KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar funktionen så långt som möjligt och därefter systematiskt studerar funktionens tecken genom att sammanställa faktorernas tecken i en tabell. ( Se Exempel 1 och SfS-exemplet.) Observera särskilt de kolumner som svarar mot intervall. man kan alltså studera funktionens tecken för alla x i olika intervall. En del av problemet består i att utföra faktoriseringen. Man måste kunna sätta funktionen på gemensamt bråkstreck och faktorisera m.hj.a polynomdivision om något av detta behövs. En vanlig tillämpning är att fastställa derivatans tecken i samband med kurvundersökningar. Definitionsmängder Teckenstudium är också ett viktigt inslag i hanteringen av funktioner med begränsad definitionsmängd. De funktioner av denna typ man först brukar stöta på är kvadratroten och logaritmerna. Följande inskränkningar gäller: och man får ju inte heller glömma: En del av problemen i detta avsnitt är formulerade som bestämningar av definitionsmängder. Men det handlar alltså egentligen om vanligt teckenstudium av rationella funktioner.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:2 3:2 Ekvationer med prövning. Vissa ekvationer fordrar en sådan behandling vid lösandet att det kan slinka falska rötter. Ekvationslösning består ju oftast av en följd av ekvationer där de senare utgör omformningar av de tidigare. En falsk rot är en lösning till de senare versionerna av ekvationen som dock inte är en lösning till den ursprungliga ekvationen. En falsk rot måste naturligtvis förkastas. Medlet mot falska rötter är prövning i ursprungsekvationen. Det är dessutom bra om man lär sig förstå när prövning behövs. All ekvationslösning fordrar nämligen inte prövning. De vanligaste fallen då prövning behövs uppträder i samband med kvadratrötter och logaritmer. Då ekvationer innehåller kvadratrötter måste man oftast kvadrera bägge leden av ekvationen för att bli av med dem. Ibland måste man kvadrera flera gånger för att bli av med alla kvadratrötter. Det finns två anledningar till att man måste pröva rötterna efter att man har kvadrerat bägge led. 1. Dels kan nya rötter ha tillkommit eftersom existensområdet för ekvationens funktioner utökades när kvadratrötterna eliminerades. 2. Dels kan nya rötter ha tillkommit genom själva kvadreringseffekten: 3 är ju inte = -3, men efter kvadrering blir talen lika: 3 2 = (-3) 2 = 9. Exempel 2 ger två enkla. typiska exempel på dessa effekter. I samband med logaritmer uppstår ofta fall 1 ovan, utökning av existensområdet, när man går från en ekvation av typen ln A = ln B till A = B.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:3 3:3 Grafer Till vänster visas grafen av ett tredjegradspolynom på faktoriserad form, vilket gör det möjligt att avläsa nollställenas läge. Kontrollera att varje faktor av typ (x-a) svarar mot nollstället x=a! y = x(x+1)(x-2) y = (x+1)(x-1) 2 Till höger visas grafen av ett tredjegradspolynom med en kvadratisk faktor (x-1) 2. Detta svarar mot arr x=1 är ett dubbelt nollställe till polynomet. Man ser också att funktionsvärdena är > 0 på båda sidor av x=1, vilket är typiskt för kvadratiska faktorer. I teckentabellen hade man fått kombinationen ' + 0 + ' omkring x=1. Till vänster visas grafen av en typisk rationell funktion, r(x), som växlar tecken i x=-2, 0 och 1. I x=0 finns dessutom en lodrät asymptot på grund av nämnarens nollställe x=0. y = r(x) = (x-1)(x+2)/x y = kvadratroten ur r(x), Till höger visas kvadratroten ur samma funktion. Man ser att denna funktions definitionsmängd endast omfattar de x för vilka r(x) inte är < 0. De två graferna avses visa kvadreringseffekten vid ekvationslösning. Till vänster ses de båda leden i ekvationen -x = sqrt(x) (sqrt(x) = 'roten ur x' ) framställda med varsin graf. Skärningspunktens x-koordinat ( här x=0 ) är ekvationens lösning. y = -x, y = sqrt(x) y = x 2, y = x Till höger syns den kvadrerade ekvationen framställd på samma sätt. Man ser att den nya roten x=1 har tillkommit p.g.a kvadreringen Före kvadreringen hade man -1 i vänsterledet och +1 i högerledet.
