Om immersioner och Whitneys inbäddningssats

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om immersioner och Whitneys inbäddningssats Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 1 (11) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi se att vi alltid kan realisera en abstrakt mångfald som en undermångfald till något R n. Detta gör inte begreppet abstrakt mångfald onödigt, som vi sett handlar det om hur en individ som inte kan uppfatta det omgivande rummet måste uppfatta sin värld. Dessutom är det så att själva realiseringen kan göras på olika sätt: om vi vill realisera en abstrakt yta i rummet behöver nämligen inte antalet dimensioner räcka till för att skapa en hel mångfald. Vi ska se på några kända exempel på detta som Kleins flaska. 2 Whitneys inbäddningsats (i den svaga formen) Låt M och N vara två glatta mångfalder sådana att att dim N > dim M. Om f är en immersion gäller att om U M är tillräckligt liten, så är f(u) en undermångfald till N. Globalt kan däremot underliga ting hända. För det första behöver en immersion inte vara injektiv. För det andra behöver inte bilden f(m) ens av en injektiv immersion vara en mångfald i N. Detta illustreras i figuren till höger med bilden av två immersioner. Den vänstra (röda) kurvan, som är en immersion av enhetscirkeln i planet, är inte injektiv, medan för högra (blå) kurvan, som är en immersion av den reella axeln i planet, har inte en bild som är en mångfald (vid pilen antas den komma godtyckligt nära resten av kurvan). Det globala begreppet svarande mot immersion är Definition En glatt avbildning f : M N kallas en inbäddning om f(m) är en undermångfald till N och avbildningen f : M f(m) är en diffeomorfism. Ett nödvändigt villkor för att vara en inbäddning är uppenbarligen att f är en injektiv immersion. Om M är kompakt är det också tillräckligt, men inte i allmänhet som vi ska återkomma till. Att inbädda en abstrakt mångfald M i något N = R N innebär att vi tar atlasen och limmar ihop de olika kartbladen i överlappen enligt instruktionen vi får från övergångsfunktionerna. Om vi t.ex. limmar ihop kartbladen från en världsatlas på ett lämpligt sätt kan vi rekonstruera en sfär, jordklotet. Frågan är om det alltid går att göra detta för en abstrakt mångfald. Nästa lemma visar att det alltid går för en kompakt delmängd av den abstrakta mångfalden. Beviset bygger på att vi i princip använder nya dimensioner för varje hoplimning. Med en karta med många kartblad får vi därför en inbäddning i ett gigantiskt rum. Lemma 1 Om K M är en kompakt delmängd så kan K inbäddas i R N tillräckligt stort N. för ett Bevis. Antag först att K ligger i en karta (U, φ). Det betyder att φ är en inbäddning av U i R k, där k = dim M. Om vi tar en funktion χ som är ett på K och noll utanför U så

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 2 (11) blir p (χ(p)φ(p), χ(p)) en injektiv immersion på X R k+1, definierad i en omgivning av K. För allmänna K tar vi en ändlig kartövertäckning {(U i, φ i } m 1 av K och låter {χ i } m 1 vara en underordnad partition av enheten till {U i }. Vi kan då definiera Φ : M p (χ 1 (p)φ 1 (p),..., χ m (p)φ m (p), χ 1 (p),..., χ m (p)) R m(k+1). Den är injektiv, ty om Φ(p 1 ) = Φ(p 2 ) så gäller för något i att χ i (p 1 ) = χ i (p 2 ) 0. Men då gäller också att φ i (p 1 ) = φ i (p 2 ) och därför att p 1 = p 2. För att se att Φ är en immersion beräknar vi dess differential dφ = (dχ 1 φ 1 + χ 1 dφ 1,..., dχ m φ k + χ m dφ k, dφ 1,..., dφ m ). Att dφ(v) = 0 betyder då att dχ i (v) = χ i dφ i (v) = 0 för alla i. Men i varje punkt är χ i 0 för något i, och då måste dφ i (v) = 0. Eftersom dφ i är injektiv, följer att v = 0. Vi har alltså att Φ är en injektiv immersion i en omgivning av K, och därför en inbäddning av K. Dock är detta ett ganska intetsägande resultat eftersom dimensionen N kan vara enormt stort. Vi ska emellertid visa att sedan vi väl vet att det går att inbädda en mångfald i något rum, så kan vi reducera dimensionen på det omgivande rummet till hanterbara nivåer. Vi ska göra det genom att successivt projicera på olika hyperplan. Vi måste bara göra det på sådant sätt att projektionen av mångfalden också är en mångfald. Att bilden ska