Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.1/15 Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet Mario Natiello Matematikcentrum (LTH) Lunds Universitet

Kortfattad historia omπ Innehåll

Kortfattad historia omπ π och areor Innehåll

Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Innehåll

Innehåll Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Att bestämma läget utan GPS

Innehåll Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Att bestämma läget utan GPS π och sannolikhetsläran

Innehåll Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Att bestämma läget utan GPS π och sannolikhetsläran Bestämπmed synålar

Innehåll Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Att bestämma läget utan GPS π och sannolikhetsläran Bestämπmed synålar Matematikens förbluffande förträfflighet

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.2/15 Innehåll Kortfattad historia omπ π och areor π och vinklar Att bestämma läget utan GPS π och sannolikhetsläran Bestämπmed synålar Matematikens förbluffande förträfflighet END

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel.

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60.

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60. 3 π 57 60 + 36 60 2, dvsπ 25 8 = 3.125

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60. 3 π 57 60 + 36 60 2, dvsπ 25 8 = 3.125 Egypten : Areor, 1650 f t

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60. 3 π 57 60 + 36 60 2, dvsπ 25 8 = 3.125 Egypten : Areor, 1650 f t Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t

Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60. 3 π 57 60 + 36 60 2, dvsπ 25 8 = 3.125 Egypten : Areor, 1650 f t Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t China : Gränsvärde, ca 250 e t

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.3/15 Kortfattad historia omπ Babylon: Kilskrift på lertabletter, 2000 f t Kvoten mellan omkretsen av en hexagon och den av en utskriven cirkel. Talsystem i bas 60. 3 π 57 60 + 36 60 2, dvsπ 25 8 = 3.125 Egypten : Areor, 1650 f t Grekland : Uttömningsprincipen, 250 f t China : Gränsvärde, ca 250 e t Tillbaka till Innehåll

Rhind papyrus, 1650 f t π i Egypten?

Rhind papyrus, 1650 f t π i Egypten?

Rhind papyrus, 1650 f t π i Egypten? Example of finding the area of a round field with a diameter of 9 khet. What is its area? Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore the area is 64 setjat. (1 khet 52.3 m).

Rhind papyrus, 1650 f t π i Egypten? Example of finding the area of a round field with a diameter of 9 khet. What is its area? Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore the area is 64 setjat. (1 khet 52.3 m). π ( 9 2 ) 2 8 8, dvsπ 4 64 81 3.16.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.4/15 Rhind papyrus, 1650 f t π i Egypten? Example of finding the area of a round field with a diameter of 9 khet. What is its area? Take away 1/9 of its diameter, namely 1. The remainder is 8. Multiply 8 times, making 64. Therefore the area is 64 setjat. (1 khet 52.3 m). π ( 9 2 ) 2 8 8, dvsπ 4 64 81 3.16. Tillbaka till historia

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två regelbundna polygoner

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två regelbundna polygoner φ φ = 1 2 2π 6 A S = 6 cosφsinφ A L = 6 tanφ n cos π n sinπ n π n tanπ n

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två regelbundna polygoner φ φ = 1 2 2π 6 A S = 6 cosφsinφ A L = 6 tanφ n cos π n sinπ n π n tanπ n Kallas även instängningsprincipen.

π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två regelbundna polygoner φ φ = 1 2 2π 6 A S = 6 cosφsinφ A L = 6 tanφ n cos π n sinπ n π n tanπ n Kallas även instängningsprincipen. n = 96, 192: 223 71 3.1410<π<3.1428 22 7.

Tillbaka till historia Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.5/15 π i Grekland Hellre geometri än aritmetik Archimedes av Syracusa Arean av en cirkel kan stängas in mellan arean hos två regelbundna polygoner φ φ = 1 2 2π 6 A S = 6 cosφsinφ A L = 6 tanφ n cos π n sinπ n π n tanπ n Kallas även instängningsprincipen. n = 96, 192: 223 71 3.1410<π<3.1428 22 7.

