2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1, t 2,..., t p )) är dierentierbar i P R p. å är den sammansatta funktionen f( g( t)) dierentierbar och f k t j = n l=1 f k x l x l t j. Exempel f( x) = A x; g( t) = B t f k x l g l t j = a kl = b lj f ( g(t)) = AB t f k t j = l f k x l g l t j = l a kl b lj 1

Pass 5 2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2 f x y = x ( f y C k () - mängden av alla funktioner som har alla partiella derivator till och med ordning k och derivatorna är kontinuerliga funktioner i. ) f C 2 2 f x y = 2 f y x Systemet har en lösning omm F x = P (x, y) F y = Q(x, y) P y = Q x 2

Pass 6 2.4 Gradient och riktningsderivata Gradienten av f i punkten x är grad f( x) f( x) = R n - en öppen sammanhängande mängd f - C 1 -funktion i ; grad f = 0 i f = const i. ( f ( x), f ( x),..., f ) ( x). x 1 x 2 x n erivatan av f( x) i punkten a med avseende på riktningen v, v = 1 är f v( a) f( a + t v) f( a) = lim. t 0 t Gradienten grad f( a) pekar i den riktningen i vilken funktionen f växer snabbast i punkten a f v( a) grad f( a) 3

2.6 Lokala undersökningar Taylors formel (Taylors formel för en funktion av två variabler) Om funktionen f C 3 i en omgivning av (a, b), då Pass 7 f(a + h, b + k) = f(a, b) + f x(a, b)h + f y(a, b)k + 1 2 där B(h, k) är en begränsad funktion. ( f xx(a, b)h 2 + 2f xy(a, b)hk + f yy(a, b)k 2) +( h 2 + k 2 ) 3 B(h, k), (Taylors formel för en funktion av n variabler) Om funktionen f C 3 i en omgivning av a, då där B( h) är en begränsad funktion. f( a + h) = f( a) + n j=1 f x j ( a)h j + 1 2 n i,j=1 f x ix j ( a)h i h j + h 3 B( h), Lokala extrempunkter Punkten a är en lokal maximipunkt för f( x) omm det nns δ > 0 sådant att x a < δ f( x) f( a). Punkten a är en sträng lokal maximipunkt för f( x) omm det nns δ > 0 sådant att } x a < δ f( x) < f( a). x a (Nödvändiga villkor) Punkten a är en lokal maximipunkt (minimipunkt) för f( x) endast om f x j ( a) = 0, j = 1, 2,..., n. Punkten a är en stationär punkt för f omm f x j ( a) = 0, j = 1, 2,..., n. 4

en kvadratiska formen Q(h, k) = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2 kallas för 1. positivt denit omm (h, k) (0, 0) Q(h, k) > 0; 2. negativt denit omm (h, k) (0, 0) Q(h, k) < 0; 3. positivt semidenit omm (h, k) (0, 0) Q(h, k) 0; 4. negativt semidenit omm (h, k) (0, 0) Q(h, k) 0. 5. indenit omm Q(h, k) antar såväl positiva som negativa värden. (Tillräckliga villkor) Antag att a är en stationär punkt för f. Betrakta den kvadratiska formen Q( h) = n i,j=1 f x j,x j ( a)h i h j. Q( h) positivt definit a minimipunkt; Q( h) negativt definit a maximipunkt; Q( h) indefinit a varken minimi eller maximipunkt. 5

Pass 10 3. ierentialkalkyl för vektorvärda funktioner Kurvor Tangentvektor Tangenten i punkten x(t 0 ) x = x(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) R n τ = x x(t + h) x(t) (t) = lim. h 0 h y(t) = x(t 0 ) + t x (t 0 ) Längden L = β α x 1 (t)2 + x 2 (t)2 + x 3 (t)2 dt Ytor Normalvektorn Funktionalmatris x = x(s, t) = (x 1 (s, t), x 2 (s, t), x 3 (s, t)) R 3 n = x s x t y = f( x) : R n R m Linearisering ( f j x k ) = f 1 x 1 f 1 f m x 1 f 1 x n x 2............... f m x 2... f m x n f( x) f( a) + ( f j x k )( x a) Funktionaldeterminant Inversa funktionssatsen y = f( x) är en C 1 -funktion J( x) d( f) d( x) = det( f j x k )( x) 6

det( fj x k )( a) 0 å nns öppna omgivningar U a och V b = f( a) sådana att avbildningen f : U V är inverterbar och f 1 : V U är en C 1 funktion. Implicita funktioner F (x, y) - C 1 -funktion F (a, b) = c F y (a, b) 0 Ekvationen F (x, y) = c denierar en C 1 -funktion y = f(x) i en omgivning av punkten x = a och F (a, b) f (x) = x. F y (a, b) 7

