1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

Relevanta dokument
and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

Isometries of the plane

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

Module 1: Functions, Limits, Continuity

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

M0030M: Maple Laboration

Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

Discrete Mathematics (English)

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

Kursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Tentamen i matematik. Högskolan i Skövde

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Flervariabel Analys för Civilingenjörsutbildning i datateknik

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR

Plan: M0030M, LP2, 2017

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Module 6: Integrals and applications

Algebra och Diskret Matematik (svenska)

Linjär algebra och geometri I

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 31 May 2016, 8:00-12:00. English Version

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Information technology Open Document Format for Office Applications (OpenDocument) v1.0 (ISO/IEC 26300:2006, IDT) SWEDISH STANDARDS INSTITUTE

ALGEBRA I SEMESTER 1 EXAM ITEM SPECIFICATION SHEET & KEY

12.6 Heat equation, Wave equation

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

Linjär algebra och geometri I

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Preschool Kindergarten

Isolda Purchase - EDI

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

Exempel på uppgifter från 2010, 2011 och 2012 års ämnesprov i matematik för årskurs 3. Engelsk version

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Linjär algebra och geometri 1

Materialplanering och styrning på grundnivå. 7,5 högskolepoäng

Linjär algebra och geometri 1

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Calculate check digits according to the modulus-11 method

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

En bild säger mer än tusen ord?

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Transkript:

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p 1 0 1 0 1 1 0 0 3 2 3 1 2 0 0 1 T 3. Solve the following equation: ( 1 3 X 2 5 = ( 8 2 3 4 In other words, find a 2 2 matrix X such that this equation is true. (2 p 4. Solve the following linear system: (2 p 5. Let u = (4, 3, 1 and a = (2, 3 1. x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 3x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 2 Compute the orthogonal projection of u on a, i.e., compute w 1 = proj a (u. (2 p 6. Let u = (2, 3, 1, v = (4, 2 1, and w = (1, 0 6 be vectors with the same initial point. Do these vectors lie in the same plane? Explain your answer. (2 p 7. Let u = (1, 4, 2, v = (2, 0, 2 be vectors. (a Find a vector w R 3 which is orthogonal to u and v. (1 p (b Find a vector with norm 1 which is orthogonal to v. (1 p 8. Let u = ( 1, 3, 1, v = (1, 4, 3 and w = (5, 1, 2. Compute the volume of the parallelepiped determined by these three vectors. (2 p Information regarding this pre-exam: A Swedish version of the pre-exam is available on the opposite site of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. The number of bonus points for the exam is the number of points reached in this pre-exam divided by 4. Only non-symbolic calculators are allowed. Good luck! 1

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Dugga i matematik Linjär algebra 2012-02-07 1. Beräkna följande matris: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Beräkna determinanten till följande matris: (2 p 1 0 1 0 1 1 0 0 3 2 3 1 2 0 0 1 T 3. Lös följande ekvation: ( 1 3 X 2 5 = ( 8 2 3 4 Med andra ord, hitta en 2 2-matris X sådan att likheten är sann. (2 p 4. Lös följande linjära system: (2 p 5. Låt u = (4, 3, 1 och a = (2, 3, 1. x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 3x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 2 Beräkna den ortogonala projektionen av u på a, dvs. beräkna w 1 = proj a (u. (2 p 6. Låt u = (2, 3, 1, v = (4, 2, 1, och w = (1, 0, 6 vara vektorer med samma utgångspunkt. Ligger dessa vektorer i samma plan? Motivera ditt svar. (2 p 7. Låt u = (1, 4, 2, v = (2, 0, 2 vara vektorer. (a Hitta en vektor w R 3 som är ortogonal mot u och v. (1 p (b Hitta en vektor med norm 1 som är ortogonal mot v. (1 p 8. Låt u = ( 1, 3, 1, v = (1, 4, 3 och w = (5, 1, 2. Beräkna volymen av den parallellepiped som bestäms av dessa tre vektorer. (2 p Information rörande denna dugga: En engelsk version av duggan är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Antalet bonuspoäng till tentamen är antalet poäng på denna dugga dividerat med 4. Endast icke-symboliska miniräknare är tillåtna. Lycka till! 2

