Kurs 2D1213, laboration 1: Bli bekväm med MATLAB. Michael Hanke. November 6, 2006

Kurs 2D1213, laboration 1: Bli bekväm med MATLAB Michael Hanke November 6, 26 Part I Problem 1 Beskrivning och mål Numeriska metoder är ett av de grundläggande verktygen inom praktisk ingenjörsvetenskap och speciellt inom elektroteknik. En ingenjör måste därför kunna använda och utveckla numeriska metoder för att kunna lösa sina egna problem. Den här kursen är skräddarsydd för precis detta ändamål. Numeriska metoder och idéer presenteras under föreläsningar och används sedan i laborationer för att lösa praktiska uppgifter. Det är lösningen av de praktiska uppgifterna som avgör om du klarar kursen. Avsikten med första laborationen är att du skall bekanta dig med att utveckla program och algoritmer i MATLAB. MATLAB är en utvecklingsmiljö skräddarsydd för snabb utveckling av numeriska algoritmer. Du kommer här att få skriva ett program för DC- och AC-analys av RLC-kretsar. Utöver detta kommer du även få besvara teoretiska frågor om numeriska algoritmer. 2 Förberedelser 1. Läs om grunderna i numeriska beräkningar, dvs kapitel 1 i föreläsningsanteckningarna. 2. Repetera grunderna i MATLAB. Detta inkluderar repetition av material från första årskursen. Dessutom bör du bekanta dig med att starta MATLABs an- 1

vändargränssnitt (MATLAB-konsolen, MATLAB-editorn, MATLAB-debuggern). Du får själv välja operativsystem, men jag kommer att använda mig av Linux. Jag rekommenderar att använda MATLAB från KTHCDn. Alla MATLAB-versioner 5.x, 6.x och 7.x går att använda. 3. Läs grunderna i Modifierad nodanalys (MNA). Nodanalys presenteras i kursen Analog elektronik. Nödvändiga fakta för laborationen finns sammanfatade i del 2. jω-metoden introduceras i kursen Komplexa tal. 3 Problem 3.1 Teorifrågor 1. Sant eller falskt: Ett problem är illakonditionerat om dess lösning är mycket känslig med avseende på små förändringar i data. 2. Sant eller falskt: Att använda aritmetik med hög precision gör ett illakonditionerat problem bättre konditionerat. 3. Sant eller falskt: Konditioneringen av ett problem beror på lösningsalgoritmen. 4. Sant eller falskt: En bra algoritm ger en noggrann lösning oavsett hur problemet är konditionerat. 5. Sant eller falskt: Valet av lösningsalgoritm har ingen effekt på fortplantningsfelet. 6. Sant eller falskt: En stabil algoritm tillämpad på ett välkonditionerat problem ger alltid en noggrann lösning. 7. Lista tre felkällor i vetenskapliga beräkningar! 8. Förklara skillnaden mellan absolut- och relativfel. 9. Förklara skillanden mellan trunkerings- och fortplantningsfel. 1. (a) Vad menas med ett problems konditionering? (b) Påverkas den av lösningsalgoritmen? (c) Påverkas den av hur noggrann aritmetik som används? 11. Om ett beräkningsproblem har konditionstal 1, är det bra eller dåligt? Varför? 2

12. (a) I vilka fall blir det kancellering i ett flyttalssystem? (b) Varför är kancellering vanligtvis dåligt? 3.2 DC-analys 1. Skriv en MATLAB-funktion dc_anal som implementerar MNA-analysen. Det är bekvämt att använda följande anrop för funktionen: [e,iv] = dc_anal(ar,av,ai,r,v,i). Parametrarna betyder följande: AR, AV, AI är incidensmatriserna som markerar mellan vilka noder det finns resistorer, spänningskällor respektive strömkällor. R, V, I är vektorer som anger resistorernas, spänningskällornas respektive strömkällornas värden. e är vektorn för nodspänningarna (exklusive den jordade noden), och iv är vektorn för strömmar genom spänningskällorna. Låt n + 1 beteckna antalet noder i kretsen. Numrera sedan noderna från 1 till n + 1 där den jordade noden är nummer n + 1. Om antalet resistiva grenar är b R, antalet grenar med spänningskällor b V och antalet grenar med strömkällor b I, så har matriserna och vektorerna följande dimensioner: matris AR AV AI R V I e iv dimension n b R n b V n b I b R b V b I n b V Vad händer om några grenar saknas? Antag att kretsen inte har några strömkällor, dvs b I =. Matrisen AI kommer då att ha dimensionen n. I MATLAB motsvarar detta en (dimensionerad) tom matris. Detta är helt konsistent med MATLABs tolkning av matriser. På samma sätt har vektorn I dimensionen 1. 3