vara en mångfald innebär att vi måste undvika vissa projektionsriktningar, som vi nu ska se. Vi kan anta att M är en undermångfald i R N, så att den första inbäddningen redan är gjord. Till en given enhetsvektor v S N 1 definierar vi P v : R N R N 1 som den ortogonala projektionen på hyperplanet v = {x; x v = 0}, följt av en identifikation av detta med R N 1 genom att vi väljer en bas i v. Låt Y = P v (M). Att P v : M Y inte är injektiv innebär då att det finns två punkter p 1, p 2 på M som avbildas på samma punkt i Y, vilket betyder att v är parallell med en korda i M. Att P v inte är en immersion i en punkt p innebär att det finns en tangentvektor w till M sådan att dp v (w) = 0. Men P v är en linjär avbildning så detta betyder att P v (w) = 0, dvs w är parallell med v. I figuren till höger är de två fallen illustrerade detta för projektionen på xz-planet. Den röda kurvan, som ligger i xz-planet, är projektionen av den svarta, reguljära, rymdkurvan. Dessutom är markerat två problem med denna projektion, som gör att den röda projektionskurvan inte är en reguljär kurva. Den gröna pilen är tangentriktning till ursprungskurvan i punkten den är fäst, vilket betyder att i den punkten får den röda kurvan en (icke-differentierbar) spets. Den

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 3 (11) blå pilen visar att motsvarande punkt på den röda kurvan har två ursprungsbilder, d.v.s. projektionen sker längs en korda. I den punkten skär den projektionskurvan över sig själv. Om vi därför kan hitta en riktning v som varken är parallell med en korda i M eller med en tangentvektor till M, så kan vi projicera M på Y i R N 1 och alltjämt få en mångfald. (Mer precist, om f : M R N är den ursprungliga inbäddningen, så får vi en ny inbäddning genom P v f : M R N 1. Morse-Sards sats medför nu att om N > 2k + 1 så är nästan inga riktningar tangenter eller kordor till M. För att se detta, definiera h : M M R R N genom h(x, y, t) = t(f(x) f(y)). Då består värderummet för h av alla vektorer som är parallella med kordor i M. Eftersom 2k +1 < N utgör dessa en nollmängd i R N. Med andra ord, om N > 2k +1 går det att hitta riktningar som inte är någon korda i M, så avbildningen blir injektiv. Vidare, tangentvektorerna till M utgör en 2k-dimensionell mängd, så om 2k < N så utgör de också en nollmängd i R N. Vi har därmed nästan bevisat Sats 1 (Whitney) M är en k-dimensionell mångfald finns en inbäddning f : M R 2k+1 och det finns en immersion f : M R 2m. Vi har visat satsen om M är kompakt. Det vi behöver göra om den inte är kompakt återkommer vi till längre fram i detta kapitel. Anmärkning Strax efter att han visat denna sats, förbättrade Whitney med stor möda satsen genom att visa att varje k-dimensionell mångfald kan inbäddas i R 2k. Det betyder t.ex. att alla 2-dimensionella ytor kan inbäddas i R 4. Exempel nedan visar att det finns 2-dimensionella ytor som inte kan inbäddas i något lägre rum, så det är bästa möjliga resultat. 3 Om Möbiusbandet och Kleins flaska Enhetscirkeln S 1 uppkommer genom att vi tar intervallet [0, 1] och identifierar dess ändpunkter. Som abstrakt mångfald definieras den t.ex. genom tvä övertäckningar U 1 = (0.2, 0.8) och U 2 = [0, 0.3) (0.7, 1], där U 2 är sammanhängande eftersom ändpunkterna 0 och 1 har identifierats. Vi realisera denna som bilden av [0, 1] θ (cos 2πθ, sin 2πθ) R 2, alltså den vanliga enhetscirkeln. Vi har först en abstrakt definition av enhetscirkeln (intervallet + atlasen) och sedan inbäddar vi denna i planet. Vi ska nu föra motsvarande diskussion på kvadraten, i det att vi på olika sätt ska identifiera dess sidor. Låt oss dock först kommentera s.k. produktmångfalder. Om M och N är två glatta mångfalder, så konstrueras enkelt produktmångfalden M N = {(p, q); p M, q N} på följande sätt. Kring p M tar vi en karta (φ, U) och kring q N tar vi en karta (ψ, V ). Då får vi en karta kring (p, q) M N genom den öppna mängden U V och funktionen (x, y) (φ(x), ψ(y)). Vi ser att dim(m N) = dim M + dim N. T.ex. gäller att en kvadrat är en produkt I I, där I R är ett intervall. I diskussionen nedan låter vi I = [0, 2π], eftersom vi vill använda x (cos x, sin x) som realiseringen av enhetscirkeln i planet.

