt närma sig värdet y = b a u 0 (ty för detta värde är dy/ = 0 och ingen ytterligare förändring hos y fås). Storheten b a kallas systemets statiska (eller stationära) förstärkning. Systemets dynamiska, eller transienta, beteende bestäms å sin sida av parametern a: ju större positivt värde a har, desto snabbare varierar y(t). Detta kan ses om man definierar avvikelsen (differensen) y diff (t) från det nya statiska värdet efter stegförändringen u 0, dvs 10

12 u y tid Figur 2.8: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation (2.14) för stegformiga förändringar i insignalen. y diff (t) = y(t) b a u 0. Eftersom dy diff (t)/ = dy(t)/ och ay diff (t) = ay(t) bu 0 ger insättning i (2.14) följande differentialekvation för y diff (t): dy diff (t) + ay diff (t) = 0 (2.15) Vi ser att för en given avvikelse y diff (t) gäller att derivatan dy diff (t)/ = dy(t)/ är desto större ju större värde parametern a har. Detta innebär att systemet reagerar desto snabbare ju större värde parametern har. Systemets transienta och statiska responser kan anges mera explicit i systemekvationen genom att skriva denna i formen T dy(t) + y(t) = Ku(t) (2.16) där K = b/a är den statiska förstärkningen och T = 1/a kallas systemets tidskonstant, och är direkt proportionell mot den tid som det tar för systemet att reagera för en förändring i insignalen. Trögheten hos dynamiska system beror vanligen på olika typers energiupplagring eller på transportfördröjningar. I farthållningsexemplet är det bilens upplagrade rörelseenergi som ger upphov till trögheten, och i temperaturregleringexemplet är det den i luften lagrade värmeenergin. I Problem 2.2 lagras energi i spolens elektromagnetiska fält. Trögheten gör 11

13 att insignalen u(t) till ett dynamiskt system påverkar det framtida förloppet hos systemets utsignal y(t). För att kunna reglera och styra dynamiska system är det därför viktigt att ha en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 2.3 Systemtekniska ämnen Signaler och system är viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allmänt inom s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga är dessa begrepp inom signalbehandling. Medan man inom reglertekniken använder information i uppmätta signaler för att kunna påverka ett system så att det beter sig på önskat sätt, är man inom signalbehandlingen intresserad av att manipulera själva signalerna, t.ex. för att filtrera bort brus eller komprimering av data som en signal innehåller. Exempel Effektreglering i mobiltelefoni. Den mottagna signalstyrkorna från de olika mobiltelefonerna till basstationen hålls konstanta oavsett avståndet till basstationen, jfr figur 2.9. Detta sker genom att basstationen sänder information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ändrar effekten på den utsända signalen enligt behov. Detta är ett reglerproblem: mätningar från systemet (styrkan hos mottagen signal) används för att manipulera systemet (den utsända signalens effekt). Figur 2.9: Mobiltelefonerna justerar den utsända effekten på basen av den mottagna signalstyrkan vid basstationen. Exempel Signalfiltrering i mobiltelefoni. Signalen mellan basstation och mobiltelefon påverkas på grund av flervägsutbredning, jfr figur 12

14 2.10. Detta kan beskrivas med hjälp av ett system S som påverkar den utsända signalen s: y = Ss (2.17) där y är den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras från den mottagna signalen y genom att bestämma ett filter F, så att ŝ = Fy s (2.18) För att kunna bestämma filtret F bör systemet S vara känt. Detta är ett signalbehandlingsproblem: signalen från systemet filtreras för att ta fram den ursprungliga signalen, men själva systemet manipuleras inte. Figur 2.10: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen är förvrängd på grund av flervägsutbredning. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom filtering av y. 2.4 Begreppet återkoppling Vi skall nu titta något närmare på de principer som används för att lösa reglerproblem av den typ som diskuterats ovan. Vi betraktar farthållningsproblemet i exempel 2.1. Bilens hastighet kunde (åtminstone approximativt) beskrivas med differentialekvatioen (2.6), som vi här återger i något modifierad form: dy(t) + a 1 y(t) = b 1 u(t) + c 1 d(t) (2.19) 13

15 d r + e u y G c G p Figur 2.11: Ett återkopplat system. där a 1 = b/m, b 1 = k/m och c 1 = 1/m. Anta nu att den önskade hastigheten, eller hastighetens börvärde, är y(t) = r (t.ex. r = 80 km/h). Enligt modellen (2.19) är y(t) = r om vi väljer insignalen u(t) = 1 b 1 [a 1 r c 1 d(t)] (2.20) ty då är dy/ = 0 för det önskade värdet y(t) = r. Insignalvalet (2.20) ger således det önskade statiska värdet hos y. Enligt (2.20) och (2.19) ges den transienta responsen, då hastigheten y(t) är olikt r, av dy(t) + a 1 y(t) = a 1 r (2.21) Detta är ett system av första ordningen, med en dynamik av den typ som vi hade i exempel 2.4. Om y(t) är olikt r i början, tar det därför en tid innan hastigheten närmat sig r. Trots att ovan beskrivna förfarande verkar att fungera i teorin har den emellertid några uppenbara nackdelar: Metoden kräver att störningen d(t) är exakt känd. M.a.o. skall gravitationskraften F g (t), luftmotståndet bv vind (t) samt friktionsmotståndet F f vara exakt kända för att proceduren skall kunna tillämpas. Vi kunde förstås i princip mäta vägplanets lutning ϕ och bilens massa m, och därmed bestämma F g (t) = mg sin(ϕ(t)). Även luftmotståndet kan uppskattas genom att noggrant bestämma luftmotståndskoefficienten b och vindstyrkan v vind (t). Detta förfarande har den uppenbara nackdelen att den fordrar noggrann kännedom om alla störningar (F g (t), v vind (t), F f osv) och andra faktorer (såsom b) som påverkar den reglerade utsignalen. I praktiken är det emellertid i allmänhet helt orealistiskt att ha fullständig kunskap om alla störningar som påverkar ett system. Även om kännedom om alla faktorer som påverkar y(t) funnes, har vi inte påverkat snabbheten hos dynamiken i ekvation (2.21). Svarets snabbhet bestäms av a 1 = b/m. Om m är stort kan förändringen i hastigheten ske mycket långsamt! 14

16 d u y tid Figur 2.12: Responsen hos systemet (2.19) för stegformad störning då ingen reglering används. Begränsningen med det ovan beskrivna förfarandet är att man försöker bestämma styrsignalen u(t) som en funktion av endast sådana variabler som påverkar den reglerade signalen y(t), men utnyttjar ej mätningar av själva y! Genom att också utnyttja mätning av y(t) får vi information om avvikelsen från det önskade värdet, r y(t). Genom att utnyttja denna mätning kan otillräcklig kunskap om störningarna och systemet kompenseras. Dessutom är det möjligt att göra systemets respons snabbare. Principen att bestämma styrsignalen u(t) som funktion av den reglerade utsignalen kallas återkoppling (eng. feedback; fi. takaisinkytkentä). Situationen illustreras i figur 2.11, som visar hur utsignalen y(t) från systemet G p återkopplas för att bestämma styrsignalen. Kretsen i figur 2.11 kallas återkopplad krets eller sluten krets. Blocket G c kallas regulator. Signalen r är börvärdet eller ledvärdet för utsignalen y, och signalen e(t) = r y(t) (2.22) är regleravvikelsen eller reglerfelet. Det visar sig att återkopplingsprincipen i all sin enkelhet är en mycket kraftfull metod för att påverka dynamiska systems beteende. Vi skall illustrera effekten av återkoppling genom att undersöka vad som händer om vi använder den enkla reglerlagen u(t) = K p [r y(t)] = K p e(t) (2.23) dvs regulatorn är en konstant, G c = K p. Reglerlagen (2.23) kallas proportionell regulator eller helt enkelt P-regulator, eftersom styrsignalen u(t) är direkt proportionell mot regleravvikelsen 15

