KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006

Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2................................. 7 Uppgift 3................................. 8 Uppgift 4................................. 9 Uppgift 5................................. 10 Ekvationer med absolutbelopp........................ 11................................. 11 Uppgift 2................................. 12 Uppgift 3................................. 13 Olikheter med absolutbelopp......................... 14 Problem 1................................. 14 Problem 2................................. 15 Avståndet mellan två punkter i rummet................... 16................................. 16 Längden (normen) av en vektor....................... 17................................. 17 Normerad vektor................................ 18................................. 18 Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter............. 19................................. 19 Uppgift 2................................. 20 Uppgift 3................................. 21 Visar om två ekvationer anger samma linje................. 22................................. 22 Linjens ekvation från parameterfri till parameterform............ 23 3

INNEHÅLL................................. 23 Bestäm skalärprodukten............................ 24................................. 24 Bestäm vinkeln mellan två vektorer..................... 25................................. 25 Avståndet från en punkt till en linje..................... 26................................. 26 Formel för: Avståndet från en punkt till en linje............... 27................................. 27 Bestäm projektionen.............................. 28................................. 28 Uppgift 2................................. 29 Uppgift 3................................. 30 Vektorprodukt................................. 31................................. 31 Linje genom två punkter skär plan...................... 32................................. 32 Planets ekvation för tre givna punkter.................... 33................................. 33 Skärningen mellan två linjer.......................... 34................................. 34 Planets ekvation................................ 35. Normalvektor och punkt givna............... 35 Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna.... 36 Avstånd från punkt till plan.......................... 37................................. 37 Uppgift 2. Alternativ........................... 38 Planets ekvation på parameterform...................... 39................................. 39 Ligger punkten på linjen?........................... 40................................. 40 Bestäm arean till parallellogram........................ 41 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL................................. 41 Bestäm skärningen mellan två plan...................... 42................................. 42 Bestäm vinkeln mellan två plan........................ 43................................. 43 Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan................. 44................................. 44 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

OLIKHETER Olikheter Lös olikheten x 2 x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = 3 och x 2 = 2 vilket leder fram till faktoriseringen (x 3)(x + 2) < 0. 2 Svar: 2 < x < 3 x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x 3 0 + x + 2 0 + + + (x 3)(x + 2) + 0 0 + Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Lös olikheten 4 x x + 2 0 1 Ställ upp tabell för teckenstudium 2 Utläs svaret ur tabellen 1 x < 2 x = 2 2 < x < 4 x = 4 x > 4 4 x + + + 0 x + 2 0 + + + 4 x x+2 odef + 0 Svar: 2 < x 4 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

OLIKHETER Uppgift 3 Lös olikheten x 2 + 2x + 1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x + 1) 2 (första kvadreringsregeln). 2 Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x + 1 0 + + + x + 1 0 + + + x 1 0 + (x+1) 2 x 1 0 odef + Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 Lös olikheten x 2 2x 3 x 2 + 2x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren 2 Faktorisera nämnaren 3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 3 vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1)(x 3). 2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x 2)(x + 4). 3 Vi kan nu skriva om olikheten (x + 1)(x 3) (x 2)(x + 4) 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x + 4 0 + + + + + + + x + 1 0 + + + + + x 2 0 + + + x 3 0 + (x+1)(x 3) (x 2)(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < 2 eller x 3 (se grafen nedan) 10 8 6 4 2-4 -2-2 -4-6 -8-10 2 4 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

OLIKHETER Uppgift 5 Lös olikheten x + 1 x 3 3 1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 x + 1 x 3 3; x + 1 x 3 3 0; x + 1 3(x 3) 0; x 3 x 3 10 2x x 3 0 2 x < 3 x = 3 3 < x < 5 x = 5 x > 5 10 2x + + + 0 x 3 0 + + + 10 2x x 3 odef + 0 Svar: 3 < x 5 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

INNEHÅLL Ekvationer med absolutbelopp Lös ekvationen x + 3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. 2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = 3 är x + 3 = 0. 2,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x + 3) = 5 x = 8 Ja x 3 x + 3 = 5 x = 2 Ja Svar: x 1 = 8 och x 2 = 2 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Uppgift 2 Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 2 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. 3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 2 De två ekvationerna me gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6) x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Håkan Strömberg 12 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Lös ekvationen x + 1 2 4 x + 2x 3 = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1,2 De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x 2 = 3 2 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < 3 2 3 2 x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 2 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x + 1) 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 2 Ja 2 x 4 (x + 1) + 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x 2 = 2 (se grafen nedan) 15 10 5-10 -5 5 10-5 Håkan Strömberg 13 KTH Syd

OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP Olikheter med absolutbelopp Problem 1 Lös olikheten x 2 + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x 2 = 0 och det x 2 för vilket x 4 = 0 2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x 2 och ett då x > x 2. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. 1 x 1 = 2 och x 2 = 4 2 Intervallen är x < 2, 2 x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 2 (x 2) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < 2 2 x < 4 (x 2) (x 4) < 8 Alltid 2 x < 4 x > 4 (x 2) + (x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

INNEHÅLL Problem 2 Lös olikheten 2x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x 2 = 2 och x 3 = 5 2 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < 2 2 x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (2x 4) x < (5 x) x > 1 2 1 2 < x < 0 0 x < 2 (2x 4) + x < (5 x) Alltid 0 x < 2 2 x < 5 (2x 4) + x < (5 x) x < 9 4 2 x < 9 4 x 5 (2x 4) + x < (5 x) x < 1 2 Inget x Svar: 1 2 < x < 9 4 Håkan Strömberg 15 KTH Syd

AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET Avståndet mellan två punkter i rummet Endast som en del i ett större problem. Bestäm avståndet mellan punkterna P 1 = (5, 9, 7) och P 2 = (1, 2, 3) 1 Vi använder direkt avståndsformeln 1 P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 P 1 P 2 = (5 1) 2 + (9 2) 2 + (7 3) 2 = 16 + 49 + 16 = 81 = 9 Svar : Avståndet mellan punkterna är 9 Håkan Strömberg 16 KTH Syd

INNEHÅLL Längden (normen) av en vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm längden av vektorn v = (6, 3, 2) 1 Vi använder följande formel v = v 2 1 + v2 2 + v2 3 1 v = 6 2 + 3 2 + 2 2 = 36 + 9 + 4 = 49 = 7 Håkan Strömberg 17 KTH Syd

NORMERAD VEKTOR Normerad vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm den normerade vektorn r till 1 Bestäm längden av vektorn v v = (4, 8, 1) 2 När vi dividerar varje komposant med v får vi den normerade vektorn r. ( v1 r = v, v 2 v, v ) 3 v 1 2 Svar: r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 v = 4 2 + 8 2 + 1 1 = 16 + 64 + 1 = 9 r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 Håkan Strömberg 18 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 1 2 r väljs till P 1 P 2 P1 P 2 = (9, 4, 3) (1, 4, 2) = (8, 0, 1) 3 x = 1 + 8t y = 4 + 0t z = 2 + 1t Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten och två sätt av bestämma riktningsvektorn. Svar: x = 1 + 8t y = 4 z = 2 + t Håkan Strömberg 19 KTH Syd

BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER Uppgift 2 Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 2 2 r = P 2 P 1 = ( 8, 0, 1) 3 P 2 + P 2 P 1 t = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Svar: (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Håkan Strömberg 20 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna P 1 = (6, 5, 4) och P 2 = (1, 2, 3). 1 Välj en av de givna punkterna till punkten P 0 1 Bestäm en riktningsvektor r = (r 1, r 2, r 3 ) 2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form x x 0 r 1 = y y 0 r 2 = z z 0 r 3 1 Vi väljer punkten P 1 2 r = (6, 5, 4) (1, 2, 3) = (5, 3, 1) 3 Med hjälp av formeln får vi nu x 6 5 = y 5 3 = z 4 1 Svar: x 6 5 = y 5 3 = z 4 Håkan Strömberg 21 KTH Syd

VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE Visar om två ekvationer anger samma linje Är de två linjerna och l 1 = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t l 2 = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t identiska? 1 P 1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l 1 2 Ta reda på om P 1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l 2. Om så vet vi att P 1 även ligger på l 2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är identiska. 3 P 2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l 2 4 Ta på samma sätt reda på om P 2 ligger på l 1. Om så är fallet vet vi att P 2 ligger på l 1. 5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska. 1 P 1 = (9, 4, 3) 2 Sök t i 3 P 2 = (1, 4, 2) 2 Sök t i (9, 4, 3) = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t (8, 0, 1) = (16, 0, 2)t t = 1 2 (1, 4, 2) = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t ( 8, 0, 1) = ( 8, 0, 1)t t = 1 Svar: De två linjerna innehåller båda punkterna P 1 och P 2 vilket betyder att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 22 KTH Syd