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 4 (11) Om vi på kvadraten I I identifierar höger och vänster sida får vi produktmångfalden, S 1 I. Denna inbäddas naturlig naturligt i rummet genom I I (θ, φ) (cos θ, sin θ, φ) R 3. Bilden blir alltså en cylinder, vilken är en yta med rand (som består av två cirklar). De sträckade bitarna utgör randbitar på två öppna omgivningar (utifrån definitionen av S 1 ) som definierar den abstrakta mångfalden. Anmärkning En produktmångfald av två mångfalder utan rand saknar rand. En produktmångfald av en mångfald utan rand och en med rand blir en mångfald med rand. Cylindern är ett exempel. En produktmångfald av två mångfalder med rand blir inte en mångfald med rand, utan ett mer komplicerat begrepp en mångfald med hörn. Som exempel kan vi ta I I (utan identifikation av några ränder). Om vi identifierar mer än en sida på vår kvadrat får vi en mångfald som naturligt inbäddas i R 4. Eftersom vi inte kan föreställa oss fyra dimensioner, vill vi gärna försöka förstå dem i rummet, vilket går med växlande framgång. Vi börjar diskussionen med att gå igenom hur vi naturligt inbäddar dem i R 4 för att sedan projicera resultatet på rummet. Om vi identifierar både höger och vänster sida och dessutom nedre och över sidan så får vi produktmångfalden T 2 = S 1 S 1, som kallas en torus, vilken är en kompakt yta utan rand. Vi börjar med att inbädda den som en 2-dimensionell yta i R 4 genom I I (θ, φ) (cos θ, sin θ, cos φ, sin φ) R 4. Vi har alltså endast inbäddat varje cirkel i var sitt plan på samma sätt som vi gjorde ovan. För att skapa en bild av torusen i rummet, gör vi så att vi till varje punkt c(θ) = (cos θ, sin θ, 0) på enhetscirkeln i xy-planet lägger ett 2-dimensionellt plan vinkelrät mot cirkeln och i detta ritar vi ut en skalad version av den kurva som ligger i det plan som utgörs av de två sista koordinaterna i R 4. Detta plan spänns upp av de två basvektorerna c(θ) och e 3 = (0, 0, 1) och vi får därför avbildningen I I (θ, φ) c(θ) + a cos φ c(θ) + a sin φ e 3

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 5 (11) = ((1 + a cos φ) cos θ, (1 + a cos φ) sin θ, a sin φ) R 3. Vi har nu tre fall: 0 < a < 1, a = 1 och a > 1. När 0 < a < 1 får vi följande välkända badring: Om a 1 upphör emellertid avbildningen att vara injektiv. I bilderna nedan har vi skurit upp bilden för att visa detta. I den till vänster har vi a = 1, och då ser vi att de två insidorna tangerar varandra längs en cirkel. I figuren till höger har vi a > 1, i vilket fall vi ser hur rören så att säga skär in i varandra. Nu har vi tittat på de fall som innebär att vi identifierar motstående sidor i kvadraten med samma orientering. Vi ska nu titta på fall när vi identifierar sidorna med omvänd orientering. Om vi börjar med att klistra ihop cylindern på sådant sätt att sidorna som klistras ihop efter att den ena sidan har vridits ett halvt varv, så får vi en mängd som vi kan realisera i R 4 genom avbildningen I I (θ, φ) (cos θ, sin θ, φ cos θ 2, φ sin θ 2 ) R4. Vi ser här att de två sista koordinaterna innebär att vi roterar linjen ett halvt varv samtidigt som vi rör oss runt cirkeln som ges av de två första koordinaterna. Den abstrakta mångfalden kallas Möbiusbandet och är en 2-dimensionell yta med rand, där randen består av en enda sluten kurva. Det är inte orienterbart. Detta inses i den vänstra figuren nedan, som s.a.s. beskriver den abstrakta mångfalden, genom att