Pass 11 6. ubbelintegraler Area av en rektangel = {(x, y) : a x b, c} y d µ( ) = (b a)(d c) En mängd kallas kvadrerbar om man för varje tal ɛ > 0 kan hitta två mängder av ändligt många rektanglar {d i } och { k } sådana att d i k och k µ( k ) i µ(d i ) < ɛ; Integral av trappfunktioner δ ij = {(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j } T (x, y) = c i j d (x, y) ij T är en trappfunktion. T (x, y)dxdy = c ij µ( ij ). i,j Integrationsreglerna 1. αf (x, y)dxdy = α F (x, y)dxdy 2. (F (x, y) + G(x, y))dxdy = F (x, y)dxdy + G(x, y)dxdy 3. F G F (x, y)dxdy G(x, y)dxdy 4. F (x, y)dxdy F (x, y) dxdy 5. 1 2 F (x, y)dxdy = 1 F (x, y)dxdy+ 2 F (x, y)dxdy, 1 2 = 6. {a x b,c y d} F (x, y)dxdy = ( b ) d a c F (x, y)dy dx Funktionen F är integrerbar över omm det till varje tal ɛ > 0 nns trappfunktioner t och T sådana att t F T och T dxdy tdxdy < ɛ. et entydigt bestämda talet λ tdxdy λ kallas integral av F över. T dxdy 8

6.4 Variabelbyte i dubbelintegraler Antag att: 1) E{ och är två begränsade kvadrerbara områden x = g(u, v) 2) är en bijektiv avbildning mellan E och ; y = h(u, v) d(x, y) 3) J(u, v) = d(u, v) 0 4) f är en integrerbar funktion i f(x, y)dxdy = E f(g(u, v), h(u, v)) J(u, v) dudv 6.5 Integration med hjälp av nivåkurvor Hemma!!! 6.6 Generaliserade dubbelintegraler Antag att f(x, y) 0 I = a) f är obegränsad: f(x 0, y 0 ) = Ω f(x, y)dxdy Pass 12 Ω Ω r = {(x, y) Ω : (x x 0, y y 0 ) > r} I r = f(x, y)dxdy Ω r Integralen Ω f(x, y)dxdy är konvergent omm I r har ett gränsvärde då r 0 I = lim f(x, y)dxdy. r 0 Ω r b) arean av Ω är oändlig Betrakta Ω R = {(x, y) Ω : (x, y) < R} o.s.v. I = lim f(x, y)dxdy. R Ω R Jämförelsesats 1. f, g lokalt integrerbara funktioner 2. 0 f(x, y) g(x, y) 3. g(x, y)dxdy är konvergent Ω Ω f(x, y)dxdy konvergerar 9

7.1 Trippelintegraler Metoderna att beräkna trippelintegraler 1) itererad integration Pass 13 = {(x, y, z) : (x, y) E, α(x, y) z β(x, y)} f(x, y, z)dxdydz = 2) variabelsubstitution f( x)dx 1 dx 2 dx 3 = J( u) = det E ( ) β(x,y) f(x, y, z)dz dxdy z=α(x,y) E u 1 u 1 u 1 x 1 x 2 x 3 u 2 u 2 u 2 x 1 x 2 x 3 u 3 u 3 u 3 x 1 x 2 x 3 8.1 Volymberäkningar f( g( u)) J( u) du 1 du 2 du 3. 10

9 Vektoranalys i planet 9.1 Kurvintegraler 1. Ω - en öppen mängd i planet; 2. γ - en orienterad C 1 -kurva i ; 3. F ( r) = (P (x, y), Q(x, y)) - kontinuerligt vektorfält i Ω kurvintegralen av fältet F längs kurvan γ är γ F d r = β α F ( r(t)) r (t)dt β α Pass 15 [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt, där r = r(t) = (x(t), y(t)), α t β är en parameterisering av kurvan γ. F d r = dx + Qdy γ γ 9.2 Greens formel 1. Ω - en öppen mängd i planet; 2. P, Q - två C 1 -funktioner i Ω; 3. en kompakt delmängd av Ω; 4. - randen till, positivt orienterad, utgöres av C 1 -kurvor P dx + Qdy = ( Q x P ) dxdy. y Pass 16 Areabestämning: xdy = ydx = dxdy = Arean av 11