Centralprojektion och perspektiv

Relevanta dokument
Arkitektur. en utgångspunkt för projicering av rummet ned på planet

Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU

Lite sfärisk geometri och trigonometri

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

7F Ma Planering v2-7: Geometri

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

5B1134 Matematik och modeller

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

Sidor i boken Figur 1:

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

Explorativ övning euklidisk geometri

5B1134 Matematik och modeller

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Repetition inför kontrollskrivning 2

SF1620 Matematik och modeller

Explorativ övning euklidisk geometri

MVE365, Geometriproblem

Explorativ övning Vektorer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Mätning och geometri

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

geometri ma B

Extramaterial till Matematik Y

GESTALTANDE UNDERSÖKNING

Planering Geometri år 7

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

Funktioner. Räta linjen

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Lektion i geometri. Lektionens innehåll. Centralt innehåll matematik 1b och matematik 1C. Mål med lektionen. Lektionsupplägg.

Kompendium om. Mats Neymark

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin

Explorativ övning Geometri

8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Geometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.

9 Geometriska begrepp

Geometriupplevelse och skolgeometri 2

Explorativ övning Geometri

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP

Parabeln och vad man kan ha den till

Kongruens och likformighet

Geometri med fokus på nyanlända

Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem

Matematik CD för TB = 5 +

Lathund, geometri, åk 9

Explorativ övning Geometri

9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Enklare matematiska uppgifter

Geometriska konstruktioner

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell

14. Minsta kvadratmetoden

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

Uppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner

2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet

Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Kartläggningsmaterial för nyanlända elever SVENSKA. Geometri Matematik. 1 2 Steg 3

M=matte - Handledning

Arbetsblad 3:1. Hur stor är vinkeln? 1 Vilken eller vilka av vinklarna är. 2 Uppskatta (gör en bra gissning) hur stora vinklarna är.

Känguru 2010 Cadet (klass 8 och 9) sida 1 / 6

Parabeln och vad man kan ha den till

EUKLIDISK GEOMETRI. Torbjörn Tambour. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Sidor i boken 8-9, 90-93

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

Elevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing

Studieanvisning i Optik, Fysik A enligt boken Quanta A

Vektorgeometri för gymnasister

NÄMNARENs. problemavdelning

Lösningsförslag till problem 1

9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att:

Enklare matematiska uppgifter

Även kvadraten är en rektangel

Repetition inför tentamen

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-10 Rymdgeometri fördjupning Namn:..

Lösningar till udda övningsuppgifter

Transkript:

Centralprojektion och perspektiv Torbjörn Tambour 2001 tt teckna eller måla perspektiviskt riktigt är inte lätt och det var inte förrän under renässansen som man insåg hur det skall göras, även om det gjordes försök mycket tidigare. Nu är det naturligtvis långt ifrån alltid som konsten/konstnären vill avbilda verkligheten perspektiviskt riktigt, ofta har den ju andra syften. I det gamla Egypten använde man exempelvis något som kan kallas värdeperspektiv: betydelsefulla personer, t ex faraoner, är större på bilderna än mindre viktiga personer, oavsett var de befinner sig djupmässigt. Ett sätt att få fram djupdimensionen i en bild som användes i den västeuropeiska konsten under medeltiden var spelkortsperpektiv, som innebär att föremålen på bilden delvis skymmer varandra för att betraktaren skall förstå vilka som ligger nära och vilka som befinner sig längre bort. Upptäckten av perspektivet brukar tillskrivas arkitekten Filippo Brunelleschi (1377-1446), vars mästerverk annars är kupolen till katedralen Santa Maria del Fiori i Florens. Teorin för perspektivisk avbildning beskrivs dock först i Della pittura av Leon Battista lberti (1404-72), som också var verksam i bl a Florens. ndra berömda tidiga perspektivmålare är Masaccio (1401-28), Rafael (1483-1520), lbrecht Dürer (1471-1528) och Leonardo da Vinci (1452-1519). Da Vincis Nattvarden i klostret Santa Maria delle Grazie i Milano är en av de mest berömda perpektivmålningarna. Vi skall studera något av den matematiska teorin bakom perspektivmåleriet. Problemet är således följande: Hur skall man avbilda en tredimensionell värld på en tvådimensionell yta, duken, så att bilden ser verklig ut och verkar ha en djupdimension? Vi vet ju genom erfarenhet att saker ser mindre ut på avstånd och att parallella linjer, t ex två vägrenar, tycks närma sig varandra mer och mer ju längre bort de kommer för att helt smälta samman vid horisonten. Hur skall man avbilda detta på en plan yta? tt avbilda en tredimensionell värld på en tvådimensionell yta är ett exempel på det som i matematiken kallas projektion och den viktigaste typen av projektion i det här sammanhanget är centralprojektion. Vi börjar med att definiera centralprojektion på ett plan med avseende på en punkt, se figur 1. Naturligtvis skall tänkas vara duken och ögat ( som i oculus, öga på latin). Låt P vara en punkt i rummet och förena och 1

