Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är de involverade i ett samtal om räta linjen och dess ekvation (funktion). Tillsammans löser de ett antal problem som sammantaget utgör det man behöver ha med sig i ryggsäcken för vidare studier. KTH: Idag ska vi snacka om räta linjen och dess ekvation. Minns du något om det? TB: Ja, det är klart. Jag tror faktiskt att jag kommer att kunna svara rätt på nästan allt du kommer att fråga mig om. KTH: Vi får väl se. Först det här med ekvation. Man uttrycker ju ofta den funktion, som det egentligen handlar om, som y = k x + m istället för att skriva f(x) = k x + m. Jag borde förstås veta varför det blivit på det sättet. Vad står förresten k och m för? TB: Står för!? Vad menar du då? Stopp, stopp vänta ett tag, jag vet. k, även kallat k-värdet är linjens riktningskoefficient eller lutningen helt enkelt. m däremot... KTH: m är kanske mindre viktig, men det underlättar att känna till att linjen skär y-axeln i punkten (0,m). Så om jag säger att en linje har riktningskoefficienten 1 och skär y-axeln i punkten (0,3), vilken är då den linjens funktion? TB: k = 1 och m = 3 ger y = x + 3 eller y = 3 x KTH: Bra. Så här ser grafen för den funktionen ut: 8 6 4-4 - 4 - Figur 1: I figur finns två linjer inritade. Här har du två funktioner, L 1 : y = x + 1 och L : y = 4 x, vilken är vilken? TB: Linjen markerad med A skär y-axeln på i punkten (0,4) och L har m = 4, alltså hör de ihop. KTH: Det är riktigt. Ännu enklare är det kanske att titta på k-värdena A har negativ lutning L har k = 1. B har positiv lutning L 1 har k =. Vilken funktion har linjen i figur 3 TB: Ingen aning faktiskt. Jag ser att linjen är parallell med x-axeln. Jag gissar att den helt enkelt saknar funktion. KTH: Nu hade du fel. För varje värde x är y = 3, till exempel f(1000) = 3 och f( 0.0001) = 3. Funktionen är konstant och skrivs alltså y = 3. Om jag ger dig två punkter P1(1,1) och P(5,13), kan du då bestämma funktionen för den linje som går genom dessa punkter? Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

Figur : 6 5 4 3 1-4 - 4 Figur 3: TB: Mmm... Har man två punkter så finns det ju bara en rät linje som går genom dessa. Jag ska alltså bestämma k och m i y = k x + m. Det kanske inte är så lätt. (TB funderar) Om jag börjar med k-värdet k = y x = y 1 y = 13 1 x 1 x 5 1 = 3 Jag tror, eller vet, att k = 3. Jag har nu kommit så här långt: y = 3x+m och nu ska jag bestämma m men hur? (TB funderar igen) När x = 5 är y = 13 KTH: Javisst. TB: Jag sätter alltså in den andra punkten P i ekvationen y = 3x + m och får 13 = 3 5 + m. Löser jag den ekvationen får jag m =. Om jag har tänkt rätt kan funktionen nu skrivas y = 3x. Men om jag hade satt in P1 istället hade jag väl fått ett annat resultat? KTH: Gör det. TB: 1 = 3 1 + m. Nej, jag får ändå m =. Nu är jag säker på mitt svar. KTH: Bra. Vi går vidare i texten. Nu ska jag ge dig två funktioner. { L1 : y = 3x 5 L : y = x + 3 Var skär de varandra. Med andra ord bestäm skärningspunkten. Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

