1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten

1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten [Understanding Physics: 13.7-13.12] En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet kan man representera energins överföringshastighet med intensiteten I, som är den effekt som passerar genom en enhetsyta, som står vinkelrätt mot vågens eller partikelstrålens rörelseriktning. För en transversell våg på en sträng gäller att den effekt P som vågen för med sig, är proportionell mot va 2 (s. 313), där A är vågens amplitud och v dess hastighet. Om detta tillämpas på elektromagnetiska vågor fås I c amplituden 2, och för fotoner gäller då I = cn hf, där c är fotonernas hastighet, n fotontätheten (dvs antalet fotoner i en enhetsvolym), och hf är fotonernas energi. En ökning av intensiteten i vågmodellen, dvs en förstorad amplitud, motsvaras då av en ökning av fotontätheten i partikelmodellen. Kvadraten på amplituden är alltså ett mått på sannolikheten för att det finns en foton i en enhetsvolym. Vi skall nu studera hastigheten för en materievåg både enligt partikel och vågmodellen. Genom att differentiera den relativistiska energiformeln E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 får vi 2EdE = 2pc 2 dp, varav följer att de dp = pc2 pc2 E. Detta är den relativistiska partikelhastigheten, eftersom u = E (s. 219). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 1

Grupphastigheten för ett vågpaket definierades på s. 352 som v g = dω följer att grupphastigheten kan uttryckas som v g = de dp sålunda tolkas som partikelns relativistiska hastighet. dk = d( ω) d( k). Av de Broglies ekvationer = pc2 E. Grupphastigheten för en materievåg kan Av de Broglies ekvationer följer också, att fashastigheten v = fλ (s. 348) också kan skrivas v = fλ = ω k = ω k = E p. Som vi ser, är alltså v gv = c 2. För en masslös partikel (såsom fotonen) är E = pc, varav följer att v = v g = c. Om vilomassan är olika noll, så kan grupphastigheten uttryckas v g = pc2 E = pc p m2 c 4 + p 2 c 2c = 1 p 1 + (m2 c 2 /p 2 ) c. Vi ser alltså, att grupphastigheten, dvs den hastighet varmed energi överföres, för en massiv partikel inte kan överskrida ljushastigheten. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 2

1.8. Heisenbergs osäkerhetsrelation Trafikpolisen: Har ni en aning om hur fort ni kör? Heisenberg: Nej, men jag vet exakt var jag är! Eftersom kvadraten på amplituden av en materievåg i en viss punkt kan tolkas som ett mått på sannolikheten för att en enhetsvolym i denna punkt innehåller en partikel, så kan vågpaketen i en materievåg tolkas som partikelsannolikhetspaket. Partikeln kan befinna sig var som helst i paketet, där amplituden är olika noll. Om man beskriver en partikel som en materievåg leder detta omedelbart till osäkerhet i partikelns läge. Osäkerheten i position bestäms av vågpaketets storlek. Ett vågpaket byggs upp genom superposition av sinusvågor med olika amplitud, eller frekvens (se s. 347-352, samt fig. 13.19, som visas nedan). de Broglies relation p = k visar, att om vågtalet k har en spridning k, så kommer detta att leda till motsvarande spridning i rörelsemängden, t.ex. p x = k. Genom att jämföra olika fall finner vi, att om k (och således även p x = k) växer, så minskar x (vågpaketets längd). Om vi känner k, och således även p x exakt, så kan partikeln befinna sig var som helst på x axeln, dvs den är inte lokaliserad. Om vi å andra sidan känner dess position mycket noga (dvs den är lokaliserad), så är vågtalet mycket osäkert, och likaså dess rörelsemängd. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 3

Detta visar, att om vågtalet, och således också om rörelsemängden för en partikel blir osäkrare, så kommer dess position samtidigt att blir säkrare, och tvärtom. På sidan 349 härleddes formeln k x = 2π för två vågor som skiljer sig endast obetydligt i frekvens, och på sidan 352 härleddes formeln k x 1 2 för ett vågpaket. För materievågor kan formeln skrivas p x x 2. Denna ekvation kallas Heisenbergs osäkerhetsprincip efter Werner Heisenberg, som upptäckte den. W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z.f.Physik 43 (1927) 172-198. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 4

