Korsningar i kompletta multipartita grafer

Institutionen för naturvetenskap och teknik Korsningar i kompletta multipartita grafer Erik Lissel

Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C Korsningar i kompletta multipartita grafer Erik Lissel April 2014 Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Mårten Gulliksson Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå

Sammanfattning Syftet med den här uppsatsen är att undersöka graden av planäritet för kompletta multipartita grafer. Det primära resultatet som presenteras är en formel som kan användas för att nedåt begränsa det minsta antalet korsningar som behövs för att realisera en komplett bipartit graf indelad i m respektive n noder: cr(k m,n ) q 2p + 4, m n 2, där q = mn och p = m + n. Därutöver presenteras tabeller som med formeln som utgångspunkt uppskattar eller bestämmer det minsta antalet korsningar för alla kompletta multipartita grafer med sju noder eller mindre. Uppsatsen innehåller också en genomgång av några tidigare resultat, däribland Zarankiewicz uppställning av kompletta bipartita grafer samt en överblick över Crossing Number Inequality.

Innehåll 1 Inledning 5 2 Bakgrund 6 2.1 Denitioner............................ 6 3 Grafer i planet 10 3.1 Eulers sats............................. 10 3.2 Crossing Number......................... 14 3.2.1 Zarankiewicz....................... 14 3.2.2 Crossing Number Inequality............... 14 4 Resultat 17 4.1 Minsta antalet korsningar i en graf............... 17 4.2 Minsta antalet korsningar i en bipartit graf.......... 19 4.3 Tabeller.............................. 21 4.3.1 Antalet korsningar i bipartita grafer.......... 21 4.3.2 Antalet korsningar i små multipartita grafer...... 21 4.4 Stora kompletta bipartita grafer................. 29 5 Diskussion 30 5.1 Bipartit.............................. 30 5.2 Multipartit............................ 30 A Bevis av Zarankiewicz 33

Kapitel 1 Inledning Grafteori har fascinerat människor i generationer. Från broarna i Köningsberg och fram till idag har alla möjliga typer av lättförståeliga problem uppstått. Det är nog inte någon med intresse för lurigheter och matematik som lyckats undgå enkla utmaningar som: fyll i alla streck utan att lyfta pennan. Som liten parvel ck jag följande bild framför mig: Det gäller att dra streck så att varje kloss på ovansidan har ett streck till varje kloss på undersidan, utan att strecken korsar varandra. Det verkade ju enkelt. Tre timmar senare satt jag fortfarande kvar och försökte, frustrerad, hitta en lösning på problemet. Möjligheten att det inte skulle gå, den ville jag inte riktigt erkänna... I den här uppsatsen konstateras snabbt att problemet är olösligt, och vi lyfter det till nästa nivå. Vad händer om det är fyra klossar på ovansidan? Vad händer om det är tre grupper av klossar? Hur många korsningar behöver man använda? 5

Kapitel 2 Bakgrund I bakgrundsdelen ingår enbart tidigare kända resultat. 2.1 Denitioner I den här delen ges en kort överblick över terminologin som används i den här uppsatsen. Terminologin är i stort sett analog med Wilson [7]. Denition 2.1.1. En graf G är en mängd noder (vertices) V (G), samt en mängd kanter (edges) E(G). Kanterna är en symmetrisk relation på noderna, så en kant uttrycks på formen {a, b}, där a, b V (G). Denition 2.1.2. Noderna a och b kallas närliggande om {a, b} E(G). Denition 2.1.3. En vandring är en sekvens av närliggande noder. Exempel 2.1.1. Låt V (G) = {a, b, c, d, e} och E(G) = {{a, b}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {c, d}}. Här nns era vandringar, bland annat (a, b, e), se gur 2.1. Denition 2.1.4. En väg är en vandring där ingen nod förekommer två gånger. Denition 2.1.5. En cykel är en väg som börjar och slutar i samma nod. Denition 2.1.6. I en sammanhängande graf ska det nnas en vandring mellan varje par av noder. Notera att grafen som bara har en nod alltså är sammanhängande. Exempel 2.1.2. Låt V (G) = {a, b, c, d} och E(G) = {{a, c}, {b, c}, {b, d}}. Grafen är sammanhängande. Om {b, d} utesluts från E(G) kommer grafen inte att vara sammanhängande, eftersom det till exempel inte nns någon vandring mellan b och d, se gur 2.2 6

d b a e c Figur 2.1: Vandringen (a, {a, b}, b, {b, e}, e) b d b d a c a c (a) Sammanhängande (b) Inte sammanhängande Figur 2.2: En sammanhängande och en icke-sammanhängande graf. 7