P med en linje. Linjen skär i C, säg. Punkten C kallas centralprojektionen av P på med avseende på punkten. Det kan förstås hända att linjen genom och P inte skär planet (dvs att de är parallella). I så fall kan inte P projiceras på med avseende på (i matematiken säger man att P projiceras på oändligheten, men vi skall inte fördjupa oss i vad det betyder). C P Figur 1 Planet kallas projektionsplan och kallas projektionscentrum. Centralprojektionen av ett föremål, t ex en linje, får man förstås genom att projicera varje punkt i föremålet på planet. Lägg på minnet att projektionen beror på både och (figur 2). Figur 2 En viktig egenskap hos centralprojektionen är att projektionen av en linje är 2

en linje eller en punkt. Det senare inträffar då linjen går genom. ntag att linjen inte går genom. Låt linjen heta L och låt B vara det plan som innehåller projektionscentrum och L. 1 Planen och B skär varandra längs en viss linje, som vi kan kalla L. Låt P vara en punkt på L. Linjen mellan och P skär i en punkt, säg. ligger å ena sidan i B eftersom hela linjen mellan och P gör det och å andra siden ligger den ju även i planet. lltså ligger på skärningslinjen L mellan och B och det följer att projektionen av L är precis linjen L. L P L' B Figur 3 Däremot är det inte många andra geometriska egenskaper som bevaras vid projektion. Vinklar och avstånd gör det t ex inte; bilden av en kvadrat behöver t ex inte alls vara en kvadrat. Skärningar mellan linjer bevaras dock i den meningen att om två linjer skär varandra, så gör även deras projektioner det. Detta är nästan trivialt, men nog så viktigt visar det sig. Vi skall närmast undersöka vad som händer med parallella linjer då de projiceras. En mängd parallella linjer skall vi kalla ett linjeknippe. Låt M vara ett linjeknippe och L en linje som är parallell med linjerna i M och som går genom 1 Eftersom inte ligger på L så finns det bara ett sådant plan. I fallet då ligger på L finns det oändligt många plan som innehåller dem. 3

