Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter (ma, min eller terrass) 5 Infleionspunkter 6 Värdetabell 7 Funktionens graf Eempel. Undersök funktionen f() = 2 Nollställen får man genom att lösa ekvationen f() = 0. 2 = 0 ger roten = 0. En punkt där kurvan skär (eller tangerar) -aeln. Asymptoter. När går f() ±? Då = 0. Det vill säga då =. Här har vi en lodrät asymptot. Vi tittar också på Det vill säga och f() ± 2 = ± 2 ( / ) = 0 2 = 0 Då y = 0 (det vill säga -aeln) är en vågrät asymptot Håkan Strömberg KTH Syd
Etrempunkter. De stationära punkterna får vi genom att lösa f () = 0. f () = 2( ) 2 2 ( ) 2 = 4 +2 ( ) 2 f () = 0 då Det vill säga när täljaren är = 0. 4 +2 ( ) 2 = 0 4 +2 = 0 ( +2) = 0 Har rötterna = 0 och = 2, som också är funktionens stationära punkter. Med denna information blir vi inte överraskade då vi ser denna kurva: 2-2 2 4 - -2 Optimering Detta innebär att finna funktionen f() s största (minsta) värde. Ofta är f() endast definierad i ett intervall, vilket betyder att man måste ta reda på f() i intervallets ändpunkter. Eempel 2. En bonde skall inhägna ett rektangulärt område, som på ena sidan är begränsat av en ladugårdsvägg. Han har 00 meter hönsnät och önskar få så stor area som möjligt inhägnad. Beskriv hur bonden placerar sitt stängsel. Vi antar att längden hos inhägnaden är L meter. Då blir bredden 00 2L meter. Vi kan nu teckna arean som funktion av L. A(L) = L(00 2L) När vi deriverar denna funktion och löser A (L) = 0 får vi A (L) = 00 4L Håkan Strömberg 2 KTH Syd
som ger 00 4L = 0 med roten L = 25. Vi vet redan att vi har en andragradsfunktion med en mapunkt och behöver inte göra något teckenstudium. Svar: Måtten är 25 50 m, som ger arean 250 m 2. Eempel. Undersök f() = Definitionsmängd: f() är definierad för alla, D f = R Skärningspunkter med alarna: y-aeln: Då = 0 är även y = 0. Punkten (0,0) -aeln: Ekvationen = 0 ( 2 ) = 0 ger rötterna =, 2 = och = Gränsvärden: Vi undersöker ± + = + Asymptoter saknas. Stationära punkter: Vi löser ekvationen f () = 0 ( ) 2 = + = ( ) 2 = f () = 2 f () = 6 f () = 0 då 2 = 0; =, 2 = Vi har hittat två stationära punkter s = (,2) och s 2 = (, 2). s är en ma-punkt eftersom f ( ) = 6 < 0 s 2 är en min-punkt eftersom f () = 6 > 0 Infleionspunkter: Vi löser ekvationen f () = 0. 6 = 0; = 0 Vi har hittat en infleionspunkt (0,0) 5 2 2 5 Håkan Strömberg KTH Syd
Eempel 4. Undersök f() = e 2 Definitionsmängd: f() är definierad för alla, D f = R Skärningspunkter med alarna: y-aeln: e 0 = y. Då = 0 är y =. Punkten (0,) -aeln: e 2 = 0 saknar lösning Gränsvärden: Vi undersöker ± + e 2 = e = 0 f() har en vågrät asymptot y = 0 Stationära punkter: Vi löser ekvationen f () = 0 e 2 = e = 0 f () = 2 e 2 f () = 2e 2 +4 2 e 2 f () = 0 då 2 e 2 = 0; = 0 Vi har hittat en stationär punkt s = (0,) s är en ma-punkt eftersom f (0) = 2 < 0 Infleionspunkter: Vi löser ekvationen f () = 0. 2e 2 +4 2 e 2 = 0 e 2 ( 2+4 2 ) = 0 = 2 2 = 2 ( ) ( ) Vi har hittat två infleionspunkt i = 2,e 2 och i 2 = 2,e 2.