Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn a AB, b AG och c GN, P Q R S T K L M N O F G H I J A B C D E.3 Uttryck vektorn w i form av vektorerna u och v i figuren u v 3 w.4 De från samma punkt utgående vektorerna a, b, och c satisfierar ekvationen 7a 8b + c =. Visa att vektorernas ändpunkter ligger på en och samma linje..5 Visa att mittpunkterna på sidorna i en godtycklig fyrhörning bildar hörn i en parallellogram. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Bestäm den vektor som representeras av segmentet AB när A = 6, 3 och B =, 4. Rita AB och dess ekvivalenta ortsvektorrepresentant. 2.2 Bestäm a + b, a b, 3a, och 2a + 5b när a = e + 6e 2 och b = 4e 5e 2. 2.3 Bestäm vektorformen, parameterformen och den parameterfria formen för den linje som går genom punkterna 2, 4, och 3,, 8. 2.4 Visa att betyder samma linje. x = + 2t y = 2 t z = 3 t och x = 3 2t y = + t z = 2 + t
2.5 Bestäm, om det är möjligt, skärningspunkterna mellan linjerna { x = 2 + 3t y = 2t och { x = 2 3t y = 4 + 2t 2.6 Visa, att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. En median är en sträcka från ett hörn i en triangel till mittpunkten på motstående sida. Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon ON-bas. 2.7 Bestäm a b då a = 3, 7, 3 och b = 5, 3,. 2.8 Bestäm a b då a = 3 och b = 7 och vinkeln mellan dessa är π/3. 2.9 För vilka värden på parametern b blir vektorerna 9, b, 2b och b, b 2, b vinkelräta? 2. Bestäm vinkeln mellan vektorerna a =,, 2 och b = 2,, 2. 2. Beräkna vektorn b:s ortogonala projektion på vektorn a när a =, 4, 6 och b = 7,, 3. 2.2 Bestäm vektorformen för den linje som går genom punkten 6, 6, och är vinkelrät mot planet 3x 2y + 7z = 3. I vilka punkter skär denna linje koordinatplanen? 2.3 Bestäm avståndet mellan punkten 6,, 5 och planet 2x 7y + z = 3. 2.4 Visa, att höjderna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. 2.5 Bevisa att, cosβ α = cos β cos α + sin β sin α. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon positivt orienterad ON-bas. 3. Bestäm a b och b a då a = 3,, 2 och b = 6, 8,. 3.2 Bestäm arean av den parallellogram som har hörnpunkter i P,,, Q5,,, R3, 8, 8, S8, 8, 9. 3.3 Bevisa att a b a + b = 2a b. Motivera noggrannt! 2
3.4 Beräkna avståndet mellan punkten,, och linjen x = y = z 2 2. 3.5 Ett plan går genom punkterna, 2, 3, 3,,, och 2, 4, 2 och ett annat plan har ekvationen x + y + 2z = 7. Bestäm, om det är det möjligt, vinkeln mellan planen. 3.6 Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten 2,, och innehåller linjen 3x = y = z 2. 3.7 En tetraeder är en kropp med fyra hörn P, Q, R, S och fyra avgränsande triangelytor. Låt v, v 2, v 3 och v 4 vara vektorer med längder lika stora som de avgränsande triangelytorna och med riktingar som är vinkelräta mot dessa ytor samtidigt som de pekar ut från tetraedern. Visa att v + v 2 + v 3 + v 4 =. Antag nu att samtliga vinklar som möts i hörnet S är räta i tetraedern. Låt A, B, C vara arean av de trianglar som möts i S medan D antas vara arean av den motstående triangeln P QR. Visa att D 2 = A 2 + B 2 + C 2. Observera detta är en utvidgning av Pythagoras sats. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 4 4. Bestäm ekvationen för den ellips som fås från enhetscirkeln x 2 + y 2 = när punkten x, y ersätts med a x, y/2, b 3x, y och c x/5, y/6. 4.2 Visa, att { x = a cos t y = b sin t är en parameterframställning av ellipsen 4.3 Inför funktionerna x 2 a 2 + y2 b 2 =. cosh t = e t + e t, 2 sinh t = e t e t. 2 Visa, att { x = a cosh t y = b sinh t är en parameterframställning av hyperbeln x 2 a 2 y2 b 2 =. 3