Figur 2.3: K 4 - den kompletta grafen över fyra noder. Varje nod är närliggande med varje annan nod. Figur 2.4: K 5 - den kompletta grafen med fem noder. Varje nod är närliggande med varje annan nod. Denition 2.1.7. Borttagning av en nod a från grafen G utesluter a från V (G), och dessutom alla {a, x} från E(G), x V (G). Denition 2.1.8. En graf H kallas för en subgraf till grafen G, om V (H) V (G) och E(H) E(G). Detta tecknas H G. Om det är säkert att likhet inte gäller mellan nodmängderna eller kantmängderna så används notationen H G. Denition 2.1.9. K n är en graf med n noder, där alla noder är närliggande. Vi kallar den för den kompletta grafen över n noder. Exempel 2.1.3. Den kompletta grafen över fyra noder har 6 kanter, se gur 2.3. Exempel 2.1.4. Den kompletta grafen över fem noder har 10 kanter, se gur 2.4. Det gäller att K n har ( ) n 2 = n(n 1) 2 kanter (antalet kanter är lika med antalet olika icke-ordnade par av noder). Denition 2.1.10. I en bipartit graf kan alla noder delas in i två disjunkta mängder, så att det inte nns något par av noder ur samma mängd som är närliggande. 8

Figur 2.5: K 3,3 - Varje vit nod är närliggande med varje svart nod. Denition 2.1.11. En komplett bipartit graf är en bipartit graf där varje nod ur den ena mängden är närliggande med varje nod ur den andra. Vi betecknar sådana grafer med K m,n där m och n är storleken på mängderna. Antalet kanter i K m,n är m n. Exempel 2.1.5. I ett scenario nns det tre bostadshus, samt en kraftstation, ett vattenverk och en bensinstation. Uppgiften är att dra ledningar direkt från varje leverantör till varje hus. Detta resulterar i den kompletta bipartita grafen K 3,3. Den kallas också för utilitygrafen eller gas, electricity, water, se gur 2.5. Denition 2.1.12. En multipartit graf är en graf där alla noder kan delas in i ett godtyckligt antal disjunkta mängder, så att ingen kant går mellan två noder ur samma mängd. Alla grafer är alltså multipartita om man låter varje nod utgöra en egen mängd. Följande denition är hämtad ur Andrews [2]. Denition 2.1.13. En partition av ett positivt heltal n är en sekvens av positiva heltal λ = (λ 1, λ 2,..., λ m ) som uppfyller λ k λ k+1 (för alla heltal 1 k m 1) samt m k=1 λ k = n. Matematiskt tecknas detta λ n, och läses λ är en partition av n. p(λ) avser antalet tal i sekvensen, alltså m. Denition 2.1.14. En komplett multipartit graf är en multipartit graf där varje möjligt kant ingår. Vi betecknar den som K λ1,λ 2,...,λ m, där λ k är antalet noder i mängd k, n är det totala antalet noder och λ n. Dessutom gäller p(λ) > 1. Sats 2.1.1. Antalet kanter i en komplett multipartit graf är n 1 j<k n λ j λ k. Bevis. Låt oss betrakta två av mängderna, X och Y. Dessa utgör en bipartit graf, så antalet kanter mellan dem är X Y. Om vi gör samma sak för alla andra kombinationer av mängder, och adderar resultaten, så har vi den eftersökta summan. 9

Kapitel 3 Grafer i planet Grafer kan realiseras (ritas) i ett plan på olika sätt. Om en graf har ritats i planet utan korsningar kommer den att ha ett visst antal ytor (faces) som begränsas av kanterna. Även ytan utanför grafen räknas till dessa, se gur 3.1. Denition 3.0.15. För en graf G som har realiserats i planet utan korsningar låter vi F (G) vara mängden av alla ytor. Denition 3.0.16. För att förkorta notationen kommer följande beteckningar att användas: p = V (G), q = E(G) och r = F (G). 3.1 Eulers sats Nedan följer en genomgång av Eulers sats och dess följder. Bevisidéer och denitioner är baserade på Wilson [7]. Sats 3.1.1 (Euler). För en sammanhängande graf med p 1 som har realiserats i planet utan korsningar gäller p q + r = 2. Bevis. Vi använder induktion över antalet kanter. Låt basfallet vara: en nod, inga kanter och en yta. Då håller formeln, ty 1 0 + 1 = 2. För induktionssteget, låt oss anta att vi har en sammanhängande graf G utan korsningar med n kanter. Vi lägger till ytterligare en kant från godtycklig nod, och bildar grafen G. Låt p n, q n och r n vara antalet noder, kanter och ytor i G, och p n+1, q n+1 och r n+1 vara antalet noder, kanter och ytor i G. Vi vet från induktionsantagandet att p n q n + r n = 2. Det nns två fall när en kant läggs till: (A) en till nod läggs till och blir kantens andra slutpunkt, se gur 3.2; (B) kanten kopplas mellan två bentliga noder, se gur 3.3. 10

b b d 2 c d 1 a c a (a) (b) Figur 3.1: Samma graf realiserad på två olika sätt. (a) har två ytor, (b) har en korsning. Figur 3.2: Fall (A): En ny nod skapas. 11