ett orienterat koordinatsystem på rektangeln som förs igenom de hopklistrade sidorna kommer ut med motsatt orientering. Anmärkning Att Möbiusbandet inte är orienterbart har följande konsekvens. Antag att det bor 2-dimensionella varelser på ytan som är högerhänta. En dag reser några av dem längs bandet och återkommer efter en tid tillbaka sin ursprungsplats. Då är de vänsterhänta! Detta är vad som händer om vi rör oss runt en icke-orienterbar 2-dimensionell yta. På en orienterbar yta kommer de tillbaka högerhänta.

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 6 (11) Även Möbiusbandet kan vi inbädda i rummet, och det på samma sätt som torusen ovan. (θ, φ) c(θ)+aφ cos θ 2 c(θ)+aφ sin θ 2 e 3 = ((1+aφ cos θ 2 ) cos θ, (1+aφ cos θ 2 ) sin θ, aφ sin θ 2 ). Om a är tillräckligt liten får vi det konkreta Möbiusbandet ovan till höger. Anmärkning Att Möbiusbandet inte är orienterbart kan också illustreras genom följande partytrick: klipp upp det längs dess mittcirkel. Om man gör detta med cylindern får man två delar, men gör man det med Möbiusbandet får man bara en sammanhängande yta, som blir en cylinder. För vår nästa konstruktion ska vi klistra ihop båda sidorparen av kvadraten, men nu så att det ena paret klistras ihop med omvänd orientering. Av samma skäl som ovan får vi då en icke-orienterbar yta. Den abstrakta mångfalden illustreras i figuren nedan till vänster i form av en atlas bestående av fyra övertäckningar. De med samma färg på den sträckade randen hänger ihop. Det är svårt att föreställa sig vad resultatet blir: det vi ska lyckas med är att först rulla ihop kvadraten till en cylinder och sedan limma ihop de två ändarna i motsatt riktning. Det betyder att de ska limmas ihop när de kommer från samma håll, såsom illustrerat i figuren nedan till höger. Vi inser snart att det är omöjligt att göra i rummet utan att ytan skär över sig själv antalet dimensioner räcker helt enkelt inte till. Anmärkning Man inser lätt att denna yta inte är orienterbar. Om en myra kryper in i röret genom öppningen till vänster och kryper längs ena sidan kommer den efter en stund att upptäcka att den befinner sig på utsidan! Fast å andra sidan kan den inte ta sig igenom stället där ytan skär sig själv! Det går dock att inbädda ytan i R 4, vilket t.ex. avbildningen I I (θ, φ) (cos θ cos φ, sin θ cos φ, cos θ 2 sin φ, sin θ sin φ) R4 2

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 7 (11) visar. (Behöver förstås bättre!) En kanske bättre bild ges av funktionen (θ, φ) ((1 + a cos φ) cos θ, (1 + a cos φ) sin θ, a cos( θ 2 ) sin φ, a sin(θ 2 ) sin φ) R4. Den är uppkommen genom att vi tar en torus men istället för att transportera en cirkel runt den stora cirkeln, har vi ett helt tvådimensionellt rum i vilket vi har en cirkel som samtidigt roterar ett halvt varv som vi går runt storcirkeln. Den 2-dimensionella ytan, som är en icke-orienterbar, kompakt, mångfald utan rand, kallas Kleins flaska. Ett annat sätt att se på Kleins flaska är att dela vår enhetskvadrat vertikalt. Detta ger oss två Möbiusband, och om vi vänder det ena och klistrar ihop dem får vi Kleins flaska. Vi börjar då med att inbädda i R 4 med avbildningen I I (θ, φ) ((1+ɛ sin φ) cos θ, (1+ɛ sin φ) sin θ, cos( θ 2 ) sin φ sin(θ 2 ) sin(2φ), sin(θ 2 ) sin φ+cos(θ 2 ) sin(2φ)). Här är ɛ > 0 ett litet tal som är där för att undvika att ytan skär över sig själv. Ur den skapar vi sedan följande immersion i rummet: x = ((1 + a(cos( θ) sin φ sin( θ ) sin(2φ))) cos θ 2 2 I I (θ, φ) y = (1 + a(cos( θ 2 ) sin φ sin( θ ) sin(2φ))) sin θ 2 z = a(sin( θ) sin φ + cos( θ) sin(2φ)) 2 2 Denna föreställer en siffra 8 (svarande mot den plana kurvan t (sin t, sin 2t) som samtidigt som dess ögla transporteras runt en cirkel vrids på samma sätt som linjestycket vreds för Möbiusbandet. Det finns ytterligare ett fall: när båda sidparen ska klistras ihop efter rotation. Vi diskuterar det fallet i ett eget avsnitt nedan. Anmärkning En sammanhängande, icke-orienterbar och kompakt yta utan rand kan aldrig inbäddas i rummet. Detta följer ur Jordans separationssats 1, som visar att den inbäddade mångfalden i så fall skulle ha en utsida och en insida, och alltså vara orienterbar. Därför kan Kleins flaska inte realiseras i rummet utan att den skär över sig själv. 4 Inbäddningar av icke-kompakta mångfalder En inbäddning är självklart en injektiv immersion, men omvändningen är ej sann. Det krävs ytterligare villkor, väsentligen på avbildningens uppförande i oändligheten.

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 8 (11) Exempel 1 Torusen T 2 definieras som R 2 /Z 2, vilket är ekvivalent med den ovan, där vi istället identifierade sidorna på enhetskvadraten parvis. En linje i planet genom origo: c(t) = (αt, βt) definierar då en immersion R T 2. Om lutningen β/α är rationell blir detta en sluten kurva på torusen. Dess projektion på x 1 x 3 -planet t (cos αt, cos βt) blir en Lissajonkurva. Om β/α är irrationell så är c en injektiv immersion (varför) och man kan visa (Kronecker) att dess bild är tät i T 2. Bilden återkommer oändligt många gånger till varje omgivning till varje fix punkt. Det irrationella fallet är illustrerat nedan efter att vi inbäddat T 2 som en badring i rummet: För att se vad mer som krävs för att en injektiv immersion ska bli en inbäddning gör vi följande Definition En avbildning f : M N sägs vara proper om det för varje kompakt mängd K gäller att f 1 (K) är kompakt. Lägg märke till att om f : M Z är proper och Z N så är det inte säkert att f : M N är proper 2. Låt till exempel M = Z och f = id, där M är en öppen begränsad delmängd av N = R n. Om Z är sluten i N blir f : M N proper, ty då gäller att K Z är kompakt för varje kompakt delmängd K i N. Exempel 2 Att en avbildning f : R n R m är proper är ekvivalent med att det gäller att f(x) då x. Det är självklart att om M är kompakt så är varje kontinuerlig avbildning f : M N proper. Vi har nu följande sats Sats 2 Att en glatt avbildning f : M N är en inbäddning är ekvivalent med att f är en injektiv immersion och att f : M f(m) är proper. När så är fallet gäller att f(m) är sluten precis då f : M N är proper. Bevis. Vi är redan klara med nödvändigheten. Vi ska nu visa att om f är proper så är f sluten, dvs att bilden av en sluten mängd är en sluten mängd. Detta är ekvivalent med att f 1 : f(m) M är kontinuerlig. Sedan följer ur inversa funktionssatsen att f 1 är kontinuerlig, eftersom f är immersion. Låt nu f vara en bijektiv och proper avbildning). Antag att A M är sluten. Vi skall visa att f(a) är sluten. Låt {y k } A och antag att y k y 0 då k. Då är {y k } k=0 en kompakt mängd. Låt x k = f 1 (y k ) A. Då är {x k } kompakt eftersom f är proper. Vi kan därför välja en konvergent delföljd x k x 0. Men y k = f(x k ) f(x 0), så f(x 0) = f(x 0 ) och alltså x 0 = x 0. Eftersom A är sluten, gäller att x 0 tillhör A och därmed att y 0 = f(x 0 ) f(a).

