Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 4 Sammanfattning av föreläsning 3 Rotort Mer specifikationer Nollställen (om vi hinner)
Sammanfattning av förra föreläsningen 2 Vi introducerade PID-regulatorn (Propertionell Integrerande Deriverande) P-delen styr snabbhet I-del minskar/tar bort reglerfel D-del minskar/tar bort oscillationer Vi introducerade tre viktiga överföringsfunktioner: kretsförstärkning, slutna systemet samt känslighetsfunktionen
Sammanfattning av förra föreläsningen 3 Felkoefficienter definierades som kvarvarande stationärt reglerfel då ett steg, ramp, etc används som referens signal Antalet integratorer i kretsförstärkningen G O (s) = F(s)G(s) bestämmer hur många felkoefficienter som blir noll
4 Förra föreläsningen tog vi fram en regulator till en svävande kula, och fick för en PID-regulator följande slutna system Slutna systems dynamik karakteriseras främst av överföringsfunktionens poler, dvs polpolynomets rötter I dag frågar vi oss hur beror polerna på parametrar i polpolynomet Här tre parametrar och tre rötter, men vi kommer att studera fallet då bara en parameter tillåts variera
5 Standardproblemet: Vi studerar polpolynom i följande form Exempel: K P och K I fixerade, K D varierar Eftersom det är enkelt att räkna ut rötter i MATLAB kan vi räkna ut rötter för varierande K D, och plotta i komplexa talplanet Vi testar med K P =1 och K I =0.1 och räknar ut poler för 0 K D <
6 Poler för K D =0: {-0.09, 0.049±i} Poler för K D =2: {-1.28, -0.59,-0.13} Poler för K D =10000: {-99.9, -0.001±0.001i}
7 Rotorter har väldigt typiska utseenden, och vi skall nu lära oss skissa dessa utan att faktiskt beräkna en massa rötter Vi antar att P(s) och Q(s) är i följande form Vidare så antar vi n m och K 0
8 Enkla egenskaper För varje K finns det n rötter. Rotorten sägs ha n grenar Rötterna för K=0 är lika med rötterna till P(s)=0. Dessa rötter kallas startpunkter. Rötterna för K= ges av rötterna till Q(s)=0. Dessa rötter kallas slutpunkter Om m<n finns det asymptotiska grenar som går mot oändligheten Eftersom komplexa poler alltid förekommer i ett komplexkonjugerat par, är rotorten symmetrisk runt reella axeln Stabilitetsgränsen hittas genom att lösa ekvationen för skärning med imaginära axeln P(iω) + KQ(iω)=0
9 Avancerade egenskaper: Asymptoter De n-m rötterna som inte går mot en slutpunkt rör sig längs asymptotiska strålar som utgår från punkten i riktningarna
10 Avancerade egenskaper: Reella axeln De delar av reella axeln som har ett udda antal start och slutpunkter till höger på reella axeln, tillhör rotorten Låt p i vara reella startpunkter och q i vara reella slutpunkter. Då gäller det att Satsen följer ut teckenanalys av kvoten, se kursbok
12 Exempel: Svävande kulan Vi skissar rotort för svävande kulan med en PID-regulator där I-delen har fixerats till K I =2 och D-delen till K D =4. Polerna ges såldes av Vi identifierar våra start- och slutpolspolynom
13 Startpunkter (n=3): Slutpunkter (m=1): Aymptotriktningar: Asymptotskärning med reella axeln
14 Del av reella axeln i rotort Skärning med imaginära axeln? Alltså, K>0.5 ger stabila poler
15 Sann rotort Notera att det faktum att de två komplexa rötterna blir reella för ett intervall ej kan ses med hjälp av vår metodik De två komplexa rötterna skulle precis lika gärna kunna ha gått direkt mot asymptoterna, enligt våra ritregler
Specifikationer 16 Var vill man ha polerna då? Vi har tidigare sett att vi vill ha poler i vänstra halvplanet för stabilitet, komplexdel ger oscillationer, samt att avstånd till origo bestämmer snabbhet Vi skall nu precisera detta lite, samt relatera till mått på stegsvar.
Specifikationer 17
Specifikationer 18 Översläng M: Största utsignal dividerat med slutvärde (ibland i %) Stigtid T r : Tid för att gå från 10% till 90% av slutvärde Insvängningstid T s : Tid innan utsignalen håller sig inom 5% från slutvärde
Specifikationer 19 Första ordningens system: Specifikationerna kan enkelt översättas till krav på en pol för ett första ordningens system (eller ett system som domineras av en pol) Kom även ihåg tidskonstanten (1/a) som definierar tiden det tar att nå 63% av slutvärdet
Specifikationer 20 Andra ordningens system: Specifikationerna för ett 2:a ordningens system med komplexkonjugerade poler är lite knepigare Detaljer inte viktiga
Specifikationer 21 Vad vi skall försöka komma ihåg: Insvängningstid är ungefär 3/(avstånd till origo) för reella poler och oscillerande system med rimligt stor relativ dämpning ξ (mellan 0.5 och 1) En relativ dämpning ξ på 0.7 ger en översläng på ungefär 5%, vilket ofta är vad man siktar på. I komplexa talplanet betyder det att vi vill att poler skall ligga i det skuggade området (dvs i en kon med vinkeln 45º vilket motsvarar ξ=0.7) 45º Im Re
22 Det verkar vara möjligt att välja K P så att polerna hamnar i det önskade området, med K I och K D fixerade till 2 och 4
Sammanfattning 23 Sammanfattning av dagens föreläsning En rotort beskriver hur polerna rör sig i det komplexa talplanet när en parameter i polpolynomet varierar Enkla räkneregler hjälper oss att skissa rotorten utan att faktiskt beräkna en massa rötter Insvängningstid för ett steg ges av ungefär 3/(avstånd till origo för pol närmast origo). En relativ dämpning på 0.7 ger en översläng på ungefär 5%
Sammanfattning 24 Viktiga begrepp Rotort: Polers position i komplexa talplanet som funktion av en parameter Insvängningstid : Tid det tar för ett stegsvar att hålla sig inom 5% från slutvärdet Stigtid: Tid det tar att gå från 10% till 90% av slutvärdet vid ett stegsvar Översläng: Största värdet på utsignalen dividerat med slutvärdet