Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader): Givet en matris, lista ut vad motsvarande avbildning gör! Definitionen Vektorer, som ovan, som avbildas (av en linjär avbildning) på sig själva, så när som på multiplikation med en konstant Av = λv, v 6= kallas egenvektorer till avbildningen och motsvarande tal λ kallas egenvärden. (Utesluter fallet v = som ointressant.) Sparr, sid.238 Då vore det bra om vi kunde göra ett basbyte så att avbildningsmatrisen blev så enkel som möjligt en diagonalmatris. Betänk nämligen hur enkelt det är att multiplicera med diagonalmatriser: a b x y = ax by c z cz Säg att en avbildning har, relativt en viss bas e 1, e 2, e 3,matrisen λ 1 λ 2 λ 3 Detta innebär att e 1 = 1 avbildas på e 2 = 1 avbildas på etc. λ 1 λ 2 = λ 1 e 1 = λ 2 e 2 (Avbildningen "rubbar" inte basvektorsaxlarna: den kan på sin höjd sträcka ut (λ >1), pressa ihop ( λ<1) och eventuellt kasta om riktningen på en basvektor (λ <), men inte mer.) Avbildningar kontra matriser Visst kan vi tala om egenvektorer / egenvärden / diagonalisering till/av en matris, men det är bättre att tänka i termer av avbildningar : egenvektorer och egenvärden är något som alltid finns, men hur tydligt de syns beror på vårt val av bas. Att jag själv ofta (som här till vänster) skriver Ax = λx ist.f.f (x) =λx beror på att i) vi här befattar oss enbart med linjära avbildningar som kan representeras med matriser, ii) beteckningssättet utan parenteser är kortare! Egenfunktioner Begreppen är annars mycket relevanta, när man har att göra med linjära operatorer på funktionsrum, se sid.88 här. T.ex. d eλt = λe λt kan uttryckas : varje exponentialfunktion f (t) =e λt är en egenfunktion (säger man i st.f. egenvektor) med egenvärde λ till derivationsoperatorn d : d f = λf 113

11. Avgör om några av vektorerna (1,, ), (1, 1, ), (, 1, 1) eller (1, 1, 1) är egenvektorer till avbildningen med matris A = 2 1 1 1 2 1 Ange i så fall motsvarande egenvärden. 12. Visa att A = (b + a) a b a (a + c) c b c (b + c) har egenvektorn (1, 1, 1). Vad är egenvärdet? 13. Basvektorerna e 1, e 2, e 3 är egenvektorer till den linjära avbildningen F med egenvärden a 1,a 2 resp. a 3. Vad kan sägas om matrisen för F med avseende på basen e 1, e 2, e 3? 14. Bevisa att, om λ är ett egenvärde till A, så är λ 2 ett egenvärde till A 2. Generalisera till högre potenser. 15. Bevisa att, om λ är ett egenvärde till A, så är λ + µ ett egenvärde till A + µi, där I är enhetsmatrisen av samma storlek som A. 16. Låt x vara en egenvektor med egenvärdet λ till A. Visa att x är en egenvektor även till Egenvektorer & egenvärden till projektioner & speglingar Sparr, sid.233-235 11. Ange egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildningen (a) ortogonal projektion på riktningen (1, 2, 3) (b) ortogonal projektion på planet x +2y +3z = (c) spegling i planet x +2y +3z OBS. Det här kan göras (och det är meningen att du gör det) utan att ställa upp avbildningsmatriser! 111. Låt A vara matrisen för vridning 9 kring en axel genom origo med riktningen (1, 2, 2). Vad kan du, utan att räkna, säga om egenvärden och egenvektorer till A? 112. Vilka egenvärden är möjliga för en matris A som uppfyller Geometrisk illustration? A 2 = A? 113. Låt F beteckna avbildningen ortogonal projektion i planet x = y + z. Bestäm en ny ON-bas bestående av egenvektorer till F samt bestäm F :s matris i såväl den ursprungliga som den nya basen. B = A 3 5A 2 + A +7I Vad blir egenvärdet? 