SF2715 Tillämpad kombinatorik, 6hp

Transkript

1 SF75 Tillämpad kombinatorik, 6hp Fortsättningskurs i matematik 7 mars 7 maj 009 Kursledare: Jakob Jonsson

2 Upplägg 6 hp = p enligt gamla systemet 8 dubbeltimmar med teori och problemlösning Kursbok och kompletterande häfte inlämningsuppgifter Tentamen

3 6 hp 6 hp är ganska litet med tanke på hur mycket kursen omfattar. Vissa moment i kursen kan komma att utelämnas. Bättre att lära sig färre saker ordentligt än fler saker ytligt.

4 Lektioner 8 dubbeltimmar inledande lektion med kursgenomgång 6 vanliga lektioner avslutande lektion inför skrivningen På de vanliga lektionerna varvar vi teorigenomgångar med problemlösning. Kurshemsidan kommer att uppdateras kontinuerligt med information om vad som gicks igenom vid varje lektionstillfälle.

5 Kursbok och kompletterande häfte Kursbok: Peter J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, 99. Kompletterande häfte med övningsuppgifter Delas ut vid det andra lektionstillfället. Lösningsförslag till uppgifterna kommer att finnas tillgängliga på kurshemsidan.

6 Inlämningsuppgifter Fyra omgångar med inlämningsuppgifter. Varje inlupp består av tre problem. Två av problemen är i nivå med betyget E. Det tredje problemet är lite svårare. Inlupparna ger upp till 8 bonuspoäng på tentamen. 8 poäng = 80 % av max på inlupparna 7 poäng = 70 % av max på inlupparna osv.

7 Sluttentamen 8 uppgifter värda sammanlagt 6p Del : uppgifter i nivå med betyget E (p) Del : svårare uppgifter (p) För godkänt krävs 0p inklusive bonuspoäng. Exempel på tänkbara poängfördelningar: Betyget E: (Bonuspoäng + Del + Del ) Betyget C: Betyget A:

8 Kursens innehåll I Enumerativ kombinatorik ~0 % II Permutationer och partitioner ~5 % III Grafteori ~0 % IV Enumeration under gruppverkan ~5 % V Felrättande koder ~0 % I III V II IV

9 I Enumerativ kombinatorik På hur många sätt... Talföljder Rekursioner Formella potensserier

10 På hur många sätt kan man skapa ett ord av längd k med bokstäver från ett alfabet av storlek n, om varje bokstav ska finnas med minst en gång?... kan man dela in en n-hörning i trianglar?... kan man skriva talet n som en summa av k olika positiva heltal?

11 Talföljder Ett enumerationsproblem med parameter n ger upphov till en talföljd (a 0, a, a,..., a n,...) Exempel: a n = antalet sätt att få n klave vid n slantsinglingar. Vissa talföljder dyker upp som lösningar på många vitt skilda enumerationsproblem: Fibonaccital, Catalantal, Belltal,...

12 Rekursioner En rekursion ger ett samband mellan talen i en talföljd. Fibonaccitalen (F 0, F, F, F, F,...) = (,,,, 5,...) uppfyller rekursionen F n = F n + F n. Catalantalen (C 0, C, C, C, C,...) = (,,, 5,,...) uppfyller rekursionen C n = C 0 C n + C C n C n C 0.

13 Formella potensserier Till varje talföljd (a 0, a, a,..., a n,...) hör en potensserie Σ a n x n Man betraktar x som en formell variabel. Seriens konvergensegenskaper är oviktiga. Man kan addera, subtrahera och multiplicera formella potensserier precis som vanligt.

14 II Permutationer och partitioner Permutationer Partitioner av mängder Partitioner av tal Tablåer

15 Permutationer En permutation av en mängd är en följd som innehåller varje element i mängden precis en gång. Det finns sex permutationer av {,,}:,,,,, Det finns permutationer av {,,,}. Allmänt finns det n! permutationer av en mängd med n element.

