Datorövningar i systemidentifiering Del 3

Datorövningar i systemidentifiering Del 3 Denna version: 15 oktober 2015 REGLERTEKNIK AUTOMATIC CONTROL LINKÖPING

1 Parametrisk identifiering av tillståndsmodeller Hittills har alla parametriska modeller y(t) = G(q, θ)u(t) + H(q, θ)e(t), (1) varit rationella överföringsfunktioner G(q, θ) och H(q, θ) där parametrarna varit koefficienterna i nämnar- och täljarpolynomen. En annan vanlig modellstruktur är tillståndsmodeller x(t + 1) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t) + K(θ)e(t), y(t) = C(θ)x(t) + D(θ)u(t) + e(t), (2a) (2b) (för enkelhets skull på s.k. innovationsform, se till exempel s. 99 i [3] för detaljer). I denna beskrivning är x(t) tillståndsvektorn och A(θ), B(θ), K(θ), C(θ) och D(θ) är matriser av lämpliga dimensioner (med parametervektorn θ som beskriver okända element i matriserna). Tillståndsmodellen (2) är bara ett annat sätt att beskriva den linjära modellen (1). Genom att använda förskjutningsoperatorn q kan (2) skrivas på formen (1) med G(q, θ) = C(θ)(qI A(θ)) 1 B(θ) + D(θ), H(q, θ) = C(θ)(qI A(θ)) 1 K(θ) + I, (3a) (3b) Prediktorn ŷ(t θ) ges av ˆx(t + 1, θ) =A(θ)ˆx(t, θ) + B(θ)u(t)+ + K(θ) [y(t) C(θ)ˆx(t, θ) D(θ)u(t)], (4a) ŷ(t θ) =C(θ)ˆx(t, θ) + D(θ)u(t). (4b) 1.1 Konfektionsmodeller på tillståndsform Tillståndsmodeller är lika flexibla som ARMAX-modeller, vilket innebär att system- och brusmodell har gemensamma poler men olika nollställen. Om man sätter K till noll så fås istället en OE-modell. En fördel med tillståndsmodeller är att multivariabla system (system med flera in- och utsignaler) hanteras utan problem. För en tillståndsmodell med n x tillstånd och en in- och utsignal finns det totalt n 2 x + 3n x + 1 parametrar; n x n x -matrisen A(θ), vektorerna B(θ), C(θ), K(θ) och skalären D(θ)). Alla dessa parametrar är dock inte nödvändiga för att beskriva ett system, det räcker med antalet 2

parametrar i ARMAX-modellen. Det finns därmed en stor frihet i parametriseringen av matriserna. T. ex. räcker det att fylla första kolumnen i A(θ) med koefficienterna i polpolynomet hos G och H, och B(θ) och K(θ) med koefficienterna i G:s och H:s täljarpolynom. Övriga element och matriser har ett antal ettor och nollor (jämför observerbar kanonisk form i [1]). Parametriseringen sköts dock automatiskt i SITB så det enda man måste komma ihåg är att olika matriser kan ge samma insignal-utsignal-beskrivning. Tillståndsmodeller i SITB skattas genom att klicka på Estimate och sedan State Space Models. För tillståndsmodeller väljer man parametrarna Model Order (antal tillstånd, motsvarar n a i ARMAX) och antalet tidsfördröjningar, som anges i Input Delay under menyn Model Structure Configuration. För att skatta tillståndsmodeller finns två huvudtyper av metoder: prediktionsfelsmetoder (PEM i SITB) subspace-metoder (N4SID i SITB) Prediktionsfelsmetoder ger normalt det mest noggranna resultatet, men lider tyvärr av problem med lokala minima hos V (θ) (dvs skattningarna kan också bli mycket dåliga om man inte startar tillräckligt nära rätt modell). Subspace-metoder består av två steg där man först skattar tillståndsvektorn x(t) (och/eller observerbarhetsmatrisen) genom projektion av vissa underrum ( subspace ) som bildas av data. När väl tillståndsvektorn är känd kan man skatta matriserna i tillståndsbeskrivningen genom att lösa ett minstakvadratproblem (liknande ARX). Även det första steget är ett minstakvadratproblem och man har därmed inga problem med lokala minima. Däremot baseras subspace-metoder på approximationer eftersom det egentligen krävs oändligt med data för att skatta tillståndsvektorn (och/eller observerbarhetsmatrisen) rätt. Den bästa kombinationen är därför att börja med en subspace-metod och sedan förbättra den modellen med en prediktionsfelsmetod (detta görs därför automatiskt när man skattar en modell med kommandot PEM i SITB). Under Estimation Options finns ett antal ytterligare inställningar. Här är det framför allt parametern N4Horizon som kan behöva ändras för att få bättre skattningar med N4SID. Parametern styr prediktionshorisonten (och antalet gamla y och u som används vid prediktionen) som påverkar storleken 3