Figur 3.3: Fall (B): Kanten dras mellan två bentliga noder. I (A) tillkommer en nod och en kant men ingen yta, så vi har sambanden p n+1 = p n + 1 q n+1 = q n + 1 r n+1 = r n p n q n + r n = 2. Substitution ger den eftersökta ekvationen p n+1 q n+1 + r n+1 = p n + 1 q n 1 + r n = 2. För (B) kommer en yta att delas itu av den nya kanten. Det tillkommer alltså ytterligare en yta och en kant, så vi har sambanden p n+1 = p n q n+1 = q n + 1 Substitution ger r n+1 = r n + 1 p n q n + r n = 2. p n+1 q n+1 + r n+1 = p n q n 1 + r n + 1 = 2. Denition 3.1.1. För en yta f låter vi sides(f) vara antalet kanter som går runt ytan. Sats 3.1.2. För en graf som har realiserats i planet med q 2 utan korsningar gäller 2q 3r. Bevis. I fallet med bara en yta ger kravet på q 2 direkt att satsen gäller. Om det nns era ytor så räknar vi för varje yta kanterna som går runt ytan. 12

Detta innebär att alla sådana kanter räknas två gånger. Det nns minst tre kanter runt varje yta, så 2q sides(f) 3 = 3r. f F (G) f F (G) Denition 3.1.2. En graf som på något sätt kan realiseras i planet så att inga kanter korsar varandra kallas för planär. Sats 3.1.3. I en planär graf med q 2 gäller 3p q 6. Bevis. Låt oss anta att grafen har realiserats i planet utan korsningar (det är möjligt, eftersom grafen är planär). Från sats 3.1.2 samt sats 3.1.1 får vi 2q 3r (när q 2) och p q + r = 2 3p 3q + 3r = 6. Adderas dessa uttryck erhålls 2q + (3p 3q + 3r) 3r + 6, alltså 3p q 6. Exempel 3.1.1. K 5 är inte planär, ty p = 5, q = 10 ger 3p q = 15 10 = 5 < 6. Det är lockande att försöka med exakt samma metod som i exempel 3.1.1 på K 3,3. Detta ger dock inget vettigt svar eftersom p = 6, q = 9 resulterar i 3p q = 18 9 6. Lyckligtvis kan vi utnyttja egenskaper hos bipartita grafer för att bestämma huruvida K 3,3 är planär eller inte. Lemma 3.1.1. I en bipartit graf som är realiserad i planet utan korsningar med q 2 gäller q 2r. Bevis. I en bipartit graf som har ritats i planet måste alla ytor ha ett jämnt antal kanter. Detta eftersom varje kant måste gå mellan de två nodmängderna, och ingen kant får kopplas mellan noder i samma mängd. Det krävs åtminstone tre kanter för att innesluta en yta. Tre är ett udda tal, så det minsta antalet kanter kring en yta är alltså fyra! Enligt samma resonemang som i beviset av sats 3.1.3 vet vi att 2q 4r. Sats 3.1.4. K 3,3 är inte planär. Bevis. Från lemma 3.1.1 och sats 3.1.1 (Eulers formel), erhålls 2q + (4p 4q + 4r) 4r + 8, alltså 4p 2q 8. K 3,3 är alltså inte planär, ty p = 6, q = 9 medför att 4p 2q = 24 18 = 6 < 8. 13