Den visar, att man inte samtidigt kan bestämma positionen och rörelsemängden för en partikel med samma noggrannhet (observera dock att detta inte har något att göra med experimentell osäkerhet). Heisenbergs osäkerhetsprincip följer av partiklarnas vågnatur, men eftersom Plancks konstant är så liten, kan följderna av den inte observeras för makroskopiska föremål. Betrakta t.ex. en person på 75 kg som rör sig längs x axeln med hastigheten 1.33 m/s. Av osäkerhetsrelationen följer då x px 10 36 m, som är en helt försumbar osäkerhet (i jämförelse med den experimentella osäkerheten). För en elektron som rör sig med hastigheten 2.2 10 6 m/s är osäkerheten i position x px 10 10 m, vilket kan jämföras med storleken av en atom. Osäkerhetsprincipen kan också uttryckas med hjälp av energin och tiden. Betrakta två superponerade vågor med vågtalen k och k + k (fig. 13.20, se nedan). Då vågpaketen passerar en given punkt, så kan osäkerheten i tid t uttryckas som T b /2 = 1/(2f b ). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 5

Här betecknar T b svävningsperioden och f b svävningsfrekvensen (ω b = 2πf b ). Tidigare har visats (sid. 348) att ω b = ω/2, så att t = T b /2 = π/ω b = 2π/ ω. Genom att tillämpa de Broglies ekvation E = ω på denna ekvation, finner vi t = 2π / E, och således E t = 2π = h. Då man tillämpar detta resultat på ett kontinuerligt spektrum, måste en faktor 4π insättas, och ekvationen antar då formen E t 2. Liksom rörelsemängd och position, kan man inte heller bestämma energi och tid samtidigt med lika stor precision. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 6

1.9. Vågfunktionen; väntevärden Vi har tidigare observerat (avsn. 1.7), att intensiteten för en elektromagnetisk våg, som är proportionell mot kvadraten på amplituden i vågmodellen, också är proportionell mot fotontätheten i partikelmodellen. Därför är det berättigat att uppfatta amplituden för en materievåg, som kallas för vågfunktionen Ψ(x, t), som en storhet, vars kvadrat (eg. kvadraten på absolutvärdet) är ett mått på sannolikheten att finna en partikel i en enhetsvolym. Vågfunktionen är något som inte kan mätas direkt, däremot kan man mäta dess kvadrat, som kallas för sannolikhetstätheten. Om vi begränsar oss till rörelse i en dimension, så är sannolikheten för att man skall finna en partikel mellan x och x + dx vid tidpunkten t P (x, t)dx = Ψ(x, t) 2 dx, där P (x, t) uttrycker sannolikhetstätheten i det endimensionella fallet. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 7

Om vi bara har att göra med en partikel, så måste sannolikheten att finna den någonstans i rummet vara lika med 1, dvs villkoret bör gälla. Ψ(x, t) 2 dx = 1 Vanligen används komplexa funktioner för att beskriva vågfunktionerna, som t.ex. Ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) (observera, att också amplituden A kan vara ett komplext tal). Därför kan sannolikhetstätheten uttryckas allmännare som P (x, t) = Ψ(x, t) 2 = Ψ (x, t)ψ(x, t), där Ψ (x, t) är den komplexa konjugaten av Ψ(x, t). En följd av denna sannolikhetsbeskrivning är att man endast kan bestämma medelvärden (eller väntevärden) av observerbara storheter. Väntevärden beräknas på följande sätt. Sannolikhetstätheten P (x, t) beskriver sannolikheten att finna en partikel inom intervallet (x, x + dx) vid tiden t. Medelvärdet av en (mätbar) storhet kan man bestämma genom att integrera produkten av storheten och sannolikhetstätheten över hela rymden. Väntevärdet för en partikels position kan därför beräknas på följande sätt: x = xp (x, t)dx, Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 8

där R + P (x, t)dx = 1 (normalisering). Med hjälp av definitionen för sannolikhetstätheten kan vi skriva väntevärdet i formen eller hellre x = x = x Ψ(x, t) 2 dx, Ψ (x, t)xψ(x, t)dx om vågfunktionen är komplex. Väntevärdet av en godtycklig storhet Q(x, t) definieras på motsvarande sätt: Q := Ψ (x, t)q(x, t)ψ(x, t)dx. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 9