17 d u y tid Figur 2.13: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en P-regulator (2.23). r y(t). Substitution av (2.23) i systemekvationen (2.19) ger för den slutna kretsen differentialekvationen dy(t) + (a 1 + b 1 K p )y(t) = b 1 K p r + c 1 d(t) (2.24) Vi ser att för en konstant stegstörning d(t) = d, konvergerar utsignalen mot det statiska svaret (jfr exempel 2.4) y(t) b 1K p c 1 r + d då t (2.25) a 1 + b 1 K p a 1 + b 1 K p För stora värdet på regulatorparametern K p gäller enligt (2.25) y(t) r då t. Förutom det statiska svaret har även den transienta responsen påverkats. Eftersom systemets transienta respons beror av värdet hos storheten a 1 + b 1 K p, kan den i princip göras goyckligt snabb genom att göra K p stor. Vi har således med den enkla proportionella reglerlagen (2.23) kunnat minska störningarnas inverkan samt gjort systemets transienta respons snabbare utan att mäta störningarna d(t). Resultatet beror inte heller av någon kunskap om systemparametern a 1. Fullständig eliminering av en stegstörnings inverkan kräver emellertid ett oändligt stort värde på K p. Det visar sig att K p i praktiken inte kan göras hur stort som helst, eftersom t.ex. små tidsfördröjningar, som alltid finns i verkliga system, då gör att den slutna kretsen blir instabil. (I farthållningsexemplet har vi t.ex. försummat motorns dynamik.) De begränsningar som stabilitetskravet innebär kommer att diskuteras senare. 16

18 d u y tid Figur 2.14: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en I-regulator (2.26). För att undvika statiska regleravvikelser efter en stegstörning behöver vi i stället för P- regulatorn en reglerlag som kontinuerligt justerar u(t) så länge y(t) är olikt referensvärdet r. M.a.o. skall u(t) ökas så länge y(t) < r och minskas så länge y(t) > r, tills ett sådant värde för u(t) uppnåtts för vilket y(t) = r. Detta är precis vad en människa skulle göra för att reglera y(t) till börvärdet. Matematiskt kan en sådan reglerlag beskrivas med hjälp av en integrator i formen t t u(t) = K i [r y(τ)] dτ = K i e(τ)dτ (2.26) τ=0 Reglerlagen (2.26) kallas integrerande regulator eller helt enkelt I-regulator. Principen hos en I-regulator är den, att så länge r y(t) > 0 ökar integralens värde, varvid u(t) blir större och får värdet hos y(t) att växa. Detta håller på tills y(t) = r, dvs regleravvikelsen har körts till noll, varefter u(t) har ett konstant värde. En liknande funktion gäller om r y(t) < 0. På detta sätt elimineras inverkan av stegstörningar så att ingen statisk avvikelse fås. Observera att detta har uppnåtts utan att känna till stegstörningens storlek! En svaghet hos I-regulatorn är att eftersom regleravvikelsen r y(t) integreras blir I- regulatorns respons mot reglerfel långsam. I-regulatorns förmåga att eliminera statiska regleravvikelser och P-regulatorns snabba respons kan kombineras i PI-regulatorn u(t) = K p e(t) + K i t τ=0 τ=0 e(τ)dτ (2.27) Observera att PI-regulatorn reagerar först då ett reglerfel orsakad av en störning redan förekommer, dvs e(t) = r y(t) 0. För att förekomma en regleravvikelse redan innan den 17

19 d u y tid Figur 2.15: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en PI-regulator (2.27). hunnit uppstå inför man därför vanligen ytterligare en deriverande term i regulatorn. På detta sätt fås en PID-regulator, som ges av u(t) = K p e(t) + K i t τ=0 e(τ)dτ + K d de(t) (2.28) Avsikten med den deriverande termen är att få styrsignalen u(t) att reagera på förändringsriktningen hos y(t), för att på detta sätt kunna motverka en regleravvikelse redan innan den hunnit uppstå. På detta sätt kan regulatorns respons göras snabbare. I praktiken kan den deriverande verkan K d emellertid inte göras hur stor som helst, eftersom regulatorn då blir alltför känslig mot det brus som man alltid har i praktiken. De olika regulatortypernas egenskaper illustreras i figurerna som visar styrsignalen u(t) och utsignalen y(t) för systemet (2.19) efter en stegformad störning. PID-regulatorn är den överlägset vanligaste standardregulatorn för enkla reglerproblem i industrin och andra tekniska system, och den finns implementerad i alla processdatorsystem. För mera komplicerade reglerproblem, där systemet som skall regleras har ett mera komplicerat dynamiskt beteende, behövs dock mera invecklade reglerstrategier. En ännu enklare regulatorn är på-av-regulatorn eller ON-OFF-regulatorn. I en på-avregulator har styrsignalen u endast två värden: u max och u min, och värdet bestäms beroende på om systemets utsignal är större eller mindre än ledvärdet, t.ex. { umax om y(t) < r u(t) = om y(t) > r u min (2.29) 18

20 d u y tid Figur 2.16: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en PIDregulator (2.28). På-av-regulatorer används i enkla system som ofta har en långsam dynamisk respons, och för vilka det räcker med att y(t) är i närheten av ledvärdet r. Typiska tillämpningar av på-av reglering är olika typer av temperaturregleringsproblem (jfr exempel 2.2), såsom reglering av temperaturen i hus eller bilar, kylskåp, strykjärn, osv. Här slås uppvärmningen på eller av beroende på temperaturen. Det diskontinuerliga funktionssättet hos regulatorn får utsignalen (temperaturen) att svänga kring ledvärdet, men detta kan mycket väl accepteras i de flesta temperaturregleringsproblem. Framkoppling Trots att återkoppling av den reglerade signalen är viktig för att kunna kompensera för inverkan av delvis okända störningar kan information om störningar naturligtvis utnyttjas för att uppnå bättre resultat. I farthållningsexemplet kunde t.ex. information om en störning i form av en kommande uppförsbacke användas för att accelerera redan innan en minskning av hastigheten fås. Denna princip att använda (partiell) kunskap om störningar för att bestämma den manipulerbara styrsignalen kallas framkoppling (eng. feedforward; fi. myötäkytkentä). Figur 2.17 visar ett blockschema av ett reglersystem med framkoppling. 2.5 Digital reglering Regulatorer implementeras idag nästan uteslutande digitalt med hjälp av datorer. Detta innebär att den ovan beskrivna PID-regulatorn kan förverkligas endast approximativt. 19

21 G f d r + e G c u G p y Figur 2.17: Ett system med återkoppling och framkoppling. Figur 2.18 visar ett typiskt digitalt reglersystem. Den kontinuerliga utsignalen y(t) diskretiseras med hjälp av en A/D-omvandlare, som genererar en diskret sekvens, y k = y(kh), k = 0, 1, 2,... (2.30) Här är h samplingstiden (eng. sampling time; fi. näytteenottoväli). Sekvensen y k, k = 0, 1, 2,... processeras sedan digitalt för att generera en diskret styrsignalsekvens u k, k = 0, 1, 2,... till systemet. För system med en kontinuerlig dynamik bör den diskreta styrsignalen omvandlas till en kontinuerlig styrsignal u(t) till systemet. Detta utförs med en D/A-omvandlare, som genererar en styckevis konstant styrsignal enligt u H (t) = u k, kh t < kh + h (2.31) Efter D/A-omvandlaren brukar man ännu ha ett filter H för att utjämna diskontinuiteterna hos u H (t). Den digitala regulatorn G d som beräknar styrsignalen u k ur mätsignalen y k kan bestämmas på olika sätt. Om samplingstiden är kort är en vanlig metod att helt enkelt diskretisera den kontinuerliga systemmodellen eller reglerlagen genom att approximera derivator med finita differenser och integraler med summor. Om vi inför derivata-approximationen dy(t) 1 [y(t + h) y(t)] (2.32) h fås t.ex. för systemet som beskrivs av differentialekvationen (2.19) den diskreta approximationen 1 h [y(kh + h) y(kh)] + a 1y(kh) = b 1 u(kh) + c 1 d(kh) (2.33) eller y(kh + h) + (ha 1 1)y(kh) = hb 1 u(kh) + hc 1 d(kh) (2.34) 20

22 r k e k u k u H (t) G d D/A + H u(t) G p y(t) A/D y k Figur 2.18: Digitalt reglersystem. Införs beteckningarna y k = y(kh), u k = u(kh), d k = d(kh) och a d = ha 1 1, b d = hb 1, c d = hc 1 fås y k+1 + a d y k = b d u k + c d d k (2.35) vilket är en differensekvation av första ordningen. De kontinuerliga standardregulatorerna har sina diskreta motsvarigheter, så att en diskret (digital) P-regulator ges av u k = K p e k, (2.36) en digital I-regulator ges av och en digital PID-regualtor ges av k u k = K i e n (2.37) n=1 k u k = K p e k + K i e n + K d [e k e k 1 ] (2.38) n=1 Den digitala PID-regulatorn brukar implementeras i en s.k. differensform, u k = u k 1 + K p [e k e k 1 ] + K i e k + K d [e k 2e k 1 + e k 2 ] (2.39) där summan i uttrycket (2.38) eliminerats genom att subtrahera u k 1 från u k. Exempel Digital effektreglering i mobiltelefoni. Ett enkelt exempel på hur en digital I-regulator fungerar är effektregleringen i mobiltelefoni, jfr exempel 2.5 och figur 2.9. Låt u k beteckna effekten hos den utsända signalen under tidsintervalllet k, och låt y k vara styrkan hos den mottagna signalen under samma tidsintervall. Man strävar till att signalstyrkan vid mottagaren har ett givet värde r. Eftersom signalens dämpning varierar som funktion av avstånd och terräng bör effekten hela tiden ändras så att önskad mottagen signalstyrka kan upprätthållas. Enda sättet att på ett tillfredsställande sätt 21