. Vi antar att linjerna i M inte är parallella med projektionsplanet (om linjerna och planet är parallella, så är projektionerna av linjerna också parallella linjer). Beteckna skärningspunkten mellan L och med. Då gäller att projektionerna av alla linjerna i M går genom. Låt nämligen K vara en linje i M som inte går genom. Beteckna planet som innehåller K och med B. Projektionen av K på är skärningslinjen mellan och B enligt vad vi sade nyss. Planet B är parallellt med L och innehåller. Men L går också genom, så det följer att L måste ligga i B. Punkten ligger tydligen i både och B, dvs ligger på projektionen av L. K L B Figur 4 Vi observerar att parallellitet inte bevaras vid centralprojektion. Punkten skall vi kalla gränspunkten för linjerna i M. Ett första exempel på projektion av parallella linjer är avbildning av en väg som vi nämnde ovan; i detta fall består M alltså av de två vägrenarna. Gränspunkten är den punkt där vägrenarna tycks smälta samman. Vi tänker oss nu att de parallella linjerna i M faller in vinkelrätt mot projektionsplanet. Projektionerna av dem går alla genom gränspunkten (figur 5), som i detta fall kallas horisontpunkt. Med andra ord är horisontpunkten fotpunkten för normalen från mot. m alla linjerna i M ligger i ett och samma plan B, som är fallet t ex då man avbildar vägrenar (B är markplanet), så kan man dra en linje i projektionsplanet genom som är parallellt med B. Denna linje kallas 4

horisonten 2. Parallella linjer som faller in vinkelrätt mot projektionsplanet ser med andra ord ut att komma från en enda punkt på horisonten. Horisonten B Figur 5 Det finns andra linjeknippen som har sina gränspunkter på horisonten. Betrakta nämligen ett plan som innehåller horisontlinjen och är vinkelrätt mot projektionsplanet. Vi kan kalla det horisontplanet. Låt N vara ett linjeknippe vars linjer är parallella med det. Eftersom projektionscentrum ligger i horisontplanet, så ligger den linje L som går genom och är parallell med linjerna i N också i horisontplanet. Det följer att gränspunkten R för N ligger på horisonten (figur 6). mvänt, om R är en punkt på horisonten och K linjen genom och R, så ligger K i horisontplanet och därför har ett linjeknippe som är parallellt med K och därmed med horisontplanet punkten R som sin gränspunkt. 2 Horisont kommer av grekiskans hori zōn ky klos, som betyder begränsande cirkel. 5

N R L Horisontplan Figur 6 Med hjälp av den här utredningen kan vi visa hur man skall avbilda t ex ett hus som man betraktar från ett hörn som i figur 7. Horisontplanet är parallellt med markplanet (avståndet mellan de två planen är lika med ögats, dvs, höjd över marken). Linjerna som bestäms av taket och marken är parallella med horisontplanet och deras gränspunkter och ligger alltså på horisonten. Men hur långt bort från horisontpunkten ligger de? m vi antar att vi står så att husväggarna bildar vinkeln 45 med projektionsplanet så är vinkeln alltså 45 och då är rät, så är en likbent, rätvinklig triangel. lltså är kateterna och lika långa. vståndet mellan och är således lika med avståndet mellan ögat och horisontpunkten. (m man står så att vinkeln mellan husväggarna och projektionsplanet inte är 45 så får man använda lite trigonometri för att räkna ut var gränspunkterna ligger.) 6

' '' Figur 7 I figur 8 nedan visas hur man avbildar en kub som svävar ovanför horisontplanet. Två av de tre linjeknippen som bestäms av kubens kanter har gränspunkter på horisonten, medan det tredje knippet som bestäms av de vertikala sidorna har en gränspunkt som ligger ovanför kuben. Ett sådant perspektiv kallas ett trepunkts grodperspektiv. I exemplet med huset ovan har vi ett tvåpunktsperspektiv. Motsatsen till grodperspektiv är fågelperspektiv (då tittar man alltså ner på det man vill avbilda). Man talar även ibland om kavaljersperspektiv då man bara befinner sig ett litet stycke ovanför det man vill avbilda. Mot gränspunkt 3 Gränspunkt 1 Horisontpunkt Gränspunkt 2 Ett känt problem i renässansens perspektivmåleri var hur man skulle avbilda 7