17. Bevisa att A inverterbar är inte egenvärde till A 18. Bevisa att, om A är inverterbar, så har A och A 1 samma egenvektorer. Vilket samband råder mellan egenvärdena till A och A 1? 19. Låt u och v vara egenvektorer med skilda egenvärden till en linjär avbildning F. Visa att u och v inte kan vara parallella. Egenvektor svarande mot jämviktstillstånd Sparr, sid.236-238, Ett dynamiskt 23 system 23 Till vardags använder vi väl ordet dynamiskt mest som ett flummigt allmänt positivt omdöme. I matematiken har det naturligtvis en mer väldefinierad innebörd : Ett statiskt systems tillstånd är helt och hållet bestämt av omgivningens tillstånd i det aktuella ögonblicket. Ett dynamiskt systems tillstånd beror, förutom på omgivningens aktuella tillstånd, även på systemets "förhistoria". (Sparrs exempel: Andelen sjuka en viss dag beror inte bara på väder och andra yttre omständigheter den dagen, utan även på hur många som ligger sjuka sedan tidigare.) 114

Egenfunktioner 114. På rummet av alla polynom P definiera avbildningen F : P P genom p (x) F p (x) p (x) (prim för första- resp.andraderivata) Bestäm F :s egenvärden och egenfunktioner. 115. Visa att exponentialfunktionerna är egenfunktioner även 24 för varje translationsoperator T a,a R. Translationsoperatorn T a avbildar en funktion f på funktionen T a f som definieras så här (T a f)(x) =f (x a) (Terminologin kommer sig av att Grafen y = f (x a) fås ur grafen y = f (x) genom translation a enheter i x-axelns riktning.) Diagonalisering Att göra ett basbyte så att en given avbildning blir representerad av en diagonalmatris, kallas att diagonalisera avbildningen. Tyvärr kan inte alla avbildningar diagonaliseras egenvektorerna räcker inte alltid till för en bas. Dock: En viktig klass av avbildningar kan visas alltid gå att diagonalisera : de symmetriska, d.v.s. de som representeras av symmetriska matriser. Sparr, avsn. 1.3 (Koncentrera dig här på hur egenvektorer används, inte på hur de beräknas!) Beräkning av matrispotenser Sparr, sid.251, Exempel 11 ett konkret exempel att lägga märke till. Allmänt råd för matrisproblem Ofta är svårigheten den att matrisens element utanför diagonalen är 6=, vilket gör att variabler är kopplade till varandra. Undersök om det inte finns bas-/variabelbyte som överför den ursprungliga matrisen i en diagonal sådan Två olika saker man skulle vilja lära sig : Räkna fram egenvektorer / egenvärden. (Som att räkna fram värden på cos, sin, ln,...) 24 Som påpekat innan, är de egenfunktioner till derivationsoperatorn. Utnyttja egenvektorer / egenvärden för att analysera linjära avbildningar, lösa rekursionsekvationer, system av differentialekvationer och annat där egen-vektorer/värden inte är mål, utan medel. (Jfr användning av cos och sin för att lösa geometriska problem.) 115

Beräkning av egenvärden/egenvektorer Algebraiskt: med karaktäristiskt polynom Sparr, sid.239-246 IställetförλI A, kan man naturligtvis i räkningarna ha A λi. Sparr, avsn. 1.4 Komplikationer Karaktäristiska polynomet till en n n-matris är ett polynom av grad n, men för nollställen till polynom av grad > 2 har vi inga bra allmänna formler! Wilkinsons polynom se nedan har uppenbarligen nollställena 1, 2,..., 12. Om man (t.ex.) ändrar x 11 -koefficienten från 78 till 78 + 1 5, fås nollställena 1. 2. 3. 