(a) Figure 1: Krets för DC-analysproblemet. Tips: Du kan vara tvungen att använda följande MATLAB-kommandon: diag, zeros, \ (backslash; lösning av linjära ekvationssystem), : (colon; extrahera delmatriser och delvektorer). 2. Betrakta den elektriska kretsen i figur 1. De givna kvantiteterna är: spänningen över spänningskällan E och resistanserna R s, R a, R b, R c, R d samt R g. Problemet består i att räkna ut strömmen genom resistor R g som funktion av R g. (a) Följande värden är givna: E = 1V, R s =.1Ω, R a = 1Ω, R b = R c = R d = 1Ω. Resistor R g skall variera mellan 1Ω och 2Ω. (b) Härled de incidensmatriser och vektorer som beskriver kretsen. Beräkna också strömmen I g genom R g för så många värden på R g att en graf av I g som funktion av R g kan ritas. Glöm inte att lägga till riktiga axelbeteckningar (värden, enheter etc). Tips: Titta på följande MATLAB-kommandon: plot, semilogx, semilogy, title, xlabel, ylabel. (c) Jämför dina resultat med en valfri kretssimulator (t ex spice)! 3. Vad är resistansen för en kub? Betrakta en krets konstruerad på följande sätt: (a) Rita nätet för en kub (dvs alla 12 kanter). 4

(b) Varje kant ersätts av en resistor med resistans 1Ω. (c) Kretsnoderna representeras av hörnen. Hur stor är resistansen mellan två diagonalt motsatta hörn? 3.3 AC-analys Vi är i detta problem intresserade av att beräkna överföringskurvor för RLCkretsar. Vi väljer här att använda jω-metoden. Denna metod gör att den matematiska analysen blir mer lik DC-fallet. 1. Skriv en MATLAB-funktion ac_anal som implementerar jω-metoden! Du kan använda följande anrop för funktionen: [e,iv] = ac_anal(ar,ac,al,av,ai,r,c,l,v,i,omega). 2. I musikbranschen hade vinylskivan länge samma roll som CD-skivan har idag. Av mekaniska anledningar var den elektriska signalen för låga frekvenser inte linjärt modulerad med de mekaniska vibrationerna. I själva verket förstärktes de högre frekvenserna medan de lägre dämpades. Vid 1kHz varken förstärktes eller dämpades signalen. Den exakta förstärkningskurvan (RIAA-kurvan) definieras av en referenskrets. Den motsatta effekten i skivspelaren kallas RIAA-equalizer. Denna krets finns skissad i figur 2. Parametrarna ges som följande: R1 = 1Ω, R1A = 212.8mΩ, C1 = 3.528mF, C1A = 352.8µF. Kretsen är giltig för en frekvens f för E1 mellan 2Hz och 2 khz. För enkelhets skull väljs spänningen till 1V. Beräkna och plotta förstärkningskurvan för equalizern! Sätt frekvensen f på x-axeln och kvoten mellan den effektiva spänningen v 5 (f) i nod 5 och v 5 (1kHz) (mätt i db) på y-axeln! Glöm inte att lägga till rätt axelbeteckningar i plotten! 4 Utvärdering 1. Laborationen får utföras i grupper om två. 5