23 uppnå detta i praktiken är via återkoppling, så att u k ökas så länge y k < r och minskas så länge y k > r. Detta motsvarar digital I-reglering enligt k u k = K i [r y n ] n=1 där K i > 0. Reglerlagen kan även skrivas i formen u k = u k 1 + [r y k ] vilket explicit visar att reglerlagen har de önskade egenskaperna, dvs u k > u k 1 om r y k > 0 och u k < u k 1 om r y k < Exempel på återkoppling Återkoppling är en mycket kraftfull metod för att påverka systems beteende även i sådana fall då systemets dynamik eller störningarna är endast ofullständigt kända. Såsom vi sett kan t.ex. regleravvikelsen pga en okänd stegstörning fullständigt elimineras med en integrerande regulator. Det är därför naturligt att återkopplingsprincipen utnyttjas också i flera sammanhang utanför tekniken. I nästan alla processer som kan beskrivas med de mycket generella begreppen signaler och system finner man återkoppling av signaler. Viktiga exempel finns bl.a. inom ekonomiska och biologiska system. Exempel Återkoppling i vardagen. När vi går eller cyklar håller vi oss upprätta genom att använda den information som våra sinnen ger oss. Utan denna återkoppling skulle vi mycket snabbt tappa balansen och falla. När vi griper ett föremål återkopplar vi visuell information av föremålets läge i förhållande till handen. Robotar kan på liknande sätt styras av visuell information från en digitalkamera för att gripa föremål. Vi justerar temperaturen i en dusch genom att känna på temperaturen och manipulera varm- eller kallvattenkranen tills rätt temperatur fås. En föreläsare får återkoppling eller feedback (fi. palaute ) från åhörarna via frågor, kritik, diskussioner o.dyl. Om han beaktar denna feedback har vi ett sluten krets som kan konvergera till ett, förhoppningsvis bättre, tillstånd. Utan sådan återkoppling vet föreläsaren ej vad åhörarna får ut av föreläsningen. En studerande är missnöjd med sitt tentresultat och förbereder sig bättre till följande tillfälle. Den studerande använder tentresultatet för återkoppling så att önskat resultat uppnås. 22

24 En hund jagar en katt. Detta kan tolkas som återkoppling där kattens position är börvärdet för hunden. På liknande sätt söker en målsökande missil sig till ett rörligt mål. Du skall behandla andra så som du själv vill bli behandlad. Inom ekonomin finns flera fenomen som kan beskrivas i form av dynamiska system. Detta gäller t.ex. nationalekonomin eller aktiemarknaden, vars respons till olika variabler uppvisar en tröghet. I de ekonomiska systemen finns också flera exempel på återkopplingsmekanismer. Exempel Återkoppling i nationalekonomin. Den ekonomiska aktiviteten kan styras på olika sätt, t.ex. med hjälp av skattenivån. Med en god politik kan ekonomisk aktivitet stimuleras under en lågkonjunktur genom skattesänkningar, medan överhettning inom ekonomin kan reduceras genom skattehöjningar under en högkonjuktur. Ekonomin är emellertid ett dynamiskt system, som reagerar på förändringar med en viss tröghet. Det är därför viktigt att göra förändringar av olika slag vid rätta tidpunkter. Politiker som fattar beslut om skatter är emellertid också dynamiska system i sin beslutsfattning. Därför är det vanligt att förändringarna görs när det redan är för sent: skattelättnader introduceras när konjunkturerna redan svängt till högkonjunktur, och höjda skatter införs först under lågkonjunkturen. I denna situation gör återkopplingen från eknomin till beslutsfattning konjunktursvängningarna snarare kraftigare än mindre. Inom biologin finns flera viktiga processer och fenomen, som kan förstås och analyseras inom ramen för teorin om dynamiska system och återkoppling. Detta beror på att livet i hög grad går ut på att reagera på omgivningen, och är därför på sätt och vis en stor reglerprocess. Viktiga återkopplingsprocesser inom biologin finns i synnerhet inom fysiologin, i cellernas funktion samt inom ekosystemen. En viktig skillnad mellan tekniska och biologiska system är, att medan man i tekniska system konstruerar en regulator för att få en önskad funktion, så har i biologiska system hela den återkopplade kretsen uppstått samtidigt, genom olika evolutionsmekanismer. Det därför inte alltid självklart vad som är regulator och vad som är det reglerade systemet, utan återkopplingsmekanismens funktion är snarare att göra hela systemet mindre känsligt för externa störningar. Teorin för dynamiska system och återkoppling kan i dessa fall bidra till att skapa en förståelse för systemets funktion. Följande exempel ger en uppfattning om vilken roll dynamiska system och återkoppling spelar inom biologin. Exempel Kroppens temperaturreglering. Kroppstemperaturen hålls mycket konstant oavsett ansenliga variationer i yttre temperatur och den genererade energin p.g.a fysisk aktivitet. Detta åstadkoms genom återkoppling så att blodets temperatur påverkar kroppens uppvärmnings- och avkylningsmekanismer, såsom svettning, mekanisk skakning och blodcirkulationen i de yttre blodkärlen. Utan återkoppling från temperaturen skulle konstant kropppstemperatur inte kunna upprätthållas. 23

25 Exempel Reglering av blodets glukoshalt. Det faktum att blodets glukoshalt hålls mycket konstant har kunnat förklaras genom en fysiologisk återkopplingsmekanism. Halten glukos i blodet är så gott som konstant, ca 5 mmol/l, oavsett stora variationer i tillförd glukos, såsom när man äter sötsaker. Detta möjliggörs genom att en glukoshalt som överstiger 5 mmol/l leder till generering av insulin, som avlägsnar glukos från blodet, medan en glukoshalt som understiger 5 mmol/l leder till generering av ett annat hormon, glukagon, som i sin tur stimulerar avsöndringen av glukos från muskler och övriga organ till blodet. Detta är ett exempel på återkopplad reglering: den variabel som skall hållas vid ett konstant värde (glukoshalten) påverkar variabler (insulin- och glukagonhalterna) som i sin tur reglerar glukoshalten. En detaljerad analys av kroppens glukosreglering har visat att regleringen fungerar som en I-regulator, och kan kompensera mot konstanta belastningsstörningar som påverkar glukoshalten. Defekter i denna återkopplingsmekanism har allvarliga följder och leder till olika typer av diabetes. Exempel Reglering av proteinsyntes i cellerna. Proteinsyntesen i cellerna styrs av cellkärnornas DNA. Syntesen av ett givet protein äger rum då aktuell gen är aktiv, varvid motsvarande nukleidsyresekvens i kärnans DNA översätts till proteinets aminosyresekvens. Ett protein framställs i korrekta mängder och vid rätta tidpunkter genom återkoppling: aktiviteten hos generna regleras av proteinkoncentrationerna. För att förstå cellernas funktion bör man reda ut återkopplingsmekanismerna. De dynamiska processerna i en cell är emellertid synnerligen komplicerade, och ett av de viktigaste målen inom cellbiologin för tillfället är att kartlägga dessa processer. Denna strävan har gett upphov till ett nytt tvärvetenskapligt område, den s.k. systembiologin. Exempel Reglermekanismer i biosfären. Biosfären innehåller en del intressanta återkopplingsmekanismer som är viktiga för att förstå globala egenskaper såsom jordens klimat eller atmosfärens och oceanernas sammansättningar. Betrakta t.ex. följande fakta: Atmosfärens sammansättning har hållits praktiskt taget konstant den tid det funnits liv på land. Syrehalten är t.ex. vid det bekväma värdet 21 vol-%. Om värdet understeg ca 15 vol-% skulle en tändsticka slockna och vi skulle kvävas pga syrebrist, och om det översteg 25 vol-% skulle vegetationen självantändas. Den konstanta halten är anmärkningsvärd, eftersom syre reagerar med andra ämnen, och utan ett tillskott som exakt kompenserar den reagerade syremängden skulle halten ej kunna förbli konstant. Man vet att oceanernas salthalt har hållit sig mycket konstant under den tid det funnits liv i havet. Salthalten är vid en nivå som är lämplig för oceanernas djur- och växtliv. Den konstanta salthalten är anmärkningsvärd eftersom floder ständigt tillför nya mineral till oceanerna. I kombination med avdunstningen skulle detta leda till en gradvis ökning av salthalten (jämför Döda Havet). Det finns alltså någon mekanism som avskaffar salt från oceanerna som kompenserar för salttillförseln. 24