3.2 Crossing Number Om en graf inte är planär kan man fråga sig hur många korsningar av kanter behövs för att rita grafen. Finns det ett optimalt sätt att rita grafen på, så att antalet korsningar blir så få som möjligt? Denition 3.2.1. Det minsta antalet korsningar som behövs för att rita en graf G betecknas cr(g) (eng: crossing number) (de Klerk [5]). 3.2.1 Zarankiewicz Olikheten i 3.2.1 nämns av de Klerk [5]. Ett utförligt bevis av den åternns i Appendix A. Denition 3.2.2. Talet x avrundat uppåt till närmsta heltal betecknas x. Talet x avrundat nedåt till närmsta heltal betecknas x. Sats 3.2.1 (Zarankiewicz). cr(k m,n ) m 2 m 1 2 n 2 n 1. 2 Zarankiewicz hade tesen att olikheten i 3.2.1 egentligen var en likhet. Enligt de Klerk [5] är likhet verierad upp till m = 8 och n = 8. 3.2.2 Crossing Number Inequality Crossing number inequality är en olikhet som kan användas för att ta reda på en undre gräns på antalet korsningar. Beviset nedan är en blandning av Ajtai [1] och Pach [6], samt ett utökat resonemang kring olikheten i lemma 3.2.1. Lemma 3.2.1. För alla grafer realiserade i planet gäller cr(g) q 3p. Bevis. Vi behöver generalisera sats 3.1.2 och sats 3.1.1 så att de gäller för alla grafer. Specikt måste båda gälla då p = 0, q = 0 och r = 1. Alltså och 2q + 3 2q 3r p q + r = 2 1. Lite algebra ger 3p q 0. Låt G vara en optimalt realiserad icke-planär graf. Om vi för varje korsning tar bort en kant, så kommer vi få en garanterat planär graf med q cr(g) kanter och oförändrat antal noder, alltså 3p (q cr(g)) 0, vilket är ekvivalent med cr(g) q 3p. 14

Sats 3.2.2 (Crossing Number Inequality). Låt G vara en sammanhängande graf med Då gäller att q > 4p. cr(g) q3 64p 2. Bevis. Låt G vara en sammanhängande graf. Vi låter x vara en sannolikhet (som vi bestämmer senare), alltså 0 x 1. Vi ska nu slumpmässigt generera en ny graf genom att plocka bort noder från G. Låt x vara sannolikheten att en nod får vara kvar. En kant får vara kvar endast om båda dess noder är kvar. Sannolikheten för att en kant är kvar blir alltså x 2 (då det krävs två på varandra oberoende händelser med sannolikhet x). Vi kallar den nya grafen för G 1. Enligt lemma 3.2.1 gäller cr(g 1 ) q 1 3p 1. Genom att ta ett statistiskt väntevärde på båda sidorna (och utnyttja att väntevärden är linjära) erhålls E(cr(G 1 )) E(q 1 3p 1 ) = E(q 1 ) 3E(p 1 ). Vi vet att E(p 1 ) = xp samt E(q 1 ) = x 2 q. Hur stor är sannolikheten att en korsning överlevde? En korsning beror på fyra noder, alla måste vara kvar för att korsningen ska vara kvar, så E(cr(G 1 )) = x 4 cr(g), vilket ger x 4 cr(g) x 2 q 3xp cr(g) q x 2 3p x 3. Det har blivit dags att bestämma ett lämpligt värde på x. Vi väljer x = 4p q. Värdet är mindre än 1, eftersom vi förutsätter q > 4p, så vi har slutligen cr(g) q3 4 2 p 2 3pq3 4 3 p 3 = q3 64p 2. Det skall tilläggas att Pach och Toth [6] har lyckats förbättra resultatet för grafer med q > 7,5p, genom att bevisa och utnyttja olikheten cr(g) 5q 25p. Beviset för denna olikhet är dock tillräckligt mycket material för en hel artikel, så vi nöjer oss med att konstatera resultatet. Sats 3.2.3 (Pach, Toth). I en sammanhängande graf G med q > 7,5p gäller cr(g) 4q3 135p 2. 15

Förutsatt att en graf G uppfyller det striktare villkoret i sats 3.2.3 så får man alltså ett högre minsta värde på cr(g) jämfört med sats 3.2.2. Detta blir uppenbart om man utför divisionen 4 135 = 1 33,75. 16

Kapitel 4 Resultat 4.1 Minsta antalet korsningar i en graf Det är dags att försöka svara på frågan om hur många korsningar multipartita grafer kommer att ha. Till att börja med konstateras två enkla lemman som itigt kommer att användas för att bestämma det minsta möjliga antalet korsningar. Lemma 4.1.1. En graf G som ritats i planet med t korsningar har cr(g) t. Lemma 4.1.2. För en graf G och dess subgraf H gäller cr(g) cr(h). Genom en utökning av resonemanget i sats 3.1.3 kan vi få fram en enkel formel som nedåt begränsar det minsta möjliga antalet korsningar. Sats 4.1.1. Låt G vara en sammanhängande graf med p noder och q kanter, där q 2. Då gäller cr(g) q 3p + 6. Bevis. Det här resultatet kan fås genom samma resonemang som i lemma 3.2.1. Här presenteras dock en alternativ metod för att nå olikheten. Låt G vara en sammanhängande graf och låt den vara uppritad med cr(g) korsningar. Genom att lägga till en nod i varje korsning kommer en planär graf, G, att uppstå, se gur 4.1. För G gäller alltså 17