Figure 2: RIAA equalization circuit 2. En välskriven laborationsrapport innehållandes svaren på alla uppgifter samt all skriven kod skall lämnas in. All kod skall vara i körbart skick. Deadline: fredagen, 17:e november 26. 3. För att bli godkänd på laborationen skall de teoretiska frågorna vara besvarade och DC-analysdelen vara löst. 4. För betyg 5 skall även AC-analysdelen vara löst. Part II Förklaringar Nedanstående förklaringar baseras på material från: Caren Tischendorf: Coupled systems of differential algebraic and partial differential equations in circuit and device simulation. Berlin: Humboldt Univ., Habilitationsschrift 23 5 Den modifierade nodanalysen (MNA) Den numeriska simuleringen av elektriska nätverk är nära besläktad med nätverksmodellering. En väletablerad nätverksmodell är att använda grafer med grenar och 6

Figure 3: A sample circuit: Schematic of a low-pass filter noder. Varje gren representerar då en elektronisk komponent kopplad till grenens noder (Se det enkla exemplet i figur 3). De enklaste komponenterna i ett nätverk beskrivs fullständigt genom samband mellan en grens ström och spänning (t ex resistorer, kondensatorer, induktorer samt (oberoende) spännings- och strömkällor). Dessa beskrivande samband mellan ström och spänning kallas karakteristiska ekvationer. Tillståndet för ett nätverk vid en given tidpunkt beskrivs helt av grenspänningarna, grenströmmarna och nodpotentialerna. Nodpotentialerna är dock endast bestämda upp till en konstant och en nod tilldelas därför spänningen V. Denna nod kallas massnod eller jord. De andra potentialerna ges då i förhållande till denna nod (och blir då unika). För att nätverksmodellen skall vara komplett så måste komponenternas topologi (dvs deras ömsesidiga sammankoppling) beaktas. Antar vi att kopplingarna mellan kretsens komponenter samt noderna är helt förlustfria så kan topologin beskrivas med Kirchhoffs lagar. Alltså består närverksmodelleringen av två steg: 1. Beskriv nätverkskomponenterna. 7

2. Applicera Kirchoffs lagar. 5.1 Nätverkskomponenter För att göra det enkelt för oss kommer vi endast att behandla okontrollerade komponenter med två anslutningar. Dessutom antas komponenterna vara linjära. Varje grenspänning skrivs som v medan grenströmmar skrivs som i. Observera att båda kan vara såväl positiva som negativa beroende på grenens riktning. 5.1.1 Passiva komponenter Inom nätverksmodellering skiljer man mellan tre olika typer av passiva komponenter: resistorer, kondensatorer och induktorer. De karakteristiska ekvationerna beskrivs av: Resistorer begränsar det elektriska flödet enligt lagen v = Ri, där R är resistansens värde. Ibland skrivs sambandet som i = Gv där G = 1/R kallas konduktans. Kondensatorer binder energi i ett elektriskt fält. Detta beskrivs av sambandet q = Cv där q är den elektriska laddningen och C är kapacitansen. De karakteristiska ekvationerna för förhållandet mellan ström och spänning ges av i = d q = C dv (om C är konstant). dt dt Induktorer binder energi i ett elektromagnetiskt fält enligt Φ = Li där Φ är det magnetiska flödet och L är induktansen. De karakteristiska ekvationerna för förhållandet mellan ström och spänning ges av v = d Φ = dt Ldi (om L dt är konstant). 5.1.2 Oberoende källor Vi antar för enkelhets skull att oberoende källor är de enda aktiva komponenterna. Generaliseringen till beroende källor är rättfram. Spänningskälla Det karakteristiska sambandet för en spänningskälla ges av v = E där E är källans styrka. Observera att v beror inte på grenströmmen i. Strömkälla Det karakteristiska sambandet för en strömkälla ges av i = I där I är källans styrka. Observera att i beror inte på grenspänningen v. 8