1.10. Schrödingers ekvation de Broglies hypotes visar att en partikel, vars rörelsemängd är p = k och energi E = ω kan beskrivas av en framåtskridande våg, som också kan representeras av en periodisk funktion av kx ωt. En fri partikel kan representeras av ett vågpaket, som är en superposition av framåtskridande vågor. Då systemets vågfunktion är en känd funktion av positionen och tiden, så kan man räkna ut vad som kommer att hända med partikeln i framtiden (givetvis med beaktande av osäkerhetsprincipen). Ett sätt att göra detta är att ställa upp Schrödingers ekvation för systemet. Dess lösning är vågfunktionen Ψ(x, y, z, t), som i allmänhet är en funktion av alla tre rumskoordinaterna (och tiden), även om vi här för enkelhetens skull endast behandlar endimensionella rörelser. Vi börjar med att skriva upp Hamiltons funktion för partikeln eller systemet (se s. 92): (E betecknar systemets totala energi). H(p, x) = p2 2m + U(x) = E Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 10

Sedan multiplicerar vi vartdera membrum av denna ekvation med vågfunktionen Ψ(x, t): p 2 Ψ(x, t) + U(x)Ψ(x, t) = EΨ(x, t) 2m och ersätter storheterna p och E med sina ekvivalenta operatorer: p op = i x E op = i t (i det endimensionella fallet; beteckningarna ˆp och Ê används även). Då en operator, såsom t.ex. i x, tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) innebär detta, att funktionen först deriveras i avseende på x, och att resultatet därpå multipliceras med (konstanten) i. Då partikeln är en foton, är det lättare att förstå operatorekvationen, om vi jämför sambandet mellan den relativistiska energin och rörelsemängden för en foton, som kan skrivas p 2 = 1 c 2E2 med vågekvationen: 2 y x = 1 2 y 2 c 2 t, 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 11

där y(x, t) är funktionen som beskriver vågrörelsen (jfr s. 344). Jämförelsen visar, att vi får vågekvationen om vi sätter in de ekvivalenta operatorerna p op och E op i ekvationen p 2 = 1 c 2E2, och tillämpar den på en godtycklig funktion y. Om p och E ersätts med motsvarande ekvivalenta operatorer i den allmänna ekvationen fås som kan skrivas i formen i 1 Ψ(x, t) = t 2m ( i x )( i )Ψ(x, t) + U(x)Ψ(x, t) x 2 2m 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) + U(x)Ψ(x, t) = i x 2 t Detta är den tidsberoende Schrödinger ekvationen. Då potentialenergifunktionen U(x) är känd, så kan Schrödinger ekvationen (i princip) lösas, och vågfunktionen Ψ(x, t) bestämmas. Vi skall se hur detta går till i några enklare specialfall. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 12

1.11. Den fria partikeln En fri partikel utsätts inte för några yttre krafter. Därför är F = U x = 0, och U(x) är således konstant. Eftersom potentialenergins nollpunkt är godtycklig, kan vi sätta U = 0. Schrödinger-ekvationen för en fri partikel är därför 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) = i. 2m x 2 t Denna ekvation försöker vi först lösa med ansatsen Ψ(x, t) = A sin(kx ωt) (en framåtskridande våg, jfr s. 312). Genom att substituera den i Schrödinger ekvationen fås 2 2m [ k2 A sin(kx ωt)] = i ωa cos(kx ωt), eller alltså tan(kx ωt) = 2imω k 2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 13

