Algebra och ekvationer Mål När eleverna har studerat det kapitlet ska de kunna: lösa olika slags ekvationer kontrollera en lösning till en ekvation med hjälp av prövning lösa problem med hjälp av ekvationer jämföra uttryck skrivna med och utan parenteser multiplicera variabler med varandra Ingressen Sveriges Rikes lag väger kg Ekvator är den linje som delar jordklotet i två lika delar, en nordlig och en sydlig. Ekvidistans betyder likhet i avstånd och är det vinkelräta avståndet i terrängen mellan två höjdkurvor på en karta. Ekvilibrist är en akrobat som uppövat förmågan att balansera (hålla jämvikten på) sin egen kropp, t.e. lindansare, konstcyklist eller balansör på fristående stege. Grunddel En allmän genomgång av vår syn på algebra finns i lärarhandledningen för år 7, sidorna 66 67. Sidorna 76 77. Avsnittet inleds med ekvationslösning där vi går igenom en mera formell lösningsmetod som vi valt att kalla balansmetoden. Det är viktigt att betona grundidén med ekvationsuppställningen att vänstra och högra sidan alltid representerar samma tal. Sidorna ska hela tiden vara i balans. Sidan 78. Ta gärna upp eemplet med de två lösningsmetoderna balansmetoden och fingermetoden (som togs upp i år 7-boken). Fingermetoden är lätt att ta till sig och fungerar i såväl enkla som svårare ekvationer, dock inte när finns på båda sidor (röd kurs). Den mera formella balansmetoden är användbar i alla situationer och är bra som ett generellt sätt för ekvationslösning. Sidan 79. Betona gärna prövningen som ett sätt, med vars hjälp man alltid kan kontrollera sin lösning och som samtidigt understryker vikten av likheten mellan de båda sidorna. Sidan 80. Uppgifterna på den här sidan vill en del elever gärna lösa i huvudet. Men de har då ofta svårt att förklara hur de tänkt. Om de däremot lär sig att kalla det okända talet för, tecknar en ekvation med hjälp av formuleringarna i teten och sedan löser ekvationen, lär de sig ett bra sätt att formulera sina tankar i skrift. Eleverna skaffar sig ett matematiskt språk. Sidorna 8 8. oppla gärna tillbaka till geometriavsnittet och poängtera användningen av variabler. En formel där variabler används, t.e. Arean = a b gäller för alla värden på a och b. Utmaningen på sidan 10 är ett annat eempel på algebrans möjligheter. Att förstå variabelbegreppet kan hjälpa eleven till en förbättrad taluppfattning. 8 Algebra och ekvationer
Arbeta tillsammans Tänk: Byt pyramid + cylinder på tredje vågen mot kuber (första vågen). kuber = 15 kg. 1 kub = 5 kg. Tänk: Ställ ytterligare cylindrar på varje vågskål i mellersta vågen. Vänstra vågskålen motsvarar då 0 kg (4 kuber). I högra vågskålen finns 5 cylindrar + 10 kg. 1 cylinder = kg. Med hjälp av första vågen finner man lätt att 1 pyramid = 8 kg. Facit till diagnosen 1 a) = b) = 6 s. 9 9 a) = 60 b) = 5 s. 9 9 a) = 4 b) = 4 Arbetsblad : 4 A s. 9 5 Mitt tal är + 5 = 11 s. 9 6 = cm + + + = 4 Arbetsblad :5 7 a) + 60 b) Vinklarna är 40, 60 och 80 8 a) y b) c s. 91 9 a) 10a b) 6ab s. 91 10 10 11 a) 7 + 5 b) s. 90 1 a) 8y + b) 50 s. 90 1 Lisa har 11 skolböcker Facit till kluringarna Fem bagare En bagare bakar en bulle på fem minuter. Då bakar tio bagare tio bullar på fem minuter och tjugo bullar på tio minuter. Sortera papper Samir hinner sortera 1/7,5 av papperna per timme medan Ana hinner sortera 1/5 på en