v 2 v 1 v 2 v 1 v 5 v 3 v 4 v 3 v 4 (a) (b) Figur 4.1: En nod, v 5, läggs till i korsningen. Detta ger upphov till att två kanter delas itu. Figur 4.2: K 6 ritad med tre korsningar. Enligt sats 3.1.3 gäller då att { p = p + cr(g) q = q + 2 cr(g). 3p q 6, 3(p + cr(g)) (q + 2 cr(g)) 6, 3p + 3 cr(g) q 2 cr(g) 6, cr(g) q 3p + 6. Exempel 4.1.1. K 6 har 15 kanter och 6 noder. Alltså får vi enligt sats 4.1.1 att cr(k 6 ) 6 3 6 + 15 = 3. Nu vet vi att det minsta antalet korsningar varken kan vara ett eller två! Enligt gur 4.2 och lemma 4.1.1 så är cr(k 6 ) 3. Alltså är cr(k 6 ) = 3. 18

(a) Från nod (b) Från kant Figur 4.3: En nod läggs till i en korsning. Notera att det alltid är en yta som har minst fyra sidor. 4.2 Minsta antalet korsningar i en bipartit graf Minns från lemma 3.1.1 att man i bipartita grafer utan korsningar kan räkna med att varje yta har fyra kanter. Om vi försöker lägga till noder i korsningarna så borde denna na egenskap förstöras. Hur mycket förstörs den? Lemma 4.2.1. När en yta f med sides(f) 4 delas i två till följd av att en korsning ersatts med en nod, kommer åtminstone en av de resulterande ytorna också att ha fyra sidor. Se gur 4.3. Vi är nu redo att, för kompletta bipartita grafer, presentera en sats som ger en undre begränsning av det minsta antalet korsningar. Eftersom faktiska uppritningar ger övre begränsningar av antalet korsningar så kan nedanstående sats tillsammans med en uppritning användas för att bestämma ett intervall [a, b] så att cr(k m,n ) [a, b]. Sats 4.2.1. Låt G vara en komplett bipartit graf med q kanter och p noder. Då gäller cr(g) q 2p + 4. (+) Bevis. Låt G vara en komplett bipartit graf, och låt den vara uppritad med cr(g) korsningar. Bilda grafen G 0 genom att ta bort en kant från varje korsning. G 0 kommer att vara bipartit och planär. Bilda grafen G genom att lägga tillbaks kanterna, men infoga en nod i varje korsning. Låt p, q och r vara antalet noder, kanter och ytor i G. Det gäller att { p = p + cr(g) q (*) = q + 2 cr(g). Enligt lemma 4.2.1 kommer alla ytor utom maximalt två per korsning (r 2 cr(g)) att ha minst fyra sidor. Maximalt två ytor per korsning kan ha tre sidor. Om vi för alla ytor summerar antalet sidor får vi (enligt samma resonemang som i beviset av sats 3.1.2) att 19

Figur 4.4: K 3,4 uppritad med två korsningar. 2q 4(r 2 cr(g)) + 3 2 cr(g), q 2r cr(g). (**) Från Eulers formel, sats 3.1.1, har vi p q +r = 2 2p 2q +2r = 4, som tillsammans med (**) ger Insättning av (*) ger oss q + (2p 2q + 2r ) (2r cr(g)) + 4 cr(g) q 2p + 4. cr(g) (q + 2 cr(g)) 2(p + cr(g)) + 4 cr(g) q 2p + 4. Exempel 4.2.1. Vad är cr(k 3,4 )? Vi har p = 7 och q = 12, som instatt i (+) ger cr(g) q 2p + 4 = 2. Det minsta antalet korsningar kan alltså inte vara mindre än två. Eftersom gur 4.4 är en realisering med två korsningar kan vi dra slutsatsen att cr(k 3,4 ) = 2. 20