16 Partitioner av mängder En partition av en mängd är en uppdelning av mängden i disjunkta delmängder. Partition av {,,,,5,6,7,8}: { {,,, 7}, {, 5, 6}, {8} } = {7, 56, 8} Det finns fem partitioner av {,,}: {}, {,}, {,}, {,}, {,,}. Det n:te Belltalet är lika med antalet partitioner av en mängd med n element.

17 Partitioner av tal En partition av ett tal n är en uppdelning n = a 0 + a + a a r, i positiva heltal a 0 a a... a r. Man representerar en sådan partition med ett diagram av rutor med a r rutor i rad i. Exempel: =

18 Tablåer En n-tablå är ett diagram med n rutor med talen,..., n i växande rader och kolumner. Exempel: RSK-algoritmen ger ett oväntat samband mellan permutationer och par av tablåer.

19 III Grafteori Uppspännande träd Nätverk och flöden Hörnfärgningar Kromatiska polynom Planära grafer

20 Uppspännande träd För en given graf, hitta ett uppspännande träd med trevliga egenskaper. Minimalt träd:

21 Nätverk och flöden Hitta ett maximalt flöde genom ett nätverk

22 Hörnfärgningar Bestäm antalet hörnfärningar med högst r färger sådana att sammanbundna hörn alltid har olika färg.

23 Kromatiska polynom Låt G vara en graf. Antalet tillåtna färgningar av G med r färger visar sig vara ett polynom i r. Beteckning: det kromatiska polynomet till G. Man kan beräkna detta polynom rekursivt genom att ta bort och dra ihop kanter.

24 Planära grafer Försök rita en given graf i planet utan korsande kanter.

25 IV Enumeration under gruppverkan Enumeration av omärkta objekt Gruppverkan på grafer Burnsides lemma

26 Enumeration av omärkta objekt Anta att vi vill räkna antalet träd på hörn. Tolkning : Hörnen är märkta. Svar: 6 träd. Tolkning : Hörnen är omärkta. Svar: träd.

27 Gruppverkan på grafer Steget från en märkt graf till motsvarande omärkta graf kan beskrivas med en grupp. Gruppen består av alla ommärkningar av hörnmängden sådana att grafen förblir densamma efter ommärkningen. Följande graf förblir densamma om vi byter plats på a och c och/eller b och d. a Gruppen består av element. b d c

28 Burnsides lemma Givet: En samling objekt i en märkt graf G. Exempel: Träd, hörnfärgningar, hörnmängder Uppgift: Räkna objekten då G är omärkt. Naiv metod: Dela in de märkta objekten i ekvivalensklasser och räkna klasserna. Vårt exempel: två klasser med resp. träd. Burnsides lemma: Räkna par (x,g) sådana att gruppelementet g lämnar objektet x oförändrat, och dela med gruppens storlek.

29 V Felrättande koder Grundläggande egenskaper Kodbegränsningar Linjära koder

30 Grundläggande egenskaper En binär kod är en mängd av binära ord. Exempel: {00000, 00, 00, 0} Koden är bra om man måste ändra på många bitar för att bilda ett kodord från ett annat. Exempel: Vi måste ändra minst bitar för att bilda från något av de andra orden. Bra vid kommunikation över en brusig kanal. Det man skickar är kodord. Om felen är få kan kodorden återskapas.

31 Kodbegränsningar En bra binär kod av begränsad längd n innehåller betydligt färre än n kodord. Kravet att kodorden är långt från varandra innebär en restriktion på kodens storlek. Vi studerar olika begränsningar på kodstorleken i termer av hur många fel koden ska kunna rätta.

32 Linjära koder Linjära koder har egenskapen att summan av två kodord alltid är ett kodord. Linjära koder har klara fördelar: De är smidiga att arbeta med. De är smidiga att analysera ur ett teoretiskt perspektiv. Vi kommer att diskutera grundläggande egenskaper hos linjära koder.