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2 2 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Eempel 5. Undersök f() = 2 + Definitionsmängd: D f = { : } Skärningspunkter med alarna: y-aeln: Då = 0 får vi y = och därmed punkten (0, ) -aeln: 2 + = 0 2 + = 0 Ingen skärningspunkt med -aeln Gränsvärden: Lodrät: f() har en lodrät asymptot eftersom Vi undersöker ± Vågrät: Saknas eftersom ( 2 2 + = ± ± Sneda: Vi startar med polynomdivision f() kan nu skrivas Eftersom = 2 ± = 2 ± 4 4 inga reella rötter 2 + = 0 = + ) ( 2 ) = ± 2 + : = 2 0 + f() = + = = 0 Detta betyder att f() har en sned asymptot y = Stationära punkter: Vi löser ekvationen f () = 0 ( + ) 2 ( ) = ± f () = (2 )( ) (2 +) ( ) 2 f 2) () = ( ) = ( 2) ( ) 2 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
f () = 0 då med rötterna = 0 och 2 = 2. ( 2) ( ) 2 = 0 ( 2) = 0 Vi har hittat två stationära punkter s = (0, ) som är en ma-punkt eftersom f (0) = 2 < 0 s 2 = (2,) som är en min-punkt eftersom f (2) = 2 > 0 Infleionspunkter: Vi löser ekvationen f () = 0. 2) ( ) = 0 Ingen lösning och därmed kan vi säga att f() saknar infleionspunkter. 0 5 2 2 5 0 Eempel 6. Undersök f() = ln Definitionsmängd: Eftersom ln endast är för > 0 får vi D f = { : > 0} Skärningspunkter med alarna: y-aeln: f() skär inte y-aeln eftersom f(0) inte är definierad -aeln: ln = 0 Observera att = 0 inte är någon rot. Däremot = eftersom ln = 0 f() skär -aeln i (,0) Gränsvärden: Lodrät: ln ln = (0 ) = +0 +0 = +0 2 = Eftersom f() 0 då 0 finns ingen lodrät asymptot Vågrät: Saknas eftersom + ln = Sneda: Saknas eftersom ln = ± +0 = 2 = 0 +0 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Vi vet nu att funktionen saknar asymptoter Stationära punkter: Vi löser ekvationen f () = 0 f () = +ln f () = f () = 0 då +ln = 0 ln = e ln = e = e Vi har ( funnit ) en stationär punkt s = e, som är en min-punkt eftersom f ( e ) > 0 eftersom e ln e e lne e Infleionspunkter: Eftersom f () = 0 saknar lösning finns ingen infleionspunkt.0 2.5 2.0.5.0 0.5 0.5.0.5 2.0 2.5.0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Problem. Bestäm konstanten a så att funktionen f() = 2 + a får ett lokalt minimum för = 2. Plan: Derivera funktionen f() med avseende på. 2 Lös ekvationen f (2) = 0 med avseende på a. Kontrollera att det erhålla värdet på a verkligen leder till ett minimum. Lösning: f () = 2 a 2. f (2) = 0 leder till 4 a 4 = 0 ger a = 6. Vi sätter in a = 6 i f () och tar fram f (). f (2) > 0 alltså har vi fått en minpunkt. Svar: a = 6 Problem 2. Har funktionen några etrempunkter? Plan: Ta reda på f () 2 Lös ekvationen f () = 0 f () = 2+ 2 f() = 2 ln Avgör vilken typ av etrempunkt roten ger Lösning: Vi använder produktregeln för att få f () = 0 då f () = 2 ln+ 2 = 2 ln+ 2 ln+ 2 = 0 ln = 2 e ln = e 2 = e Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Antingen ska vi nu derivera en gång till eller studera derivatans tecken till höger och vänster om etrempunkten. f () = 2 ln+2 + = +2 ln f ( e ) > 0 Alltså en minpunkt. Vi ska dessutom ta reda på y-värdet för denna minpunkt Ser lite stökigt ut men det ordnar sig... ) f( e Svar: En minpunkt i ( e, 2e ) Problem. Bestäm f () till Först och främst måste vi känna till att ( ) ( ) 2 ( ) f e = e ln e = e lne 2 = 2e f() = 2 ( ) 2 arctan g() = arctan har derivatan Då kör vi f () = 2 g () = + 2 ) 2 +( 2 2 = 2 + Hur gick det sista steget till egentligen? Problem 4. Bestäm derivatan för f() = Efter omskrivningen = e ln = e ln är det hela ingen match eller hur? f () = e ln (ln+) = (ln+) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Problem 5. I ett portvalv, vars form kan beskrivas med funktionen h() = ( 2 ) där h och mäts i meter, vill man sätta in en rektangulär dörr. Vilka dimensioner skall dörren ha, för att arean ska bli så stor som möjligt? 