4.4 Bestäm ekvationen för den hyperbel, som har brännpunkter i 2, 2 och 2, 2 när skillnaden mellan avstånden ges av 2 2. 4.5 Bestäm ekvationen för den parabel, som har styrlinjen x + y = och brännpunkt i,. Vilken form får denna ekvation efter variabelbytet u = 2 x + y +, v = 2 x y? Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 5 5. Betrakta nedanstående matris som en utvidgad koefficientmatris till ett linjärt system. Beskriv i ord de två närmast påföljande radoperationerna som härnäst skall utföras för att man skall erhålla en lösning till systemet. 7 3 8 9 3 5 3 5 5.2 Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 3x 2 3x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 2 2x + 3x 2 + 6x 3 x 4 + 3x 5 = 3x + 6x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 =. Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.3 Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 2x 2 + 4x 3 + 6x 4 + 8x 5 = 3 5x + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 4x 5 = 2 4x + x 2 + 8x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 6 3x + 7x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 24x 5 = Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.4 Bestäm, ifall det är möjligt, sådana värden på parametern s, att matrisen nedan svarar mot ett konsistent linjärt system. 3 s 2 6 5 Ifall det finns värden på parametern s, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 4
5.5 Bestäm, ifall det är möjligt, de värden på parametern h, för vilka matrisen nedan utgör en utvidgad koefficientmatris för ett konsistent system av linjära ekvationer. 3 2 5 h 7 Ifall det finns värden på parametern h, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 5.6 I denna uppgift använder vi oss av betekningar motsvararande de som används i Exempel 5.8 för matriser i echelonform. Antag matriserna nedan representerar utvidgade koefficientmatriser för system av linjära ekvationer. Avgör om systemet är konsistent och ifall det är det, huruvida lösningen är entydig. 5.7 Bestäm det tredjegradspolynom som går igenom punkterna, 9,, 8,, 3 och 2,. Detta polynom kallas interpolationspolynomet genomde givna punkterna. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 6 6. v u y z w x Använd figuren till att skriva vektorerna w, x, y och x som en linjärkombination av vektorerna u och v. Är varje vektor i R 2 en linjärkombination av u och v? Samtliga vektorer antas ha utgå från samma referenspunkt som u och v och ha de ändpunkter som markerats. 5
6.2 Låt vektorerna v, v 2 och y vara givna av 3 3 v =, v 2 = 2 6 6 och y = 5 3 h Fö vilka värden på h finns y i det plan som spänns upp av v och v 2. 6.3 Låt matrisen B vara given av B = 3 2 2 5 3 2 4 3 6 7 3 6 Spänner matrisen B:s kolonner upp R 4? Har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R 4. 6.4 Antag att A är en 4 4 matris och att b är en vektor i R 4 med egenskapen att Ax = b har en entydig lösning. Förklara varför A:s kolonner måste vara linjärt oberoende. 6.5 Beräkna först lösningarna till det homogena systemet på parametrisk vektorform. x 2x 2 + 3x 3 = 2x 3x 2 + 6x 3 = 5x 8x 2 + 5x 3 = Beskriv därefter lösningen till nedanstående inhomogena system x 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 3x 2 + 6x 3 = 5 5x 8x 2 + 5x 3 = 3 på parametrisk vektorform och jämför lösningarna geometriskt med lösningsmängden till det homogena systemet ovan. Vad märker du? 6.6 Avgör om vektorerna, 3 och 2, 6 är linjärt oberoende. Motivera ditt svar. 6.7 Bestän de värden på h för vilka vektorerna är linjärt beroende. 3 2,, h 3 5 6 6.8 Låt A vara given av A = 4 2 3 8 2 4 Observera att den första kolonnen plus tre gånger den andra kolonnen ger den tredje kolonnen. Bestäm en icke-trivial lösning till Ax = utan att utföra några radoperationer. 6
Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 7 7. Sätt och låt u = 3 A = 2 2 3 2 2 v = Sätt T x = Ax i R 2. Rita vektorerna u, v, T u och T v i ett rektangulärt koordinatsystem. Hur långa är T u och T v? Vad gör T geometriskt med vektorn x? 7.2 Bestäm matrisen för spegling genom y-axeln i R 2, dels i den naturliga basen e = e 2 =, dels i basen e + e 2 och e e 2. 7.3 Förklara varför avbildningen T x, x 2 = 2 x, 4x 3x 2 inte är linjär. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 8. 8. Låt matriserna, A, B, C, D, E, F vara givna av A = 6 2 2 3 2, B = 3 7 5, C = 2 3 3 3 2, D = 4, E = 3 7 Beräkna, om det är möjligt, matriserna 4C 3A T, A C, BC, C T C, BAC, DE 8.2 Visa, att om A och B är kvadratiska matriser, så gäller ekvivalenserna AB = BA A BA + B = A 2 B 2 och AB = BA A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2. 8.3 Låt matriserna A och B vara givna av a b A = och B = c d 2 3 5. Bestäm, ifall det är möjligt, villkor på koefficienterna i A så att AB = BA. 8.4 En matris, A, kallas symmetrisk om A T = A. Visa att matriserna AA T och A T A alltid är symmetriska och ge samtidigt exempel på att de inte behöver vara lika. 8.5 En matris, A, kallas skevsymmetrisk om A T = A. Visa att om A och B är skevsymmetriska matriser så är A + B skevsymmetrisk, om de ingående räkneoperationerna är definierade. 7
8.6 Antag att A är en kvadratisk matris. Kan man avgöra huruvida A + A T och A A T är symmetriska eller skevsymmetriska? 8.7 Om A är en kvadratisk matris, så kallas summan av alla elementen i diagonalen mellan det övre vänstra hörnet och det nedre högra hörnet för spåret av A. Detta beteknas tra. Visa att om A är en m n-matris och B är en n m-matris, så gäller trab=trba. 8.8 En kvadratisk matrisk A med elementen a ij på plats ij kallas nedåt triangulär, om a ij = när i < j. På motsvarande sätt kallas A uppåt triangulär om a ij = när i > j. Visa att produkten av två nedåt triangulära matriser är nedåt triangulär och att produkten av två uppåt triangulära matriser är uppåt triangulär under förutsättning att de ingående matrismultiplikationerna är definierade. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 9 9. Bestäm inversen till matrisen 3 2 9.2 Bestäm inversen till matrisen 3 2 9.3 Bestäm lösningen till ekvationssystemet 9.4 Bevisa sats 9.5! 3x + x 2 = 3 x + 2x 2 = 4 9.5 Bestäm inverserna till elementärmatriserna 3,, 5 9.6 Bestäm inversen till matrisprodukten c b, c a 8
9.7 Beräkna, ifall det är möjligt, inversen till matrisen 3 2 3 7 2 Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Beskriv vilken den indikerade radoperationen är och hur den påverkar determinanten: a b c d, a b c + ka d + kb.2 Bestäm determinanten genom radförenkling till echelonform 2 2 2 2 2.3 Avgör genom att använda determinanter om vektorerna är linjärt oberoende 4 3 7, 2 6 8, 2,.4 Låt A vara en n n-matris och låt n vara udda. Antag dessutom att A är skevsymmetrisk. Bestäm deta..5 Beräkna nedanstående determinant genom kofaktorutveckling. Välj vid varje steg den rad eller kolonn som leder till minst beräkningar 2 5 6 3 4 3 8 5 2 6 6.6 Beräkna determinanten 22245678 222456782 222456783 222456782 222456783 222456784 222456783 222456784 222456786 9
.7 Beräkna den n-radiga determinanten.................8 Används Cramers regel för att bestämma en lösning till ekvationssystemet x + x 2 = 6 2x 3x 2 = 7.9 Bestäm de värden på s som garanterar en entydig lösning till systemet och bestäm denna lösning. sx + 2x 2 = 6 2x + sx 2 = 7. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till s s, s ifall den existerar.. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till a a 2 b b 2, c c 2 ifall den existerar. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Matrisen 7 3 8 3 har egenvärdena λ = och λ 2 = 3. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..2 Matrisen 2 2 4 har egenvärdet λ = 2. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till detta egenvärde.
