Föreläsnng -2 732G70 Statstk A
Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd -46 2
Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt från den frågeställnng v vll besvara. - Studerande vd Lnköpngs unverstet, Campus Valla - Röstberättgade Sverge Antalet enheter populatonen betecknas med N. 3
Urval med och utan återläggnng Inom statstken är det vanlgt att man talar om ändlga respektve oändlga populatoner. En oändlg populaton förenklar räknearbetet, eftersom de enheter som väljs ut ur stckprovet då kan betraktas som oberoende. V har en skål med 5 kulor, vlken v betraktar som en populaton. Ur populatonen vll v dra ett stckprov om 3 kulor. Sannolkheten för en specfk kula att bl utvald som den första är /5. Nu fnns det bara fyra kulor kvar skålen. Sannolkheten för en specfk kula av de fyra som är kvar att bl utvald som den andra är /4. Sannolkheten för en specfk kula av de tre resterande att bl den ssta kulan är /3. V ser att sannolkheterna förändras mellan varje dragnng med statstskt språkbruk säger v att det råder ett beroende mellan dragnngarna. Om skålen stället hade nnehållt 0000 kulor och v skulle välja 3 hade sannolkheten för en specfk kula att bl utvald som den första vart /0000, som den andra /9999 och som den tredje /9998. Den praktska skllnaden sannolkhet mellan varje dragnng är så lten att den kan betraktas som försumbar, och v kan betrakta dragnngarna som oberoende. Ett vanlgt sätt att betrakta oändlga respektve ändlga populatoner är genom dragnng med eller utan återläggnng. Ett exempel på dragnng med återläggnng är tärnngskast: sannolkheten för sexa vd tärnngskast förändras nte oavsett hur många gånger v kastar tärnngen. En vanlg tumregel är att populatonen ur statstskt perspektv kan betraktas som oändlg om urvalet utgör mndre än 0% av populatonsstorleken. 4 4
Stckprov (Slumpmässgt) urval av enheter ur populatonen. Det fnns många olka metoder för att dra stckprov (detta behandlas senare kursen) men gemensamt för dem är att stckprovet ska vara så representatvt för populatonen som möjlgt. Antalet enheter stckprovet betecknas med n. 5
Varabel Varabel = resultatet av upprepade mätnngar eller observatoner av ett fenomen Kvaltatva varabler: varabler som ej mäts numerskt ( sfferform) Natonaltet Kvanttatva varabler: varabler som drekt mäts numerskt Dskreta kvanttatva varabler: kvanttatva varabler som endast antar heltalsvärden Kontnuerlga kvanttatva varabler: kvanttatva varabler som kan mätas med många decmalers noggrannhet Antal anställda vd ett företag (dskret kvanttatv varabel) En persons längd (kontnuerlg kvanttatv varabel) En varabel betecknas (oftast) med X (stort X), och de värden som observeras för varabeln betecknas x, x 2, (små x)
Nomnalskala Hos kvaltatva varabler. När varabelns möjlga värden bara kan betraktas som ckenumerska grupper utan nbördes ordnng Bedömer Du att generalndex kommer att stga under aprl månad? Varabeln ( )Ja ( )Nej Varabelns möjlga värden 7
Ordnalskala Hos kvaltatva eller kvanttatva varabler. När varabelns möjlga värden kan betraktas som grupper, antngen numerska eller ej, som kan rangordnas. Exempel kvaltatv varabel på ordnalskala: Hur bedömer Du Dn närmaste chefs ledaregenskaper? ( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Godkända ( ) Ganska dålga ( ) Mycket dålga Exempel kvanttatv varabel på ordnalskala: Hur många anställda har Ert företag? ( )0-5 ( )6-5 ( )6-50 ( )5-8
Metrsk skala Hos kvanttatva varabler. När varabeln drekt mäts numerska värden. Den daglga försäljnngen en butk... 20-0-9 6530 kr 20-0-20 2465 kr 20-0-2 8972 kr.. 9
