PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex. Matematik 4000 kurs D; Alfredson, Erixon, Heikne, Palbom, (Natur och kultur) Skriftligt prov på 4 timmar Vid behov Ett eget arbete som ska redovisas. Tag kontakt med examinator om du har frågor. Examinatorn kontaktar dig efter rättningen av det skriftliga provet. Formelsamling utdelas vid provtillfället. Denna kan hämtas hem från: http://www.umu.se/edmeas/np/np-info-lärare.shtml Gamla kursprov kan hämtas från: http://www.umu.se/edmeas/np/np-tidigareprov.shtml Bifogas Kursmål och betygskriterier

Kursbeskrivning Matematik D, 100 poäng Kurskod MA104 Mål Efter genomgången kurs skall den studerande kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser kunna använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer samt kunna utnyttja dessa vid problemlösning kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel kunna förklara deriveringsreglerna och själv i några fall kunna härleda dem för trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner, produkt och kvot av funktioner samt kunna tillämpa dessa regler vid problemlösning kunna använda andraderivatan i olika tillämpade sammanhang kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara kunna förklara innebörden av begreppet differentialekvation och kunna ge exempel på några enkla differentialekvationer och redovisa problemsituationer där de kan uppstå kunna bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning kunna förklara innebörden av begreppet integral och klargöra sambandet mellan integral och derivata samt kunna ställa upp, tolka och använda integraler i olika typer av grundläggande tillämpningar kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler under eget ansvar analysera, genomföra och redovisa, muntligt och skriftligt, en något mer omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används.

Betygskriterier Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Eleven ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. Skolverket 000-09-08 Se vidare nästa sida; den lokala beskrivningen

Lokala betygskriterier för Matematik D, 100 poäng Kurskod MA104 Innehåll 1. Trigonometri. Deriveringsregler och differentialekvationer 3. Integraler Allmänna mål för Matematik D enligt skolverkets kursplan kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser. under eget ansvar analysera, genomföra och redovisa, muntligt och skriftligt, en något mer omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används. Mål för specifika delar av Matematik D 1 Trigonometri enligt skolverkets kursplan kunna använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer samt kunna utnyttja dessa vid problemlösning. kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp. kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer. kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel. Godkänd Väl godkänd kunna använda formlerna för sin x, cos kunna härleda formeln för x, trigonometriska ettan samt trigonometriska ettan utifrån additionsformlerna. enhetscirkeln. kunna omvandla vinklar i en enhet till en kunna utföra bevis genom att använda de annan, grader/radianer. trigonometriska formlerna. kunna använda sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen. π 1. Rita y = sin (x + ) π 1. Lös ekv. cos x = 4 3. Visa att (cos x + sin x) = 1 + sin x. Lös ekv. sin v = -0 87 3. Lös ekv. cos(x + 60 ) = 0,5 3. Lös ekv. cos x sin x = 0,5

Mycket väl godkänd kunna utföra mer omfattande bevis. kunna lösa uppgifter av mer omfattande och generell karaktär. kunna redovisa lösningar på ett tydligt och matematiskt korrekt sätt. Exempel på uppgift som skall kunna lösas: Undersök hur antalet lösningar till ekvationen a sin kx + b = 0 (0 x 360 ) varierar med valet av konstanterna a, b och k om a > 0 och b>0, då k är ett heltal. Om k inte är ett heltal, vad är det lägsta k-värde som ger en lösning överhuvudtaget om a > 0 och b>0? Facit: a > b k st lösningar a = b k st lösningar a < b inga lösningar Deriveringsregler och differentialekvationer enligt skolverkets kursplan kunna använda andraderivatan i olika tillämpade sammanhang. kunna förklara tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning. Vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk metod eller symbolhanterande programvara. kunna förklara innebörden av begreppet differentialekvation och kunna ge exempel på några enkla differentialekvationer och redovisa problemsituationer där de kan uppstå. Godkänd kunna välja och tillämpa aktuell deriveringsregel vid problemlösning. kunna tillämpa deriveringsreglerna för trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner, produkt och kvot av funktioner vid problemlösning. x 1. Derivera y = e + 0,5 ln x x. Visa att y = e 3 är en lösning till differentialekvationen y + 3 y = 0 3. Visa med hjälp av derivata att x 3x y = har den lokala x + 1 minimipunkten (1,-1) Väl godkänd kunna förklara deriveringsreglerna och själv i några fall kunna härleda dem. derivera mer komplicerade funktioner själv kunna ställa upp och tolka uttryck som beskriver förändringen av ett verkligt förlopp. 1. Bestäm exakt f (1) om f ( x) = x x + 3x + 5 e. Bestäm konstanterna k och m så att 3x y = kx + m + e är en lösning till differentialekvationen y 3 y = 6x + 3 3. Man skall tillverka en oljecistern i form av en rät cirkulär cylinder med horisontell