INNEHÅLL Linjens ekvation från parameterfri till parameterform Överför linjens ekvation till parameterform x 3 2 = y + 2 = z 3 1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z Svar: 1 x 3 2 = t x = 3 + 2t y + 2 = t y = 2 + t z 3 = t z = 0 + 3t x = 3 + 2t y = 2 + t z = 3t Håkan Strömberg 23 KTH Syd

BESTÄM SKALÄRPRODUKTEN Bestäm skalärprodukten Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) 1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna v = (v 1, v 2, v 3 ) och u = (u 1, u 2, u 3 ) v u = (v 1, v 2, v 3 ) (u 1, u 2, u 3 ) = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 1 Vi har vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) och får (2, 4, 3) (1, 2, 5) = 2 1 + 4 ( 2) + 3 5 = 2 8 + 15 = 9 Svar: v u = 9 Håkan Strömberg 24 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två vektorer Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = (0, 2, 1) och u = (5, 1, 5) 1 Bestäm v och u 2 Bestäm v u 3 Använd sedan formeln för att bestämma cosθ 4 I sista steget har vi att bestämma cosθ = θ = arccos v u v u ( ) v u v u 1 v = 0 2 + ( 2) 2 + 1 2 = 5 u = 5 2 + ( 1) 2 + ( 5) 2 = 51 2 3 4 v u = (0, 2, 1) (5, 1, 5) = 0 5 + ( 2) ( 1) + 1 ( 5) = 3 3 cosθ = 5 51 ( ) 3 θ = arccos 5 51 ( ) 3 Svar: θ = arccos 5 51 Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra att kunna följande samband ( ) 1 arccos = π 2 3 = 60 arccos(0) = π 2 = 90 ( ) 3 arccos = π ( ) 1 2 6 = 30 arccos 2 = π 4 = 45 Håkan Strömberg 25 KTH Syd

AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 1 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 Bilda en vektor v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P 1. 2 Ta fram en riktningsvektor r till linjen l. 3 Vektorerna v och r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att v r = 0. Ställ upp detta uttryck. 4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas. 5 Rötterna till ekvationen ger punkten P. 6 Då vi har både P 1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas 1 P = (10 4t, 5 t, 1 + t) är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta vektorn blir v = PP1 = (10 4t, 5 t, 1 + t)(3, 7, 9) = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) 2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P 2 = (10, 5, 1) och P 3 = (6, 4, 0) och bildar r = (10, 5, 1)(6, 4, 0) = ( 4, 1, 1) 3 Vi bestämmer skalärprodukten v r v r = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) ( 4, 1, 1) = ( 4)( 7 + 4t) + ( 1)(2 + t) + 1(10 t) = 28 16t 2 t + 10 t = 36 18t 4 Vi löser nu i huvudet ekvationen v r = 0, som alltså är 36 18t = 0 med roten t = 2 5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 4 2, 5 2, 1 + 2) = (2, 3, 1) 6 Avståndet mellan P och P1 är (2 3)2 + (3 7) 2 + (1 9) 2 = 1 + 16 + 64 = 9 Svar: Det sökta avståndet är 9 Håkan Strömberg 26 KTH Syd

INNEHÅLL Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 0 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 För den givna punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och en linje genom punkten P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) med riktningsvektorn r = (a, b, c) får vi direkt avståndet genom formeln y 2 0 y 1 z 0 z 1 b c + z 2 0 z 1 x 0 x 1 c a + x 2 0 x 1 y 0 y 1 a b a 2 + b 2 + c 2 1 Vi sätter in talen för r = ( 4, 1, 1), P 1 = (10, 5, 1) och P 0 = (3, 7, 9) 7 5 9 ( 1) 2 2 1 1 + 9 ( 1) 3 10 1 4 + 3 10 7 5 4 1 ( 4) 2 + ( 1) 2 + 1 2 2 10 1 1 Svar: Det sökta avståndet är 9 2 + 10 7 1 4 2 + 7 2 4 1 ( 4) 2 + ( 1) 2 + 1 2 12 2 + 33 2 + 15 2 = 81 = 9 18 I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och P 0 = (x 0, y 0 ) vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret d = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2 2 2 Håkan Strömberg 27 KTH Syd