En varabels fördelnng En varabels fördelnng är en sammanställnng över vlka värden varabeln kan anta och hur ofta respektve värde antas. Fördelnngar beskrvs oftast dagramform. Olka angreppssätt används för att beskrva fördelnngar för Kvaltatva varabler Kvanttatva dskreta varabler Kvanttatva kontnuerlga varabler 0
Exempel Företagshälsovården vd ett företag sänder ut en enkät där de anställda bland annat får svara på frågan Hur bedömer Du Dn närmaste chefs ledaregenskaper? ( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Varken bra eller dålga ( ) Ganska dålga ( ) Mycket dålga Resultaten sammanställs följande tabell Åskt (x) Antal (f) Mycket goda 42 Ganska goda 6 Varken bra eller dålga 84 Ganska dålga 23 Mycket dålga 0 Totalt 220
Att åskådlggöra fördelnngen för en kvaltatv varabel: stapeldagram 45% 40% 35% 30% 25% 20% 5% 0% 5% 0% Mycket goda Ganska goda Varken bra eller dålga Ganska dålga Mycket dålga 2
Alternatv metodk för att åskådlggöra fördelnngen för en kvaltatv varabel: crkeldagram Mycket goda Varken bra eller dålga Mycket dålga Ganska goda Ganska dålga 5% 0% 9% 38% 28% 3
Exempel En annan fråga på enkäten löd Hur många dagar veckan motonerar Du? ( ) Ingen ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 Resultaten sammanställs enlgt Antal dagar (x) Antal (f) Andel (%) 0 84 38 4 9 2 5 23 3 22 0 4 8 4 5 6 3 6 5 2 7 3 Totalt 220 00% 4
Att åskådlggöra fördelnngen för en dskret kvanttatv varabel: stolpdagram 45% 40% 35% 30% 25% 20% 5% 0% 5% 0% 0 2 3 4 5 6 7 Antal motonsdagar per vecka Stolpdagrammet är lkt stapeldagrammet, men rtas med smalare staplar 5
Exempel Dygnsmedeltemperatur (grader Celsus) centrala Lnköpng under jul månad 20. Dag 2 3 4 5 6 7 Temp 20.9 20.7 9. 6.6 8.7 9.8 9. Dag 8 9 0 2 3 4 Temp 9.2 8.6 8.4 7.3 7.8 6.0 4.7 Dag 5 6 7 8 9 20 2 Temp 6. 6.7 8.2 5.6 8.7 9.0 8.6 Dag 22 23 24 25 26 27 28 Temp 9.7 20. 7.0 9. 8.4 8.4 20.8 Dag 29 30 3 Temp 20. 9.0 9.9 6
Att åskådlggöra fördelnngen för en kvanttatv varabel: hstogram 35% 30% 25% 20% 5% 0% 5% 0% -5.9 6.0-6.9 7.0-7.9 8.0-8.9 9.0-9.9 20.0- Dygnsmedeltemperatur (grader Celsus) 7
Stam- och bladdagram V har samlat n nformaton om antalet tmmar to tmanställda vd ett företag arbetat under en vss vecka. 5 9 2 25 28 32 34 37 4 49 Åskådlggör fördelnngen för antalet tmmar de tmanställda arbetade vd företaget den aktuella veckan. 5 9 2 5 8 3 2 4 7 4 9 Stam Blad 8 8
Beskrvande mått Stckprovsmedelvärde beräknat på rådata x n n x Populatonsmedelvärde beräknat på rådata N N x V har noterat längden ( cm) på ett slumpmässgt urval om fem personer ur en populaton. 65 88 59 70 98 x 5 5 x 76 5 65 88 59 70 98 cm 9
Beskrvande mått Stckprovsmedelvärde beräknat på frekvenstabell x g f n x Populatonsmedelvärde beräknat på frekvenstabell g f N x där g är antalet klasser frekvenstabellen V betraktar återgen dygnsmedeltemperaturen jul månad 20. Beräkna genomsnttstemperaturen jul 20! Klass Antal (f) -5.9 2 6.0-6.9 4 7.0-7.9 3 8.0-8.9 8 9.0-9.9 9 20.0-5 20
Beskrvande mått Stckprovsstandardavvkelse beräknat på rådata s n x x Populatonsstandardavvkelse beräknat på rådata V har noterat längden ( cm) på ett slumpmässgt urval om fem personer ur en populaton. 65 88 59 70 98 s 5 N n x N 2 2 5 I populatonsstandardavvkelsen dvderar v med N stället för n. Det kommer sg av att populatonsmedelvärdet är en konstant och nte en varabel såsom stckprovsmedelvärdet 6. 4 5 2 2 2 2 x x 65 76 88 76... 98 76 2
22 Beskrvande mått Stckprovsstandardavvkelse beräknat på frekvenstabell: Populatonsstandardavvkelse beräknat på frekvenstabell: 2 2 2 n n x f x f x x f n s g g g N N x f x f x f N g g g 2 2 2 V betraktar återgen dygnsmedeltemperaturen jul månad 20. Klass Antal (f) -5.9 2 6.0-6.9 4 7.0-7.9 3 8.0-8.9 8 9.0-9.9 9 20.0-5