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 9 (11) Vi kan nu komplettera beviset av Whitneys inbäddningssats genom att visa att den även gäller för icke-kompakta mångfalder. Det vi ska visa är följande resultat. Sats 3 Om f : M R N är en glatt och proper avbildning med N 2k + 1 där k = dim M, och ɛ en kontinuerlig positiv funktion på M, så kan man finna en inbäddning g : M R N sådan att g(x) f(x) < ɛ(x), x X. Bevis. Vi kan anta att ɛ är så liten att x f(x) ɛ(x) är proper och då kommer g som uppfyller villkoret att automatiskt vara proper. Låt M 1, M 2,... vara en följd av kompakta delmängder av M, var och en i det inre av nästa, så att M j = M. Vi ska då successivt konstruera g j : M R N sådana att g 0 (x) = f(x) och g j (x) g j 1 (x) < ɛ/2 j. Vidare ska g j vara en injektiv immersion på M j och g j = g j 1 på M j 1. Antag nu att g j 1 har valts. Vi kan då hitta ett h : M R ν med kompakt stöd så att (g j 1, h) blir en injektiv immersion av M j i R N+ν och vi kan anta att h = 0 på M j 1. Med hjälp av projektioner kan vi sedan hitta en linjär transformation T : R ν R N med godtyckligt liten norm för vilken g j = g j 1 + T h är en injektiv immersion av M j. Nu är det klart att g = lim j g j existerar och är lika med g j på M j och därför är en injektiv immersion. Detta bevisar satsen. 5 Om projektiva rum Vi återvänder nu till problemet att inbädda abstrakta mångfalder definierade genom att identifiera sidor i olika enhetskvadraten i planet. Vi hade ett fall kvar att betrakta, nämligen där identifikationen sker som i kvadraten nedan till vänster. Vi har här utgått ifrån enhetskvadraten och visat på två par av punkter som ska identifieras. Sedan har vi rundat av två hörn och istället skapat en cirkelskiva i vilken motstående punkter på randen ska identifieras. Detta är samma sak som en halvsfär där motstående punkter på randen är identifierade. Men detta i sin tur kan vi tänka på så att vi utgår ifrån enhetssfären S 2 och identifierar motstående punkter. Motstående punkter på en sfär sägs vara antipodala. Denna sista beskrivning ger oss en bra metod att beskriva den abstrakta mångfalden. Vi övertäcker först S 2 med 8 stycken halvsfärer, som parvis är sådana att i varje par av halvsfärer består den ene av de antipodala punkterna till den andra. Dessa identifieras, vilket ger oss tre kartor. Resultatet blir en kompakt, icke-orienterbar, 2-dimensionell mångfald.