Tabell 4.1: Tabell över antalet korsningar i en bipartit graf G. Det faktiska värdet, Z, uträknat från sats 3.2.1, samt värdet som sats 4.2.1 ger, a. 4.3 Tabeller G a Z K n,2 0 0 K 3,3 1 1 K 4,3 2 2 K 4,4 4 4 K 5,3 3 4 K 5,4 6 8 K 5,5 9 16 K 6,3 4 6 K 6,4 8 12 K 6,5 12 24 K 6,6 16 36 K 7,3 5 9 K 7,4 10 18 K 7,5 15 36 K 7,6 20 54 K 7,7 25 81 4.3.1 Antalet korsningar i bipartita grafer Vi tillämpar sats 4.2.1 för att hitta en undre begränsning av det minsta antalet korsningar för cr(k m,n ), där m, n 7. Dessa jämförs med de faktiska värdena från 3.2.1 (Zarankiewicz), se tabell 4.1. 4.3.2 Antalet korsningar i små multipartita grafer Vi har inte presenterat någon direkt formel för övre gräns av crossing number för multipartita grafer som inte är bipartita. Genom att hitta bra uppritningar kan vi ändå säga något om crossing number för sådana grafer. Tabell 4.2 är en översikt över cr(k λ ), p(λ) > 2, för alla grafer med sex eller sju noder. Genom att utnyttja värdena för K 4,3 och K 4,1,1,1 i tabell 4.2 kan vi direkt konstatera ett värde för cr(k 4,2,1 ). Sats 4.3.1. cr(k 4,2,1 ) = 2 Bevis. lemma 4.1.2 och (K 4,3 K 4,2,1 K 4,1,1,1 ) ger att 2 = cr(k 4,3 ) cr(k 4,2,1 ) cr(k 4,1,1,1 ) = 2 21

Tabell 4.2: Tabell över antalet korsningar. Om b inte är angivet gäller cr(g) = a, annars a cr(g) b. G a b Referens K n,1,1 0 gur 4.5 K 2,1,1,1,1 2 gur 4.10 K 2,2,1,1 1 gur 4.6 K 2,2,2 0 gur 4.8 K 3,1,1,1 1 gur 4.9 K 3,2,1 1 gur 4.7 K 2,1,1,1,1,1 5 6 gur 4.11 K 2,2,1,1,1 4 gur 4.12 K 2,2,2,1 3 gur 4.13 K 3,2,2 2 gur 4.14 K 3,1,1,1,1 3 5 gur 4.15 K 3,2,1,1 2 3 gur 4.16 K 3,3,1 2 3 gur 4.17 K 4,2,1 2 sats 4.3.1 K 4,1,1,1 2 gur 4.18 Figur 4.5: K n,1,1 uppritad utan korsningar. lemma 4.1.1 ger att K n,1,1 är planär. Figur 4.6: K 2,2,1,1 uppritad med en korsning. lemma 4.1.1 ger att cr(k n,1,1 ) 1. Vi ser att K 3,3 K 2,2,1,1, så cr(k n,1,1 ) 1. 22

Figur 4.7: K 3,2,1 uppritad med 1 korsning ger cr(k 3,2,1 ) 1 enligt lemma 4.1.1. Dessutom ger K 3,3 K 3,2,1 att cr(k 3,2,1 ) 1 enligt lemma 4.1.2. Figur 4.8: K 2,2,2 uppritad utan korsningar. Grafen är alltså planär enligt lemma 4.1.1. Figur 4.9: K 3,1,1,1 uppritad med 1 korsning ger cr(k 3,1,1,1 ) 1 enligt lemma 4.1.1. Dessutom ger K 3,3 K 3,1,1,1 att cr(k 3,1,1,1 ) 1 enligt lemma 4.1.2. 23

Figur 4.10: K 2,1,1,1,1 uppritad med 2 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 2,1,1,1,1 ) 2. sats 4.1.1 ger cr(k 2,1,1,1,1 ) q 3p + 6 = 14 18 + 6 = 2. Figur 4.11: K 2,1,1,1,1,1 uppritad med 6 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 2,1,1,1,1,1 ) 6. sats 4.1.1 ger cr(k 2,1,1,1,1,1 ) q 3p+6 = 20 21+6 = 5. 24

Figur 4.12: K 2,2,1,1,1 uppritad med 4 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 2,2,1,1,1 ) 4. sats 4.1.1 ger cr(k 2,2,1,1,1 ) q 3p + 6 = 19 21 + 6 = 4. 25

Figur 4.13: K 2,2,2,1 uppritad med 3 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 2,2,2,1 ) 3. sats 4.1.1 ger cr(k 2,2,2,1 ) q 3p + 6 = 18 21 + 6 = 3. 26

Figur 4.14: K 3,2,2 uppritad med två korsningar. lemma 4.1.1 ger cr(k 3,2,2 ) 2. Dessutom är K 4,3 K 3,2,2, så enligt lemma 4.1.2 är cr(k 3,2,2 ) cr(k 4,3 ) = 2. Figur 4.15: K 3,1,1,1,1 uppritad med 5 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 3,1,1,1,1 ) 3. sats 4.1.1 ger cr(k 3,1,1,1,1 ) q 3p + 6 = 18 21 + 6 = 3. Figur 4.16: K 3,2,1,1 uppritad med 3 korsningar. lemma 4.1.1 ger att cr(k 3,2,1,1 ) 3. sats 4.1.1 ger cr(k 3,2,1,1 ) q 3p + 6 = 17 21 + 6 = 2. 27