Liu Hui: lim n A n = A circ. π i China

π i China Liu Hui: lim n A n = A circ. r p M 6 M 12 ( M6 2 ( M6 2 M 2 12 = 2 ) 2 + p 2 = r 2 ) 2 + (r p) 2 = M 2 ( r 2 r 12 r 2 M 2 6 4 )

π i China Liu Hui: lim n A n = A circ. p A n = n Mn r M 6 M 12 ( M6 2 ( M6 2 M 2 12 = 2 ) 2 + p 2 = r 2 ) 2 + (r p) 2 = M 2 ( r 2 r r 2 M2 n 4 2, n = 6, 12, 24,, 6 2 k. 12 r 2 M 2 6 4 )

π i China Liu Hui: lim n A n = A circ. p A n = n Mn r M 6 M 12 ( M6 2 ( M6 2 M 2 12 = 2 ) 2 + p 2 = r 2 ) 2 + (r p) 2 = M 2 ( r 2 r r 2 M2 n 4 2, n = 6, 12, 24,, 6 2 k. 12 r 2 M 2 6 4 r = 1 = M 6, n = 3072: 3.141590<π<3.141597. )

π i China Liu Hui: lim n A n = A circ. p A n = n Mn r M 6 M 12 ( M6 2 ( M6 2 M 2 12 = 2 ) 2 + p 2 = r 2 ) 2 + (r p) 2 = M 2 ( r 2 r r 2 M2 n 4 2, n = 6, 12, 24,, 6 2 k. 12 r 2 M 2 6 4 r = 1 = M 6, n = 3072: 3.141590<π<3.141597. Lite bättre med omkretsen: s 3072 3.141592. )

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.6/15 π i China Liu Hui: lim n A n = A circ. r p A n = n Mn M 6 M 12 ( M6 2 ( M6 2 M 2 12 = 2 ) 2 + p 2 = r 2 ) 2 + (r p) 2 = M 2 ( r 2 r r 2 M2 n 4 2, n = 6, 12, 24,, 6 2 k. 12 r 2 M 2 6 4 r = 1 = M 6, n = 3072: 3.141590<π<3.141597. Lite bättre med omkretsen: s 3072 3.141592. ) Tillbaka till historia

π och areor π förekommer naturligt.

π och areor π förekommer naturligt. Arean av en cirkel med radie 1.

π och areor π förekommer naturligt. Arean av en cirkel med radie 1. Halva omkretsen av samma cirkel.

π och areor π förekommer naturligt. Arean av en cirkel med radie 1. Halva omkretsen av samma cirkel. Lantmäteri och ingenjörskonst.

π och areor π förekommer naturligt. Arean av en cirkel med radie 1. Halva omkretsen av samma cirkel. Lantmäteri och ingenjörskonst. Det var först Archimedes som förstod att det finns ett svårtfångat tal som med hjälp av radien ger arean och omkretsen av en cirkel.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.7/15 π och areor π förekommer naturligt. Arean av en cirkel med radie 1. Halva omkretsen av samma cirkel. Lantmäteri och ingenjörskonst. Det var först Archimedes som förstod att det finns ett svårtfångat tal som med hjälp av radien ger arean och omkretsen av en cirkel. Tillbaka till Innehåll

π och vinklar Vinklar och cirkeln hör nära ihop.

π och vinklar Vinklar och cirkeln hör nära ihop. Avgörande för astronomiska observationer.

π och vinklar Vinklar och cirkeln hör nära ihop. Avgörande för astronomiska observationer. Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper.

π och vinklar Vinklar och cirkeln hör nära ihop. Avgörande för astronomiska observationer. Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper. Mystik: Man har velat se πibl a pyramidernas design.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.8/15 π och vinklar Vinklar och cirkeln hör nära ihop. Avgörande för astronomiska observationer. Avgörande i sin tur för utvecklingen av folkgrupper. Mystik: Man har velat se πibl a pyramidernas design. Tillbaka till Innehåll

Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning?

Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning? Lutningen skall(?) passa in i ett heltal fingrar.

Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning? Lutningen skall(?) passa in i ett heltal fingrar. Lutningen bör vara ca 5 7.5 palmer. 2 5.5 7 = 11 7 3.1428/2. 3 pyramider har lutningen 5.5.

Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning? Lutningen skall(?) passa in i ett heltal fingrar. Lutningen bör vara ca 5 7.5 palmer. 2 5.5 7 = 11 7 3.1428/2. 3 pyramider har lutningen 5.5. Stämmer inte medπirhind Papyrus

Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning? Lutningen skall(?) passa in i ett heltal fingrar. Lutningen bör vara ca 5 7.5 palmer. 2 5.5 7 = 11 7 3.1428/2. 3 pyramider har lutningen 5.5. Stämmer inte medπirhind Papyrus Vissa pyramider är inte fyrkantiga, andra inte raka.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.9/15 Pyramidernas mystik Hur bestämdes pyramidernas lutning? Lutningen skall(?) passa in i ett heltal fingrar. Lutningen bör vara ca 5 7.5 palmer. 2 5.5 7 = 11 7 3.1428/2. 3 pyramider har lutningen 5.5. Stämmer inte medπirhind Papyrus Vissa pyramider är inte fyrkantiga, andra inte raka. Tillbaka till vinklar

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.10/15 Pyramidernas mystik II Vilken lutar 5.5? Sidor av olika längd. Ej rak. Tillbaka till Mystik

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel.