4.2 4.996 6.462 6.815 8.3681 ±.58983i 1.633 ±.6436i 12.14 Lägg märke till hur mycket (relativt sett) nollställena kan förändras! Numerisk iterativ beräkning enligt andra principer än m.h.a. determinant är det som används i tillämpningarna, men tas ej upp i denna kurs. 116. Bestäm egenvärdena till (a) 1 7 3 2 5 3 (b) till en goycklig högertriangulär n n-matris. 117. Bestäm alla tal µ och vektorer x 6= nollvektorn, sådana att µ 2 1 Ax = µx, om A = 2 3 118. Bestäm egenvärden och egenvektorer till avbildningen med matris µ 1 2 2 1 119. Bestäm de reella egenvärdena och motsvarande normerade egenvektorer till avbildningen y 1 =(2x 1 x 2 +2x 3 ) /3 y 2 =(x 1 2x 2 2x 3 ) /3 y 3 =( 2x 1 2x 2 + x 3 ) /3 Skulle man kunna förenkla räknelivet för sig genom att strunta i faktorn 1/3 och modifiera på slutet? (Hur då, i så fall?) 12. Bestäm invers, egenvärden och egenvektorer till µ 1 2 3 3 121. Bestäm invers, egenvärden och egenvektorer till 2 1 1 2 1 1 2 122. Forts. på 11. För att se att teorin stämmer: Ställ upp avbildningarnas matriser och räkna ut egenvärden och egenvektorer som om du inte visste varifrån matriserna kom och se att du kommer fram till samma resultat. Wilkinsons polynom (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) (x 7) (x 8) (x 9) (x 1) (x 11) (x 12) = x 12 78x 11 + 2717x 1 55 77x 9 +... 1486 442 88x + 47916 116

123. Du vet att A är en matris med karaktäristiskt polynom p (λ) =λ 3 7λ 2 +1λ. (a) Hur många rader resp. kolonner har A? (b) Beräkna det A och det (A I) 124. Du vet att A är en 3 3-matris med egenvärdena, 2 och 5. (a) Beräkna det A (b) Beräkna det (I A). 125. Har alla reella matriser reella egenvärden? Om inte, ge ett konkret exempel på motsatsen. 126. Icke-reella egen-värden/vektorer till en reell matris förekommer i komplexkonjugerade par, på liknande sätt som nollställena till ett polynom med reella koefficienter: Exempel: µ 2 3 15 8 µ 2 3 15 8 µ 1+2i 3 4i µ 1 2i 3+4i Visa att detta gäller allmänt! µ 1+2i = (5+6i) 3 4i µ 1 2i = (5 6i) 3+4i 129. Visa att A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 inte har så många egenvektorer att det räcker till en bas för R 4. 13. Jämför de båda matriserna A = 2 1 1 1 1 och B = 2 1 1 1 1 1 1 Visa att, trots att de har samma egenvärden, så är endast en av dem diagonaliserbar. Ange också alla egenvektorer och egenvärden. 131. Avgör om matrisen A = 1 1 1 1 1 1 kan diagonaliseras (a) med reella egenvektorer (b) med komplexa egenvektorer 127. En vektor x 6= kallas vänsteregenvektor till en matris A, om x T A = λx T för något tal λ (Vanliga egenvektorer är högeregenvektorer.) Visa att talet λ då är ett egenvärde till A T och följaktligen (varför?) egenvärde till A. (Därför behöver man inte skilja på vänsteroch högeregenvärden, så som man vid första påseende skulle kunna tro!) 128. En linjär avbildning på R 3 har matrisen A. Avbildningen har ett egenvärde lika med 3. Den är inte bijektiv och spår A =2. Bestäm övriga egenvärden. Algebraisk - geometrisk multiplicitet Nollställen till polynom tilldelas ju multiplicitet: För t.ex. p (λ) =(λ a) 3 (λ b) 2 är λ = a ett nollställe med multiplicitet 3, medan λ = b är ett nollställe med multiplicitet 2. Utifrån sin multiplicitet som polynomnollställen tilldelas egenvärden s.k. algebraisk multiplicitet. Någonting annat är den geometriska multipliciteten: det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer som hör till ett egenvärde. Man kan dock visa att för varje egenvärde gäller geometrisk multiplicitet algebraisk multiplicitet 117

