Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2014-03-17 Sal (1) TER2,TER3 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 08:00 13:00 Kurskod TSRT19 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Inger Erlander Klein (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 013-281665,0730-916 919 Besöker salen cirka kl. 09:00, 10:30 och 12:15 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.
TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK SAL: TER2,TER3 TID: 2014-03-17 kl. 08:00 13:00 KURS: TSRT19 Reglerteknik PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Inger Erlander Klein, tel. 013-281665,0730-916 919 BESÖKER SALEN: cirka kl. 09:00, 10:30 och 12:15 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2014-04-09, kl. 12.30 13.00 i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
1. (a) Låt Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = 3 s + 5 Är systemet stabilt? Antag att u(t) = sin(2t). Vad blir y(t) då alla transienter har dött ut? (3p) (b) Betrakta ett system Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = 3e 6s s + 3 Tag fram ett explicit utryck för systemets stegsvar. (c) Betrakta stegsvaren i Figur 1. Para ihop varje stegsvar med en av nedanstående överföringsfunktioner. (5p) Figur 1: Stegsvar 1. G(s) = 0.5 s + 0.5 3. G(s) = 2s + 2 s 2 + 2s + 2 5. G(s) = 0.1 s + 0.1 2. G(s) = 0.5 s 2 0.1s + 1 4. G(s) = e s 2 s 2 + 2s + 2 6. G(s) = e s 2 s 2 + s + 2 2
2. Bestrakta ett system Y (s) = G(s)U(s). I figur 2 ges bodediagrammet för G(s). (a) Antag att systemet styrs med en P-regulator U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) där F (s) = K. Hur stor kan K väljas utan att det återkopplade systemet blir instabilt? (1p) (b) Innehåller det öppna systemet G(s) någon integrator? Motivera ditt svar! (c) Tag fram en regulator U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) där F (s) = K τ Ds + 1 τ I s + 1 βτ D s + 1 τ I s + γ så att det återkopplade systemet uppfyller följande krav: Dubbelt så snabbt som då F (s) = 1. Inte större översläng än då F (s) = 1 Det stationära felet är 0 då referenssignalen är ett steg. (7p) 3
Bode Diagram Gm = 23.6 db (at 15.2 rad/s), Pm = 99.4 deg (at 2.01 rad/s) 50 0 50 100 150 0 90 180 270 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/s) Phase (deg) Magnitude (db) Figur 2: Bodediagram i uppgift 2 4
3. NASA har skickat flera farkoster som har landat på Mars och skickat data hem till jorden. En viktig del i ett sådant uppdrag är banföljningen. Farkosten ska kunna följa en linje fram till en tidigare kartlagd punkt där det t.ex. finns en sten som man vill undersöka. Vi ska här betrakta förflyttningen i y-led (framåt i färdriktningen). (a) Betrakta förflyttningen i y-led (framåt i färdriktningen). I figur 3 finns utsignalen och styrsignalen (pålagd effekt) när roboten styrs med en viss regulator och referenssignalen är ett steg med amplitud 1 cm. Vad blir det maximala värdet på styrsignalen om roboten istället ska förflytta sig 5 cm (med samma regulator)? (1p) 1.4 Step Response 0.2 Control signal 1.2 0 1 0.2 y(t) (cm) 0.8 0.6 u(t) (W) 0.4 0.6 0.4 0.8 0.2 1 0 0 50 100 150 Time (sec) (a) Stegsvar 1.2 0 50 100 150 Time (sec) (b) Styrsignal Figur 3: Stegsvar och styrsignal till uppgift 3. (b) Betrakta förflyttningen i y-led (framåt i färdriktningen). Styrsignal är pålagd effekt. NASA har ställt upp följande krav på regulatorn: 1. Det återkopplade systemet ska inte ha någon översläng. 2. Det stationära felet ska vara noll då referenssignalen är ett steg. 3. Det återkopplade systemet ska vara så snabbt som möjligt. 4. Effekten som genereras av solpanelerna måste räcka. Diskutera kraven. Vilket/vilka är viktigast och varför? 5
(c) Positionen hos farkosten beror av pålagd effekt enligt mÿ(t) + αẏ(t) = u(t) där y(t) är positionen, u(t) är pålagd effekt, m är farkostens massa och α beror på friktionen. Mätningen av positionen görs med en givare som har överföringsfunktion G m (s) = 1 s/2 + 1 dvs Y m (s) = G m (s)y (s). Antag att m = 10 och α = 1 och att positionen styrs med hjälp av en P-regulator u(t) = K(r(t) y m (t)). Rita rotort för hur det återkopplade systemets poler beror av K > 0. Hur beror det återkopplade systemets egenskaper kvalitativt (stabilitet, snabbhet, oscillationer) på K > 0? Kan man välja K > 0 så att det återkopplade systemet är stabilt och stegsvaret saknar oscillationer? (5p) (d) Betrakta åter P-regulatorn i uppgift c. Antag att roboten ska förflytta sig 5 cm dvs referenssignalen är ett steg med amplitud 5 cm. Vad blir robotens position stationärt? 6
4. Betrakta marsfarkosten i uppgift 3. Antag att givarens inverkan kan försummas, d v s att G m (s) = 1. En tillståndsbeskrivning för systemet ges av ẋ(t) = y(t) = ( ) 0 1 x(t) + 0 0.1 ( ) 1 0 x(t) ( 0 0.1 ) u(t) (a) Kan man med en tillståndåterkoppling placera det återkopplade systemets poler godtyckligt? (b) Antag att alla tillståndsvariabler kan mätas. Ta fram en tillståndsåterkoppling så att det återkopplade systemets poler är i 1 och y = r stationärt. (3p) (c) Antag att endast positionen y(t) kan mätas. Kan man ta fram en observatör sådan att observatörsfelet avtar godtyckligt snabbt? Var skulle du placera observatörens poler och varför? (Du behöver inte ta fram observatören.) (3p) (d) Antag att man kan välja mellan att mäta positionen y(t) och hastigheten ẏ(t). Finns det teoretiskt sett något skäl att föredra positionsmätning eller hastighetsmätning? (Du kan bortse från eventuella mättekniska problem och anta att det är lika lätt att mäta hastighet som position.) 7
F U c Σ G 1 Σ G 2 Y R Figur 4: Blockschema 5. Vi har ett system sammansatt av G 1 och G 2 där G 1 = 1 s + 1 ; G 2 = 1 s + 10 Systemet återkopplas med regulatorn R och framkopplas med F enligt Figur 4. (a) Antag nu först att framkopplingen inte finns, dvs F = 0. Vad blir slutna systemets överföringsfunktion? (b) Antag att regulatorn är den enkla R = 1. Det erhållna slutna systemet har en statisk förstärkning 1. För att få ett bättre slutet system kan man tänka sig att ändra regulatorn R. Ett annat sätt är att framkoppla från referensvärdet till ingången på G 2. Vad blir överföringsfunktionen från u c till y med framkopplingen F inkopplad? (c) Ge en framkoppling F som ger statisk förstärkning 1 då R = 1. y r Σ e 1 K ( 1+ ) st i 4 2 s + 4 s + 4 y 1 Figur 5: Slutet system (d) En process regleras med en PI-regulator enligt figur 5. Regulatorns parametrar har valts till K = 1 och T i = 0.5. Bestäm det stationära värdet på felet e som fås då referenssignalen är rampformad, y r (t) = 2t, t > 0. (4p) 8