.3 Matrisen 8 3 6 2 3 6 2 3 6 har egenvärdena λ = 2 och λ 2 = 5. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..4 Sätt A = 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Bestäm två egenvärden till A utan att beräkna dessa. Bestäm sedan tre linjärt oberende egenvektorer till dessa egenvärden utan att beräkna dessa..5 Bestäm det karakteristiska polynomet och egenvärdena till matrisen 2 2 2 3.6 Bestäm egenvärdena till matrisen 7 2 2 3.7 Bestäm den karakteristiska ekvationen till matrisen 9 2 5 3 3.8 Antag att A n = för något n Z +. Visa att A inte kan ha några andra egenvärden än noll. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Diagonalisera matrisen 6 6 ifall det är möjligt., 2.2 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. A = 36 3,
2.3 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. 5 6 3 3 4 3 2, 2.4 Diagonalisera matrisen 6 2 3 5 2 4 ifall det är möjligt. Ledning: Matrisen har ett egenvärde och det är λ = 5. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 3. Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till matrisen A = 4 2 3, Bestäm sedan en inverterbar matris P R och en matris D R på formen a b D R = b a så att matrisen A antar formen A = P R D R P R. 3.2 Bestäm rotationsplanet för det dynamiska systemet x n + x 2 n + x 3 n + = 2 2 2 2. x n x 2 n x 3 n Vilken geometrisk avbilning utförs på den egenvektoraxeln som befinner sig utanför rotationsplanet? 2
Svar och anvisningar till uppgifterna. a AC b BA..2 a AB, BC, CD, DE, F G, GH, HI, IJ, KL, LM, MN, NO, P Q, QR, RS, ST. b AG, BH, CI, DJ, F L, GM, HN, IO, KQ, LR, MS, NT. c AH, BI, CJ, F M, GN, HO, KR, LS, MT..3 w = v u..4 Ledning: Sätt a = OA, b = OB och c = OC. Om vektorernas ändpunkter befinner sig på en och samma linje måste det gälla att OA + tab = OC för något t. Går det att bestämma ett sådant t under givna förutsättningar? Det finns också andra lösningar..5 Ledning: Denna uppgift kan lösas såväl genom att använda sig av vektorer som genom att använda kända satser om likformighet för väl valda trianglar. Ifall man väljer vektorrepresentation kan man tex läta A, B, C, D betekna hörnen i den godtyckliga fyrhörningen ABCD och låt eventuellt dessutom O betekna någon punkt utanför fyrhörningen. Låt A, B, C, D betekna sidornas mittpunkter och representera tex vektorerna A B och C D så att de kan jämföras. Gör lika med vektorerna B C och D A. 2. AB = 7,. 2.2 a + b = 5,, a b = 3,, 3a = 3, 8, och 2a + 5b = 22, 3. 2.3 Vektorformen ges av Parameterformen ges av 2 4 + t 5 3 8 x = 2 + 5t, y = 4 3t, z = 8t. Den parameterfria formen ges av x + 2 5 = y 4 3 = z 8. 2.4 Ledning: Undersök först om linjernas riktningsvektorer är parallella. Om så är fallet, kontrollera huruvida linjerna har någon punkt gemensam. 3
2.5 En skärningspunkt existerar och ges av 5, 2. 2.6 Ledning: Välj en lämplig bas och använd sedan endera Sats 2.2 eller 2.3 beroende på om du valt att uttrycka medianerna med basvektorer i triangelns plan eller med tre basvektorer utanför triangelns plan. Basvektorerna kan i det sistnämnda fallet väljas så att de går från en referenspunkt utanför triangelns plan till vart och ett av triangelns hörn. Med denna lösning kan man även erhålla ett elegant uttryck för medinarnas skärningspunkt triangelns tyngdpunkt, uttryckt med hjälp av de tre valda basvektorerna. 2.7 3. 2.8 2 2. 2.9 b =, b =, b = 9. 2. Vinkeln mellan vektorerna ges av 2 arccos 3 7. 5 2. Den ortogonala projektionen ges av 2 53 4 6 2.2 Vektorformen ges av 6 6 + t Linjen skär koordinatplanen i punkterna 5 4, 6 2,, 5,, 22 och,, 3. 