KTHs Sommarmatematik Exempel 3:1 3:4 Exempel 1 Problem: (Se också SfS-exemplet 3A som visar ett liknande exempel.) För att fastställa definitionsmängden för en funktion som innehåller ett rotuttryck måste man alltså studera uttrycket under rottecknet. Detta uttryck måste vara definierat och får inte vara < 0. Därför studeras här funktionen f(x) Ett teckenstudium inleds bäst med att man faktoriserar i den mån detta är möjligt. Observera hur kännedomen om polynomens nollställen leder till de sökta faktoriseringarna.
KTHs Sommarmatematik Exempel 3:1 3:5 Exempel 1. forts: Teckentabell och slutsats Här visas ett sätt att utföra teckenstudium i tabellform. Notera att varannan kolumn svarar mot ett fixt x-värde, ett nollställe till en av faktorerna. Och varannan kolumn svarar mot ett helt intervall mellan två sådana nollställen. (Åven de obegränsade intervallen till vänster om minsta nollstället resp. till höger om största nollstället skall vara med.) I dessa kolumner för man in tecknet (+ eller -) för varje faktor. Slutsats: Här dras slutsatserna som följer av tabellens nedersta rad, där tecknet för hela funktionen fylls i enligt regeln: Jämnt antal minustecken ger plus. Udda antal minustecken ger minus Notera att när nämnaren är 0 blir funktionen icke definierad (ej def.)
KTHs Sommarmatematik Exempel 3:1 forts. 3:6 Exempel 1, forts: Graf. Rotfunktionens graf: Kontrollera att grafen existerar för precis de x-värden som slutsatsen angav! Notera också att de två x-värden för vilka funktionen inte existerar ( -3 resp. 1 ) svarar mot lodräta asymptoter, dvs funktionsvärdena växer obegränsat då x närmar sig dessa värden.
KTHs Sommarmatematik Exempel 3:2 3:7 Exempel 2 Lös följande ekvation: Här visas hur en falsk rot introduceras under lösningens gång. I detta fall var det kvadreringen från (*) till (1) som var orsaken. Beteckningarna 'VL' och 'HL' står för vänsterledet resp. högerledet. Genom att pröva de erhållna rötterna i den ursprungliga ekvationen kan man alltid avslöja de falska rötterna.
KTHs Sommarmatematik Exempel 3:3 3:8 Exempel 3 Lös följande ekvationer: Här visas parallellt två ekvationer där falska rötter dyker upp. Prövning i (*): x=-1 uppfyller inte (*) eftersom rotuttrycken i (*) inte är definierade för x=-1. (Man får negativa tal under rottecknet.) Roten slopas Prövning i (**): x=1 ger VL = 1 och HL = -1 i (**). Roten slopas. I (*) ligger den erhållna roten x=-1 utanför definitionsområdet för båda kvadratrotsfunktionerna i den ursprungliga ekvationen. I (**) orsakar kvadreringen av bägge led att x=1 uppfyller (1') men inte (**).
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1 3:9 Övning 1 Bestäm definitionsmängden för följande kvadratrotsfunktioner: Dessa uppgifter löses på samma sätt som i Exempel 1. Man studerar alltså den rationella funktionen under rottecknet och börjar med att faktorisera..
KTHs Sommarmatematik Övning 3:2-3 3:10 Övning 2 Bestäm definitionsmängden för följande funktioner: I (a) behöver man sätta uttrycket under rottecknet på gemensamt bråkstreck innan man faktoriserar. I (b) förekommer två rotuttryck, vilket man måste ta hänsyn till när man bestämmer definitionsmängden för hela funktionen. I (c) förväntas man känna till att en funktion av typ ln(h(x)) är definierad endast då h(x) > 0. Övning 3 Lös ekvationerna: Dessa uppgifter löses på samma sätt som i Exempel 2-3 eller SfS-exemplet 3B. Man kvadrerar alltså båda led för att bli av med rottecknen. De erhållna rötterna prövas därefter i ursprungsekvationen.