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2013-02-04 1. Compute: (4 p 4 2 0 2 1 3 3 5 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 3 2 2 4 0 1. 2. Determine a R so that the following matrix is not invertible: 4 1 2 1 1 0 3 1 1 2 0 2 2 5 a 1 (4 p 3. Compute two solutions of the following ( equation: ( 2 1 6 3 X = 6 3 10 5 In other words, find two 2 2 matrices X such that this equation is true. (4 p 4. Write ( 3 1 2 4 as a product of elementary matrices. (2 p 5. Solve the following linear system: (4 p 6. Let u = (2, 4, 1, 1 and a = (5, 1, 1, 3. x 1 + 3x 3 + 5x 4 + 6x 5 = 3 2x 1 + 2x 2 6x 3 14x 4 8x 5 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 10x 5 = 7 Express u as sum of two vectors w 1 and w 2, where w 1 is a scalar multiple of a and w 2 is orthogonal to a. (4 p 7. Let A = (1, 2, 1, B = (0, 1, 3, C = (2, 0, 1, D = (0, 0, 1, E = (2, 3, 1. Consider the plane P containing the points A, B, C, and the line L containing the points D, E. (a Write the line in vector equation form. (1 p (b Write the plane in vector equation form. (1 p (c Compute the intersection of L and P. (2 p 8. (a Show that the planes with point-normal equations 4x 2y 3z = 6 and 6x + 3y + 9 2z = 2 are parallel. (2 p (b Compute the distance between the two planes. (2 p Information regarding this pre-exam: A Swedish version of the pre-exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. The number of bonus points for the exam is the number of points reached in this pre-exam divided by 8. Calculators are allowed. Good luck!

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Dugga i matematik Linjär algebra 2013-02-04 1. Beräkna: (4 p 4 2 0 2 1 3 3 5 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 3 2 2 4 0 1. 2. Bestäm a R så att följande matris inte är inverterbar: (4 p 4 1 2 1 1 0 3 1 1 2 0 2 2 5 a 1 3. Beräkna två lösningar till följande ekvation: ( ( 2 1 6 3 X = 6 3 10 5 Med andra ord, hitta två 2 2-matriser X sådana att likheten är sann. (4 p 4. Skriv ( 3 1 2 4 som en produkt av elementära matriser. (4 p 5. Lös följande linjära system: (4 p 6. Låt u = (2, 4, 1, 1 och a = (5, 1, 1, 3. x 1 + 3x 3 + 5x 4 + 6x 5 = 3 2x 1 + 2x 2 6x 3 14x 4 8x 5 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 10x 5 = 7 Skriv u som en summa av två vektorer w 1 och w 2, där w 1 är en multipel av a, och w 2 är ortogonal mot a. (4 p 7. Låt A = (1, 2, 1, B = (0, 1, 3, C = (2, 0, 1, D = (0, 0, 1, E = (2, 3, 1. Låt P vara det plan som innehåller punkterna A, B och C, och låt L vara det linje som innehåller punkterna D och E. (a Skriv linjen på vektorekvationsform. (1 p (b Skriv planet på vektorekvationsform. (1 p (c Bestäm skärningen mellan linjen L och planet P. (2 p 8. (a Visa att de två planen med punkt-normalekvationerna 4x 2y 3z = 6 och 6x + 3y + 9 2z = 2 är parallella. (2 p (b Beräkna avståndet mellan planen. (2 p Information rörande denna dugga: En engelsk version av duggan är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Antalet bonuspoäng till tentamen är antalet poäng på denna dugga dividerat med 8. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2013-05-02 1. Let A = ( 2 1 6 3 ( 2 0, B = 0 3 ( 1 4 0, C = 2 3 2 Compute each of the following terms, if it is defined. If is not defined, explain shortly why. (a A 1. (1 p (b B 3. (1 p (c C A T. (1 p (d C T B. (1 p 2. Compute the determinant of the matrix 3. Write ( 2 4 3 5 4 1 2 1 2 3 2 0 1 5 2 1 4 1 1 1. (4 p as a product of elementary matrices. (4 p 4. For which a R has the following linear system zero, one or infinitely many solutions? (4 p x 1 + x 2 + ax 3 = 2 3x 1 + 4x 2 2x 3 = a 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 (4 p 5. Compute the inverse of the matrix 3 5 2 1 3 1 3 6 2 6. Let A = (1, 0, 3, B = (2, 0, 3, C = (2, 1, 3, D = (2, 3, 2, E = (2, 4, 3, F = (4, 3, 3. Consider the plane P 1 containing the points A, B, C, and the plane P 2 containing the points D, E, F. (a Write the plane P 1 in vector equation form. (1 p (b Write the plane P 2 in vector equation form. (1 p (c Compute the intersection of P 1 and P 2. (2 p 7. Determine a R so that u = (3, 2, a and v = (3, 1, 2 are orthogonal. (2 p 8. Let u = (0, 4, 2, v = (2, 1, 1. Determine a unit vector which is orthogonal to u and v. (2 p 9. Compute the distance of the point A = (2, 3 to the line y = 2x 3. (2 p 10. Compute the area of the triangle spanned by the vectors u = (1, 2, 3 and v = ( 2, 1, 1. (2 p Information regarding this pre-exam: A Swedish version of the pre-exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. The number of bonus points for the exam is the number of points reached in this pre-exam divided by 8. Calculators are allowed. Good luck!