timme. Tillsammans hinner de sortera 1/7,5 + 1/5 = 1/7,5 + 1,5/7,5 = =,5/7,5 = 1/ av papperen på en timme. Dett tar alltså timmar att arbeta tillsammans. Engelsk kluring Använd vilka du vill av tecknen +,,, eller parenteser mellan siffrorna 1,, och 4 för att få resultaten 0, 1,,, 10. Du får använda siffrorna 1,, och 4 i vilken ordning du vill (men bara en gång) och du får använda vilket tecken som helst mer än en gång. T e. 0 = + 1 4 4 1 = + 1 = + 4 1 4 = + 1 4 = 4 1 5 = + 4 1 6 = 1 4 4 7 = + 1 8 = 4 + + 1 4 9 = + + 1 10 = 1 + + + 4 Algebra och ekvationer 9
Blå kurs Sidorna 88 91. Sidorna tränar prioriteringsregler och parenteser, både med tal och variabler. Ytterligare övningar finns på Arbetsblad :4. Sidorna 9 9. Vi betonar användandet av balansmetoden, eftersom det är en trygg metod även för elever med matematiksvårigheter. Eleven har hela tiden kontroll över vad som sker (gör lika på båda sidorna). Sidan 9 tränar prövning av en lösning och hur en tet kan kopplas till ett ekvationsuttryck. Röd kurs Sidorna 94 95. Använd eemplen för att betona vikten av att fundera över vad som ska kallas för. Pröva gärna att lösa några av övningarna 5 9 på olika sätt, dvs. med olika val av och visa att de olika sätten leder till samma svar. Sidorna 96 97. Den distributiva lagen (sidan 97) förklaras enklast med en geometrisk tillämpning som i eemplet. Fler övningar finns på Arbetsblad :6. Sidan 98. Använd gärna eemplen som en utgångspunkt för en diskussion om för- och nackdelar med de två metoderna. Se kommentaren till sidan 78. Sidan 99. Den eventuella svårigheten med långa ekvationsuttryck ligger i förenklingen som ju kräver förståelse för algebra och variabler. Själva lösningen av ekvationen är ofta lätt. Sidan 101. Uppgift 41 och eemplet till uppgiften kan lätt utvidgas till en arbeta tillsammans-uppgift. Eleverna får själva skapa figurer med de förutsättningar som finns i eemplet. En kamrat får sedan pröva att lösa uppgiften. Ett ytterligare moment är att ändra formen på ursprungsbitarna. Låt fantasin flöda! Utmaning A Eempel 97 79 = 18 81 18 = 6 5 5 = 7 osv. Svaren ingår i nians tabell. B Eempel 1 1 = 198 C D 61 16 = 96 958 859 = 99 osv. Alla svaren kan delas med 9 och med 11, alltså med 99. (10a +b) (10b + a) = 10a +b 10b a = 9a 9b Svaret kan delas med 9. Svaret kan skrivas som 9(a b) (100a + 10b + c) (100c +10b + a) = 100a +10b + c 100c 10b a = 99a 99c Svaret kan delas med 99. Svaret kan skrivas som 99(a c). Arbetsblad Innehållsförteckning över arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken Namn Sid Nivå :1 Tolka uttryck blå : Enkla ekvationer 78, 9 blå : Att använda ekvationer 80 blå grön :4 Förenkla uttryck 81 blå grön :5 Geometriska figurer 8 8, 91 blå grön :6 Multiplicera in i parenteser 96 97 röd :7 Ekvationer 98 99 röd :8 Problemlösning med hjälp av ekvationer 99 röd 40 Algebra och ekvationer
Arbetsblad :1 Tolka uttryck 1 ajsa är a år gammal. Para ihop varje påstående med rätt uttryck. arin är tre gånger så gammal: atta är år yngre: ristina är en tredjedel så gammal: erstin är år äldre: a + a Ale är 15 år. Räkna ut eller skriv ett uttryck för hur gammal a a a) han är om år: b) han är om år: c) han var för 5 år sedan: b) han var för y år sedan: En burk är h cm hög. Skriv ett uttryck för en burk som är a) dubbelt så hög som burken: b) fyra gånger så hög som burken: c) fyra centimeter högre än burken: d) tre centimeter lägre än burken: 4 Ringa in de eller det uttryck som betyder hälften av a. a 1 a a 0,5a a a a 5 Ringa in de eller det uttryck som betyder mindre än a. a a + a a + a a 6 Ringa in det eller de uttryck som ALLTID betyder dubbelt så mycket som a. a + a a 1 a a 7 Vilka av uttrycken hör ihop, dvs. har samma värde? Ringa in dem och förbind dem med pilar. + + + 0,5 a a Algebra och ekvationer 41