Figur 4.17: K 3,3,1 uppritad med 3 korsningar ger cr(k 3,3,1 ) 3 enligt lemma 4.1.1. Dessutom ger K 4,3 K 3,3,1 att cr(k 3,3,1 ) 2 enligt lemma 4.1.2. Figur 4.18: K 4,1,1,1 uppritad med 2 korsningar ger begränsning uppåt enligt lemma 4.1.1. Dessutom är K 4,3 en subgraf med cr(k 4,3 ) = 2, vilket ger begränsning nedåt enligt lemma 4.1.2. 2 cr(k 4,1,1,1 ) 2. 28

4.4 Stora kompletta bipartita grafer För stora kompletta bipartita grafer används med fördel sats 3.2.3 eller sats 3.2.2 (Crossing Number Inequality) tillsammans med sats 3.2.1 (Zarankiewicz). Exempel 4.4.1. Vad är cr(k 17,15 )? Vi vet att q = 17 15 = 255 och p = 32. Detta uppfyller kravet q 7.5p, så vi använder sats 3.2.3 och sats 3.2.1 som ger att q 3 33.75p 2 480 cr(k 17,15) 3136 = 17 2 17 1 15 2 2 15 1. 2 Notera att det blir ett stort gap mellan största och minsta värdet. Eftersom Zarankiewicz bygger på en faktiskt möjlig uppritning av grafen (och likhet aldrig har motbevisats), så är det troligt att cr(k 17,15 ) ligger mycket närmre det övre värdet. 29

Kapitel 5 Diskussion 5.1 Bipartit Som synes i tabell 4.1 stämmer värdena från sats 4.2.1 väl överens med Zarankiewicz (sats 3.2.1) till en början. Ju större graferna blir, desto mer skiljer sig resultaten. Eftersom likhet aldrig har motbevisats är det möjligt att även för större grafer (K m,n, m > 8, n > 8) anta att Zarankiewicz sats ger crossing number (eller åtminstone en väldigt bra uppskattning). Anledningen till de avvikande värdena från sats 4.2.1 är förmodligen att den satsen bygger på en allt för generös uppskattning, se gur 5.1. Förhoppningsvis är det möjligt att förna sats 4.2.1 ytterligare med hjälp av mer avancerad grafteori, till exempel genom att i stora grafer påvisa att någon kant måste vara inblandad i mer än en korsning. b a Figur 5.1: En kant dras från a till b. Detta ger upphov till två korsningar, och två ytor med tre kanter. Uppskattningen i sats 4.2.1 bygger på att det för varje korsning tillkommer två ytor med tre kanter. 5.2 Multipartit Tabell 4.2 (multipartita grafer) lyckas ganska väl med att precisera exakta värden av crossing number för de multipartita graferna. Det nns dock lite oklarheter kring exempelvis K 3,1,1,1,1. Ho [4] använder mer kraftfulla metoder för att bestämma formler för några multipartita grafer. I fallet K n,1,1,1,1 30

bevisar han formeln cr(k n,1,1,1,1 ) = 4 2 2 n 2 2 + n. Vi ser att n = 3 ger cr(k 3,1,1,1,1 ) = 5, vilket innebär att uppritningen i gur 4.15 verkligen är en uppritning med så få korsningar som möjligt. Övriga resultat från Ho [4] bekräftar också resultaten i tabell 4.2. Låt 4 1 n 1 Ho visar att Z(m, n) = m 2 m 1 2 n 2 n 1. 2 och cr(k n,4,1 ) = Z(5, n) + 2 n 2, cr(k n,2,2,1 ) = Z(5, n) + 3n 2 cr(k n,2,1,1,1 ) = Z(5, n) + 2n, vilket bekräftar att värdena för cr(k 4,2,1 ), cr(k 2,2,2,1 ) och cr(k 2,2,1,1,1 ) är riktigt uppskattade i tabell 4.2. Asano [3] visar att cr(k 1,3,n ) = Z(4, n)+ n 2, vilket innebär att cr(k 3,3,1) = 3. Även det värdet ligger inom det från resultatet angivna intervallet, och visar att uppritningen i gur 4.17 är en uppritning med så få korsningar som möjligt. 31