Analys av linjära avbildningar 132. Matrisen A = 1 1 4 8 8 4 1 9 4 7 4 är en rotationsmatris: Ax ger den vektor, som fås, när x roteras en viss vinkel kring en viss rotationsaxel. (Vektorer representeras med kolonnmatriser.) Bestäm rotationsaxeln och rotationsvinkeln. 133. Betrakta den linjära avbildningen. y 1 y 2 = 2 3 1 1 2 1 x 1 x 2 y 3 1 3 2 x 3 Om (x 1,x 2,x 3 ) och (y 1,y 2,y 3 ) tolkas som koordinater för punkter i rummet, hur skulle avbildningen kunna beskrivas geometriskt? 134. Ge en geometrisk tolkning av avbildningen med matris 1 1 2 1 2 1 2 1 1 135. Antag att A är en diagonaliserbar n n-matris med alla egenvärden =1. Visa att A = I. 136. (Forts.) Formulera och bevisa en ("billig") generalisering av resultatet i föregående uppgift. 137. Visa att om s 1, s 2,..., s n är en bas av egenvektorer till avbildningen F med olika egenvärden, så kan F inte ha några andra egenvektorer än multiplarna av dessa: ts 1,ts 2,..., ts n,t6=. 138. Om den linjära avbildningen F vet man att (1, 1, 1) är en egenvektor med egenvärdet 2 och att (1,, 1) och ( 1,, 1) är bilder av varandra. Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till F. 139. Varje matris A som representerar projektion (ej nödvändigtvis ortogonal) uppfyller A 2 = A En matris som uppfyller denna likhet kallas idempotent. (a) Bestäm alla idempotenta reella 2 2-matriser. (b) Bestäm egenvärdena till matriserna i (a) (c) Är alla matriser i (a) diagonaliserbara? (d) Kan alla idempotenta reella 2 2-matriser tolkas som projektionsmatriser? (Nollmatrisen och identitetsmatrisen räknas per definition som projektionsmatriser.) 118

System av linjära rekursionsekvationer Ett enkelt rekursionsproblem är att söka en formel för talen i den (oändliga) talföljd y,y 1,y 2,... som uppfyller y n+1 = ky n, Man ser snabbt att n =, 1, 2,...(k given konstant) y n = k n y Ibland har man detta problem för ett system av linjära rekursionsekvationer, t.ex. ½ xn+1 = x n + y n,n=, 1, 2,... y n+1 =3x n y n Ommannudelstar3 ekv.(1)+ekv.(2), dels subtraherar ekvationerna, fås 3x n+1 + y n+1 = 2(3x n + y n ) x n+1 y n+1 = 2(x n y n ) Om vi alltså gör variabelbytet ½ un =3x n + y n v n = x n y n som kan skrivas på matrisform µ µ un 3 1 = v n 1 1 µ xn = 1 µ 1 1 y n 4 1 3 µ xn så får vi två frikopplade ekvationer ½ un+1 =2u n v n+1 = 2v n som vi kan lösa (u,v fås ur x,y ) ½ un =2 n u v n =( 2) n v ochdärmedfå µ xn = 1 µ 1 1 y n 4 1 3 y n v n µ un µ 2 n u ( 2) n v Men: hur komma på radoperationerna ovan? Vi kan uppfatta tillordningen µ µ xn xn+1 7 y n y n+1 som en linjär avbildning R 2 R 2 med matris µ 1 1 A = 3 1 Vad vi har gjort är att vi hittat en bas för R 2, i vilken denna avbildning ges av diagonalmatrisen µ 2 2 Men F beskrivs av diagonalmatris basvektorerna är egenvektorer till F. Så ett systematiskt sätt att gå tillväga är att söka egenvektorer till rekursionssystemets µ matris. 1 1 Görmandet,fårmanmycketriktigtatt har 3 1 egenvärden: egenvektorer: 2 t (1, 1) 2 t (1, 3) Koordinatsambandet µ xn = 1 µ 1 1 y n 4 1 3 µ un v n är ingenting annat än det som vi på sid.8 skrivit x = Sx och kolonnerna i S är egenvektorer till systemmatrisen. (Faktorn 1/4 i S kommer sig av att i vårt ursprungliga trixande med ekvationerna såg vi till att S 1 har heltal som element. Startar man med egenvektorerna, så går det lika bra att definiera S utan den faktorn.) Sparr, sid.251-254, Exempel 11 & 12 kan sägas ha "förpackat" samma lösningsmetod litet annorlunda : Upprepad användning av µ µ xn+1 xn = A, n =, 1, 2,... y n+1 y n ger (på samma sätt som y n = k n y i skalära fallet) µ µ xn = A y n x n y Därmed är problemet reducerat till att hitta en formel för A n. 119