Arbetsblad : Enkla ekvationer Räkna i ditt räknehäfte Lös ekvationerna. 1 a) 4 = 16 b) = 1 c) + 6 = 1 d) 7 = a) 1 + = 45 b) = 1 c) 0,5 = d) = 5 a) + 1 = 16 b) 5 = 7 c) 4 + 7 = 7 4 a) 1 = 1 b) + = 10 c) 4 + = 8 5 5 a) 4 6 = 16 b) = 7 c) + = 0 6 a) + 5 = 6 b) 5 = c) 7 + = 1 4 5 Lös ekvationerna. 7 a) 5 = b) 4 16 = c) 5 1 = 7 8 a) + = 14 b) 0 00 = 100 c) 50 75 = 45 Lös ekvationerna. Förenkla först. 9 a) + = 8 b) 6 = 0 c) + = 16 10 a) 4 + 1 = 19 b) + 15 + = 5 c) 7 + 9 = 4 11 a) + = 18 b) + + 1 = 1 1 a) 5 + + 4 = 19 b) 14 + 9 9 = 5 1 a) 4 + 5 = 1 b) 7 + 7 + 7 8 = 4 4 Algebra och ekvationer
Arbetsblad : Att använda ekvationer Räkna i ditt räknehäfte Tänk på ett tal 1 Mitt tal multipliceras med 4. Sedan tar jag bort. Resultatet är 1. Vilket är talet? Om man dividerar mitt tal med och sedan lägger till 4 får man svaret 10. Vilket är talet? Jag dubblar mitt tal, subtraherar sedan med 5 så att svaret blir 0. Vilket är talet? 4 Jag halverar mitt tal och adderar 1 så att svaret blir 5. Vilket är talet? Andra problem som kan lösas med hjälp av ekvationer 5 Se stolar och ett bord kostar tillsammans 800 kr. Vad kostar en stol om bordets pris är 1 000 kr? 6 Veronica köpte djupfrysta pizzor och en stor cola. Vad kostade en pizza om Veronica betalade 11 kr och colan kostade 16 kr? 7 För åtta små bullar och en vetelängd fick mormor betala 100 kr. Vetelängden kostade 6 kr. Hur mycket kostade en bulle? 8 En far är 8 gånger så gammal som sin son. Tillsammans är de 6 år. Hur gamla är de? 9 Från hemmet till skolan har Olle en genväg som är hälften så lång som den stora vägen. Går han genvägen till skolan och stora vägen hem har han gått 1,8 km. Hur lång är genvägen? 10 En fotbollsplan är dubbelt så lång som den är bred. Omkretsen är 1 m. Vilka mått har planen? 11 Ada, Beda och Cia delar 696 kr så att Beda får dubbelt så mycket som Ada medan Cia får tre gånger så mycket som Ada. Hur mycket får de var och en? 1 David, Erik och Fredrik delar 50 kr så att David får 50 kr mer än Erik och Fredrik gånger så mycket som Erik. Hur mycket får var och en? Algebra och ekvationer 4
Arbetsblad :4 Förenkla uttryck Förenkla så långt som möjligt. 1 a) 4 + = b) 4 + = c) 4 + + = a) a + b a + b = b) a b + a b = c) a b a + b = a) y y = b) y + y y = c) y y y = 4 a) + a + a = b) a + a + = c) a a = Ta bort parenteserna och förenkla så långt som möjligt. 5 + ( +1) = 6 (1 + ) + 1 = 7 + (5 ) + = 8 (a + ) + (a ) = 9 ( a) + (a ) = 10 a (a + 1) = 11 (1 + ) = 1 (4 + y) ( + y) = 1 ( ) = 14 a) ( ) ( ) = 15 a) + ( 7) ( 1) = 16 a) ( 7) + ( 1) = 17 ( + a) ( a) + ( + a) ( a)= 18 (a b) + (a b) (a + b) + (a b)= 44 Algebra och ekvationer
Arbetsblad :5 Geometriska figurer Räkna i ditt räknehäfte Skriv ett uttryck för figurens omkrets. Förenkla sedan uttrycket så långt det går. 1 a) b) 4 a) b) a + a a) b) 1 + 1 4 + 5 Skriv ett uttryck för figurernas area. Förenkla sedan uttrycket så långt det går. 4 a) b) b a 5 a) b) 4b 4y a 5y 6 a) b) 4 a 5 7 a) b) π a 6a π Algebra och ekvationer 45