26 Jordens medeltemperatur har hållit sig mycket konstant de senaste ca 3.5 miljarder åren, med en maximal avvikelse på ca ±5 C. Under samma period har solens strålning ökat med ca 30%. Man kan räkna ut att denna ökning i solens strålning skulle ge upphov till en betydande höjning av jordens medeltemperatur (flera tiotals grader) utan någon mekanism som motverkar denna höjning. Orsakerna till ovan beskrivan förhållanden är olika typer av biologisk aktivitet, som inför återkopplingsmekanismer. Ännu för 30 år sedan var den allmänt accepterade uppfattningen den, att biologiska organismer endast passivt adapterar sig till den omgivande miljön, och att det är just därför som miljön i varje enskilt fall är lämplig för djur- och växtlivet där. Man har först relativt nyligen, under de senaste åren, insett att situationen är mera komplicerad än så, och att den globala miljön även påverkas av biosfären genom olika sorters återkopplingar. Denna insikt har möjliggjorts dels tack vare ett nytt globalt perspektiv på jorden som helhet, och dels tack vare en ökad förståelse av dynamiska system. I de ovan nämnda exemplen har man följande typers återkoppling från biosfären: Atmosfärens sammansättning hålls konstant av biosfären. Syre tillförs atmosfären genom de gröna växternas fotosyntes. En ökning av syrehalten ökar biologisk aktivitet (såsom förmultning) och bränder, vilka förbrukar syre. En minskning av syrehalten åter gör de syreförbrukande processerna långsammare. Den salt som tillförs oceanerna med floder och förvittring avlägsnas av mikro-organismer som binder mineral (bl.a. i sina skal) och sedimenteras på havets botten. Ju mera salt, desto flera mikro-organismer, vilket håller salthalten nere. Jordens medeltemperatur regleras via vegetationens inverkan: en höjd temperatur får växter som reflekterar infallande strålning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen är något lägre i närheten av dessa växter; en sjunkande temperatur åter får växter som absorberar infallande strålning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen är något högre vid dessa växter. Slutresultatet blir globalt att temperaturförändringar pga av variationer i infallande strålning motverkas: en ökad strålning ger upphov till en vegetation som reflekterar mera strålning, och en minskning av strålningen ger upphov till en vegetation som absorberar mera strålning. I vart och ett av fallen bidrar således biosfären med en återkopplingsmekanism som motverkar förändringar helt enkelt genom den inverkan som dessa förändringar har på biosfärens aktivitet. För att förstå de globala förhållandena på jorden bör dessa återkopplingar beaktas. Teorin att biologisk aktivitet påverkar atmosfärens och oceanernas sammansättningar och även klimatet kallas Gaia-teorin (från Gaia jordens gudinna i grekisk mytologi). Fenomenet är analogt med de fysiologiska reglerprocesserna, och man har därför också infört begreppet planetär fysiologi. Gaia-teorin har intressanta implikationer för diskussionen av miljöproblem, inte minst för den av människan förorsakade växthuseffekten. Teorin säger å ena sidan att 25

27 biosfären har en förmåga att kompensera för inverkan av störningar, inklusive de som människan åstadkommer. Å andra sidan säger oss teorin också att denna förmåga är beroende av speciella återkopplingsmekanismer i miljön. Det är därför speciellt viktigt att värna om att naturens återkopplingsmekanismer hålls intakta. Om dessa mekanismer skadas kan följderna vara drastiska. Kunskapen om mekanismerna är ännu ganska bristfällig, men klart är att vegetation, såsom tropikernas regnskogar eller oceanernas plankton, spelar en viktig roll. 2.7 Negativ och positiv återkoppling I samtliga exempel hittills har effekten av återkopplingen varit att motverka förändringen hos ett system. Man talar i detta fall om negativ återkoppling. Om vi ändrar tecknet hos regulatorn G c i figur 2.11 kommer återkopplingens effekt att vara den omvända: en förändring i utsignalen påverkar insignalen i en riktning som ger upphov till en ännu större utsignalförändring. Detta kallas positiv återkoppling. Medan negativ återkoppling stabiliserar ett system vid ett önskat tillstånd, har positiv återkoppling motsatt verkan: systemet fås att snabbt driva ifrån starttillståndet. Positiv återkoppling har begränsad användning inom tekniken, men förekommer allmänt i andra situationer. Några exempel får belysa funktionen hos positiv återkoppling. Autokatalys i kemiska reaktioner. Slutprodukten fungerar även som en katalysator för tidigare reaktionssteg, och därmed försnabbar reaktionen. Autokatalys förekommer allmänt i biokemiska reaktioner. Inom ekonomin finns en mängd positivt återkopplade processer. Ett exempel är introduktionen av nya produkter på marknaden. Försäljningen av t.ex. en mobiltelefon med nya egenskaper får fart först då tillräckligt många människor redan skaffat sig produkten. Detta är positiv återkoppling från produktens utbreddhet till försäljningen. En liknande återkoppling inom ekonomin gynnar stora producenter: en hög volym gör det möjligt att framställa billigare produkter och satsa på produktutveckling, med en ytterligare volymökning till följd. De rika blir allt rikare, de fattiga allt fattigare. Ett negativt exempel på positiv återkoppling! 2.8 Litteratur Det finns ett antal utmärkta läroböcker i reglerteknik. Bland svenskspråkiga böcker i området ges en praktisk och mycket elementär introduktion till reglertekniska idéer av Hägglund (1997). Något mera teoretiska introduktioner ges av Lennartson (2001), Glad och Ljung (1989), Schmibauer (1995) och Thomas (1992). Harnefors och medarbetare (2004) ger en 26

28 generellare introduktion till signaler och system, som förutom reglerteknik också behandlar grunderna i signalbehandling. Bland engelskspråkiga böcker kan nämnas Albertos och Mareels (2010), som ger en elementär och allmänbildande introduktion till området. De icke-tekniska exemplen på reglerprocesser som i korthet beskrivits i avsnitt 2.6 inbegriper alltför omfattande problemområden för att kunna behandlas på grundkursnivå. För den intresserade kan vi nämna t.ex. Khoo (2000), som beskriver reglermekanismer i fysiologiska system. Gaia-teorin introducerades av den brittiske kemisten James Lovelock (1982). En kvantitativ behandling av dynamiska system och återkopplingsmekanismer i atmosfären och oceanerna diskuteras bl.a. i Kump och medförfattare (2000). Referenser Albertos, P. och I. Mareels (2010). Feedback and Control for Everyone. Springer. Harnefors, L., J. Holmberg och J. Lundqvist (2004). Signaler och system. Liber AB. Hägglund, T. (1997). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Khoo, M. (2000). Physiological Control Systems. IEEE Press. Kump, L. R., J. F. Kasting R. G. Crane (2000). The Earth System. Prentice Hall. Lennartson, B. (2001). Reglerteknikens grunder. Studentlitteratur. Ljung, L. och T. Glad (1989). Reglerteknik. Grundläggande teori Studentlitteratur. Lovelock, J. (1982). Gaia: A New Look at Life on Earth. Oxford University Press. Schmibauer, B. (1995). Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur. Thomas, B. (1992). Modern reglerteknik. Liber AB. 27