14. Bestäm A n för varje heltal n då µ 3 1 A = 2 141. Förenkla så mycket som möjligt A n, då A = 2 1 2 3 2 2 1 142. Matrisen 143. Låt A = 1 2 2 2 2 1 diagonaliseras av matrisen 2 2 2 1 1 2 1 2 2 (a) Vad är diagonalmatrisen? (b) Ange en matris som diagonaliserar A 999. Vad blir diagonalmatrisen? A = Beräkna A 123456789 1 2 1 1 1 1 2 144. Fibonaccis talföljd (F n ) n= (förkortat skrivsätt för F,F 1,F 2,...) definieras genom F = (begynnelsevärden) F 1 =1 F n = F n 1 + F n 2, n 2 (rekursionsekvation) De första talen är, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Obs. att rekursionsekvationen också kan formuleras µ µ µ Fn 1 1 Fn 1 = F n 1 1 F n 2 Bestäm med hjälp härav en explicit formel för F n, d.v.s. uttryck F n som en funktion av n. Vad kan sägas om F n för stora n? 145. Låt talföljderna x n och y n definieras av ½ xn+1 = x n + y n x, =1 y n+1 = x n +2y n y =1 Visa att för stora n är x n Ar n y n Br n för några konstanter A, B, r och beräkna dessa. 12

Markovkedjor (Exempel på s.k. Markovprocesser, uppkallade så efter ryske matematikern Andrej Markov (1856-1922)) 146. Antag att det bland studenterna på en viss mattekurs endast finns två åsikter om matte: antingen är matte kul, eller så är matte allt annat än kul. Nu är det så att för varje föreläsning som lektorn håller, så byter en del åsikt: 2/1 av dem som tycker att matte är kul, och 1/1 av dem som tycker tvärtom. Då kursen startade var båda åsikterna lika vanliga. Antag nu, något hypotetiskt visserligen, att den här kursen håller på i evighet. Hur stor del av klassen går då in i evigheten med en positiv bild av matte? Hur förändras svaret, om andelarna som gillar resp. ogillar matte vid kursstart är annorlunda? 147. I en stad med 1 miljon invånare bor detta år 4 i innerstaden och 6 i förorterna. Demografiska studier visar att av dessa flyttar årligen 5% från innerstaden ut till förorterna, och 3% av de i förorterna flyttar in till centrum. Hur många är bosatta i innerstaden respektive förorterna nästa år? Om 5 år? Om 5 år? Finns det någon stabil befolkningsfördelning? 148. En biluthyrningsfirma hyr ut totalt 6 bilar i Halmstad, Växjö och Borås. De flesta bilarna hyrs och lämnas tillbaka på samma ställe, men firman accepterar också att en bil hyrs på en plats och återlämnas på en annan. Erfarenhetsmässigt vet man att 1% av kunderna i Halmstad vill lämna bilen i Växjö och 1% i Borås. Av kunderna i Växjö vill 4% lämna bilen i Halmstad och 1% i Borås. I Borås är det 2% som vill hyra bil till Halmstad och 1% till Växjö. Vi intresserar oss för hur bilarnas fördelning mellan de tre orterna kommer att variera. Inför x n = en vektor med tre komponenter, som ger antalet hyrbilar, som står till förfogande dag n på morgonen i de tre städerna, i ordningen Halmstad, Växjö, Borås. (Vi gör det förenklande antagandet att alla bilar hyrs på morgonen och återlämnas samma kväll.) a) Förklara varför matrisen A =.8.4.2.1.5.1.1.1.7 ger sambandet mellan x n+1 och x n. b) Beräkna egenvärden och egenvektorer med dator, alt. Kontrollera att A har egenvärdena 1.,.6 och.4. med egenvektorer (7, 2, 3), (1,, 1) resp. (1, 1, ). c) Visa att i allmänhet