TB: När jag stoppar in ett och samma x-värde i de båda funktionerna ska jag få samma resultat. Då har jag hittat en punkt som ligger på båda linjerna. Denna punkt kallas skärningspunkten. Observera det kan bara finnas en skärningspunkt när det handlar om två räta linjer. KTH: Allt du sagt är korrekt, men hur hittar du skärningspunkten? TB: Jag kan ju alltid prova mig fram. Stoppa in olika värden på x och om jag har tur, så har jag. KTH: Självklart behöver man inte gissa. Tänk efter nu. TB: Blir det en ekvation? Någonting i stil med 3x 5 = x + 3 3x x = 3 + 5 x = 8 Låt mig testa nu då x = 8 för linje L 1 blir y = 19 och x = 8 för linje L är också y = 19. Det funkar ju! KTH: Vilken är då skärningspunkten? TB: (8,19) KTH: Bra. Nästa problem: Nu ska vi kombinera de två problemen vi löst ovan. Givet P1(,4) och P(5,), som ligger på samma linje samt P3( 1,8) och P4(3, 1), som ligger på en annan. Vilken skärningspunkt har dessa linjer? TB: Så du menar att jag ska göra om nästan samma sak igen? Vad jobbig du är. KTH: När du gjort det tror jag att det också kommer att sitta för en lång tid framåt troligtvis över tentamen. TB: Jag börjar med punkterna P1 och P. De ligger på en linje L 1 : y = k 1 x + m 1. Först bestämmer jag k 1 -värdet: k 1 = y x = y y 1 = 4 x x 1 5 = 6 Jag sätter nu in P1 i L 1 och får 4 = 6 + m 1 som ger m 1 = 8. Funktionen för den första linjen är nu bestämd till L 1 : y = 6x 8. Nu är det dags för nästa linje, puh. Det handlar nu om punkterna P3( 1,8) och P4(3, 1). Funktionen är denna gång L : y = k x + m. k = y x = y 3 y 4 x 3 x 4 = 8 ( 1) ( 1) 3 = 5 Så över till m. Jag använder den andra punkten och sätter in den i L och får ( 1) = ( 5)3+m som ger m = 3. Jag är bra på huvudräkning eller hur? Alltså blir L : y = 5x + 3. Vad var det jag skulle göra nu igen? KTH: Ta reda på skärningspunkten för de linjer vars funktion du just bestämt. TB: Javisst ja. Jag har alltså { L1 : y = 6x 8 L : y = 5x + 3 Dessa leder till den enkla ekvationen 6x 8 = 5x + 3 6x + 5x = 3 + 8 11x = 11 x = 1 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

Jag kan nu stoppa in x = 1 i vilken som helst av L 1 och L i båda fallen får jag y =. Skärningspunkten är alltså (1, ). KTH: Nu har du varit så duktig, så du får välja nästa problem själv. TB: Ska jag jag har inga olösta problem. Dom får du stå för. KTH: Då tar vi det här: Jag ger dig fyra punkter P1(,9), P(4,), P3(, 19) och P4(6,37). En av dem ligger inte på samma räta linje vilken? TB: Det är väl enkelt. Jag väljer ut två punkter till exempel P1 och P, bestämmer motsvarande funktion. Sedan sätter jag in de andra två punkterna och den som inte ligger på linjen är den punkt jag söker. KTH: Är du säker på att detta fungerar? TB: Varför skulle det inte göra det? Aha, du menar att om den udda punkten är antingen P1 eller P så får jag en linje som inte innehåller någon av de två andra punkterna. Jag förstår och inser samtidigt att det här kommer att bli riktigt jobbigt. Det finns ju många sätt att välja ut två punkter. KTH: Tänk vidare. TB: Om jag har otur i mitt första val, så vet jag att P3 och P4 ligger på samma linje och då får jag bestämma den funktionen, med vilken jag kan avgöra vilken av P1 och P som är oäkta. Därmed är denna uppgift inte jobbigare än förra uppgiften. KTH: Det är bara att sätta igång. TB: Jag kallar den första linjen L 1 : y = k 1 x+m 1 eftersom punkterna P1 och P är inblandade. Jag bestämmer först k 1 precis som tidigare Oj vad jobbigt, inte ens heltal. Så till m 1 k 1 = y x = y 1 y x 1 x = 9 4 = 13 ger m = 4 och funktionen 9 = 13 + m 1 L 1 : y = 13 x 4 Nu är det spännande. Vad händer förresten om en punkt fungerar? KTH: Det förstår du väl? TB: Ja,ja. Om en av punkterna P3 och P4 ligger på linjen så blir jag glad jag vet då att den andra inte gör det och därmed är den punkt jag är på jakt efter. Först testar jag med P 3 13 ( ) 4 = 17 19 Nu vet jag att P3(, 19) inte ligger på den linje jag just bestämt funktionen för. Chansen finns nu att P4(6,37) gör det 13 6 4 = 35 37 Neeej inte heller den punkten fungerar, så då måste jag bestämma L 34. Först k-värdet k 34 = y x = y 4 y 3 37 ( 19) = = 56 x 4 x 3 6 ( ) 8 = 7 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