29 Kapitel 3 Dynamiska system 3.1 Enkla systemtyper och deras stegsvar För att kunna konstruera regulatorer för dynamiska system bör systemens egenskaper vara kända. Innan vi går vidare till att behandla modeller för dynamiska system skall vi ge en kortfattad kvalitativ beskrivning av de viktigaste systemtyperna som man bör känna till. För att ge en kvalitativ inblick i de olika systemtyperna kommer vi att betrakta deras stegsvar, dvs utsignalen y(t) efter en stegförändring i insignalen u(t). Första ordningens system. Stegsvaret hos ett system av första ordningen har getts i exempel 2.4, figur 2.8. Karakteristisk för ett system av denna typ är att tidsderivatan dy/ är olikt noll omedelbart efter stegförändringen. Exemplen i kapitel 2 illustrerar hur system av denna typ kan fås genom fysikalisk modellering. System med två tidskonstanter. Genom att ha två system av första ordningen i serie fås ett system med två tidskonstanter. Stegsvaret karakteriseras av en långsammare respons i början, med dy/ = 0 vid t = 0, jfr figur 3.1. System av denna typ fås i praktiken på samma sätt som första ordningens system. Ett system med två tidskonstanter fås t.ex. genom att modellera motorn i exempel 2.1 som ett första ordningens system. System med översväng. Figur 3.2 visar stegsvaret hos ett system med översväng. Detta är typiskt för system mekaniska system med fjädrande element. Några exempel är en kran med en hängande last, en pendel, fjädringen i en bil eller varvtalet hos en motor med flexibel koppling. Systemets tendens till svängningar gör det svårare att reglera. En viktig uppgift för regleringen är att dämpa svängningarna. För att kunna göra detta bör man ha en tillräckligt god modell av systemet. 28

30 u y tid Figur 3.1: Responsen hos ett system med två tidskonstanter. System med döid. Döid eller tidsfördröjning (eng. dead time, time delay; fi. kuollut aika, aikaviive) innebär att det tar en tid L innan en förändring i insignalen syns i utsignalen. Stegsvaret hos ett system av första ordningen med döid illustreras i figur 3.3. Eftersom styrsignalen inverkan syns först efter en tid är system med döid svåra att reglera. För att kunna via korrekt regleråtgärd på basen av mätningen y(t) vid tiden t bör regulatorn kunna förutse hur systemet kommer att bete sig mellan tiden t och t + L, då regleråtgärdens inverkan på utsignalen kan observeras. Döider förorsakas i praktiken vanligen av olika typer av transporttider, såsom vid förflyttning av material eller vid vätske- eller gasflöden. System med döid är därför mycket vanliga i processindustrin. System med integration. Om utsignalen bestäms av integralen hos insignalen, enligt t y(t) = k (u(τ) u 0 ) dτ (3.1) 0 finns det endast ett värde u 0 på insignalen för vilket utsignalen y hålls konstant. Varje avvikelse från u 0 får y antingen att ständigt öka eller ständigt minska. Se figur 3.4. Typiska exempel på system med integration är mängden av material y som man har i ett lager med konstant utströmning u 0. Mängden y hålls konstant endast om inflödet u till lagret är exakt lika stort som utströmmen u 0. För u > u 0 ökar y med konstant hastighet och för u < u 0 minskar y med konstant hastighet till lagret är tomt. Ett konkret exempel är vätskeinnehållet 29

31 u y tid Figur 3.2: Responsen hos ett system med översväng. y i en behållare med konstant utflöde u 0 och inflödet u. Ett annat viktigt exempel på ett system med integration är servomotorer som används vid positionsreglering. Positionen y styrs med spänningen u till motorn. Rörelsehastigheten är proportionell mot spänningen, dvs dy/ = ku. En avvikelse från u = 0 ger därför upphov till en ihållande förändring i positionen. System med inverssvar. Figur 3.5 visar stegsvaret hos en process med inverssvar. Kännetecknande för dessa system är att svaret startar åt motsatta hållet innan det närmar sig det statiska värdet. Behovet att beakta den initiala motsatta verkan av en regleråtgärd gör att system med inverssvar är mycket svåra att reglera. System med inverssvar uppstår t.ex. då två delprocesser i ett system verkar åt motsatt håll. Om en av processerna har ett snabbt svar och den andra har ett långsamt svar, kommer den snabba processen till en början att få utsignalen att gå mot ett håll innan den långsamma processen hinner påverka utsignalen. Ett exempel på denna typs system är vid förbränning av fasta bränslen (såsom flis). En ökning av bränslemängden får temperaturen i eldhärden först att minska eftersom det inkommande bränslet har en lägre temperatur. Efter att förbränningen av det tillförda bränslet kommit i gång ökar temperaturen. Andra exempel på system med inverssvar finns t.ex. vid reglering av vissa flygplan. Inom ekonomiska system är inverssvar vanliga: t.ex. en skattesänkning sänker till en början skatteinkomsterna pga den lägre skatten, men kan senare resultera i en större skatteintäkt tack vare ökad ekonomisk aktivitet. 30

32 u y tid Figur 3.3: Responsen hos ett system av första ordningen med döid (L = 1). Instabila system. Instabila system karakteriseras av att de divergerar från sitt begynnelsetillstånd om de lämnas åt sig själva. Ett enkelt exempel på ett instabilt system är en inverterad pendel, som faller om den inte kontinuerligt balanseras. Det enda sättet att hålla ett instabilt system vid ett börvärde är genom att använda återkoppling. Vissa flygplan är instabila och behöver därför ständiga regleråtgärder för att hålla kursen. Exempel på instabila system inom processindustrin är vissa reaktorer med exoterma reaktioner, som bör kylas tillräckligt för att hålla reaktionen under kontroll. Ett annat exempel på instabilitet är att backa ett fordon med släp. Systemet är instabilt eftersom den minsta avvikelse i kursen får släpet att driva åt sidan. Det enda sättet att hålla kursen är att ständigt kompensera kursavvikelserna med styrningen. En regulator som stabiliserar systemet kan backa ett fordon med släp utan svårighet. 3.2 Linjära system I kapitel 2 har vi sett att dynamiska system beskrivs av differentialekvationer. Vi skall i detta kapitel närmare introducera modeller av de vanligaste typerna av dynamiska system. Generellt kan ett linjärt dynamiskt system G med insignalen u och utsignalen y beskrivas med den linjära differentialekvationen d n y(t) n +a 1 d n 1 y(t) n 1 + +a n 1 dy(t) där n är systemet ordning. Vanligtvis gäller m < n. d m u(t) +a n y(t) = b 0 m + +b m 1 31 du(t) +b m u(t) (3.2)

33 u y tid Figur 3.4: Responsen hos ett system med integration. Systemekvationen (3.2) kan skrivas i en bekvämare form genom att introducear beteckningen för differentialoperatorn. Eftersom p = d (3.3) d 2 2 y = d ( ) d y = p 2 y (3.4) följer generellt att d k k y = pk y (3.5) Ekvation (3.2) kan således skrivas i formen p n y + a 1 p n 1 y + + a n 1 py + a n y = b 0 p m u + b 1 p m 1 u + + b m 1 pu + b m u (3.6) eller där vi introducerat polynomen A(p)y = B(p)u (3.7) A(p) = p n + a 1 p n a n 1 p + a n (3.8) B(p) = b 0 p m + b 1 p m b m 1 p + b m (3.9) 32

34 u y tid Figur 3.5: Responsen hos ett system med inverssvar. Löser vi ut y ur ekvation (3.7) fås eller där vi definierat y(t) = B(p) u(t) (3.10) A(p) y(t) = G(p)u(t) (3.11) G(p) = B(p) A(p) (3.12) Eftersom differentialoperatorn p är en operator kan även G(p) uppfattas som en operator som transformerar signalen u(t) till en annan signal y(t). Operatorn G(p) kallas systemets överföringsoperator. Alternativt kan man betrakta G(p) som en funktion av operatorn p, varför man också kallar G(p) överföringsfunktion (eng. transfer function; fi. siirtofunktio). Av någon orsak är den förra termen bruklig i svenskan, medan den senare används i engelskspråkig text. Anmärkning 3.1 Begreppet överföringsoperator kan defineras mera rigoröst via Laplace-transformen som en operator som opererar på en Laplace-transformerad signal. Denna metod är mera generell än den som används här, men överföringsoperatorn har samma form i bägge fallen. Laplacetransformen kommer att behandlas i senare kurser. System som beskrivs av linjära differentialekvationer av typen (3.2) har ett antal viktiga egenskaper, vilka gör deras behandling speciellt enkel. Egenskaperna följer direkt ur differentialoperatorns egenskaper. 33