kommer antalet tillgängliga bilar på varje ort att variera från dag till dag. d) Visa att det emellertid (i alla fall teoretiskt om ovannämnda procentsatser antas råda exakt varje dag) finns en jämviktsfördelning ettsättattfördelabilarnasåatt de förblir lika många på varje ort från dag till dag. Hur ser den jämviktsfördelningen ut? e) Firmans marknadsavdelning bedömer att efterfrågan är dubbelt så stor i Halmstad jämfört med Växjö, medan Växjö och Borås skulle vara jämbördiga. Därför föreslår man att dubbelt så många bilar placeras i Halmstad jämfört med Växjö och Borås. Får man jämviktsfördelning då? f) Är ovannämnda jämviktsfördelning stabil, d.v.s. om vi startar med någon annan fördelning, kommer vi efterhand att närma oss jämviktsfördelningen? 149. Ett sjötransportföretag utför godstransporter mellan tre hamnar A, B och C. Erfarenhetsmässigt vet man att hälften av containrarna som i början av en viss månad finns i A, återfinns en månad senare i B, medan den andra halvan återfinns i C. Motsvarande för containrar i B och C är att en månad senare är hälften kvar i B resp. C, medan den andra halvan återfinns i A. Vid en viss tidpunkt har företaget a st. containrar i A, b st. containrar i B och c st. containrar i C. Hur kommer containrarna att fördela sig på hamnarna efter lång tid, om inga containrar tas ur bruk, inga nya sätts in och ovannämnda förhållanden fortsätter att råda? 121

System av differentialekvationer Den allra enklaste differentialekvationen (OBS. Här betecknar derivation, icke någon ny bas!) y (t) =ky(t), har lösningen (eg. oändligt många) y(t) =Ce kt, k given konstant, y(t) obekant funktion C goycklig konstant som är = y () Ibland ställs man inför ett system av linjära differentialekvationer, t.ex. ½ x (t) =x(t)+y(t) y (t) =3x(t) y(t) som kan skrivas på matrisform : µ µ µ x 1 1 x y = 3 1 y dx eller kort = Ax och behandlas som rekursionssystemet på sid.119: Ta dels 3 ekv.(1)+ekv.(2), dels subtrahera ekvationerna, så fås 3x (t)+y (t) = 2(3x(t)+y(t)) x (t) y (t) = 2(x(t) y(t)) Gör variabelbytet ½ u(t) =3x(t)+y(t) v(t) =x(t) y(t) som kan skrivas på matrisform µ µ µ u 3 1 x = v 1 1 y eller kort u = S 1 x ( x = Su) µ 3 1 Förtydligande: Låter = S 1 1 1, för att vara i samklang med Sparrs bruk av S : µ µ gamla nya = S variabler variabler Observera: Derivation ger µ µ µ u 3 1 x v = 1 1 y eller kort du 1 dx = S µ dx = Sdu I de nya variablerna fås två frikopplade ekvationer ½ u (t) =2u(t) v (t) = 2v(t) som kan skrivas på matrisform du = Du, med D = µ 2 2 Denna matris D skulle kunna fås ur A och S : dx = Ax S du = ASu du = S 1 ASu Alltså D = S 1 AS varav slutsats: För att få frikopplade ekvationer (d.v.s. diagonal D), behöver vi göra ett variabelbyte x = Su, där kolonnerna i S utgör en bas av egenvektorer till A. Alltså är det systematiska angrepssättet för dx = Ax följande: Digonalisera A : egenvärden: egenvektorer: 2 t (1, 1) 2 t (1, 3) S = D = µ 1 1 1 3 µ 2 2 Variabelbytet x = Su överför systemet i ½ du u = Du (t) =2u (t) v (t) = 2v (t) vars lösning kan skrivas upp direkt: ½ u(t) =C1 e 2t Insättning ger sedan µ x(t) = x = Su = y(t) v(t) =C 2 e 2t µ 1 1 1 3 µ C1 e 2t C 2 e 2t = µ µ 1 = C 1 e 1 2t 1 + C 2 e 3 2t C 1 och C 2 goyckliga konstanter 122