Och sedan m-värdet 37 = 6 7 + m 34 m 34 = 5 som ger funktionen L 34 : y = 7x 5. Denna funktion ska nu avgöra vilken av punkterna P1 och P som är udda. Först test med P 1 (,9) 7 5 = 9 P1 ligger på linjen. Då kan inte P göra det. P är svaret! Jag ser på dig att du vill att jag ska testa det. Jag gör som du vill. För P får jag L 34 : 7 4 5 = 3 För x = 4 insatt i L 34 får vi alltså 3 istället för. Ganska nära om man säger. KTH: Här ser du ett diagram med fem linjer inritade. Nedan finns också en tabell med fem funktioner. Det blir nu din uppgift att para ihop linjerna med funktionerna. Figur 4: I L 1 : y = x + 3 II L : y = 3 x III L 3 : y = x 3 IV L 4 : y = 3x 1 V L 5 : y = 3x + 8 TB: Ganska lätt eller hur? I och II skär y-axeln i samma punkt (0, 3), vilket betyder att de har samma m-värde. B har positivt k värde och E negativt, så då vet vi att B I och E II. Sedan är det bra att plocka ut linjerna efter m-värdet: A V, C IV och D III KTH: En linje skär y-axeln i punkten (0,6) och den positiva x-axeln i en punkt så att linjen bildar en triangel med axlarna med arean 6 areaenheter. Bestäm linjens ekvation. TB: Triangeln som bildas är ju rätvinklig. Höjden är 6 och basen x. Triangelns area beräknas med: som ger ekvationen A = b h 6 = b 6 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

b = och därför skär vår linje x-axeln i (,0). m-värdet har vi ju redan och k-värdet kan vi bestämma med hjälp av k = y x = y y 1 = 6 0) x x 1 0 ) = 3 Den sökta funktionen blir då = 6 3x eller hur. 6.5 6 5.5-1 1 3 4.5 Figur 5: KTH: Javisst, jättebra. Direkt över till nästa problem: En linje har k 1 = 1/. En annan går genom P1(5, ) och är samtidigt vinkelrät mot den första. Bestäm den andra linjens funktion. TB: Vad har jag missat? Jag menar, jag har ingen aning! KTH: Vad vet du om k-värdet för två linjer som skär varandra under rät vinkel? TB: Aha, jag har hör något om det. Få se nu... Kanske att om den ena linjen har k-värdet k 1 och den andra k så är k 1 k = 1. Är det det du tänker på? KTH: Ja, hur kan du använda detta här? TB: Linjen måste ju ha k-värdet k = eftersom k 1 k = 1 = 1. Eftersom vi har en punkt P(5, 7) given kan vi bestämma m ur 7 = 5 + m, som ger m = 3 KTH: Bra. Här får du fem funktioner för räta linjer. Vilka är parallella? I 18x + 7 = 9y II y + x 3 = 0 III 3 x + 1 y 3 = 0 IV 13y + 6x = 39 V y x = 3 TB: Ännu fler uppgifter. Jag börjar faktiskt bli trött. KTH: Men det ska kännas, precis som att träna inför Stockholm Marathon. Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

TB: Så viktig kan ju inte detta vara. Men jag ska samla mig. Vad skulle jag göra nu igen? Linjer med samma k-värde. Man kan inte läsa av koefficienten framför x direkt utan måste först lösa ut y inte sant. Här har du lösningarna I y = x + 3 II y = x + 3 III y = x + 3 IV y = x + 3 V y = x + 3 Det är inte nog med att de är parallella, I,III och V är identiska. På samma sätt II och IV. KTH: Bestäm funktionen för den linje som går genom origo och skärningspunkten för linjerna L 1 : y = 4x + 13 och L : y = 7 x. TB: För en linje som går genom origo är m = 0. Vi ska alltså bestämma y = k x. För att får reda på k måste vi lösa ekvationen L 1 = L 4x + 13 = 7 x 4x + x = 7 13 6x = 6 x = 1 För x = 1 ger L 1 y = 9, skärningspunkten är alltså ( 1,9). Den andra punkten vi ska använda här är (0,0) och nu kan vi bestämma k k = 9 0 1 0 = 9 Så nu kan vi skriva funktionen som L 3 : x = 9x, eller hur KTH: Alldeles utmärkt. Känns det som du börjar behärska detta område nu? TB: Har ingen aning. Även om jag kunnat lösa de uppgifter du givit mig så finns det säker många andra som jag inte skulle klara. KTH: Det låter nästan som du vill ha fler! Vilket k-värde måste linjen y = kx + 5 ha för att gå genom punkten (3,11)? TB: Vi vet att linjen skär y-axeln i (0,5). Då har vi två punkter och kan enkelt räkna ut k-värdet Detta ger funktionen y = x + 5. Det var lätt k = 11 5 3 0 = KTH: Linjerna L 1 och L skär varandra i (4, 3). Bestäm linjernas funktioner då följande är givet { y = k x 11 y = m 3x Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