4. Lös ekvationen: 0,3x + sin x = 0 med hjälp av Newton-Raphsons metod. Svara med 3 decimaler. bottenyta. Summan av radien och höjden skall vara 1,0 m och volymen 745 m 3. Bestäm höjden så att cisternen blir så låg som möjligt. Mycket väl godkänt kunna utföra mer omfattande bevis. kunna kombinera kunskaper från olika områden för att lösa uppgifter av mer sammansatt natur. Exempel på uppgift som skall kunna lösas: Kurvan y = ax + x + 1 är en parabel som har minimipunkt för a>0. För olika värden på a får minimipunkten olika koordinater. Visa att samtliga minimipunkter ligger på den räta linjen y = x+1. 3 Integraler enligt skolverkets kursplan kunna förklara innebörden av begreppet integral och klargöra sambandet mellan integral och derivata samt kunna ställa upp, tolka och använda integraler i olika typer av grundläggande tillämpningar. kunna bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning. kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler.

Godkänd kunna beräkna integraler med hjälp av b formeln: f ( x) dx = F( b) F( a) a kunna ställa upp och använda integraler i olika typer av tillämpade sammanhang. 1. För ett föremål vid tidpunkten t s ges accelerationen av a( t) =,0 0, 8 t, för 0 t 6. Hur stor är föremålets fart efter 6,0 s om begynnelsefarten är 0 m/s?. Bestäm samtliga primitiva funktioner F( x) till f ( x) = x 1 10 x. 3. I figuren är kurvan y = x ritad. Teckna med hjälp av integral ett uttryck för arean av det streckade området. Väl godkänd kunna förklara och härleda formeln för integraler. förstå och tillämpa räknereglerna för integraler. beräkna integraler av mer komplicerade uttryck. x 1. Kurvan y = e, linjen x = a och de positiva koordinataxlarna innesluter ett område som är 10 a.e. Bestäm konstanten a exakt.. I figuren nedan är den primitiva funktionen y = F( x) till y = f ( x) ritad. a) Beräkna med hjälp av figuren 1 0 f ( x) dx + f ( x) dx. 1 b) Beräkna också f ( x) dx. Vilken slutats kan du dra om du jämför svaren? 0

Mycket väl godkänd kunna bevisa räknereglerna för integraler. ställa upp och tolka integraler av mer omfattande och generell natur. kunna redovisa lösningar på ett tydligt och matematiskt korrekt sätt. integrera uttryck som innehåller mer än en variabel. Exempel på uppgift som skall kunna lösas: En stenkula släpps en bit ovanför en vattenyta. Grafen nedan visar hur stenens hastighet v m/s varierar med tiden t sekunder från det ögonblick då den släpps. a) Beskriv vad som händer med stenkulan i A, B, C och D. b) Hur högt ovanför vattenytan släpptes stenen? 3t Stenkulans hastighet v ( t) m/s i vattnet kan beskrivas med funktionen v( t) = 1+ 18e. Bestäm vattendjupet där stenkulan släpps. Ge svaret i meter med två decimaler. v m/s 5 A 4 3 B 1 C D 0 0 1 3 4 5 6 t s Dessutom tillkommer i kurs D: under eget ansvar analysera, genomföra och redovisa, muntligt eller skriftligt en något mer omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används.