KTHs Sommarmatematik Extra övningar 3:1-2 3:11 Extra övning 1-2 Extra 1 : Bestäm existensområdet för följande kvadratrotsfunktioner: Svar Extra 1 Extra 2 Lös följande ekvationer: Svar Extra 2
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1a lösning 3:12 Övning 1a, lösning. Lösningen följer mönstret från Exempel 1. Man undersöker alltså för vilka x funktionen under rottecknet antar ickenegativa värden. Faktoriseringen tillgår så att nollställena för täljaren och nämnaren bestäms genom lösning av motsvarande andragradsekvationer. Dessa räkningar redovisas inte här.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1a lösning (forts.) 3:13 Teckentabell Tabellen innehåller som vanligt en rad för varje faktor. Börja med att fylla i nollorna för varje faktor och därefter tecknen. Slutsats Definitionsmängden är: Definitionsmängden i slutsatsen definieras av de olikheter som x skall uppfylla för att ligga i mängden, Observera användningen av strikta och ickestrikta olikheter. De x-värden som ger värdet 0 i nämnaren tillhör inte definitionsmängden.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1b lösning 3:14 Övning 1b, lösning. Observera tvåan som lämpligen bryts ut ur polynomet i täljaren i samband med faktoriseringen. Den påverkar inte tecknen i teckentabellen. Hade däremot x 2 haft en negativ koefficient hade tecknen fått kastas om.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1b lösning (forts.) 3:15 Övning 1b, teckentabell Tecknet för funktionen g(x) bestäms direkt av faktorernas tecken i de olika intervallen. Normalt gäller: Jämnt antal minus ger minus, udda antal ger plus. Dock kan en negativ, konstant faktor ändra denna regel. Slutsats Definitionsmängden är: Talet x=-1 är inte med i definitionsmängden eftersom det är ett nollställe till nämnaren. Därför är g(x) inte definierad för x=-1. (Man får ju inte dividera med 0).
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1c lösning 3:16 Övning 1c, lösning. Lägg märke till att nämnaren här inte har några nollställen och är > 0 för alla x. Detta visas här genom kvadratkomplettering. Detta hade också visat sig vid ett försök att lösa motsvarande andragradsekvation. Man hade fått ett negativt tal under rottecknet.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:1c lösning (forts.) 3:17 Övning 1c, teckentabell Eftersom nämnaren visade sig vara >0, blir det bara 5 kolumner i tabellen svarande mot täljarens två nollställen och de tre intervall som begränsas av nollställena. Slutsats Definitionsmängden är: Definitionsmängden definieras här av ickestrikta olikheter, beroende på att intervallens ändpunkter är nollställen till täljaren och alltså tillhör h:s definitionsmängd.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:2a lösningar 3:18 Övning 2a, lösning. Övning 2a, lösning. Det väsentliga här är att man lyckas faktorisera korrekt. Då fordras att man sätter uttrycket på gemensamt bråkstreck. Teckenstudium av de faktoriserade funktionerna redovisas inte i lösningarna till Övning 2. Där hänvisas till Exempel 1, SfS-exemplet och lösningarna till Övning 1. Observera att faktorn (-4) måste tas med i teckenstudiet av f(x) eftersom den påverkar f(x):s tecken.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:2b lösningar 3:19 Övning 2b lösning Här finns alltså två rotuttryck. För att den totala produkten skall vara definierad fordras att båda ingående faktorerna skall vara definierade. Man undersöker alltså de båda faktorerna var för sig och bildar till slut den mängd som ligger i båda faktorernas existensområden. Man säger ibland att man bildar skärningen mellan de två mängderna. När man bildar skärningsmängder av intervall kan det underlätta om man ritar upp de ingående intervallen på samma tallinje. Begreppen definitionsmängd och existensområde har här samma betydelse.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:2c lösningar 3:20 Övning 2c lösning Det nya inslaget här är att man skall känna till definitionsmängden för ln-funktionen. Liksom för alla logaritmfunktioner krävs att argumentet, dvs h i uttrycket ln(h), skall vara > 0. Observera att faktorn (-1) här påverkar tecknet.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:3a lösningar 3:21 Övning 3a, lösning. Övning 3a, lösning. Lösningen följer mönstret från Exempel 2. Kvadrera bägge led för att få bort rottecknet. Lös den uppkomna andragradsekvationen. Pröva de båda rötterna i ursprungsekvationen. VL betyder vänsterledet. HL betyder högerledet.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:3b lösningar 3:22 Övning 3b lösning Efter kvadreringen får man här samma ekvation som i 1a.
KTHs Sommarmatematik Övning 3:3c lösningar 3:23 Övning 3c lösning 1/4 + 12 = (1+48)/4 = 49/4 = (7/2) 2 Samma typ av lösning som tidigare.