35 u y tid Figur 3.6: Responsen hos ett instabilt system. Superpositionsprincipen: om insignalen u 1 till systemet G ger utsignalen y 1 = Gu 1, och insignalen u 2 ger utsignalen y 2 = Gu 2, gäller att insignalen u 1 + u 2 ger utsignalen y 1 + y 2, dvs y = G(u 1 + u 2 ) = Gu 1 + Gu 2 = y 1 + y 2 (3.13) Parallellkoppling av två system med överföringsoperatorerna G 1 och G 2 är ekvivalent med ett system med överföringsoperatorn G 1 + G 2, ty utsignalen från parallellkopplade system ges av y = G 1 u + G 2 u = (G 1 + G 2 )u (3.14) Jfr figur 3.7. Seriekoppling av två system med överföringsoperatorerna G 1 och G 2 är ekvivalent med ett system med överföringsoperatorn G 1 G 2 = G 2 G 1, ty utsignalen från seriekopplade system ges av y = G 1 (G 2 u) = G 1 G 2 u = G 2 G 1 u (3.15) Jfr figur 3.8. Observera speciellt att det ur ovan följer att utsignalen blir densamma oberoende av systemens ordningsföljd, ty y(t) = G 1 (p)g 2 (p)u(t) = G 2 (p)g 1 (p)u(t) (3.16) 34

36 u G 1 y 1 = G 1 u u y = (G 1 + G 2 )u u G 2 y 2 = G 2 u Figur 3.7: Parallellkopplade system. u y 1 = G 1 u G 1 G 2 y = G 2 y 1 = G 2 G 1 u Figur 3.8: Seriekopplade system. Problem 3.1 Betrakta två första ordningenens system G 1 och G 2, där G 1 definieras av differentialekvationen dy 1 (t) + y 1 (t) = u 1 (t) (3.17) och G 2 definieras av differentialekvationen dy 2 (t) + 2y 2 (t) = 3u 2 (t) (3.18) - Bestäm systemens överföringsoperatorer. - Härled differentialekvationen som beskriver en parallellkoppling av G 1 och G 2. Verifiera att överföringsoperatorn hos det parallellkopplade systemet ges av (3.14). - Härled differentialekvationen som beskriver en seriekoppling av G 1 och G 2. Verifiera att överföringsoperatorn hos det seriekopplade systemet ges av (3.15). Sambandet (3.11) säger att utsignalen y kan uttryckas genom att multiplicera insignalen u med överföringsoperatorn G(p). Att detta kan göras följer ur differentialoperatorns linjäritet. Det faktum att differentialekvationssambandet kan uttryckas i form av en multiplikation gör det möjligt att härleda differentialekvationer för kopplade system genom rent algebraiska manipulationer, bestående av endast multiplikationer och additioner. Betrakta t.ex. den återkopplade reglerkretsen i figur 3.9. Genom att uttrycka signalsambanden med hjälp av överföringsoperatorerna G p (p) och G c (p) och eliminera signalerna e och u med hjälp av algebraiska manipulationer får vi att sambandet mellan signalen r och utsignalen y beskrivs av överföringsoperatorn y(t) = G(p)r(t) (3.19) 35

37 r + e u G c G p y Figur 3.9: Återkopplad krets. där G(p) = G p(p)g c (p) 1 + G p (p)g c (p) (3.20) Motsvarande differentialekvation kan sedan bestämmas genom att utnyttja sambandet (3.12) mellan överföringsoperatorn och differentialekvationen. Problem 3.2 Härled sambandet (3.19), (3.20) mellan r och y. Problem 3.3 Betrakta det återkopplade systemet i figur 3.9, och antag att systemet G p beskrivs av differentialekvationen dy(t) + y(t) = u(t) (3.21) och regulatorn G c beskrivs av differentialekvationen du(t) + 2u(t) = 2e(t) (3.22) Bestäm differentialekvationen som beskriver sambandet mellan signalerna r och y. 36

38 3.3 Modellering av enkla standardsystem I detta avsnitt skall vi mera detaljerat studera de enkla standardsystemtyperna som beskrevs i avsnitt 3.1. Speciellt skall vi visa hur enkla differentialekvationsmodeller ger upphov till de olika stegsvaren. Vi skall alltså bestämma den utsignal y(t) som fås, då insignalen är stegformad, enligt { 0, för t < 0 u(t) = (3.23) u steg, för t 0 samt y(t) = 0, t < Första ordningens system Ett stabilt system av första ordningen beskrivs av differentialekvationen dy(t) där a > 0. Man brukar ofta skriva systemekvationen i formen T dy(t) där T = 1/a och K = b/a. Systemets överföringsoperator är + ay(t) = bu(t) (3.24) + y(t) = Ku(t) (3.25) G(p) = b p + a = K T p + 1 (3.26) och det har stegsvaret y steg (t) = K(1 e t/t )u steg (3.27) Jfr figur 2.8. Systemets statiska förstärkning är lika med K, dvs y steg (t) Ku steg, då t (3.28) Parametern T kallas systemets tidskonstant (eng. time constant; fi. aikavakio), och är ett mått på hur snabbt systemet reagerar; ju mindre T (> 0), desto snabbare respons. Speciellt gäller, att vid tiden t = T har (1 e 1 ) 100% = 63.2% av den totala förändringen nåtts. Problem 3.4 Verifiera att systemet (3.25) har stegsvaret (3.27). 37

39 3.3.2 System med två tidskonstanter Ett system med två tidskonstanter består av två seriekopplade första ordningens system. Låt det första systemet, G 1, beskrivas av T 1 dy 1 (t) + y 1 (t) = K 1 u(t) (3.29) med utsignalen y 1 (t), som är insignal till det andra systemet, G 2, som beskrivs av dy(t) T 2 + y(t) = K 2 y 1 (t) (3.30) Enligt tidigare har vi att det seriekopplade systemet har överföringsoperatorn (jfr (3.15)) G(p) = G 2 (p)g 1 (p) = K (T 2 p + 1)(T 1 p + 1) (3.31) där K = K 1 K 2. Detta är ett andra ordningens system. Stegsvaret hos det seriekopplade systemet G 2 G 1 kan bestämmas genom att observera att om T 1 T 2 kan G(p) skrivas i formen G(p) = KT 1/(T 1 T 2 ) T 1 p KT 2/(T 2 T 1 ) T 2 p + 1 (3.32) Detta karakteriserar G(p) i form av två parallellkopplade system av första ordningen. Enligt (3.14) ges stegsvaret av summan av de enskilda systemens stegsvar i (3.32), vilket enligt (3.27) är y steg (t) = [ KT1 ( T 1 T 2 = K ) 1 e t/t 1 + KT 2 T 2 T 1 ( ( 1 T 1 T 1 T 2 e t/t 1 T 2 T 2 T 1 e t/t 2 1 e t/t 2) ] u steg ) u steg (3.33) Man kan visa att om T 1 = T 2 = T ges stegsvaret av y steg (t) = K (1 (1 + t ) T )e t/t u steg (3.34) Figur 3.1 visar stegsvaret för ett system med två tidskonstanter. Jämfört med ett första ordningens system har stegsvaret hos ett system med två tidskonstanter en kontinuerligt varierande derivata, så att dy(t)/ = 0 vid t = 0. I analogi med ett första ordningens system sker förändringen monotont från begynnelsevärdet till det statiska värdet, och stegsvaret saknar alltså översväng. På motsvarande sätt kan man bilda system med flera tidskonstanter genom seriekoppling av flera första ordningens system. Problem 3.5 Verifiera att systemet (3.31) har stegsvaret (3.34) i fallet T 1 = T 2 = T. 38

40 3.3.3 System med översväng Det seriekopplade systemet i ekvation (3.31) är ett system av andra ordningen med två reella tidskonstanter. Överföringsoperatorns nämnarpolynom A(p) har i detta fall de två reella nollställena 1/T 1 och 1/T 2. System med översväng beskrivs av differentialekvationer med den egenskapen att polynomet A(p) har komplexkonjugerade nollställen. Ett generellt system av andra ordningen beskrivs av d 2 y(t) dy(t) 2 + a 1 och motsvarande överföringsoperator G(p) = + a 2 y(t) = b 1 du(t) + b 2 u(t) (3.35) b 1 p + b 2 p 2 + a 1 p + a 2 (3.36) För att belysa de karakteristiska egenskaperna hos system av andra ordningen räcker det med att betrakta fallet då b 1 = 0. Systemets statiska förstärkning, den transienta responsens snabbhet samt översvängens storlek bestäms då entydigt av systemparametrarna. Det visar sig att dessa tre systemegenskaper kan karakteriseras explicit genom att skriva systemekvationen i formen d 2 y(t) dy(t) 2 + 2ζω n + ω 2 ny(t) = Kωnu(t) 2 (3.37) och motsvarande överföringsoperator G(p) = p 2 + 2ζω n p + ωn 2 (3.38) Här är K systemets statiska förstärkning, ζ kallas relativ dämpning, och ω n är systemets odämpade egenfrekvens. Alla stabila system av andra ordningen kan skrivas i formen (3.37) med ζ > 0 och ω n > 0. Den relativa dämpningen ζ bestämmer formen hos systemets stegsvar. I fallet ζ > 1 sägs systemet vara överdämpat. Polynomet A(p) = p 2 + 2ζω n p + ωn 2 har härvid två negativa reella nollställen och systemet är ekvivalent med två seriekopplade system av första ordningen (jfr avsnitt 3.3.2). I fallet ζ < 1 sägs systemet vara underdämpat. Polynomet A(p) har i detta fall två komplexkonjugerade nollställen med negativa realdelar, och systemets stegsvar har en översväng, jfr figur 3.2. I gränsfallet ζ = 1 kallas systemet kritiskt dämpat. Polynomet A(p) har då ett dubbelt nollställe som är reell och negativ. Den odämpade egenfrekvensen bestämmer tidskalan hos systemets respons; ju större ω n, desto snabbare respons. Stegsvaren för överdämpade och kritiskt dämpade system ges av (3.33) respektive (3.34). I det underdämpade fallet (ζ < 1) ges stegsvaret av ( y steg (t) = K 1 1 ) β e ζω nt [ζ sin(βω n t) + β cos(βω n t)] u steg ( = K 1 1 ) β e ζωnt sin(βω n t + ϕ) u steg (3.39) Kω 2 n 39