5.2 Kirchhoffs lagar Beteendet hos ett elektriskt nätverk bestäms helt av Kirchoffs lagar. Om vi betraktar en nod med inkommande grenströmmar i 1,...,i l, så kan vi beskriva Kichoffs strömlag (KCL) med i 1 + + i l =, dvs summan av alla inkommande strömmar till en nod är noll. Om vi tänker oss en loop med grenspänningar v 1,..., v m, så kan vi formulera Kirchoffs spänningslag (KVL) som v 1 + + v m =, dvs summan av alla grenspänningar i en loop är noll. I ett verkligt nätverk finns det många noder och loopar. För att kunna beskriva en krets topologi måste vi skriva ned KCL och KVL för varje nod och loop i kretsen. Det blir då uppenbart att vi måste ha ett systematiskt sätt att härleda alla ekvationer. Lyckligtvis existerar det en elegant beskrivning av ekvationerna som använder kretsens (reducerade) incidensmatris A. Antag att vi har en krets med n + 1 noder och b grenar. Numrera noderna och grenarna som följande: Den jordade noden utesluts här. Definiera en riktning för varje gren, dvs definiera en start- och en slutnod. Den reducerade 1 incidensmatrisen beskriver vilka noder som tillhör varje gren: a ij = 1, om gren j har startnod i 1, om gren j har slutnod i, else Det är nu bekvämt att samla alla grenströmmar i en vektor 2 i = [i 1, i 2,...,i b ]. Den kompakta formuleringen för KCL blir då Ai =. Incidensmatrisen tillåter dessutom en enkel beskrivning av sambandet mellan nodpotentialer och grenspänningar. Om v = [v 1, v 2,...,v b ] är vektorn med grenspänningar och e = [e 1, e 2,...,e n ] är vektorn med nodpotentialer (exklusive jorden), så gäller sambandet v = A e. 5.3 Nätverksanalys Låt som förut i vara vektorn med grenströmmar och v vara vektorn med grenpotentialer. Första steget är att skriva ner nätverksekvationerna och de karakteris- 1 Uttrycket reducerad kommer av att den jordade noden är utelämnad. 2 Alla vektorer antas vara kolumnvektorer. För att efterlikna MATLAB-notationen markeras en transponerad vektor eller matris med apostrof: A T = A. 9.

tiska ekvationerna som beskrevs i föregående sektioner. Vi får då ett system med dimensionen 2b + n för de okända variablerna i, v, e. Den så kallade modifierade nodanalysen (MNA) behöver ett mycket mindre antal obekanta. I detta fall ersätter man grenströmmarna för alla strömdefinierande komponenter (konduktorer, resistorer 3, strömkällor) med sina karakteristiska ekvationer. Grenspänningarna ersättes med nodpotentialerna. Det är praktiskt att dela upp incidensmatrisen efter vilken komponenttyp grenarna tillhör. Enligt definitionen av incidensmatrisen motsvarar varje kolumn i A en gren. Vi antar attgrenarna är numrerade i följande ordning: resistiva grenar, kapacitiva grenar, induktiva grenar, grenar med spänningskällor, och till sist grenar med strömkällor. Matrisen A kan då skrivas på blockform: A = [A R, A C, A L, A V, A I ], där indexen står för resistiv (R), kapacitiv (C), induktiv (L), spänningskällor (V) samt strömkällor (I). Använder vi de karakteristiska ekvationerna får vi följande system: A C d dt CA Ce + A R GA Re + A L i L + A V i V = A I I, d dt Li L A Le =, Vi använder här följande notation: A V e = E. i V är vektorn med grenströmmar genom spänningskällor. i L är vektorn med grenströmmar genom induktorer. I är vektorn med strömkällornas värden. E är vektorn med spänningskällornas värden. C är den diagonala matrisen med kapacitanser. G är den diagonala matrisen med konduktanser (inversen av resistans). L är den diagonala matrisen med induktanser. 3 med konduktansformulering! 1