Differens- och differentialekvationer: analogin (Differensekvationer = rekursionsekvationer) Värt att lägga märke till likheterna: En enda ekvation : y n+1 = ky n y n = Ck n y (t) =ky (t) y (t) =Ce kt Ett 2 2-system (förutsatt att A kan diagonaliseras!) med y n+1 = Ay n y n = C 1 λ n 1 s 1 + C 2 λ n 2 s 2 dy = Ay y = C 1e λ 1t s 1 + C 2 e λ 2t s 2 s 1, s 2 : egenvektorer till A C 1,C 2 : goyckliga konstanter Differensekvationernas λ n motsvaras i differentialekvationfallet av e λt. I övrigt allting identiskt. Stabilitet Här kan vi se en anledning till varför egenvärdena ensamma kan vara viktiga. Det är mycket stor skillnad om vi har en term e 2t eller e 2t det förstnämnda, den andra växer explosionsartat! (Konstanterna C 1 och C 2, däremot, brukar vara av underordnad betydelse.) Antag att våra ekvationer och funktionerna y 1 (t) och y 2 (t) skall beskriva något fysikaliskt förlopp. Skulle vi ha något egenvärde >, har vi en katastrof att vänta! dy = Ay : Har A ett egenvärde >, finns lösningar som växer obegränsat. Fjädringen hos en motorcykel en enkel modell. Betrakta ett system av tre masssor, m 1,m 2 och m 3, och tre fjädrar med fjäderkonstanterna k 1,k 2 resp. k 3. Massorna m 1 och m 2 är förbundna med en stav av försumbar massa, medan m 3 är m.h.a. en fjäder förbunden med stavens mittpunkt. (Tolkning: m 1 och m 2 är hjulen, medan m 3 representerar föraren och motorn.) Avvikelserna frän jämviktslägena för m 1,m 2,m 3 betecknas y 1,y 2,y 3 och räknas positiva uppåt och negativa nedåt. y 3 m 3 m k 3 1 m 2 y 1 y2 k 1 k 2 15. Visa att rörelseekvationerna för de tre massorna är.. m 1 y 1 = k 1 y 1 + k 3 (y 3 (y 1 + y 2 ) /2) /2.. m 2 y 2 = k 2 y 2 + k 3 (y 3 (y 1 + y 2 ) /2) /2.. m 3 y 3 = k 3 (y 3 (y 1 + y 2 ) /2) 151. Antag att m 1 = m 2 =1,m 3 =4,k 1 = k 2 =1och k 3 =4. Undersök om det finns lösningar till systemet i form av enkla harmoniska svängningar med gemensam vinkelfrekvens och sådana att de antingen är i fas eller i motfas relativt varandra, d.v.s. sådana att y k = u k cos (ωt + ϕ), u k och ϕ konstanter, k =1, 2, 3 Är alla egenvärden <, konvergerar alla lösningar mot y n+1 = Ay n : Har A ett egenvärde med absolutbelopp > 1 finns lösningar som växer obegränsat. Har alla egenvärden absolutbelopp < 1, konvergerar alla lösningar mot 123

Spektralsatsen Symmetriska matriser är extra intressanta man kan bevisa att varje symmetrisk matris har en ortonormerad bas av egenvektorer : Sparr, sid.256-257 har inte något bevis. Bevisskiss i övningsform återfinns på nästa sida. 157. Bevisa omvändningen till spektralsatsen: Om F har en ortogonal bas av egenvektorer, så ges F av symmetriska avbildningsmatriser relativt alla ON-baser. 152. Låt A = µ 1 3 3 1 (a) Är ( 2, 2) en egenvektor till A? (b) Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A. (Vilken sats i teorin skulle underlätta här?) (c) Ange en ortogonal matris S och en diagonalmatris D sådan att S T AS = D. 153. Bestäm talen a och b så att den linjära avbildningen med matris a b 2 1 2 2 2 1 2 5 kan tolkas som ortogonal projektion på en linje eller plan i rymden och ange linjens / planets ekvation. 154. En linjär avbildning F har i någon bas avbildningsmatrisen A = 2 2 2 2 5 1 2 1 5 (a) Är (1, 1, 1) en egenvektor till F? (b) Är egenvärde till F? (c) Beskriv avbildningen geometriskt. 155. Den linjära avbildningen F : R 3 R 3 är symmetrisk och varje egenvektor, som hör till F :s minsta egenvärde, är parallell med vektorn (1, 1, 1). Vidare är F (F (x)) = F (x) för alla x. Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till F samt tolka avbildningen geometriskt. 156. Den linjära avbildningen F : R 3 R 3 är symmetrisk Dess största egenvärde har algebraisk multiplicitet 1. En egenvektor med detta egenvärde är (1, 2, 3). Vidare är F (F (x)) = x för alla x. Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till F samt beskriv avbildningen geometriskt. 124