TB: Om jag sätter in den givna punkten i L 1 får jag 3 = k 4 11, som ger k =. Om jag på samma sätt sätter in punkten i L, så får jag 3 = m 3 4, m = 9. De två linjernas funktioner är då L 1 : y = x 11 och L : y = 3x + 9 KTH: Här får du tre linjer som tillsammans bildar en triangel vars area vi vill bestämma L 1 : y = 4x L : y = 6 L 3 : y = x TB: Jag har inte en aning om hur man ska göra. Hjälp mig. KTH: Här får du linjernas grafer, som säkert kommer att hjälpa dig in på rätt spår. 10 5-4 -3 - -1 1 3-5 -10-15 Figur 6: Ser du vilken linje som är vilken? TB: L är parallell med x-axeln, det är nog tursamt. Den linjen får bli bas i triangeln. Jag måste ta reda på var linjerna skär varandra L 1 = L, L 1 = L 3 och L = L 3. Mycket räkna blir det. Vi tar dem i tur och ordning: L 1 och L skär varandra i (,6) 4x = 6 x = 4x = x 6x = x = 1 3 L 1 (x) och L 3 (x) skär varandra i ( 1 3, 3 ) 6 = x x = 3 L (x) och L 3 (x) skär varandra i ( 3,6). Så här långt blev det ju ganska enkla uträkningar. Men sen? KTH: Hur lång är nu basen? Hur bestämmer man höjden? TB: Basen måste vara b = ( 3) = 5 och höjden h = 3 + 6 = 0 3. Nu kan jag använda: A = b h = 5 0 3 = 50 3 Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt? TB: Hur många som helst förstås. Det finns ju oändligt många k-värden. KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt och har ett givet k-värde? TB: Bara en KTH: Utan alltför mycket räknande ska du nu kunna skriva ned funktionerna för de fyra linjerna i figur 7 Figur 7: TB: Först tar vi de två linjerna som har positiva k värden A och B. A går genom origo och har då m=0. k-värdet är 1. Detta ger L A : y = x. B har också k-värdet 1, men skär y-axeln i (0, ) och då får jag L B : y = x. Så över till C och D. Båda har negativa k-värden rättare sagt k = 1. De är parallella. De skär y-axeln i (0,) respektive (0,4). Vilket ger L C : y = 4 x och L D : y = x KTH: Punkterna P1( 4, 17) och P(1,31) ligger på samma räta linje. Vilken är punkten P3 som också ligger på linjen, mitt emellan dessa? TB: x-koordinaten är (1 + ( 4))/ = 4 och y koordinaten är (31 + ( 17))/ = 7. P3 = (4, 7). Är det rätt? KTH: Ja TB: Ha ha, jag behövde inte bestämma någon funktion som jag först tänkte. Hur kunde det bli rätt egentligen. KTH: Att x-koordinaten är 4 är väl inte konstigt? Den ligger ju mitt emellan 4 och 1 på x axeln. På samma sätt är det mer eller mindre självklart att y-koordinaten är 7. En figur? Figur 8: Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge

KTH: Tack för den här gången TB: Tack själv. Jag måste faktiskt säga att det var otroligt jobbigt. KTH: Ja, men du har gjort ett bra jobb och kommer att klara alla uppgifter som har med räta linjen att göra. Håkan Strömberg 10 KTH Syd Haninge