Beskrvande mått Stckprovsandel: p antal enheter stckprovet med studerad stckprovsstorlek egenskap Populatonsandel: antal enheter populatonen med studerad populatonsstorlek egenskap Företagshälsovården vd ett företag gör en undersöknng om rökvanor. För ett stckprov om 550 anställda uppgav 87 att de röker. Stckprovsandelen rökare är p = 87/550 = 0.34 Andelar uttrycks ofta procent, och v drar därför slutsatsen att 34% av de anställda som besvarade enkäten är rökare. 23
Beskrvande mått Medan beräknat på rådata: Om antalet observatoner fördelnngen är udda, så letar v upp det mttersta värdet det storleksordnade materalet Om antalet observatoner fördelnngen är jämnt, så måste v räkna ut medanen som medelvärdet av de två mttersta värdena det storleksordnade materalet Medanen lgger alltd på poston ett storleksordnat datamateral V har noterat längden ( cm) på ett stckprov om fem personer som dragts slumpmässgt ur en populaton. 59 65 70 88 98 (värdena har storleksordnats) V har vägt fyra personer: 53 62 70 85 n 2 24
Beskrvande mått Medan beräknat på frekvenstabell: M U M n F 2 f M M B M n = stckprovsstorlek U M = undre klassgräns för medanklassen F M- = kumulatv frekvens klassen före medanklassen f M = frekvens för medanklassen B M = klassbredd (övre undre gräns) för medanklassen Följande tabell redovsar åldrarna på de 80 medlemmarna en drottsförenng. Ålder (år) -9 5 20-24 3 25-29 24 30-39 4 40-4 Bestäm medanåldern drottsförenngen! Antal personer 25
Beskrvande mått Kvartler första kvartl (Q) = mttersta värdet första halvan av det storleksordnade materalet tredje kvartl (Q3) = mttersta värdet andra halvan av det storleksordnade materalet V har noterat längden ( cm) på ett stckprov om fem personer som dragts slumpmässgt ur en populaton. 59 65 70 88 98 (värdena har storleksordnats) Typvärde det vanlgast förekommande värdet en fördelnng V studerar valet av andraspåk bland ett urval gymnasster: Franska Spanska Spanska Tyska 26
När bör v använda vlka beskrvande mått? Kvaltatv varabel Dskret kvanttatv varabel Typvärde Medan Medelvärde Kontnuerlg kvanttatv varabel Medan Kvartler Standardavvkelse Kvartler Andelar Medelvärde Standardavvkelse Andelar 27
Standardvägnng Ett fackförbund önskar jämföra medellönen vd två företag nom samma verksamhetsområde. Följande nformaton samlas n. Befattnng Bolag A Antal personer Medellön (tkr) Bolag B Antal personer Mellanchef/chef 6 36.6 5 34.5 Tjänstemän 77 20.4 34 9.8 Admnstratv personal Jämför medellönen vd de två bolagen! 89 7.2 2 7. Medellön (tkr) Standardvägnng: metod för att kompensera för att fördelnngen av enheter är olka över kategorerna de grupper som undersöks. Räkna som med vägda medeltal men välj vkter enlgt totalantalet personer respektve radkategor. 28 2 8
Kaptel 3 Sannolkhetsteor Sd 47-78 29
Mängdlära Inom statstken använt som en metod för att hantera och åskådlggöra sannolkheter, men ur ett bredare perspektv en vktg byggsten nom matematk och logk. S = utfallsrum = samtlga möjlga utfall vd ett experment. När v kastar en tärnng fnns det 6 möjlga utfall: v defnerar utfallsrummet S som S = {, 2, 3, 4, 5, 6} Varje beståndsdel utfallsrummet kallas för ett element. Låt A = händelsen udda antal ögon upp vd tärnngskast B = händelsen högst 3 ögon upp vd tärnngskast Om mängden A ngår S säger v att A är en delmängd av S och tecknar detta som A S. 30 3 0