Spektralsatsen: bevis Återigen ska vi se att det är en fördel att tänka på avbildningar snarare än på "själlösa "matriser: Spektralsatsen kommer sig av att symmetrin i matriserna uttrycker en viss speciell egenskap hos avbildningarna. Symmetrisk avbildning kallas en linjär avbildning F som har egenskapen F (x) y = x F (y) för alla x och y 158. En symmetrisk avbildning är lätt att identifiera, ifall vi har dess matris relativt en ON-bas : Antag att avbildningen F representeras av matrisen A relativt en viss ON-bas. Visa att F symmetrisk avbildning A symmetrisk matris 159. Låt F vara en symmetrisk avbildning, och u och v egenvektorer till F med olika egenvärden. Visa att u v = 16. Visa m.h.a. direkt uträkning att varje symmetrisk avbildning F : R 2 R 2 har en ortonormerad bas av egenvektorer. 161. Låt F vara en symmetrisk avbildning och u en egenvektor till F.Visaatt x u == F (x) u = Antag att den symmetriska avbildningen F : R 3 R 3 har en egenvektor u. Låt u = x R 3 : x u ª d.v.s. u = normalplanet till u Den sista övningen säger att F avbildar vektorer från u in i u, d.v.s. F kan uppfattas som en avbildning på u. Men u kan identifieras med R 2. Vet redan att symmetriska avbildningar R 2 R 2 har ortogonala egenvektorsbaser, alltså har u en ortogonal bas, f 1, f 2 av egenvektorer till F. Kompletterar vi med f 3 = u, får vi en ortogonal bas för hela R 3 av egenvektorer till F. 162. Förklara varför varje linjär avbildning F : R 3 R 3 måste ha minst en reell egenvektor. Detta i kombination med ovanstående bevisar att varje symmetrisk avbildning F : R 3 R 3 har en ortogonal bas av egenvektorer. Nu till symmetriska avbildningar F : R 4 R 4. Givet en vektor 6= u R 4, kan mängden u = x R 4 : x u ª i analogi med ovan identifieras med R 3 ett 3-dimensionellt underrum i R 4. Som innan gäller att F avbildar u in i u. Så,omvinuhadeenegenvektoru till F, skulle vi på samma sätt som ovan kunna utnyttja vår nyvunna kunskap om egenvektorsbaser i 3D-fallet till att konstruera en egenvektorsbas i R 4 : Enl. föregående övning har u en ortogonal bas av egenvektorer till F. Vi lägger till u och får en ortogonal bas av egenvektorer till F för hela R 4. Men vad är det som säger att F överhuvuaget har en reell egenvektor? 163. Visa att varje reell symmetrisk matris A har reella egenvärden och egenvektorer. Idé: Karaktäristiska polynomet till en n n-matris är ett polynom av grad n och har i alla fall komplexa nollställen. Till komplexa nollställen hör komplexa egenvektorer. Så det finns minst ett komplext tal λ och en vektor z 6=, bestående av komplexa tal, så att Az = λz Multiplicera nu från vänster med z T, varvid strecket betecknar konjugering av de komplexa tal som ingår i z : z T Az = z T λz = λ z T z Visa nu att såväl z T z som z T Az måste vara reella och därmed även λ måste vara reellt! Nu kan vi upprepa detta resonemang med u och u : Diagonalisering av R 4 R 4 -avbildningar ger oss diagonalisering av R 5 R 5 -avbildningar Diagonalisering av R 5 R 5 -avbildningar ger oss diagonalisering av R 6 R 6 -avbildningar O.s.v. upp till hur höga dimensioner som helst. (Ett s.k. induktionsbevis.) 125