7 7 2.3 Avståndet är 6. 3 2 7 2.4 Ledning: Rita en triangel med hörn i O, A och B. Låt a = OA och b = OB. Rita in höjderna genom O och B. Dessa två höjder måste skära varandra i precis en punkt, kalla denna punkt P och sätt p = OP. Vi har nu p b a =. Varför? Hur kan de andra antagandena formuleras och vilka konsekvenser får detta? 2.5 Ledning: Det finns flera sätt att härleda denna subtraktionsformel. Eftersom vi har tillgång till två olika sätt att beräkna den skalära produkten den geometriska defiunitionen och den algebraiska formen i en ON-bas Sats 2.4, så kan vi tilllämpa dessa två representationer på ortsvektorerna cos β, sin β och cos α, sin α i enhetscirkeln. 3. Vi har att a b = 6, 9, 24 och att b a = 6, 9, 24. 4
3.2 Arean är 3 337. 3.3 Ledning: Använd de egenskaper som ges i Sats 3.4. 3.4 Avståndet ges av 5. Det finns åtminstone två sätt att erhålla detta svar, man 3 kan använda ortogonala projektioner i föregående kapitel, eller använda vektorprodukter i detta kapitel. 3.5 Det är möjligt att bestämma vinkeln mellan planen och den ges av θ = π 6. 3.6 Planets ekvation ges av 9x 3y + 5z =. 3.7 Ledning: Använd kryssprodukter på lämpligt sätt. Var noggrann med att kontrollera att vektorerna v i, i =,..., 4 verkligen pekar ut ur tetraedern! Det kan vara fördelaktigt att tejpa ihop en papperstetraeder med ett rätvinkligt hörn och i denna skriva in namnen på de olika hörnen, så att man håller reda på vad som var vad och vilka antaganden som gällde. 4. a x 2 + 4y 2 =, b x2 9 + y2 = och c 25x 2 + 36y 2 =. 4.2 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.3 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.4 Hyperbelns ekvation är xy =. 4.5 Parabelns ekvation är x 2 + 4x + y 2 + 4y 2xy + 4 = Efter variabelbytet antar parabelns ekvation formen u = v2 2 2. 5. Nästa steg: Subtrahera den tredje raden multiplicerad med tre från den fjärde raden. Efter detta delas den fjäde raden med. 5.2 Lösningen till det givna ekvationssystemet är x /2 9 x 2 /2 4 x 3 = + s x 4 x 5 /2 + t 5 3 Lösningsmängden är ett plan i R 5 genom punkten 2, 2,,, 2. 5
5.3 Lösningsmängden kan skrivas på den parametriska vektorformen Detta utgör en linje i R 5. x x 2 x 3 x 4 x 5 = 3 5 2 3 + t 2 4 5 5.4 Systemet är konsistent ifall s = 5/2. I annat fall är det inkonsistent. Ifall s = 5/2, så har systemet en fri variabel och drmed oändligt många lösningar. 5.5 Systemet är konsistent ifall h 5. I annat fall är det inkonsistent. Ifall h 5, så har systemet en entydig lösning. 5.6 Det första systemet är inkonsistent. Det andra systemet är konsistent, men lösningen är inte entydig eftersom systemet har fria variabler. 5.7 Ledning: Ställ upp ett lämpligt ekvationssystem där koefficienterna till det sökta polynomet är obekanta och lös det. Interpolationspolynomet genom de givna punkterna ges av ges av x 3 2x 2 4x + 8. 6. Varje vektor i R 2 är en linjärkombination av vektorerna u och v. Vi har dessutom att x = 4u 3v, y = 2u v, z = 7 u 2v och w = 2u 2v. 2 6.2 h =. 6.3 Matrisen B:s kolonner spänner upp R 4 och därmed har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R 4.. 6.4 Ledning: Hur många fria variabler har systemet Ax = b? 6.5 Lösningen till det homogena systemet på parametrisk vektorform ges av x x 2 x 3 = t Denna lösning utgör en linje genom origo i R 3. Det inhomogena systemet har lösningen x x 2 x 3 = 3 + t vilket är en linje som är parallell och icke-sammanfallande med den förra linjen. 3 6