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Dugga i matematik Linjär algebra 2013-05-02 1. Låt A = ( 2 1 6 3 ( 2 0, B = 0 3 ( 1 4 0, C = 2 3 2 Beräkna följande uttryck, om de är definierad. Om något uttryck inte är definierat, förklara kort varför. (a A 1. (1 p (b B 3. (1 p (c C A T. (1 p (d C T B. (1 p 2. Beräkna determinanten till matrisen 3. Skriv ( 2 4 3 5 4 1 2 1 2 3 2 0 1 5 2 1 4 1 1 1. (4 p som en produkt av elementära matriser. (4 p 4. För vilka värdena på a R har det linjära systemet noll, en eller oändligt många lösningar? x 1 + x 2 + ax 3 = 2 3x 1 + 4x 2 2x 3 = a 2x 1 + 3x 2 x 3 = 1 5. Beräkna inversen till matrisen 3 5 2 1 3 1 3 6 2 6. Låt A = (1, 0, 3, B = (2, 0, 3, C = (2, 1, 3, D = (2, 3, 2, E = (2, 4, 3, F = (4, 3, 3. Låt P 1 vara det plan som innehåller punkterna A, B, C, och låt P 2 vara det plan som innehåller punkterna D, E, F. (a Skriv planet på P 1 vektorekvationsform. (1 p (b Skriv planet på P 2 vektorekvationsform. (1 p (c Bestäm skärningen mellan planen P 1 och P 2. (2 p 7. Bestäm a R så att u = (3, 2, a och v = (3, 1, 2 är ortogonala. (2 p 8. Låt u = (0, 4, 2, v = (2, 1, 1. Hitta en enhetsvektor w R 3 som är ortogonal mot både u och v. (2 p 9. Beräkna avståndet från punkten A = (2, 3 till linjen y = 2x 3. (2 p 10. Beräkna arean av den triangle som bildas av vektoren u = (1, 2, 3 och v = ( 2, 1, 1. (2 p Information rörande denna dugga: En engelsk version av duggan är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Antalet bonuspoäng till tentamen är antalet poäng på denna dugga dividerat med 8. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Exam in mathematics Linear algebra, part I 2014-01-31 1. Let A = ( 5 1 8 2 ( 2 4 2, B = 1 2 5, u = (2, 3, 2, v = (1, 2, 4. Compute each of the following terms, if it is defined. If it is not defined, explain shortly why. (a A 2, (b B 4, (c A B, (d B A T, (e u v, (f u v, (g B + u, (h u + v. (Each part: 0.5 p 2. Compute det 1 0 0 8 2 0 6 3 2 3. Compute the inverse of 1 2 3 1 1 4 1 1 1 (Solutions using other methods: 2 p 4 5 8 0 2 4 0 0 3 1 0 0 0 1/2 0 0 0 3 2 (4 p with the adjoint method. (4 p 4. For which a R has the following linear system zero, one or infinitely many solutions? (4 p x 1 + 2x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 2x 2 + a 2 x 3 = a x 1 2x 2 x 3 = 0 5. Let A = ( 5, 1, 3, B = ( 2, 6, 3, C = ( 4, 3, 4, D = ( 2, 7, 6, E = ( 1, 8, 2. Consider the plane P containing the points A, B, C, and the line L containing the points D, E. (a Write the line in vector equation form. (1 p (b Write the plane in vector equation form. (1 p (c Compute the intersection of L and P. (2 p 6. Let u = ( 1, 3, 4, v = (2, 0, 1 and w = (3, 2, 1. Consider the parallelepiped P spanned by these three vectors. (a Compute the 8 corners of P. (2 p (b Compute the volume of P. (2 p Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Tentamen i matematik Linjär algebra, del I 2014-01-31 1. Låt A = ( 5 1 8 2 ( 2 4 2, B = 1 2 5, u = (2, 3, 2, v = (1, 2, 