Arbetsblad :6 Multiplicera in i parenteser Skriv uttrycken utan parentes och förenkla om det går. 1 a) ( +) = b) (a ) = a) a(a ) = b) ( + ) = a) ( 4) = b) 5a(a 5b) = Skriv uttrycken utan parentes och förenkla sedan så långt det går. 4 6ab 4a(b + 4) = 5 4(y + ) (1 y) = 6 5(y ) y (y + ) = Fyll i det som saknas i rutorna. 6 a) (a b) = 4a 4 b) 5( ) = 15 7 a) a( + ) = ab + ac b) p(q + ) = p pt + p 8 Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för omkretsen av figurerna. a) b) ( + 5) (a ) (a ) ( + 5) (a ) 9 Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för arean av figurerna. (a 1) a) b) a ( + ) (a + 1) 46 Algebra och ekvationer
Arbetsblad :7 Ekvationer Räkna i ditt räknehäfte Lös ekvationerna. Förenkla först om det går. 1 a) + 1 + 9 8 = 41 b) 4 1 + 6 11 = 7 a) 8 10 4 + 4 = 1 b) + 4 5 + 6 + 9 = 14 a) 7 = 15 b),4 =,6 0,4 4 a) = 1 + b) 4 + 6 = 4 4 5 a) 8 + 4 5 6 = 1 + b) 6 + = 1 6 a) 6 + 0,7 7 = 0,6 0, + 0,4 b) 0,4,4 0,5 = 0,1 0,8 0,9 + 0,4 0,1 7 a) (9 ) (9 ) = 0 b) ( + ) ( +) = 9 8 a) 6(4 ) + 5(4 ) = 60 0( ) b) 18( 5) 15( 4) ( 5) = 8( + ) ( + ) ( + 4) 9 Minna och Anna har löst en ekvation men fått olika resultat. Studera deras lösningar. Fundera ut om någon lösning är rätt och beskriv vilka fel du hittar. Om båda lösningarna är fel finn den rätta lösningen. Minna Anna a) 4( ) ( ) = 5(4 ) b) 4( ) ( ) = 5(4 ) 1 4 4 = 0 10 1 4 + 4 = 0 10 8 6 = 0 10 16 6 = 0 10 4 = 1 4 = 16 = = 1 4 Algebra och ekvationer 47
Arbetsblad :8 Problemlösning med hjälp av ekvationer Räkna i ditt räknehäfte 1 Ett tal är 14 större än ett annat. Summan av talen är 14. Vilka är talen? (kalla det mindre talet för. Då blir det större talet ( + 14)) Summan av fyra på varandra följande tal är 174. Vilka är talen? Summan av tre på varandra följande jämna tal är 058. Vilka är talen? 4 En påse chokladpraliner innehåller st praliner. Emma köpte 6 påsar och 7 st lösa praliner. Emil köpte 7 påsar. Tar han bort praliner från en påse har han lika många som Emma. Hur många praliner finns i en påse? 5 I lagshamn, Bunkeflo och Vintrie har totalt 90 villor blivit färdigställda under året. I Vintrie blev det 10 färre än i Bunkeflo och i lagshamn blev det gånger så många som i Vintrie. Hur många hus blev färdigställda i de tre byarna? 6 I Malmö, som byarna ovan ligger i, ska det också byggas lägenheter. I fjol byggde PN Bygg 10 lägenheter färre än som blir färdiga i år. Nästa år ska emellertid dubbelt så många lägenheter som i år bli färdiga. På tre år har då 950 lägenheter byggts färdiga. Hur många blir färdiga i år? 7 Anders är år yngre än Bo. Inga är gånger så gammal som Anders. Alla tre tillsammans är tre gånger så gamla som Bo. Hur gamla är var och en? 8 I en rektangel är den ena sidan gånger så lång som den andra sidan. Om båda sidorna förlängs med bredden blir den nya omkretsen 96 m längre än den gamla. Hur långa var sidorna från början? 9 I en annan rektangel, är också den ena sidan är gånger så lång som den andra. Nu förlängs den längsta sidan med 4 m. Då blir arean 96 m större. Hur långa var de ursprungliga sidorna? 10 Däckaffären säljer däck till både bilar och motorcyklar. En vecka sålde firman 4 däck till 64 fordon. Hur många av däcken var till motorcyklar? 48 Algebra och ekvationer