41 där och β = 1 ζ 2 (3.40) ϕ = arccos(ζ) (3.41) Man kan visa att översvängens maximala storlek M ges av (angiven i % av statiska värdet) [ ] ζπ M = exp 100% (3.42) β och tiden t M vid vilken den maximala översvängen fås är t M = π ω n β (3.43) Figur 3.10 illustrerar stegsvar hos överdämpade, kritiskt dämpade och underdämpade system av andra ordningen. Problem 3.6 Verifiera att systemet (3.37) har stegsvaret (3.39) om ζ < y tid Figur 3.10: Responsen hos system av andra ordningen med relativa dämpningarna ζ = 2, 1, 0.5 och 0.1 (nerifrån räknat) samt odämpade egenfrekvensen ω n = 1 och statiska förstärkningen K = 1. I fysikaliska system uppstår ett dynamiskt beteende med översväng typiskt av att systemet oskillerar mellan två tillstånd, såsom följande exempel illustrerar. 40

42 k b m y(t) u(t) Figur 3.11: Fjäderupphängd massa med dämpning. Exempel Fjädringssystem med dämpning. Figur 3.11 visar en massa m upphängd i en fjäder. Positionsavvikelsen y(t) från ett jämviktsläge påverkas av kraften u(t). Vid jämviktsläge gäller y(t) = 0 och u(t) = 0. Newtons andra lag ger m d2 y(t) 2 = u(t) + F f (t) + F d (t) där F f (t) är fjäderkraften, som är proportionell mot avvikelsen y(t) och riktad i motsatt riktning, F f (t) = ky(t) och F d (t) är den dämpande kraften i dämparen, som är proporionell mot hastigheten dy(t)/ och riktad i motsatt riktning, F d (t) = b dy Kombination av ekvationerna ger m d2 y(t) 2 = u(t) ky(t) b dy eller d 2 y(t) 2 + b dy m + k m y(t) = 1 m u(t) Detta är ett system av andra ordningen med överföringsoperatorrepresentationen y(t) = 1/m p 2 + b m p + k u(t) m 41

43 Jämförelse med (3.38) visar att systemets odämpade egenfrekvens är k ω n = m den statiska förstärkningen ges av K = 1/m ωn 2 = 1 k, och relativa dämpningen är ζ = b/m = 1 b 2ω n 2 mk Sambandet visar att en stor dämpning (b) och liten fjäderkonstant k gör systemet överdämpat, medan ett system med liten dämpning och stor fjäderkonstant är underdämpad. Vi skall ännu visa hur stegsvaret hos ett system (3.35) av andra ordningen med b 1 0 kan härledas. Överföringsoperatorn (3.36) kan skrivas G(p) = G 1 (p) + G 2 (p) (3.44) där b 1 p G 1 (p) = p 2 (3.45) + a 1 p + a 2 och b 2 G 2 (p) = p 2 (3.46) + a 1 p + a 2 Svaret hos G(p) fås således som en summa av svaren från två parallellkopplade system med överföringsoperatorerna G 1 (p) och G 2 (p). Stegsvaret för G 2 har givits ovan. Stegsvaret hos G 1 kan bestämmas genom att skriva G 1 (p) = p b 1 p 2 + a 1 p + a 2 (3.47) Detta representerar G 1 i form av en seriekoppling av ett system vars stegsvar ges av (3.33), (3.34) eller (3.39) åtföljd av differentialoperatorn p = d. Stegsvaret y 1(t) hos G 1 kan därför bestämmas genom att först bestämma stegsvaret hos systemet ỹ 1 (t) = b 1 p 2 + a 1 p + a 2 u(t) vilket ges av uttrycket (3.33) om systemet är överdämpat, uttrycket (3.34) om systemet är kritiskt dämpat, eller uttrycket (3.39) om systemet är underdämpat, varefter y 1 (t) ges av y 1 (t) = dỹ 1(t) 42

44 3.3.4 System med döid Ett system med döid har en tidsfördröjning som fördröjer insignalens effekt på utsignalen. Ett system av första ordningen med döiden L beskrivs således av differentialekvationen dy(t) + ay(t) = bu(t L) (3.48) Vi kan härleda ett uttryck för överföringsoperatorn hos en tidsfördröjning genom att uttrycka denna med hjälp av differentialoperatorn d = p. En Taylor-serieutveckling av u(t) ger u(t + h) = u(t) + h du(t) ( = 1 + h d + h2 2! ( = 1 + hp + (hp)2 2! + h2 d 2 u(t) 2 2! d hk k! + + (hp)k k! + + hk d k u(t) k! k + ) d k k + ) + u(t) u(t) = e hp u(t) (3.49) där vi i det sista steget utnyttjat Taylor-serieutvecklingen av exponentialfunktionen e x. För h = L ger sambandet (3.49) ett uttryck för tidsfördröjningen med hjälp av differentialoperatorn, u(t L) = e Lp u(t) (3.50) Det följer att ett tidsfördröjningen har överföringsoperatorn G L (p) = e Lp (3.51) Systemet (3.48) består av en seriekoppling av en tidsfördröjning och ett system av första ordning, och kan således uttryckas med hjälp av överföringsoperatorer (dvs med hjälp av differentialoperatorn) i formen y(t) = b p + a e Lp u(t) (3.52) System med integration Ett system med integration innehåller ett delsystem av formen dy(t) = k [u(t) u 0 ] (3.53) jfr ekvation (3.1). Utsignalen y förändras så länge u(t) u 0. I praktiken ingår systemet (3.53) vanligen som ett led i en seriekoppling med flera delsystem. 43

45 3.3.6 System med inverssvar System med inverssvar kan beskrivas med hjälp av en parallellkoppling av delsystem vars statiska förstärkningar har olika tecken. För att se hur ett system kan ge upphov till inverssvar av den typ som visas i figur 3.5, betrakta två parallelkopplade system av första ordningen, så att y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) där y 1 (t) ges av och y 2 (t) ges av y 1 (t) = b 1 p + a 1 u(t) y 2 (t) = b 2 p + a 2 u(t) För att det parallellkopplade systemet skall ha ett inverssvar av den typ som visas i figur 3.5 bör utsignalen vara positiv för stora t, y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) > 0, då t medan utsignalen först skall bli negativ, dvs dy(t) = dy 1(t) t=0 + dy 2(t) t=0 < 0 t=0 Det statiska värdet efter en stegformad insignal hos det parallellkopplade systemet ges av ( b1 y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) + b ) 2 u steg, då t a 1 a 2 medan utsignalens tidsderivata vid t = 0 är dy(t) = (b 1 + b 2 ) u steg t=0 Detta implicerar olikheterna a 1 b 2 + a 2 b 1 > 0 b 1 + b 2 < 0 Dessa olikheter kan är ekvivalenta med ett enkelt villkor hos det parallellkopplade systemets överföringsoperator. Vi noterar nämligen att det parallellkopplade systemets överföringsoperator G par (p) = b 1 p + a 1 + b 2 p + a 2 = (b 1 + b 2 )p + a 1 b 2 + a 2 b 1 (p + a 1 )(p + a 2 ) (3.54) 44