Denna lösning kan emellertid inte vara ekvationens allmänna lösning, utan den gäller bara för ett speciellt värde av (kx ωt). En allmän lösning till denna differentialekvation av andra ordningen finner vi genom substitutionen Ψ(x, t) = A sin(kx ωt) + B cos(kx ωt). (jfr avsn. 12.2 i boken, s. 311). Om A = ia och B = A så kan ansatsen uttryckas enklare (med Eulers formel): Ψ(x, t) = A cos(kx ωt) + ia sin(kx ωt) Ae i(kx ωt). Då funktionen substitueras i Schrödinger ekvationen fås 2 2m [ k2 Ae i(kx ωt) ] = ωae i(kx ωt), varav följer 2 k 2 2m = ω. Om denna ekvation gäller, är Ψ(x, t) = Aei(kx ωt) en allmän lösning till den fria partikelns Schrödinger ekvation. Att så är fallet är en direkt följd av de Broglies hypotes. Genom att att substituera de Broglies ekvationer i uttrycket för den kinetiska energin: E = p2 2m ser vi nämligen omedelbart, att ekvationen gäller. Observera, att i detta fall k, och således även E = ( k) 2 /2m, kan anta vilket värde som helst. Vågfunktionen Ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) representerar en våg, som fortskrider med konstant amplitud A som inte beror av x (plan våg). Partikeln kan därför befinna sig var som helst på x axeln, den är inte alls lokaliserad. För att beskriva en lokaliserad partikel behöver vi ett vågpaket, vars amplitud skiljer sig från noll endast inom ett litet område av x. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 14

Ett vågpaket kan konstrueras genom att man adderar framåtskridande vågor med olika värden av amplitud och vågtal (t.ex. med hjälp av Fourier analys). Ett sådant vågpaket kommer också att vara en lösning till Schrödinger ekvationen för den fria partikeln. Enklast är det dock att använda den icke lokaliserade lösningen (den plana vågen). Observerbara storheter är alltid reella fastän Ψ(x, t) har en imaginär komponent, ty de innehåller vågfunktionens kvadratiska modul: Ψ 2 = Ψ (x, t)ψ(x, t) = A e i(kx ωt) Ae i(kx ωt) = A A = A 2 0. Om vi önskar beräkna väntevärdet av rörelsemängden, så måste vi använda den ekvivalenta operatorn i x : p = Ψ (x, t)p op Ψ(x, t)dx = Ψ (x, t) i Ψ(x, t)dx. x Om denna operator tillämpas på den fria partikelns vågfunktion, finner vi till en början att i Ψ(x, t) = i x x [Aei(kx ωt) ] = k[ae i(kx ωt) ] = kψ(x, t), som visar, att operatorn i x för den fria partikeln har samma effekt som multiplikation med p. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 15

Väntevärdet av p op blir alltså p = = = k Ψ (x, t) i Ψ(x, t)dx x A e i(kx ωt) kae i(kx ωt) dx A Adx = k, eftersom sannolikheten att finna partikeln var som helst på x axeln bör vara 1. Det är dock inte möjligt att normalisera Ψ(x, t) genom att beräkna A ur ekvationen R + A Adx = 1, om R partikeln inte är lokaliserad, och sålunda har konstant amplitud överallt på x axeln. I detta fall är + A Adx = A R 2 + dx, denna integral är oändlig. Vågfunktionen kan inte normaliseras över hela x axeln, men det går om man väljer stora, men ändliga integrationsgränser. Detta problem uppträder inte för en lokaliserad partikel (vågpaket), där vågfunktionens amplitud skiljer sig från noll endast inom ett begränsat intervall. T. ex. 1 = R +L L A 2 dx = 2L A 2, dvs A = (2L) 1 2 (lådnormalisering). Normaliseringen kan också göras med Diracs δ-funktion, se t.ex. Merzbacher, kap. 6, 3. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 16