och approximationsgraden hos underrummen i det första steget av subspacemetoden. Vid framför allt resonanta system kan N4Horizon behöva ökas avsevärt för att få bra skattningar (storleken är problemspecifik, men prova t ex intervallet 10 200). Uppgifter till avsnitt 1.1 1. Låt oss återvända till uppgift 3 under ickeparametrisk identifiering, dvs data från vibrationsanalys. Filen vibrationdata.mat (kör load vibrationdata) innehåller iddata-objekten zh (impulshammare) och zs (skakare). Dessutom finns modellen Gd som kan användas i efterhand för att verifiera skattningarna. (a) Ladda in dataset zs och dela upp det i estimerings- och valideringsdata. (b) Försök först skatta en ARX-modell, t ex genom Order selection. Titta först på Model output. Jämför också frekvenssvaret (Frequency resp) med din bästa spektralskattning från tidigare (du kan även ladda in sanna systemet Gd via Import models och jämföra med detta). (c) Hur många poler behöver en modell ha för att kunna beskriva systemets alla resonanser? (d) Försök nu skatta en mer avancerad modell för att förbättra anpassningen till data. Välj till exempel en OE-modell (som faktiskt ger rätt systembeskrivning även om bruset inte är vitt) med ordningstal enligt (c). Sätt för enkelhets skull n f = n b och n k = 1. Blir det någon förbättring? (e) Prova nu att skatta en tillståndsmodell med ordningstal enligt (c). För att få en OE-modell på tillståndsform kan K = 0 sättas under Model Structure Configuration. Prova att ändra N4Horizon (t ex mellan 10 200) under Estimation Options tills du får en bra skattning. (f) Ordningstal på tillståndsmodeller kan också studeras under Pick best value in the range. Prova detta med N4Horizon=200 (maximera fönstret Model Order Selection som dyker upp för att kunna se staplarna). Hur stämmer detta med det ordningstal du kom fram till i (c)? 4

Notera Systemet i uppgift 1 är extremt resonant, vilket ställer extra höga krav på identifieringsmetoderna. Trots att OE och N4SID med K = 0 kan ge samma insignal-utsignalbeskrivning så kan resultaten skilja sig åt på grund av metoderna som skattar modellerna. ARX och N4SID lider inte av lokala minima hos V (θ), men övriga metoder måste ha bra startgissningar på parametrarna för att undvika lokala minima. Detta är extra känsligt för resonanta system (en resonanstopp på fel ställe är sämre än ingen resonanstopp alls). 2. (a) Låt oss återvända till elmotorn med last från tidigare avsnitt. Ladda in datasetet från filen elmotor.mat, med vektorerna u och y som innehåller 1000 datapunkter av in- och utsignalen och som samlats in med en samplingstid på 0.3 s. Gör förbehandling och dela upp i estimerings- och valideringsdata (t ex genom att använda Quick start under Preprocess, men kontrollera resultatet efteråt!) (b) Skatta ett antal tillståndsmodeller genom Pick best value in the range. Jämför resultatet med de modeller du fick från tidigare avsnitt. Prova gärna både K = 0 (dvs utan brusmodell) och K 0 (med brusmodell) och jämför. 3. Extra: Prova gärna uppgift 9.13 (kemisk reaktor) och 9.14 (indunstare) i övningsboken för att skatta tillståndsmodeller för flera in- och utsignaler. 1.2 Fysikaliskt parametriserade tillståndsmodeller I många fall är det intressant och till och med nödvändigt att skatta modeller som är parametriserade i termer av fysikaliska parametrar. Fysikaliskt parametriserade kontinuerliga modeller har både för- och nackdelar gentemot rena black-box-modeller. Detta avsnitt visar hur man kan skatta en fysikaliskt parametriserad kontinuerlig modell från data och jämför detta angreppssätt med att skatta traditionella black-box-modeller. Vi illustrerar här hur fysikaliska parametrar kan skattas i SITB med ett exempel. En modell för en DC-motor [1, sid 18] kan beskrivas av följande 5