4. Beräkna följande uttryck, om de är definierade. Om något uttryck inte är definierat, förklara kort varför. (a A 2, (b B 4, (c A B, (d B A T, (e u v, (f u v, (g B + u, (h u + v. (Varje del: 0,5 p 2. Beräkna det 3. Beräkna inversen till 1 0 0 8 2 0 6 3 2 1 2 3 1 1 4 1 1 1 (Lösningar med andra metoder: 2 p 4 5 8 0 2 4 0 0 3 1 0 0 0 1/2 0 0 0 3 2 (4 p med adjoint metoden. (4 p 4. För vilka värdena på a R har det linjära systemet noll, en eller oändligt många lösningar? (4 p x 1 + 2x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 2x 2 + a 2 x 3 = a x 1 2x 2 x 3 = 0 5. Låt A = ( 5, 1, 3, B = ( 2, 6, 3, C = ( 4, 3, 4, D = ( 2, 7, 6, E = ( 1, 8, 2. Låt P vara det plan som innehåller punkterna A, B och C, låt L vara det linje som innehåller punkterna D och E. (a Skriv linjen på vektorekvationsform. (1 p (b Skriv planet på vektorekvationsform. (1 p (c Bestäm skärningen mellan linjen L och planet P. (2 p 6. Låt u = ( 1, 3, 4, v = (2, 0, 1 och w = (3, 2, 1. Betrakta den parallellepiped P om bestäms av dessa tre vektorer. (a Beräkna de 8 hörnen av P. (2 p (b Beräkna volymen av P. (2 p Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Second exam in mathematics Linear algebra, part I 2014-02-21 9:00 15:00 1. Let A = ( 2 3 5 7, B = 1 6 2 5 0 3, u = (1, 2, 5, v = ( 1, 3, 4. Compute each of the following terms, if it is defined. If it is not defined, explain shortly why. (a A 1, (b B 2, (c tr(a, (d B A T, (e u v, (f u v, (g B u, (h u + v. (Each part: 0.5 p 2. Compute (4 p 3. Compute the inverse of det 1 1 1 4 4 3 1 2 3 5 4 0 0 0 3 2 0 0 0 2 0 3 0 0 1 1 2 4 0 3 4 2 3 1 (4 p 4. Solve the following linear system using Cramer s rule: (4 p (Solutions using other methods: 2 p 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 2x 2 + 4x 3 = 3 3x 1 + 7x 2 + 8x 3 = 1 5. Let A = ( 2, 3, 2, B = ( 3, 0, 4, C = (3, 1, 2 and D = (1, 2 3. Consider the plane P containing the points A, B, C. (a Write the plane in vector equation form. (1 p (b Write the plane in point-normal equation form. (2 p (c Compute the distance between the point D and the plane P. (1 p 6. Let A = (0, 0, 0, B = (0, 1, 1 and C = (1, a, 1. Consider the triangle T in R 3 with the corners A, B and C. Determine a R so that the area of T is 1. (4 p Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Andra tentamen i matematik Linjär algebra, del I 2014-02-21 9:00 15:00 1. Låt A = ( 2 3 5 7, B = 1 6 2 5 0 3, u = (1, 2, 5, v = ( 1, 3, 4. Beräkna följande uttryck, om de är definierade. Om något uttryck inte är definierat, förklara kort varför. (a A 1, (b B 2, (c tr(a, (d B A T, (e u v, (f u v, (g B u, (h u + v. (Varje del: 0,5 p 2. Beräkna (4 p 3. Beräkna inversen till det 1 1 1 4 4 3 1 2 3 5 4 0 0 0 3 2 0 0 0 2 0 3 0 0 1 1 2 4 0 3 4 2 3 1 (4 p 4. Lös det linjära systemet med Cramers regel: (4 p (Lösningar med andra metoder: 2 p 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 2x 2 + 4x 3 = 3 3x 1 + 7x 2 + 8x 3 = 1 5. Låt A = ( 2, 3, 2, B = ( 3, 0, 4, C = (3, 1, 2 och D = (1, 2 3. Låt P vara det plan som innehåller punkterna A, B, C. (a Skriv planet på vektorekvationsform. (1 p (b Skriv planet på punktnormalform. (2 p (c Beräkna avståndet från punkten D till planet P. (1 p 6. Låt A = (0, 0, 0, B = (0, 1, 1 och C = (1, a, 1. Betrakta trianglen T i R 3 definierad av hörnen A, B och C. Beräkna a R så att ytan av trianglen T är 1. (4 p Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Third exam in mathematics Linear algebra, part I 2014-03-22 9:00 15:00 1. Let u, v R 3 and A, B R 2,2. State whether the following assertions are true in general or not. If yes, give an example. If not, give a counterexample. (All examples or counterexamples should contain no zero elements. (a u v = v u. (1 p (b u + v = u + v. (1 p (c Let A be invertible. ( A 2 1 = ( A 1 2. (1 p (d (A B T = A T B T. (1 p 2. For which a R is the matrix 3. Let A = 1 2 6 1 1 2 4 4 7 and b = 2 2 1 3 4 2 2 1 a 1 2 1 invertible? Explain your answer. (4 p a Compute the inverse of A. (3 p b Use the result of a to solve the linear system Ax = b. (1 p (Solutions using other methods: 0.5 p 4. Let A = (1, 2, 1, B = (2, 3, 1 and C = ( 1, 3, 4. Consider the triangle T in R 3 with the corners A, B and C. Compute the area of the triangle T. (4 p 5. Let 2x + 4y 4z = 4 be the point-normal equation form for the plane P 1 and 3x 6y + 6z = 2 be the point-normal equation for the plane P 2. (a Write the plane P 1 in vector equation form. (2 p (b Compute the intersection of P 1 and P 2. (2 p 6. a Formulate the theorem about the parallelogram equation for vectors. (1 p b Prove the theorem about the parallelogram equation for vectors. (3 p Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Tredje tentamen i matematik Linjär algebra, del I 2014-03-22 9:00 15:00 1. Låt u, v R 3 och A, B R 2,2. Avgör om följande uttalanden är sanna i allmänhet eller inte. Om ja, ge ett exempel. Om nej, ge ett motexempel. (Alla exampel eller motexempel ska inte innehålla några nollelement. (a u v = v u. (1 p (b u + v = u + v. (1 p (c Låt A vara inverterbar. ( A 2 1 = ( A 1 2. (1 p (d (A B T = A T B T. (1 p 2. För vilka värden på a R är matrisen 3. Låt A = 1 2 6 1 1 2 4 4 7 och b = 2 2 1 3 4 2 2 1 a 1 2 1 inverterbar? Förklara ditt svar. (4 p a Beräkna inversen till A. (3 p b Använd resultatet av a för att lösa linjära systemet Ax = b. (1 p (Lösningar med andra metoder: 0.5 p 4. Låt A = (1, 2, 1, B = (2, 3, 1 och C = ( 1, 3, 4. Betrakta triangeln T i R 3 definierad av hörnen A, B och C. Beräkan arean av triangeln T. (4 p 5. Låt 2x + 4y 4z = 4 vara punktnormalform av planet P 1 och 3x 6y + 6z = 2 vara punktnormalform av planet P 2. (a Skriv planet P 1 på vektorekvationsform. (2 p (b Bestäm skärningen mellan P 1 och P 2. (2 p 6. a Formulera satsen om parallelogramekvationen för vektorer. (1 p b Bevisa satsen om parallelogramekvationen för vektorer. (3 p Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

2024 © DocPlayer.se Sekretesspolicy | Användarvillkor | Kontakta oss