BESTÄM PROJEKTIONEN Bestäm projektionen Bestäm den vinkelräta projektionen av u = (14, 21, 7) i riktningen v = (2, 6, 3) 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r) r 1a v = 2 2 + 6 2 + 3 2 = 49 = 7 1b Svar: 2 Beräkna 3 Beräkna ( u r) r ( 38 7, 114 7, 57 ) 7 r = u r = (14, 21, 7) ( 2 7, 6 7, 3 ) 7 ( 2 7, 6 7, 3 ) = 4 + 18 3 = 19 7 ( 2 19 7, 6 7, 3 ) ( 38 = 7 7, 114 7, 57 ) 7 Håkan Strömberg 28 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Lösning 1 w har samma riktning som u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna där för w som en faktor k gånger u, alltså som w = k u. 2 w + p = v leder till p = v w. Vi kan alltså uttrycka p med hjälp av w och v. 3 p ska vara vinkelrät mot w och då är p w = 0. En ekvation med k som obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera u med för att få w 1 w = k u = k(2, 1, 1) = (2k, k, k) 2 p = v w = (1, 4, 3) (2k, k, k) = (1 2k, 4 k, 3 k) 3 w p = 0 ger nu (1 2k, 4 k, 3 k) (2k, k, k) = 0 2k(1 2k) + k(4 k) + k( 3 k) = 0 3k(1 2k) = 0 k 1 = 1 2 k 1 = 0 Nu har vi k och kan skriva w = ( 1, 1 2, 1 ) 2 Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn (0, 0, 0) (nollvektorn) är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv!) Håkan Strömberg 29 KTH Syd

BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 3 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Använd direkt formeln w = v u u 2 u w = (1, 4, 3) (2, 1, 1) 2 1 + 1 2 + 1 2 (2, 1, 1) w = 1 2 + 4 1 + ( 3)1 6 w = 3 (2, 1, 1) 6 w = ( 1, 1, ) 1 2 2 (2, 1, 1) Håkan Strömberg 30 KTH Syd

INNEHÅLL Vektorprodukt Bestäm vektorprodukten av vektorerna v = (1, 2, 3) och u = (1, 1, 0) 1 Ställ upp determinanten 2 Beräkna determinanten 1 Vi har de tre enhetsvektorerna e x = (1, 0, 0) e y = (0, 1, 0) e x = (0, 0, 1) och får determinanten v u = (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) 1 2 3 1 1 0 Svar: ( 3, 3, 1) (1, 0, 0) 2 0 (0, 1, 0) 1 0 + (0, 0, 1) 1 1 (0, 0, 1) 2 1 + (0, 1, 0) 3 1 (1, 0, 0) 3 1 = (0, 0, 1) (0, 0, 2) + (0, 3, 0) (3, 0, 0) = (0 0 + 0 3, 0 0 + 3 0, 1 2 + 0 0) = ( 3, 3, 1) Håkan Strömberg 31 KTH Syd

LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN Linje genom två punkter skär plan Givet två punkter P 1 = (1, 2, 3) och P 2 = (4, 1, 6). Var skär linjen, genom dessa punkter, planet 2x + 3y + 4z = 5? 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 1 På vektorform får vi l = (1, 2, 3)+t (4, 1, 6)(1, 2, 3) som i parameterform ger x = 1 3t y = 2 + 3t z = 3 3t 2 3 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2 6t + 6 + 9t + 12 12t = 5 20 9t = 5 t = 5 3 4 x = 1 3 5 3 = 4 y = 2 + 3 5 3 = 7 z = 3 3 5 3 2 Svar: Den eftersökta punkten är ( 4, 7, 2) Håkan Strömberg 32 KTH Syd