överföringsfunktion G(s) = k s(τs + 1) Om vi istället skriver modellen på tillståndsform fås istället ẋ(t) = y(t) = ( 1 ( ) ( ) 0 1 0 x(t) + u(t) 0 1/τ k/τ 0 ) x(t) (5) (6) För att skatta systemet införs de okända parametrarna θ 1 = τ θ 2 = k θ 3 = x 1 (0) Antag vidare att vi gissar att dessa parametrar ungefär har värdena θ 1 = 0.1 θ 2 = 1 θ 3 = 0 Modellens struktur definieras i en m-fil (i detta exempel dcmotor.m) enligt function [A,B,C,D,K,x0]=dcmotor(par,T,aux) end A=[0 1; 0-1/par(1)]; B=[0; par(2)/par(1)]; C=[1 0]; D=0; K=[0; 0]; x0=[par(3); 0]; T är samplingstiden och aux är eventuella ytterligare inargument. I enklaste fallet med kontinuerlig tillståndsmodell så behöver man inte använda dessa inargument (läs mer i hjälptexten till idgrey om du är intresserad). Vid identifieringen används denna rutin för att beräkna systemmatriserna A, B, C, D och K samt initialtillståndet x0 för givet värde på parametervektorn par. För att kunna identifiera modellen krävs nu att ett modellobjekt skapas enligt m0=idgrey( dcmotor,[0.1 1 0], c ); 6

Här är andra argumentet [0.1 1 0] en startgissning på parametervektorn θ och c indikerar att vi har en tidskontinuerlig modell. Modellens parametrar kan nu skattas genom att i användargränssnittet välja Estimate och sedan Refine Existing Models. Detta ger dialogrutan som visas i figur 1. Modellobjektet m0 väljs genom att skriva m0 under Initial Model. Modellen skattas därefter som vanligt genom att trycka på Estimate. Figur 1: Dialogruta för skattning av fysikaliska tillståndsmodeller. Notera Man måste inte införa parametrar för tillståndens initialvillkor x0 (där par(3) används i exemplet) om man inte vill. Istället kan man välja Estimate under Initial state i figur 1. Om man inte skattar initialvillkor för tillstånden kan parameterskattningarna bli väldigt dåliga. Valet av startgissning för parametrarna kan vara svårt och kräver normalt viss kunskap om systemet som ska identifieras. Detta är också en nackdel med fysikaliskt parametriserade modeller. Ett sätt att få rimliga värden är att prova runt lite och jämföra modellens frekvenssvar med exempelvis en spektralskattning eller annan parametrisk modell. Om det till exempel finns resonanstoppar som ska modelleras bör i alla fall parametrarna ha värden så att det syns någon resonanstopp i frekvensintervallet 0 till ω s /2 (Nyquistfrekvensen). När parametrar ändras bör också frekvenssvaret ändras i detta frekvensintervall, annars kommer parametrarna inte vara identifierbara. 7