46 och de ovan givna olikheterna implicerar då att överföringsoperatorns täljarpolynom har ett positivt nollställe, (b 1 + b 2 )p + a 1 b 2 + a 2 b 1 p = a 1b 2 + a 2 b 1 b 1 + b 2 > 0 Detta resultat kan generaliseras, och man kan visa att system med inverssvar generellt har en överföringsoperator vars täljarpolynom har minst ett nollställe med en positiv realdel. Som ett exempel visar figur 3.5 stegsvaret hos ett system med överföringsoperatorn G inv (p) = 2 p ( 5) p + 5 (3.55) Genom att skriva uttrycket i (3.55) på gemensam nämnare fås G inv (p) = 3p + 5 p 2 + 6p + 5 (3.56) Detta är ett system av andra ordningen. Observera att täljarpolynomet B(p) = 3p + 5 hos överföringsoperatorn (3.56) har ett positivt reellt nollställe System av högre ordning De ovan härledda stegsvaren kan användas för att bestämma stegsvar hos system av högre ordning. Det generella fallet kan helt enkelt behandlas genom att överföringsoperatorn (3.12) partialbråkuppdelas enligt G(p) = B(p) r A(p) = G k (p) (3.57) Detta karakteriserar G(p) som en parallellkoppling av r stycken system med överföringsoperatorerna G k (p). Utsignalen hos G kan härvid bestämmas som summan av de enskilda systemens utsignaler. Om polynomet A(p) saknar multipla nollställen kan partialbråksuppdelningen (3.57) göras så att överföringsoperatorerna G k (p) är av första eller andra ordningen, och deras stegsvar kan således beräknas med de formler som givits i detta kapitel Instabila system Vi har ovan antagit att de studerade systemen är stabila, utan att kvantitativt ange när ett system är stabilt. Ett system är instabilt om det finns variabler som divergerar (dvs vars värden växer obegränsat) trots att insignalen är begränsad. För de system som diskuterats i detta kapitel innebär detta att stegsvaret divergerar. Ett allmänt villkor för att ett system skall vara stabilt kan härledas genom följande observationer: k 45

47 För ett system av första ordningen enligt i ekvation (3.24) divergerar stegsvaret (3.27) om T < 0, eller ekvivalent om a < 0. Stabiliteten beror således av nollstället hos överföringsoperatorns nämnare i ekvation (3.26), dvs lösningen till p + a = 0 (3.58) Systemet (3.24) är alltså instabilt om lösningen till (3.58) är positiv. För ett system med två tidskonstanter T 1 och T 2 divergerar stegsvaret om T 1 < 0 eller T 2 < 0, jfr ekvation (3.33), (3.34). Detta är ekvivalent med att nämnaren hos systemets överföringsoperator i (3.31) har ett positivt nollställe, dvs ekvationen har en positiv lösning. (T 2 p + 1)(T 1 p + 1) = 0 För ett underdämpat system som beskrivs av (3.37) divergerar stegsvaret (3.39) om ζω n < 0. Detta är ekvivalent att nämnaren hos systemets överföringsoperator (3.38) har ett nollställe med positiv realdel, ty ekvationen p 2 + 2ζω n p + ω 2 n = 0 har lösningarna p 1,2 = ζω n ± (ζω n ) 2 ωn 2 Dessa resultat kan generaliseras till en det allmänna fallet genom att observera att en överföringsoperator av typen (3.12) alltid kan beskrivas som en seriekoppling enligt G(p) = B(p) A(p) = G 1(p) G 2 (p)... G M (p) där faktorerna G i (p) är öveföringsoperatorer av första eller andra ordningen, vars nollställen är rötterna till ekvationen A(p) = 0 (3.59) Systemet är stabilt om och endast om alla delsystem G i (p) i seriekopplingen är stabila. Från resonemangen ovan följer således att ett system med överföringsoperatorn G(p) = B(p)/A(p) är instabilt om nämnarpolynomet A(p) har en eller flera nollställen med positiv realdel. 46

48 3.4 Något om regulatordesign Som vi sett kan ett systems beteende påverkas med återkopplad reglering. En vanlig målsättning är att kompensera för störningars inverkan samt att få de reglerade signalerna i systemet att följa givna referensvärden. Förutom de redan behandlade problemen belyser följande exempel några ytterligare typiska problem där återkopplad reglering är viktig. Exempel 3.2 Stabilisering av instabila system. Betrakta ett instabilt system, t.ex. dy(t) + ay(t) = bu(t) där a < 0. Det enda sättet att hålla utsignalen y(t) från ett instabilt system vid en önskad nivå är med hjälp av återkopplad reglering. Om systemet ovan regleras med regulatorn ges den slutna kretsen av dy(t) u(t) = K p (r(t) y(t)) + (a + bk p ) y(t) = bk p r(t) som är stabilt om K p väljs så att a + bk p > 0. Det finns tekniska system som kan göras effektivare om de konstrueras så att de är instabila utan reglering. Flygplan är t.ex. instabila (i motsats till luftballonger eller luftskepp) och kräver återkopplad reglering. Exempel 3.3 Modifiering ett systems beteende för enklare manuell styrning. Ett system som annars skulle vara svårt eller omöjligt att styra manuellt kan genom återkoppling modifieras så att manuell styrning är möjlig. Ett flygplan vars dynamik är instabil och för snabb för manuell styrning kan t.ex. först stabiliseras med återkopplad reglering. Den manuella styrningen ger då börvärdet r(t) för regulatorn, medan reglersignalen u(t) till systemet bestäms av regulatorn, jfr figur Begränsningar vid regulatordesign Metoder för design av regulatorer behandlas inte i denna kurs, utan här kommer vi bara att med ett exempel belysa en typisk problemställning vid regulatordesign. En viktig egenskap hos regulatordesign är att den alltid består av en kompromiss mellan ett antal olika målsättningar. Speciellt har man ofta en kompromiss mellan reglerprestanda, såsom snabb respons, versus stabilitet hos det reglerade systemet. Detta belyses av följande exempel. 47

49 Figur 3.12: Temperaturreglering med döid. Exempel 3.4 Stabilitet vid återkoppling. En vätska som strömmar i en rörledning skall uppvärmas genom tillförsel av ånga enligt figur Temperaturen hos den inkommande strömmen är T d (t), och den önskade temperaturen y(t) hos den utgående strömmen är r. Ångflödet regleras med hjälp av en reglerventil, vars läge u(t) bestäms av en regulator G c. Det antas att temperaturökningen i vätskan är direkt proportionell mot u(t), y T d = bu(t) där b är en konstant. Temperaturen y(t) mäts emellertid vid ett ställe efter ångtillförseln dit det tar L = 10 sekunder för vätskan att strömma (jfr figur 3.12). Sambandet mellan u(t) och y(t) är därför y(t) = bu(t L) + T d (t) (3.60) Låt systemet för enkelhets skull regleras med en P-regulator, så att u(t) = K p (r y(t)) (3.61) Vi kan också anta att alla signaler är definierade som avvikelser från ett fortfarighetstillstånd, så att r = 0. Det reglerade systemet (3.60), (3.61) beskrivs då av y(t) + bk p y(t L) = T d (t) (3.62) 48

50 Betrakta sedan vad som händer då den inkommande strömmens temperatur ändras stegformat från 0 till 1 vid tiden t = 0. Då gäller y(t) = 0, t L y(t) = 1, L < t 2L y(t) = 1 bk p, 2L < t 3L y(t) = 1 bk p (1 bk p ), 3L < t 4L. y(t) = bk p y(t L) + 1 Den sista ekvationen innebär att om systemet konvergerar, så att y(t) = y(t L), så gäller y(t) bk p då t Regleravvikelsen kunde då i princip göras goyckligt liten genom att välja en stor regulatorförstärkning K p. Denna analys beaktar emelllertid inte systemets stabilitet. Ur ovan följer nämligen också y(t) = bk p y(t L) + 1 = bk p ( bk p y(t 2L) + 1) + 1 = ( bk p ) 2 y(t 2L) bk p + 1. = ( bk p ) k y(t kl) + ( bk p ) k vilket visar, att y(t) ± om bk p > 1. Regulatorförstärkningen K p kan därför inte väljas hur stort som helst eftersom systemet då blir instabilt. Exemplet visar att regulatordesign är en kompromiss mellan reglerprestanda (liten statisk regleravvikelse) och stabilitet hos den slutna kretsen. Den statiska regleravvikelsen kan givetvis elimineras med hjälp av en PI-regulator med integrerande verkan, men även då kommer kravet på stabilitet att begränsa den reglerprestanda som kan uppnås. Det finns systematiska metoder för att konstruera regulatorer som ger det återkopplade systemet önskade egenskaper med beaktande av stabilitetsbegränsningar. Dessa metoder behandlas i senare kurser i reglerteknik. 49