2.5 2.5 0.5 - -0.5 0.5 Plan: Vi ser från kurvan ovan hur portvalvet ser ut. 2 Dörren måste vara symmetriskt placerad kring y-aeln. Om den vänstra kanten finns i = så finns den högra i 2 =. 4 Dörrens höjd är då h() = ( 2 ) 5 och arean blir då eftersom bredden är 2, 6 Derivera A() och lös A () = 0. A() = 2 ( 2 ) = 6 6 7 Roten till den ekvationen bestämmer helt dörrens utseende. Lösning: A () = 6 8 2 A () = 0 ger 6 8 2 = 0 har rötterna = ± Svar: Bredden är alltså 2 och höjden h( ) = 2. Problem 6. En 2 meter lång ståltråd ska, genom att delas i två delar, användas för att böja dels en kvadrat och dels en cirkel. Vilken är den största respektive minsta gemensamma area som kan erhållas. Plan: Antag att vi använder meter till cirkeln 2 Då används 2 cm till kvadraten Bestäm cirkeln radie r, då vi vet att dess omkrets är meter. 4 Bestäm kvadratens sida s, då vi vet att dess omkrets är 2 meter. 5 Bestäm cirkelns area 6 Bestäm kvadratens area 7 Bilda funktionen A() som summan av areorna. Håkan Strömberg 0 KTH Syd
8 Bestäm A etrempunkter genom att lösa A () = 0. Lösning: = 2π r ger r = 2π 4 2 = 4s ger s = 2 4 5 Cirkelns area A c = π ( 2π 6 Kvadratens area A k = ( 2 4 7 Vi får nu A () = 0 ger ) 2 ) 2 ( A() = π 2π ) ( ) 2 2 2 + = 2 4 4π + (2 )2 6 A () = 2π 2(2 ) = 6 2π 2 8 2π 2 = 0 8 8 = 4π 2π 2(4+π) = 4π = 2π 4+π 0.88 Problem 7. Vi ska tillverka en öppen låda (utan lock) med kvadratisk botten, som ska rymma 0 dm (lika många liter). Materialet för att tillverka lådans sidor kostar 6 kr/dm 2. För materialet i lådans botten får man betala 5 kr/dm 2. Bestäm måtten för den billigaste lådan och vad den kommer att kosta. Plan: Gör lämpliga antaganden om lådans mått 2 Bestäm lådans volym med hjälp av dessa antaganden Konstruera en funktion k, som bestämmer materialkostnader. 4 Se till att funktionen endast har en variabel 5 Derivera k med avseende på denna variabel 6 Lös ekvationen k = 0 7 Ta reda på funktionen k:s minpunkt. Detta är svaret Lösning: Antag att bottens sida är dm och att höjden är y dm. 2 Lådans volym blir då V = 2 y. Vi vet att volymen är 0 dm och får då sambandet 0 = 2 y. Håkan Strömberg KTH Syd
Lådan har en botten, med arean 2 dm 2 och 4 lika stora sidor, var och en med arean y dm 2. Med de priser som gäller kan vi nu teckna en funktion k(,y) = 5 2 +6 4y 4 Men eftersom vi från uttrycket av volymen får y = 0 2 kan vi skriva funktionen som 5 Vi deriverar och får 6 k () = 0 ger k() = 5 2 + 6 4 0 2 = 5 2 + 240 k () = 0 240 2 0 240 2 = 0 0 = 240 Det finns en stationär punkt i = 2. = 8 = 2 7 För att se att det verkligen är en minpunkt tar vi fram k () och hoppas att k () > 0 k () = 0+ 480 > 0 för alla > 0 Kostnaden blir nu k(2) = 5 4+ 240 2 = 80 Svar: Lådan har måtten 2 2 2.5 och kostar 80 kr att tillverka. 00 250 200 50 00 50 0.5.5 2 2.5 Håkan Strömberg 2 KTH Syd