Uppgifter till avsnitt 1.2 4. Betrakta återigen elmotorn med last (load elmotor). En förenklad fysikalisk modell för elmotorn ges av följande ekvationer u =Ri + k m ω 1 φ =ω 1 ω 2 J 1 ω 1 =k m i kφ d(ω 1 ω 2 ) J 2 ω 2 =kφ + d(ω 1 ω 2 ) där u är inspänning, k m och R är motorkonstant och resistans (induktansen försummas), φ är vinkelskillnaden mellan motorn och lasten, ω 1 och ω 2 är vinkelhastigheterna på motorn och lasten, J 1 och J 2 är tröghetsmomenten hos motor och last, och k och d är fjäderkonstant och dämpare. (a) Ställ upp en tillståndsmodell med u som insignal, ω 2 som utsignal och tillståndsvektorn x = [ φ ω 1 ω 2 ] T. (b) Antag att motorparametrarna är givna med värdena J 1 = 1, k m = 0.468, R = 0.21, men att lasten är okänd. Identifiera de fysikaliska parametrarna J 2, k, d genom att först skriva en m-fil och skapa ett idgrey-objekt enligt exemplet tidigare. Välj att skatta initialvärden på tillstånden under Initial state. Som startgissning på tillstånden kan exempelvis J 2 = 1, k = 1, d = 0 användas. Tips: De skattade parametrarna kan fås genom att dra modellikonen till To Workspace och sedan skriva m0c.parametervector (om modellen heter m0c). Kör get(m0c) för att se vilka egenskaper som kan studeras, där bland annat m0c.covariancematrix kan vara intressant. (c) Jämför din fysikaliska modell med de tidigare parametriska och ickeparametriska modellerna (t ex en ickeparametrisk skattning med SPAFDR och en tillståndsmodell). Finns det några skillnader? (d) Fysikaliska modeller har normalt färre okända parametrar, vilket ger lägre varians. Studera detta genom att även plotta konfidensintervall i de olika figurerna (välj Show 99% confidence intervals under Options i respektive figur). Studera speciellt frekvenssvaret och poler och nollställen. (e) Vad kan det finnas för nackdelar med fysikaliska modeller? 8

Diskussion/lösningsförslag Nedan följer högst ungefärliga lösningsförslag på uppgifterna. Dessa kan variera från fall till fall beroende på hur data förbehandlas och delas upp estimerings- och valideringsdata. Därför kan dina iakttagelser i många fall vara helt korrekta även om de inte är i överensstämmelse med det som står beskrivet nedan. 1. (b) ARX med Order selection ger ARX med ordning [10 2 7] som bästa modell. Denna modell fungerar inte alls, den ger en anpassning till valideringsdata på 3.57%! I frekvensplanet (Frequency resp och Noise spectrum) ser man att modellen anpassar sig främst till brusspektrat. (Jämför t ex med SPAFDR med 5000 logaritmiskt fördelade frekvenser.) (c) För varje resonans krävs ett komplexkonjugerat polpar. Här finns 4 tydliga resonanser (och en otydlig resonans runt 45 rad/s), så 8 (eller eventuellt 10) poler behövs. (d) OE med ordning [8 8 1] ger en anpassning på 50.1%, vilket är en avsevärd förbättring. I frekvenssvaret ser man dock att modellen enbart fångat upp resonansen vid 6.5 rad/s. Det finns alltså mer kvar att göra. (e) En tillståndsmodell av ordning 8 (skattad med N4SID) ger en anpassning på 9.0% (med brusmodell) respektive -0.07% (utan brusmodell, K = 0). Detta fungerar alltså inte alls. Genom att öka prediktionshorisonten N4Horizon fångas dock fler och fler resonanser. Med N4Horizon=200 och K = 0 fås en anpassning på 98.6% och alla de fyra första resonanserna fångas. (f) Ordning 8 är det som föreslås. Man ser också tydligt att singulära värdena (ungefär förstärkningen för ett visst tillstånd) gör en tydlig dipp efter ordning 8, vilket indikerar att högre modellordning inte påverkar resultatet nämnvärt. Detta värde var detsamma som vi kom fram till i (c). 9