Som vi ser, stämmer väntevärdet för rörelsemängden av en fri partikel överens med de Broglies hypotes, men vi har inte visat, att p endast kan ha detta värde. Om vi däremot beräknar p 2, dvs medelvärdet av p 2, och kan visa, att p 2 = p 2, så kan p inte fluktuera (fluktuationen bestäms nämligen av variansen (p p ) 2 = p 2 p 2 ), och p kan då bara ha värdet k. Vi beräknar därför p 2 = = = Ψ (x, t)p 2 opψ(x, t)dx A e i(kx ωt) i x A e i(kx ωt) i x = 2 k 2 A Adx = 2 k 2. Vi finner alltså, att p 2 = p 2, vilket skulle bevisas. i x Ae i(kx ωt) h kae i(kx ωt)i dx dx Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 17

På samma sätt kan vi också visa, att om energioperatorn i / t tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) = Ae i(kx ωt), så innebär det multiplikation med ω = E: i Ψ(x, t) = ωψ(x, t) = EΨ(x, t). t Således stämmer väntevärdet av energin för en fri partikel E = ω överens med de Broglies ekvation. Likaså kan man också visa, att E 2 = E 2, och detta är således det enda värde som E kan anta. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 18

1.12. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen Den tidsberoende Schrödinger ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation i två variabler, x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs därvid som en produkt av två funktioner, som vardera är en funktion av en enda variabel. I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen Ψ(x, t) = ψ(x)f(t). Genom att substituera denna ansats i den tidsberoende Schrödinger ekvationen fås 2 ψ(x) 2m f(t)d2 dx 2 + U(x)ψ(x)f(t) = i ψ(x) df(t) dt. Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f(t) så kan variablerna separeras: " # 2 1 d 2 ψ(x) 1 df(t) + U(x) = i. 2m ψ(x) dx 2 f(t) dt Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 19

Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är lika med samma konstant G (separationskonstanten). Ekvationen kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer 2 1 2m ψ(x) d 2 ψ(x) + U(x) = G dx 2 1 df(t) i = G. f(t) dt Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas df(t) dt lätt inses genom substitution. = ig f(t) har lösningen f(t) = e igt/, vilket Genom att tillämpa operatorn E op = i t på Ψ(x, t) = ψ(x)f(t) får vi därpå E op Ψ(x, t) = E op ψ(x)f(t) = i [ψ(x)f(t)] = i ψ(x)df(t) t dt. Om vi sedan utnyttjar ekvationen df(t) dt i ψ(x) df(t) dt = i ψ(x) = ig f(t), så får vi igf(t) = Gψ(x)f(t) = GΨ(x, t). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 20

Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns vågfunktion (se sid. 18), så ser vi att separationskonstanten G = E, och den första av de två separerade ekvationerna kan då uttryckas 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x) Detta är den tidsoberoende Schrödinger ekvationen, som upptäcktes av Schrödinger i slutet av år 1925 (Annalen der Physik 79, 361-376 (1926)). Då potentialfunktionen U(x) är känd, kan man i allmänhet lösa ekvationen under antagandet att funktionerna ψ(x) är välartade, vilket leder till att endast vissa av funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot varje egenfunktion svarar endast ett värde av den totala energin E som kallas egenvärde. Kvantiseringen av energin är alltså en direkt följd av att lösningarna är välartade. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 21

Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För alla värden av x skall både ψ och dψ/dx vara a)ändliga, b)entydiga, samt c)kontinuerliga, se figuren ovan (13.21 i boken). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 22

Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p: x = p = ψ (x)xψ(x)dx ψ (x) i d ψ(x)dx dx skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen kan också skrivas 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = [E U(x)]ψ(x). Om dψ(x)/dx inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så kan d 2 ψ(x)/dx 2 bli oändlig med den påföljd att högra membrum av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen U(x) eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt. I det följande skall vi studera några exempel. Vi kommer där att utnyttja villkoren för att uppställa gränsvillkor, varav kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och dess derivata kan härledas ifall potentialfunktionen har diskontinuiteter. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009 23