Sntt och unon Låt A och B vara två delmängder av S. Sntt Snttet ger de element som tllhör både A och B: tecknas A B Unon Unonen ger de element som tllhör A eller B (eller båda): tecknas A B 6 4 S 6 4 S B A AᴖB 2 3 5 B A 2 3 5 Sntt av A och B Unon av A och B 3 3
Dsjunkta (oförenlga) händelser Händelser som nte har någon gemensam mängd V drar ett kort ur en kortlek. Låt A = händelsen att kortet är ett hjärter B = händelsen att kortet är ett spader S Dsjunkta händelser framträder Venndagrammet som områden som nte har någon överlappande yta 32 3 2
Oberoende händelser Att händelser är oberoende nnebär att sannolkheten för att en händelse ska nträffa nte påverkas av att en annan händelse redan nträffat eller nte nträffat. Att händelser är oberoende kan man nte se Venndagrammet, utan här får v göra ett teoretskt övervägande (senare ska v dock studera matematska metoder) för att bestämma om händelserna är oberoende eller ej. Kasta tärnng två gånger och defnera händelserna A = händelsen att första kastet ger 6 ögon upp B = händelsen att andra kastet ger 6 ögon upp Då är händelserna A och B oberoende, eftersom de två tärnngskasten nte kan påverka varandra. Om händelserna A och B är dsjunkta så är de nte oberoende! Detta stämmer därför att när A nträffat så vet v att B nte kan nträffa. Alltså påverkar de varandra, och följaktlgen är de nte oberoende. 33 3 3
Multplkatonsprncpen Antag att en blfabrkant låter kunderna välja på röd, svart, blå eller grön lack, svart, grå eller bege nrednng och stora eller små fälgar. På hur många sätt kan en blspekulant komponera sn bl? Multplkatonsprncpen används när v tur och ordnng ska utföra k operatoner, och vll veta på hur många sätt operatonerna totalt kan utföras på. n n... 2 n k Multplkatonsprncpen åskådlggörs ofta träddagram. Kombnatonen grön lack och bege nrednng tllverkas nte. På hur många sätt kan en blspekulant komponera sn bl? 34 3 4
Permutatoner när alla element är olka En förenng har fyra medlemmar. Två medlemmar ska väljas ut och dessutom rangordnas. På hur många sätt kan det ske? När v har en mängd bestående av n element och ur denna vll välja ut k element en vss ordnngsföljd då varje element endast får användas en gång, så talar v om permutatoner när alla element är olka. Antalet permutatoner när alla element är olka beräknas enlgt P k n n! n k! 35 3 5
Permutatoner när vssa element är lka V har namnet BILL På hur många sätt kan bokstäverna namnet arrangeras? Antalet permutatoner av n element när k är av en typ, k 2 är av en annan typ, osv, är, 2,... P k k n n!! k!... k 2 {B,I,L,L} {B,L,I,L} {B,L,L,I} {I,B,L,L} {I,L,B,L} {I,L,L,B} {L,B,L,I} {L,B,I,L} {L,I,B,L} {L,I,L,B} {L,L,B,I} {L,L,I,B} 36 3 6
Kombnatoner utan upprepnng En skål nnehåller 4 alfapetbrckor, med bokstäverna A D O S V drar slumpmässgt och utan återläggnng 2 brckor ur skålen. Hur många kombnatoner av två bokstäver kan v få? När v utan hänsyn tll ordnngen bland totalt n element väljer ut en delmängd om k element. Varje element kan bara väljas ut en gång varför stuatonen kan betraktas som dragnng utan återläggnng. Antalet kombnatoner utan upprepnng när k element väljs ut bland n är C k n n k n! k!n k! 37 3 7
Kombnatoner vd upprepnng V tar tre skopor glass och vd varje skopa kan v välja mellan 5 smaker. På hur många sätt kan en glass konstrueras? En kombnaton vd upprepnng fås när v utan hänsyn tll ordnngen bland totalt n element väljer ut en delmängd om k element och där varje element kan väljas ut mer än en gång (dragnng med återläggnng). Låt n vara antalet element v väljer bland och k antalet element v väljer ut. Antalet kombnatoner vd upprepnng är då ' C k n n k k n k! k! n! 38 3 8