Vågfysik Superposition Knight, Kap 21 Superpositionsprincipen Superposition = kombination av två eller fler vågor. Vågor partiklar Elongation = D 1 +D 2 D net = Σ D i Superpositionsprincipen 1
2 vågor på en sträng Två vågor som rör sig i motsatt riktning med v = 1 m/s. 5 foto (1s emellan): Summera vågorna, punkt efter punkt Stående vågor En stående våg är en superposition av två vågor. 2
Stående vågor Ta två sinusvågor som rör sig i motsatt riktning. Anta att de har samma frekvens, våglängd och amplitud. Röd Grön Punkter där D1 = D2: vågorna i fas. Punkter där D1 = -D2: vågorna ur fas. Blå våg är superpositionen av två vågor. Den blå pricken rör sig inte! Lägg ihop alla blå vågor i en graf. Bukar och noder Noder: destruktiv interferens Bukar: konstruktiv interferens I = CA 2 3
Stående vågors matematik Noder: A(x) = 2a sin kx = 0 kx m = m π, m = 0, 1, 2 x m = m λ/2, m = 0, 1, 2 Fortskridande våg möter vägg Vad händer när en fortskridande våg möter ett gränssnitt eller en vägg? Exempel: 1D transversella vågor i ett rep med diskontinuitet. Linjär täthet µ=m/l v = (T s / µ) 1/2 stor µ liten µ T s samma Långsam Fort liten µ stor µ T s samma Inverterad Långsam Vid diskontinuiteten: En del av vågens energi fortskrider, en del reflekteras. Den reflekterade vågen får en fasändringπnär den går från ett medium med liten µ (tunn) till ett med stor µ (tjock). 4
Hur uppstår stående vågor? Sträng med längd L som sitter fast vid x=0 och x=l. Två väggar! Gränsvillkor: D(0,t) = 0 och D(L,t) = 0 för alla t för alla t Två vågor uppstår med samma amplitud och våglängd som rör sig mot varandra. Stående vågor i en sträng För att en stående våg skall uppstå måste våglängden ha en av följande värden: λ = 2L 1 2L λ1 λm = = m m v f1 = 2L f = mf m 1 Grundfrekvens, Grundton Harmoniker, Övertoner m = antalet bukar! 5
Stränginstrument 1 a överton 2 a överton 3 e överton f v 2L 1 = = 1 2L T s µ T s högre ton µ lägre ton Stående elektromagnetiska vågor 6
Stående ljudvågor - musik Longitudinell stående våg (2 bukar) Stående ljudvågor i ett rör 7
Stående ljudvågor i ett rör Frekvensspektrum ger instrument dess typiska färgklang flöjt blockflöjt Frekvenserna är multipler av en grundton (436 Hz). Andra övertonen är stark. Frekvenserna är multipler av en grundton (923 Hz). Andra övertonen är svag. 8
Interferens i 1D Superposition av två sinusvågor med samma frekvens och amplitud, som utbreder sig i SAMMA riktning. D1 ( x1, t) = a sin( kx1 ωt + ϕ10) = asinϕ1 med: x 1, x 2 avstånd till källa 1, 2 D ( x, t) = asin( kx ωt + ϕ ) = a sinϕ och φ 10,φ 20 faskonstant för källa 1, 2 2 2 2 20 2 D = D 1 + D 2 Faskonstantφ 0 ϕ 0 = 0 Faskonstanten beror på källan, inte på mediet. π ϕ 0 = 2 ϕ = π 0 9
Konstruktiv - Destruktiv D 1 (x) = D 2 (x), vågorna i fas φ 1 = φ 2 (+ m 2π) φ = m 2π m = 0, 1, 2, 3 D 1 (x) = - D 2 (x), vågorna ur fas φ 1 = φ 2 + π (+m 2 π) φ = (m+1/2) 2π m = 0, 1, 2, 3 Fasskillnad mellan två vågor Definition: ϕ = Villkor för interferens: 2π x + ϕ0 λ x = väglängdskillnad φ 0 = inherent fasskillnad För identiska källor: φ 0 = 0 konstruktiv interferens: x = mλ destruktiv interferens: x = (m+1/2)λ 10
Vågor i fas konstruktiv interferens φ = 0, 2π, 4π, φ 0 = 0 x = mλ med m= 0, 1, 2, Vågor ur fas destruktiv interferens φ = π φ 0 = π x = 0 φ 0 = 0 x = λ/2 φ 0 = π/2 x = λ/4 11
Interferensens matematik ϕ = ϕ = 2mπ 2( m + 1 ) π 2 Konstruktiv interferens Destruktiv interferens Tillämpning: optiska tunna skikt Tunna beläggningar (<1 µm) för att minska reflektion från glasytan. Exempel: anti-reflection coating Antag n luft < n film < n glas 12
Optiska tunna skikt 2π ϕ = x + ϕ0 λ f 2π ϕ = 2nd λ våglängd i skiktet x = 2d ϕ 0 = 0 Konstruktiv interferens -> Destruktiv interferens -> (anti-reflection coating) 2nd λc = m 2nd λd = m 1 2 λ f = λ n Interferens i 2D och 3D konstruktiv interferens destruktiv interferens 13
Interferens i 2D och 3D identiska källor konstruktiv Interferens i A. väglängdsskillnad r A = λ destruktiv Interferens i B väglängdsskillnad r B = 0,5 λ Interferens i 2D och 3D För identiska källor: φ 0 = 0 konstruktiv interferens: r = mλ destruktiv interferens: r = (m+1/2)λ Ekvationer identiska med 21.22 och 21.23 1D 2D, 3D x r (avstånd till källan) 14
Linjer av konstruktiv och destruktiv interferens konstruktiv Interferens Intensitet maximal destruktiv Interferens Intensitet noll Simulerade interferensmönster För två identiska källor i fas: För två källor ur fas: nodal lines: D=0 grön antinodal lines: D varierar från 2a (röd) till -2a (blå) 15
Svävning ( Beats ) Superposition av vågor från två källor med liten skillnad i frekvens (1-2 Hz). Uppfattas som en ton med modulation (stark, svag, stark, ) f beat svävningsfrekvens = ω 2π ( f ) mod 2 fmod = 2 = 1 f2 16