De okända variablerna i det klassiska MNA-systemet är nodspänningarna e, strömmarna genom spänningskällor i V, och strömmarna genom induktorer i L.Alltså har antalet obekanta minskat drastiskt. I matrisformulering kan systemet skrivas som A C CA C L d dt e i L i V + A R GA R A L A V A L A V e i L i V = A I I E Detta system består av differentialekvationer (för e 4 och i L ) samt ekvationer som inte innehåller några derivator av de obekanta. Ett sådant system kallas för en differential-algebraisk ekvation och spelar en viktig roll inte bara inom kretssimulering. 5.3.1 DC-analys När vi genomför en DC-analys antar vi att nätverket endast består av resistorer samt ström- och spänningskällor. Kondensatorer och induktorer måste ersättas med sina likströmsmotsvarigheter, dvs en kondensator är en perfekt isolator medan en induktor är en perfekt ledare. För att förenkla notationen antar vi att nätverket inte innehåller några kondensatorer eller induktorer överhuvudtaget. Matrisen framför derivatirna bli således en matris med nollor och MNA-systemet reduceras till [ AR GA R A V A V ][ e i V ] = [ AI I E Detta är ett linjärt ekvationssystem. Under vissa förutsättningar på nätverkets topologi blir systemmatrisen icke-singulär och systemet har en unik lösning. Exempel Betrakta den elektriska kretsen i figur 4. Vi räknar de resistiva grenarna först, sedan grenarna med spänningskällor och sist grenarna med stömkällor. Låt gren i vara grenen genom resistor R i, för i = 1, 2, 3, 4. Gren 5 är spänningskällan och gren 6 består av strömkällan. Detta ger oss incidensmatriserna ].. A R = +1 +1 1 +1 +1 1,A V = +1,A I = 1, är en sin- 4 Egentligen bestäms inte alla nodspänningar av differentialekvationer då A C CA C gulär matris. Detta beskrivs mer detaljerat senare i kursen. 11

Figure 4: A resistive network Låt för enkelhets skull alla resistanserna vara lika med 1Ω. Systemet blir då 2 1 e 1 1 3 1 e 2 1 1 1 e 3 = 1. 1 i V 9 5.3.2 AC-analys Vi antar här att alla källor är harmoniska och har samma frekvens f, dvs de lyder under sambanden v(t) = ˆV sin ωt, i(t) = Î sin ωt där ω = 2πf. Istället för att använda amplituden är det vanligt att arbeta med effektiva värden V = ˆV / 2, I = Î/ 2. Det är här bekvämt att använda sig av komplexvärda storheter. Istället för triginometriska funktioner använder vi då komplexa tal. Från de Moivres formel kan tidsberoende spänningar och strömmar skrivas som real- eller imaginärdelen av e jωt skalad med ˆV respektive Î. Sambandet mellan kapacitans och resistans d dt ejωt = jωe jωt, 12

kan då förenklas till v = Zi, vilket liknar Ohms lag för resistorer. Den komplexa motsvarigheten till resistans kallas impedans. Att använda detta synsätt i analysen av RLC-kretsar kallas jωmetoden. Impedansen räknas enkelt ut med följande samband: Resistor Z = R Kondensator Z = 1 jωc Induktor Z = jωl Vi återgår nu till MNA-ekvationerna, där induktiva och kapacitiva grenar nu kan hanteras på samma sätt som de resistiva grenarna genom att ersätta resistans med impedans. Inversen av impedansen Z kallas för admittansen Y. Låt Y R, Y C, Y L vara de diagonala matriserna med admittanser för de resistiva, kapacitiva och konduktiva grenarna. Då gäller att 5 [ AR Y R A R + A CY C A C + A LY L A L A V A V ][ e i V ] = Ström- och spänningsvektorerna innehåller nu effektiva värden. [ AI I E Exempel Betrakta RLC-kretsen i figur 5. Numrera grenarna som tidigare. Vi får nu följande matriser: ]. A R = +1 +1,A C = +1 1,A L = +1 1,A V = +1,A I = 1, och [ 1/R1 Y R = 1/R 4 ], Y C = [jωc],y L = [1/(jωL)]. 5 Speciellt gäller, Y R = G. 13

Figure 5: A simple RLC circuit 5.3.3 Strömberäkning, eller: hur konstruerar vi en amperemeter? Ett återstående problem i MNA-analysen är att vi endast har ett fåtal strömmar att tillgå. Om vi t ex är intresserade av att veta strömmen genom en resistiv gren så ges denna inte av NMA-analysen, trots att vi helt kan beskriva nätverkets tillstånd. Ett trick är då att seriekoppla en spänningskälla på V med resistansen. Denna spänningskälla påverkar inte nätverkets tillstånd men enligt KCL är strömmen genom spänningskällan densamma som genom resistorn. Alltså fungerar spänningskällor på V som amperemetrar. 14