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 10 (11) Denna mångfald kallas det projektiva planet och betecknas P 2. För att visualisera den utifrån sin konstruktion kan vi ta den nedre hemisfären och försöka klistra ihop ekvatorns antipodala punkter genom att dra den upp mot den punkt där nordpolen var och sy ihop de antipoda punkterna. Det krävs en bit där ytan skär sig själv. Resultatet blir alltså inte en undermångfald i rummet. För att inbädda det projektiva planet i något R n behöver vi en antipodal inbäddning Φ : S 2 R n, alltså en som är sådan att Φ( x) = Φ(x). Detta går inte i rummet, men i R 4. För att se det definierar vi Φ(x, y, z) = (x 2 y 2, xy, xz, yz) som är antipodal. Dessutom är den injektiv som funktion på S 2. För att se att den har rang 2 överallt börjar vi med att beräkna dess differential dφ(x, y, z) = (2xdx 2ydy, ydx + xdy, zdx + xdz, zdy + ydz). På S 2 har vi xdx + ydy + zdz = 0. Om vi t.ex. antar att z 0 och löser ut dz så får vi då att dφ(x, y, z) = 1 z (2xz, yz, z2 x 2, xy)dx + 1 z ( 2yz, xz, xy, z2 y 2 )dy. Här är koefficienterna linjärt oberoende för alla punkter på enhetssfären, och alltså är Φ en immersion av S 2. Eftersom den är antipodal följer att den inbäddar det projektiva planet i R 4. Däremot kan vi hitta olika immersioner i rummet. Vi kan t.ex. kombinera standardparametriseringen [0, π] [0, 2π] (θ, φ) (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) S 2 med avbildningen (x, y, z) (yz, 2xy, x 2 y 2 ), som ger immersionen (θ, φ) ( 1 2 sin 2θ sin φ, sin2 θ sin 2φ, sin 2 θ cos 2φ). En annan immersion får vi genom att istället sammansätta parametriseringen av enhetssfären ovan med avbildningen vilket ger (x, y, z) (yz, zx, xy), (θ, φ) 1 2 (sin θ sin 2φ, cos θ sin 2φ, sin 2θ cos2 φ). Ett alternativt sätt att beskriva det projektiva planet på är som följer. Vi kan börja med att konstatera att vi kan identifiera enhetssfären med alla orienterade linjer genom origo i rummet. Detta därför att en sådan bestäms entydigt av sin riktningsvektor. Om vi stryker ordet orienterade, så ska vi identifiera vektorerna v och v, vilket betyder att vi kan identifiera punkterna i det projektiva planet med linjerna

Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 11 (11) genom origo i rummet. Vi beskriver alltså mängden av alla linjer genom origo i rummet som en mångfald. Detta kan generaliseras till n-dimensionella projektiva rum P n, vilka definieras som mängden av alla räta linjer i R n+1 som går genom origo. Man kan uttrycka det som att vi identifierar antipodala punkter på sfären, eller som en ekvivalensklass på R n+1 \ {0} genom ekvivalensrelationen x y x = ty för något t 0. Låt [x] beteckna den punkt i P n som svarar mot x R n+1. Härigenom definieras en abstrakt n-dimensionell mångfald, vilket vi ser genom att använda de delmängder vi får om vi tar hyperplanen x i = 0, U i = {[x 0, x 1,..., x n ]; x i 0}, i = 0,..., n tillsammans med avbildningen U i [x] ( 1)n x i (x 0,..., x i 1, x i+1,..., x n+1 ) R n \{0} som kartor. (Inversen får vi genom att sätta in en 1:a på plats i.) Övergångsfunktionerna på överlappen kommer då för i < j att få formen φ ij (y 1,..., y n ) = ( 1)i+j y i+1 (y 1,..., y i, y i+2,..., y j, 1, y j+1,..., y n ) och motsvarande då i > j. En inbäddning av P n i R N, N = 2(n + 1) ges av bilden av avbildningen φ : S n (x 0, x 1,..., x n ) (x 2 0, x 0 x 1,..., x n x n 1, x 2 n) = xx t R 2(n+1). Anmärkning De ytor vi har diskuterat i detta kapitel diskuteras ytterligare i artiklarna Om trianguleringar och Eulerkarakteristiken och Klassificering av mångfalder. I dessa diskuteras vilka olika sorters kompakta 2D ytor utan rand som överhuvudtaget finns, om vi identifierar dem som är diffeomorfa. Noteringar 1. Se kapitlet Om lösningar till glatta ekvationer och binära skärningstal 2. Ska vi vara formella menas härmed sammansättningen av inklusionsavbildningen ι Z Y och f