6.6 De givna vektorerna är inte parallella och därmed är de linjärt oberoende. 6.7 Vektorerna är linjärt beroende om h = 9. 6.8 En icke-trivial lösning ges av x =, 3,. 7. Vektorerna T u och T v har längden och T vrider x π/3 radianer. 7.2 Matrisen för spegling i y-axeln ges i den naturliga basen ges av medan den i den andra basen ges av 7.3 Ledning: Det visar sig att T u + v T u + T v. 8. Det är omöjligt att beräkna matriserna A C och BC. Vi har DE = 3. De övriga matriserna ges av 4C 3A T = 8 9 3 4 2, C T C = 7 3 3 9 8.3 Ett sådant villkor på A är att koefficienterna ges av A = s 4 2 3 där s och t är en fria variabler, s, t R. + t, BAC = 8 8 82 86 8.4 Matriserna är till exempel inte lika när de har olika storlek. Sätt tex A T = 2. Vi har A T A = 5 och 4 2 AA T = 2 8.6 Man kan avgöra huruvida matriserna är symmetriska respektive skevsymmetriska. Matrisen A + A T är symmetrisk och A A T är skevsymmetrisk. 8.7 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 8.8 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 7
9. Inversen ges av /2 3/2 9.2 Inversen ges av 2/5 /5 /5 3/5 9.3 Lösningen är x = 2/5, x 2 = 9/5. 9.5 Inverserna till elementärmatriserna ges av 3,, 5, c 9.6 Inversen ges av a b c 9.7 Inversen existerar och ges av matrisen 2 4 2 2. Radoperationen är ersätt andra raden med andra raden plus k gånger första raden. Denna radoperation påverkar inte determinanten..2 6..3 Vektorerna är linjärt oberoende..4 deta =..5 472..6..7 Ledning: Subtrahera rad 2 från rad, ersätt rad med detta resultatat, Subtrahera rad 3 från rad 2, ersätt rad 2 med resultatet, osv. Vilken matris erhålles? Börja sedan göra kolonnoperationer i den matris du fick enligt enligt: Addera kolonn till kolonn 2, ersätt kolonn 2 med resultetet, addera den nya kolonn 2 till kolonn 3, ersätt kolonn 3 med resultatet osv. Svaret blir n n 8
.8 x =, x 2 = 5..9 s 2 och s 2. Lösningen ges i så fall av x = 6s + 4/s 2 4 och x 2 = 7s 2/s 2 4.. Inversen existerar ifall s. Den ges i så fall av s 3 s 2 s s s 2 s s 2. Inversen existerar ifall a b, b c och a c. Den ges i så fall av b ac ac b bcc b acc a abb a b + cc b a + cc a a + bb a c b c a b a. Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till vart och ett av de givna egenvärdena är en. Egenvektorn till egenvärdet λ = är, 2 T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 3 ges av 3, 4 T..2 Det finns maximalt en linjärt oberoende egenvektor och denna egenvektor ges av, T..3 Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ = 2 är 3, medan det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ 2 = 5 är en. De linjärt oberoende egenvektorerna till egenvärdet λ = 2 är,,, 2 T,,,, T,,,, T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 5 ges av,,, T..4 Vi ser genast att A,, T = 2, 2, 2 T. Detta innebär att,, T är en egenvektor hörande till egenvärdet 2. Vi ser även att t. ex. A,, T =,, T och A,, =,, T. Detta innebär att,, T och,, T är två linjärt oberoende egenvärden till egenvärdet. Därmed har vi funnit totalt tre linjärt oberoende egenvektorer..5 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 2 + λ 2 = och egenvärdena ges av λ = 2 och λ 2 =..6 Egenvärdena är 7, 2 och..7 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 3 + 5λ 2 73λ + = 2. Det är inte möjligt att diagonalisera matrisen. 9
2.2 Matrisen kan diagonaliseras med P = 4 3 och D = 2, 2.3 Matrisen kan diagonaliseras med P = 2 och D = 2 2, 2.4 Matrisen är inte diagonaliserbar. 3. Egenvärdena är λ = 2i och λ 2 = + 2i. Motsvarande egenvektorer är i, T respektive + i, T. Vi har dessutom att P R = och D R = 2 2, 3.2 Rotationsplanet är x x 2 =. Den sökta geometriska avbildningen är förstoring med en faktor 2. 2