ett rutigt golv. Detta är nära besläktat med problemet att avbilda ett hus som vi löste ovan. Vi tänker oss att de kvadratiska rutorna ligger med en sida parallell med projektionsplanet och den andra vinkelrät mot det. Hur de sidor som är vinkelräta mot skall avbildas vet vi, men hur tätt skall de sidor ligga som är parallella med? Lösningen är genial: Diagonalerna i rutorna bildar nämligen vinkeln 45 med och var deras linjeknippen (som är två stycken) har sina gränspunkter vet vi enligt utredningen vi gjorde nyss. vståndet mellan de två gränspunkterna och horisontpunkten är lika med avståndet mellan ögat och horisontpunkten. När man har ritat in diagonalerna är det lätt att komplettera med de felande linjerna (figur 9). ' '' Figur 9 Man kan se rutiga golv i många renässansmålningar, se exemplen längst bak. Perspektivets upptäckt är inte bara av konsthistoriskt intresse. Centralprojektion är nämligen grunden för projektiv geometri, en viktig gren av matematiken som uppstod under 15- och 1600-talen. Man kan säga att den projektiva geometrin intresserar sig för egenskaper som att ligga på rät linje och skära varandra istället för likformighet, kongruens osv som den euklidiska geometrin sysslar med. Vi skall bara nämna en berömd sats ur den projektiva geometrin. Den är uppkallad efter en fransk ingenjör, Gérard Desargues (1591-1661). Låt BC och B C vara två trianglar i rummet sådana att linjerna, BB och CC skär varandra i en punkt. Trianglarna är alltså projektioner av varandra med avseende på projektionscentrum. Då gäller att linjerna B och B 8

skär varandra i en punkt, liksom C och C samt BC och B C. Kalla skärningspunkterna för P, resp. R. Då gäller dessutom att P,, R ligger på en linje (figur 10). P B C ' R Figur 10 B' C' Fallet då två av linjerna, t ex B och B, är parallella hanteras på ett sätt som vi tyvärr inte kan gå in på här. Några perspektiviska renässansmålningar 1. Leonardo da Vinci (1452-1519): Nattvarden (1495-98), klostret Santa Maria delle Grazie, Milano (fresk). Lärjungarna reagerar med rädsla och misstro när Jesus berättar att en av dem skall förråda honom. 2. Masaccio (1401-28): Treenigheten (1427), Santa Maria Novella, Florens (fresk). Fadern bär upp korset med Jesus. Jesu moder Maria till vänster inbjuder åskådaren att se Mysteriet äga rum och till höger står Jesu lärjunge Johannes. De knäböjande figurerna är förmodligen donatorer. 9

3. Carlo Crivelli (1430-93): Bebådelsen (1486), National Gallery, London (äggtempera). Tavlan målades i scoli Piceno, som fick stadsrättigheter 1482 genom den påvliga bullan Libertas Ecclesiastica (längst ner i bilden). Till vänster utanför Marias fönster sitter ärkeängeln Gabriel tillsammans med scoli Picenos skydsshelgon, St Emidius. Lägg märke till ndens duva över Marias huvud och mannen som skyddar ögonen mot det gudomliga ljuset. 4. Rafael: Skolan i ten (1509-11), Stanza della Segnatura, Vatikanen (fresk). Här finns de flesta av antikens stora tänkare. Platon och ristoteles befinner sig i mitten, den förre pekande uppåt och den senare nedåt. En viktig tes i Platons filosofi är att allt i världen är återsken av perfekta idéer som finns i idévärlden; exempelvis är alla mer eller mindre ofullkomliga cirklar som ritats genom historien återsken av den perfekta cirkelns idé, som vi alla har en föreställning om. Platons lärjunge ristoteles å andra sidan är naturforskningens grundare. Sokrates i grönt vänder ryggen till dem och räknar filosofiska problem på fingrarna. I gruppen nere till vänster ser vi Pythagoras och till höger samlas studenter kring Euklides. De två som håller jordglober är Ptolemaios och Zarathustra. nmärkning: En fresk är en muralmålning på fuktig kalkputs. Tempera är en färg med bindemedel av vattenlösliga limämnen, som även kan innehålla olja. m bindemedlet är äggula kallas den ägg(olje)tempera. 10