Litteraturförteckning [1] M. Ajtai, V. Chvátal, M.M. Newborn, E. Szemerédi, Crossing-Free Subgraphs, North-Holland Mathematics Studies 60 (1982) 9-12. [2] Andrews, George E., The Theory of Partitions, Cambridge University Press, 1984, s. 1-2. [3] Kouchei Asano, The crossing number of K1,3,n and K2,3,n, Journal of Graph Theory 10 (1980) 1-8. [4] Pak Tung Ho, On the crossing number of some complete multipartite graphs, Utilitas Mathematica 79 (2009) 125-143. [5] E. de Klerk, Improved bounds for the crossing numbers of K m,n and K n, SIAM Journal on Discrete Mathematics 20 (1) (2006) 189202. [6] János Pach, Géza Tóth, Graphs drawn with few crossings per edge, Combinatorica 17 (3) (1997) 427-439. [7] Robert A. Wilson, Graphs, Colourings and the Four-colour Theorem, Oxford University Press, 2002. 32

Bilaga A Bevis av Zarankiewicz Här följer ett egenkomponerat bevis av Zarankiewicz olikhet, baserat på en generalisering av uppritningen i de Klerk [5]. Lemma A.0.1. En komplett bipartit graf K m,n kan ritas med korsningar. 1 mn(m 1)(n 1) 4 Bevis. Vi använder induktion över n (vilket behändigt nog också bevisar fallet över m, eftersom uttrycket är symmetriskt med avseende på variablernas ordning). Låt n = 1 vara basfallet. Uttrycket ger då 0, och en bipartit graf K m,1 kan alltid ritas utan korsningar. För induktionssteget, förutsätt att vi har en uppritning av K m,n, se gur A.1. En kant som dras mellan u n+1 och v 1 kommer att korsa alla kanter som tidigare dragits till v 2, v 3,..., v m. Eftersom det är n kanter dragna till varje v kommer antalet nya korsningar att bli n(m 1). Låt oss nu på samma sätt dra en kant mellan u n+1 och v 2. Den kommer att korsa alla kanter som tidigare dragits till v 3, v 4,..., v m. Tillskottet här blir alltså n(m 2). Om vi upprepar processen ända till v m kommer hela tillskottet att bli m 1 n(m 1) + n(m 2) + n(m 3) +... + n = n k=1 k = n m(m 1). 2 Det totala antalet korsningar i uppritningen av K m,n+1 är således n m(m 1) 2 33

v m u n+1... u n... v 3 v 2 u 2 v 1 u 1 Figur A.1: Ett möjligt antal korsningar i en komplett bipartit graf. plus korsningarna från K m,n, vilka ges av induktionsantagandet. Vi får att vilket fullbordar induktionen. 1 1) mn(m 1)(n 1) + nm(m 4 2 = 1 2nm(m 1) mn(m 1)(n 1) + 4 4 = 1 mn(m 1)(n 1 + 2) 4 = 1 m(n 1 + 2)(m 1)n 4 = 1 m(n + 1)(m 1)((n + 1) 1), 4 Lemma A.0.2. För alla x N gäller 1 ( x ) 2 2 ( x 2 1) + x 2 ( x 2 1) = x 2 x 1. 2 Bevis. Låt f(x) = 1 ( 2 x 2 ( x 2 1) + x 2 ( x 2 1)). Om x är jämnt gäller x 2 = x 2, vilket resulterar i f(x) = 1 2 (2 x 2 ( x 2 1) ) = x 2 ( x 1 ). 2 34

Om x är udda gäller att x 2 + 1 = x 2, så ( x ) 2 ( x 2 1) + ( x 2 + 1)(( x 2 + 1) 1) f(x) = 1 2 = 1 2 x 2 ( ( x 2 1)( x 2 + 1) ) = x 2 x 2 = x 2 x 1. 2 Sats A.0.1 (Zarankiewicz). I en komplett bipartit graf K m,n gäller att cr(k m,n ) m 2 m 1 2 n 2 n 1. 2 Bevis. Placera ut noderna ur m så att m 2 noder är på den positiva x-axeln och m 2 noder hamnar på den negativa x-axeln. Placera på samma sätt ut noderna från n, alltså n 2 på den positiva y-axeln och m 2 på den negativa y-axeln, se gur A.2. Varje kvadrant i koordinatsystemet kan nu ses som en komplett bipartit graf enligt lemma A.0.1. Vi kan alltså alltid rita en komplett bipartit graf så att antalet korsningar blir 1 ( m 4 2 n 2 ( m 2 1)( n 2 1) + m 2 n 2 ( m 2 1)( n 2 1)+ + m ) 2 n 2 ( m 2 1)( n 2 1) + m 2 n 2 ( m 2 1)( n 2 1) = 1 ( m ) 1 ( 2 2 ( m 2 1) + m 2 ( m 2 1) n ) 2 2 ( n 2 1) + n 2 ( n 2 1) = n 2 n 1 2 m 2 m 1. 2 35

Figur A.2: Uppställning av K m,n, här med K 5,6. 36