INNEHÅLL Planets ekvation för tre givna punkter Tre punkter P 1 = (1, 3, 0), P 2 = (3, 2, 1) och P 3 = (3, 3, 2) är givna. Bestäm planets ekvation på normalform. 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna. 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 1 v = P 2 P 1 = (1, 3, 0) (3, 2, 1) = ( 2, 1, 1) och u = P 3 P 1 = (1, 3, 0) (3, 3, 2) = ( 2, 0, 2) 2 3 n = u v = e x e y e z 2 1 1 2 0 2 = 2 e x 2 e y + 2 e z = ( 2, 2, 2) 2x 2y + 2z + d = 0 när vi till exempel sätter in punkten P 1 = (1, 3, 0) får vi får vi d = 8 2 1 2 3 + 2 0 + d = 0 Svar: 2x 2y + 2z + 8 = 0 eller varför inte 2x + 2y 2z = 8 Håkan Strömberg 33 KTH Syd

SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER Skärningen mellan två linjer Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna l 1 = (1, 2, 3) + (4, 5, 6)t och l 2 = ( 1, 4, 4) + (2, 7, 7)t 1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform 2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna! 3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta 4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t 5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles skär verkligen ekvationerna varandra. 6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra för att erhålla skärningspunkten. 1 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2t, 4 + 7t, 4 + 7t) 2 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2s, 4 + 7s, 4 + 7s) 3 1 + 4t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 3 + 6t = 4 + 7s 4 { 1 + 4t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 5 ger = 1 och t = 1 (behöver förstås inte vara lika) 3 + 6( 1) = 4 + 7( 1) 3 = 3 Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt. 6 Vi använder t = 1 i l 1 och får (x, y, z) = (1 + 4( 1), 2 + 5( 1), 3 + 6( 1)) = ( 3, 3, 3) Svar: Skärningspunkten ( 3, 3, 3) Håkan Strömberg 34 KTH Syd

INNEHÅLL Planets ekvation. Normalvektor och punkt givna Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor n = (1, 2, 3) till planet och en punkt P 0 = (4, 5, 6) som ligger i planet 1 Använd formeln med normalvektorn n = (A, B, C) och P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 2 Förenkla uttrycket för att nå fram till 1 Insatt i formeln får vi A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Ax + By + CZ = D 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 2 Förenkling 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 x 4 + 2y 10 + 3z 18 = 0 x + 2y + 3z = 32 Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32 Håkan Strömberg 35 KTH Syd

PLANETS EKVATION Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2) och riktningsvektorerna v = (3, 1, 2) och u = (2, 6, 4) är givna. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och riktningsvektorerna r 1 = (a 1, b 1, c 1 ) och r 2 = (a 2, b 2, c 2 ) får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 1 x 1 y 2 z 2 3 1 2 2 6 4 = (x 1) 1 4 + (y 2) 2 2 + (z 2) 3 6 (x 1) 2 6 (y 2) 3 4 (z 2) 1 2 = 8(x 1) 8(y 2) + 16(z 2) = 8x + 8 8y + 16 + 16z 32 = 8x 8y + 16z 8 Svar: Ekvationen kan skrivas x y + 2z = 1 Den här metoden kan användas även för 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna. Håkan Strömberg 36 KTH Syd

INNEHÅLL Avstånd från punkt till plan Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Bestäm normalvektorn n till planet 2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P 1 och har riktning n 3 Bestäm linjens skärningpunkt P 2 med planet genom att ersätta x, y och z med motsvarande uttryck i t. 4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten 5 Bestäm avståndet mellan P 1 och P 2 1 Normalvektorn är n = (2, 3, 4) 2 Den sökta linjen l har ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 4) + (2, 3, 4)t Vi skriver den på parameterfri form x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = 4 + 4t 3 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + 4(4 + 4t) + 5 = 0 2 + 4t + 6 + 9t + 16 + 16t + 5 = 0 29t + 29 = 0 t = 1 4 Skärningspunkten P 2 = ( 1, 1, 0) 5 Avståndet mellan P 1 och P 2 är x = 1 + 2( 1) = 1 y = 2 + 3( 1) = 1 z = 4 + 4( 1) = 0 d = (1 ( 1)) 2 + (2 ( 1)) 2 + (4 0) 2 = 4 + 9 + 16 = 29 Svar: Avståndet är 29 Håkan Strömberg 37 KTH Syd

AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN Uppgift 2. Alternativ Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0 kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 1 d = 2 1 + 3 2 + 4 4 + 5 = 29 22 + 3 2 + 4 2 = 29 29 Svar: 29 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