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser.

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar).

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar). Bra avståndbestämning krävs (görs på land).

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar). Bra avståndbestämning krävs (görs på land). Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750.

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar). Bra avståndbestämning krävs (görs på land). Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750. Latitud: Polstjärnans inklination (sextant).

Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar). Bra avståndbestämning krävs (görs på land). Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750. Latitud: Polstjärnans inklination (sextant). En clocka och ett A4-papper kan räcka långt.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.11/15 Att bestämma läget utan GPS Latitud och longitud avgörande för havshandel. Flera handelsländer instiftade priser. Cassini, Galileo, Huygens, Newton, Picard: Tidsavvikelse mellan fasta astronomiska händelser (solen, månen, Jupiters månar). Bra avståndbestämning krävs (görs på land). Bra tidsåtergivning även till havs: Harrison, 1750. Latitud: Polstjärnans inklination (sextant). En clocka och ett A4-papper kan räcka långt. Tillbaka till Innehåll

π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2.

π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2. Arean under kurvan: Integral! Barrow, Newton, Leibnitz, 1660-1700. A = e x2 2 dx.

π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2. Arean under kurvan: Integral! Barrow, Newton, Leibnitz, 1660-1700. A = e x2 2 dx. Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis!

π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2. Arean under kurvan: Integral! Barrow, Newton, Leibnitz, 1660-1700. A = e x2 2 dx. Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis! Tunna cylindriska skal. V = 2π 0 re r2 2 dr = 2π = A 2.

π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2. Arean under kurvan: Integral! Barrow, Newton, Leibnitz, 1660-1700. A = e x2 2 dx. Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis! Tunna cylindriska skal. V = 2π Gausskurvan är vanligt förekommande i sannolikhetslära och statistik. 0 re r2 2 dr = 2π = A 2.

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.12/15 π och sannolikhetsläran Gausskurvan: y = e x2 2. Arean under kurvan: Integral! Barrow, Newton, Leibnitz, 1660-1700. A = e x2 2 dx. Kvadrera och beräkna volym på Archimedes vis! Tunna cylindriska skal. V = 2π Gausskurvan är vanligt förekommande i sannolikhetslära och statistik. Tillbaka till Innehåll 0 re r2 2 dr = 2π = A 2.

Bestämπmed synålar Streckor och nålar av längd L.

Bestämπmed synålar Streckor och nålar av längd L. Hur ofta träffar nålen sträckan?

Bestämπmed synålar Streckor och nålar av längd L. Hur ofta träffar nålen sträckan? x L 2 sinφ > x. n N = 2 π. φ

Bestämπmed synålar Streckor och nålar av längd L. Hur ofta träffar nålen sträckan? x L 2 sinφ > x. n N = 2 π. φ Simulering från www.metablake.com/pi.swf

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.13/15 Bestämπmed synålar Streckor och nålar av längd L. Hur ofta träffar nålen sträckan? x L 2 sinφ > x. n N = 2 π. φ Simulering från www.metablake.com/pi.swf Tillbaka till Innehåll

Matematikens förbluffande förträfflighet Varför fungerar matte så bra?

Matematikens förbluffande förträfflighet Varför fungerar matte så bra? Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp,... you name it.

Matematikens förbluffande förträfflighet Varför fungerar matte så bra? Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp,... you name it. Samspelet beskrivning förutsägning.

Matematikens förbluffande förträfflighet Varför fungerar matte så bra? Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp,... you name it. Samspelet beskrivning förutsägning. Är talen människans påhitt eller fanns de redan där när vi kom?

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.14/15 Matematikens förbluffande förträfflighet Varför fungerar matte så bra? Pacemaker, internet, broar, epidemiska förlopp,... you name it. Samspelet beskrivning förutsägning. Är talen människans påhitt eller fanns de redan där när vi kom? Tillbaka till Innehåll

Taletπoch Matematikens Förbluffande Förträfflighet p.15/15 TACK! Matematikcentrum Lunds Universitet Källor: Wikipedia, http://www.kch42.dial.pipex.com/sekes0.htm