4. (a) Med tillstånden x = [ φ ω 1 ω 2 ] T ges matriserna av: 0 1 1 0 A = k/j 1 (d + km/r)/j 2 1 d/j 1, B = k m /(RJ 1 ), k/j 2 d/j 2 d/j 2 0 0 K = 0, C = [ 0 0 1 ], D = 0 0 (b) Först skrivs en m-fil, till exempel: function[a,b,c,d,k,x0] = elmotorgrey(par,t,aux) J1=1; km=0.468; R=0.21; J2=par(1); k=par(2); d=par(3); A = [0 1-1; -k/j1 -(d+km^2/r)/j1 d/j1; k/j2 d/j2 -d/j2]; B = [0 km/r/j1 0] ; C = [0 0 1]; D = 0; K = [0 0 0] ; X0 = [0 0 0] ; end Denna fil sparas under namnet elmotorgrey.m (samma namn som funktionen). Därefter skapas ett idgrey-objekt i Matlab med kommandot: m0=idgrey( elmotorgrey,[1 1 0], c ); Modellen skattas genom att välja denna modell under Initial model och markera Estimate under Initial states. Modellen m0 kan även laddas in via Import models. Denna modell har en modellanpassning på 66.46%, vilket är ganska hyggligt. Efter identifiering av parametrarna erhålls modellen m0c med en anpassning på 92.16%. Parametrarna blir J 2 1.4723 0.0124 k = 0.7014 ± 0.0041 d 0.0496 0.0041 där även en standardavvikelse visas (sqrt(diag(m0c.cov))). 10

Notera att dämparen får ett negativt värde, vilket inte är fysikaliskt. Detta ger dock en något bättre anpassning till data. Dämparen påverkar dock resultatet marginellt. Sätts den till noll i modellen så fås en anpassning på 91.32%. (c) Modellen jämförs med SPAFDR med 100 logaritmiskt fördelade frekvenser och med en tillståndsmodell av ordning 3 (dvs samma antal tillstånd som den fysikaliskt parametriserade modellen, vilket också är det som rekomenderas vid Order selection). Tillståndsmodellerna ger en anpassning på 92.19% (PEM) respektive 91.61% (N4SID). Vår fysikaliska modell ger alltså ett snarlikt resultat som en konfektionsmodell av samma ordning. Den stora skillnaden kan ses i brusmodellen (Noise spectrum) där fysikaliska modellen inte beskriver bruset rätt. Detta kan dock ordnas om man väljer att parametrisera även K i modellen. (d) I frekvenssvaret syns tydligt att osäkerheten är större hos konfektionsmodellerna. Detta gäller speciellt vid högre frekvenser där osäkerheten ökar (egentligen relativa osäkerheten eftersom frekvenssvaret minskar i amplitud men osäkerheten normalt inte minskar, jämför (12.56) i [2]). För fysikaliska modellen så är dels osäkerheten mindre pga färre parametrar. Den ökar heller inte så mycket för högre frekvenser, vilket troligtvis förklaras med att de parametrar som skattats inte påverkar detta intervall så väldigt mycket. För poler och nollställen så bör man först observera skillnaden mellan tidsdiskret och tidskontinuerlig modell (enhetscirkeln respektive imaginära axeln som stabilitetsgräns, kontinuerlig pol i s motsvarar diskret pol i z = e ist ). Trots denna skillnad så ser man att osäkerheten är avsevärt större hos konfektionsmodellen. Speciellt verkar nollställena osäkra. (e) Fysikaliska modeller har byggt in kunskap om systemet i modellen så att det krävs färre parametrar som ska skattas från data. Detta ger lägre varians hos de skattade parametrarna. En uppenbar nackdel är dock om denna inbyggda kunskap inte stämmer med verkligheten. Vi får då låg varians, men istället en bias i skattningen pga den felaktiga modellstrukturen. Ett annat problem är att det kan vara svårt att hitta startvärden för parametrarna. Identifierbarhet kan också bli ett problem, t ex om man har för många parametrar i sin fysikaliska modell eller försöker skatta både α och β trots att bara α β finns i ekvationerna. 11

Referenser [1] T. Glad and L. Ljung. Reglerteknik. Grundläggande teori. Studentlitteratur, 2006. [2] L. Ljung and T. Glad. Modellbygge och simulering. Studentlitteratur, 2004. [3] L. Ljung. System identification: Theory for the User. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 2nd edition, 1999. 12