INNEHÅLL Planets ekvation på parameterform Tre punkter är givna P 1 = (1, 2, 3), P 2 = (4, 5, 6) och P 3 = (7, 7, 7); Skriv planets ekvation på parameterform. 1 Bilda två vektorer, r 1 och r 2, med hjälp av de tre punkterna. 2 Välj ut en av de tre punkterna 3 Ställ upp planets ekvation 1 r 1 = P 1 P 3 = (7, 7, 7) (1, 2, 3) = (6, 5, 4) r 2 = P 1 P 2 = (7, 7, 7) (4, 5, 6) = (3, 2, 1) 2 Vi väljer punkten P 2 3 x = 4 + 6t + 3s y = 5 + 5t + 2s z = 6 + 4t + 1s För varje val av s och t får vi en punkt i planet. Håkan Strömberg 39 KTH Syd

LIGGER PUNKTEN PÅ LINJEN? Ligger punkten på linjen? Ta reda på om punkten P = (1, 2, 4) ligger på linjen x = 5 + 8t y = 5 + 6t z = 6 + 4t 1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen. 2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen 1 1 = 5 + 8t ger t = 1 2 2 5 + 6( 1) = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt. 6 + 2 4( 1 ) = 4, så 2 även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen. Svar: Punkten ligger på linjen Håkan Strömberg 40 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm arean till parallellogram Bestäm arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna v = (8, 2, 7) och u = (7, 8, 3). 1 Denna area A = v u. Bestäm först w = v u 2 och därefter w 1 Uppställningen av v u ger e x e y e z w = v u = 8 2 7 7 8 3 = = 2 3 e x + 7 7 e y + 8 8 e z 7 8 e x 8 3 e y 2 7 e z = (6 56) e x + (49 24) e y + (64 14) e z = ( 50, 25, 50) 2 A = ( 50) 2 + 25 2 + 50 2 = 5625 = 75 Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e. Håkan Strömberg 41 KTH Syd

BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN Bestäm skärningen mellan två plan Bestäm skärningen mellan planen 4y x z = 3 och 3x 11y + 3z = 6. 1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och y. { A1 x + B 1 y + C 1 t = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 t = D 2 2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen 1 { x + 4y t = 3 3x 11y + 3t = 6 2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y 3 t. Detta resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y 3(4y 3 t) 11y + 3t = 6 12y 9 3t 11y + 3t = 6 y = 15 y = 15 insatt i x = 4y 3 t ger x = 57 t. Vi har nu x, y och z uttryckta i t och kan skriva linjens ekvation x = 57 1 t = 57 t y = 15 + 0 t = 15 z = 0 + 1 t = t Svar: x = 57 t y = 15 z = t Håkan Strömberg 42 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två plan Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x + 3y 8z = 3 och 9x + 4y + z = 8. 1 Ta fram normalvektorerna n 1 och n 2 2 Beräkna normalvektorernas norm, n 1 och n 2. 3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln. ( ) n1 n 2 θ = arccos n 1 n 2 1 n 1 = (5, 3, 8) och n 1 = (9, 4, 1). 2 n 1 = 5 2 + 3 2 + ( 8) 2 = 98 och n 2 = 9 2 + 4 2 + 1 2 = 98 3 θ = arccos Svar: Vinkeln mellan planen är 60 (5, 3, 8) (9, 4, 1) 45 + 12 8 = arccos = arccos 1 98 98 98 2 = π 3 Håkan Strömberg 43 KTH Syd

BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen x = 3 + 2t y = 4 + t z = 9 + t 1 Ta fram en normalvektor n till planet 2 Bestäm längden hos n 3 Ta fram en riktningsvektor r till linjen 4 Bestäm längden hos r 5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan r och n. ( ) n r α = arccos n r 6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 α 1 n = (5, 3, 8) 2 n = 5 2 + 3 2 + 8 2 = 98 = 7 2 3 r = (2, 1, 1) 4 r = 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6 5 ( ) (5, 3, 8) (2, 1, 1) 21 α = arccos = arccos 98 6 14 3 = arccos 3 3 2 3 = arccos 2 = π 6 6 θ = π 2 π 6 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60 Håkan Strömberg 44 KTH Syd